復變函數(shù)復習自測題

1、第45章復習自測題、選擇題:QO1.復級數(shù)£un收斂的必要條件是.n1(A)limnun=0(B)limun=0n_-n_孤(C)limnun=0(D)limUn=0n_-n_,;-:oO2.若復級數(shù)工un收斂，則.n1(A) limnun=0n二(B) limunsinn=0n二3.(C) limnun=0n_卜列復級數(shù)收斂的是(D) limunsinn=0n_n1i"r(A)<；in(B)(-1)n1n4_i：1,sinn(C)尹n3_2n4.卜列復級數(shù)發(fā)散的是.(A)-qnn1:二in(其中|q<1)(B)Z(C)Zinendn8n(D)vin112nQO

2、.5.哥級數(shù)Zz2n的收斂半徑和收斂圓為n1(A)R=和z<收(B)R=1和(C)R=0和z-0.(D)R=1和z=(-1,1):1n,6.已知哥級數(shù)£(1F)zn的和函數(shù)為nJ2(z-1)(z-2)oO,則(1n=01c七)zn的收斂半徑和收斂圓為2n1(A)R二二和z._3_3(B)R=1和|z|<1(C)R=2和|z<2.(D)R=&和|，<37. z=0是f(z)=(ez-1)2$的22是.(A)5階零點(B)4階零點(C)3階零點(D)2階零點8 .設z=a分別是函數(shù)f(z)和g(z)的n階零點(n>2),則z=a必為+gJN.(A)n

3、階零點(B)n-1階零點(C)至多n階零點或f(z)三0(D)f(z)=09 .設z=a分別是函數(shù)f(z)的n階零點和g(z)的m階零點，則z=a必為9的.g(z)(A)零點.(B)極點.(C)可去奇點或極點(D)可去奇點.10 .設z=a分別是函數(shù)f(z)和g(z)的n階極點(n>2),則z=a必為f(z)+g(z)的(A)n階極點(B)至少n階極點(C)至多n階極點或可去奇點(D)可去奇點11.設z=a分別是函數(shù)f(z)的n階極點和g(z)的m階極點，則z=a必為3的.g(z)(A)m-n階極點(B)n-m階極點(C)非孤立奇點(D)可去奇點或極點12 .設z=為f(z)的可去奇點或

4、極點，且在0<za<R內(nèi)，f(z)#0,z=a為g(z)的本性奇點，則z=a為9(2)+2)的.(A)解析點(B)本性奇點(C)極點(D)可去奇點13 .設z=a為f(z)的可去奇點或極點，且在0<za<R內(nèi)，f(z)#0,z=a為g(z)的本性奇點，則z=a為9(2)“2)的.(A)解析點(B)本性奇點(C)極點(D)可去奇點14 .設z=2為f(z)的可去奇點或極點，且在0<za<R內(nèi)，f(z)#0,z=a為g(z)的本性奇點，則z=a為史豆的.f(z)(A)解析點(B)本性奇點(C)極點(D)可去奇點115 .設z=0為函數(shù)ezsinz的.(A)可去奇

5、點(B)極點(C)本性奇點(D)非孤立奇點16 .設z=0為函數(shù)1CoSz的.3z(A)可去奇點.(B)2階極點(C)1階極點(D)本性奇點二、填空題：O01 .哥級數(shù)nn2(z-1)n的收斂半徑R=,收斂圓為，收斂圓周為.nzfi二(7a)n2 .哥級數(shù)Z(一n-的收斂半徑R=,收斂圓為.n1noOoQoO3 .設R,R,R分別哥級數(shù)Zcn(za)n,£ncn(za尸和工-c-(za產(chǎn)的收斂半徑，則R,R2,n=0n1nq0n1R的關系是.4 .分別寫出ez,sinz,cosz,ln(1+z)(ln(1+z)表示以(，1為割線且滿足ln(1+z)z=0的單值解析分析)和(1+z尸(

6、1+z)值表示以(*,1為割線且滿足(1+z)Rz乩=1的單值解析分析)在z=0處的基本展式(注意指出展式成立的最大范圍)ze=；sinz=；cosz=；ln(1+z)=；(1+z)"=.1115 .寫出函數(shù)=在指7E圓域或圓環(huán)內(nèi)的洛朗展式：(z-1)(z-2)z-2z-1在z<1內(nèi),1(z-1)(z-2),一，1在1<z<2內(nèi)，=;(z-1)(z-2)1(z-1)(z-2)在0<z-1<1內(nèi),1(z-1)(z-2)一.116 .設函數(shù)f(z)在原點z=0解析，且對n>1,有f(-)=，由解析函數(shù)的惟一性，可得f(z)三.n1n7.寫出z=a為解析

7、函數(shù)f(z)的m階零點的定義：8.z=a為解析函數(shù)f(z)的m階零點等價于：.9.設f(z)=(z-1)(z-2)，則f(z)在孤立奇點z=1的主要部分為，從而孤立奇點z=1的類型為f(z)的;f(z)在孤立奇點z=8的主要部分為，從而孤立奇點z=8的類型為f(z)的.110.設f(z)=ez,則f(z)在孤立奇點z=0的主要部分為，從而孤立奇點z=0的類型為f(z)的；f(z)在孤立奇點z=g的主要部分為，從而孤立奇點z=8的類型為f(z)的.三、解答或計算題：1 .求下列哥級數(shù)的收斂半徑與收斂圓:CO(1)、n-1(z-1)n二(z1；(2)£n!(3)£zn!.nW2

8、 .求下列函數(shù)在z=0處的泰勒展式，并指出展式成立的范圍:(1)1(1-z)21(1-z)3z；(3)J0cos%2;1zzz.z27二，iee(4) esinz,ecosz,sinz；(5)e-;(6)2,21z1-z3 .判斷z=0是下列函數(shù)的零點，并求出零點的階數(shù)：(1) z2(ez一1)；(2)6sinz3+z3(z66)；(3)sinz-tanz.4 .求下列函數(shù)在指定圓環(huán)內(nèi)的洛朗展式:(1)f(z)=(z-1)(z-2),0.；：z：1;2cz<收；0<z-1<1.一1八,(2) f(z)=sin,0<z1<y.z-11f(z)=ez,0Vzlc+00

9、.z(4)f(z)=ez+,1Mlz<y.5 .求下列函數(shù)在擴充復平面上的所有孤立奇點，并分別求出函數(shù)在各孤立奇點的去心鄰域內(nèi)的洛朗展式(注意指出展式成立的范圍)：111(1) f(z)=;(2)f(z)=;(3)f(z)=(a<b);(z-1)(z-2)z(z-1)(z-a)(z-b)1(4) f(z)=z2ez.若是孤立奇點還要指出類型:6 .求出下列函數(shù)在擴充平面上的所有奇點(注意包括1z2zeizz4.1(1)T；COtz；(3);(4)1-zsinz四、證明或討論題：1.用解析函數(shù)的惟一性定理證明：4/6二n1Z.ln(1+z)=£(-1),z<1,nn其

10、中l(wèi)n(1+z)是以(*,_1為割線，滿足ln(1+z)噌=0的單值解析分支.2 .用解析函數(shù)的惟一性定理證明：sin2z=2sinzcosz.3 .若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，CuD為曲線或區(qū)域或有屬于D的聚點的平面點集，在C上f(z)三常數(shù)，證明：在區(qū)域D內(nèi)f(z)三常數(shù).4 .用反證法及最大模，最小模原理證明：設C是一條圍線，f(z)在C的內(nèi)部D解析，在D=D+C上連續(xù)，且在C上，f(z)為常數(shù)，若f(z)¥常數(shù)，則f(z)在D內(nèi)至少有一個零點.5 .設函數(shù)f(z)在區(qū)域D解析，閉圓域z-a<RcD,若f(z)在區(qū)域D內(nèi)滿足下列條件之一，則f(z)在區(qū)域D內(nèi)恒為常數(shù)：(1)

11、在|za|<R內(nèi)，f(z)#0,且在za=R上,|f(z)為常數(shù)；(2)在za<R內(nèi)，ReIf.qd”或ImIf.fd”為常數(shù)；12冗i生個z_"ni啟用z_Gf(2dl在za<R內(nèi)解析.2川出tz6 .設z=a分別為f(z)的m階零點和g(z)的n階零點，試討論下列函數(shù)在z=a的性質(zhì)：(1) f(z)+g(z)；(2)f(z)g(z)；(3)f.g(z)7 .設z=a分別為f(z)的m階極點和g(z)的n階極點，試討論下列函數(shù)在z=a的性質(zhì)：(1) f(z)+g(z)；(2)f(z)g(z)；(3)f.g(z)8 .設z=a為f(z)的可去起點(看成解析點)或極點

12、，且在0<za<R內(nèi)，f(z)#0,z=a為g(z)的本5/6性奇點，試討論下列函數(shù)在z=a的性質(zhì)：(1) g(z)+f(z)；(2)g(z)f(z)；(3)-giz).f(z)9 .設a是f(z)的孤立奇點(即f(z)在0<|za<R內(nèi)解析)，且在0<za<R內(nèi)，f(z)不恒為零，若存在0<|za<R內(nèi)的一列收斂于a的點列zn,使得f(zn)=0,n=1,2,，則a是f(z)的本性奇點.10 .試用孤立奇點的特征證明下面有關整函數(shù)的命題：(1)設f(z)為整函數(shù)，若f(z)在z<內(nèi)有界，則f(z)恒為常數(shù).(劉維爾定理)(2)設f(z)為

13、整函數(shù),若lim上孕=b#0存在，則f(z)是m次多項式.z二z(3)設f(z)為整函數(shù)，若lim"：)=0或z二zm工在0cz<一內(nèi)有界，即存在M>0,使得在0<|z內(nèi)，1fmz)<M,則f(z)是至多m-1次多項式.五、綜合題：設fn(z)是定義在區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)列，試按下面的步驟探索fn(z)和f；(z)在區(qū)域D內(nèi)內(nèi)閉一致收斂的關系：(1)試用有限覆蓋定理證明：fn(z)在區(qū)域D內(nèi)內(nèi)閉一致收斂u對任意zWD,存在鄰域U(z)uD,使得在鄰域U(z)內(nèi)，fn(z)一致收斂；(2)若fn(z)在區(qū)域D內(nèi)內(nèi)閉一致收斂，則f；(z)也在區(qū)域D內(nèi)內(nèi)閉一致收斂；(3)若fn(z)在區(qū)域D內(nèi)收斂，且fn'(z)在區(qū)域D內(nèi)內(nèi)閉一致收斂，則fn(z)也在區(qū)域D內(nèi)內(nèi)閉一致收斂；(4)若fn(z)在區(qū)域D內(nèi)收斂，則fn(z