高數(shù)第一章復習資料

1、精選第一章 預備學問一、 定義域1. 已知 的定義域為 ，求 的定義域。答案：2. 求 的連續(xù)區(qū)間。提示：任何初等函數(shù)在定義域范圍內都是連續(xù)的。答案： 二、 推斷兩個函數(shù)是否相同？1. ， 是否表示同一函數(shù)？答案：否2. 下列各題中， 和 是否相同？答案：都不相同 三、 奇偶性1. 推斷 的奇偶性。答案：奇函數(shù)四、 有界性 ，使 ，則 在 上有界。有界函數(shù)既有上界，又有下界。1. 在 內是否有界？答案：無界2. 是否有界？答案：有界，由于 五、 周期性1. 下列哪個不是周期函數(shù)（C）。A B C D 留意： 是周期函數(shù)，但它沒有最小正周期。六、 復合函數(shù)1. 已知 ，求例：已知 ，求 解1：解

2、2：令 ， ， ，2. 設 ，求 提示： 3. 設 ，求 提示：先求出 4. 設 ，求 提示：七、 函數(shù)圖形熟記 的函數(shù)圖形。其次章 極限與連續(xù)八、 重要概念1. 收斂數(shù)列必有界。2. 有界數(shù)列不肯定收斂。3. 無界數(shù)列必發(fā)散。4. 單調有界數(shù)列極限肯定存在。5. 極限存在的充要條件是左、右極限存在并且相等。九、 無窮小的比較1. 時，下列哪個與 是等價無窮?。ˋ）。A B C D 十、 求極限1. 無窮小與有界量的乘積仍是無窮小。 ， ， ， ， 2. 自變量趨于無窮大，分子、分母為多項式例如： 提示：分子、分母同除未知量的最高次冪。3. 消滅根號，首先想到有理化 補充練習：（1） （2）

3、（3） （4） （5） 4. 消滅三角函數(shù)、反三角函數(shù)，首先想到第一個重要極限例： 作業(yè)：P497 （1）（3）5. 消滅指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪指函數(shù)，首先想到其次個重要極限例： 作業(yè)：P497 （4）（6）6. 、 、 、 、 、 、 ，可以使用洛必達法則作業(yè)：P995 （1）（8）7. 分子或分母消滅變上限函數(shù)提示：洛必達法則+變上限函數(shù)的導數(shù)等于被積函數(shù)例： 補充練習：（1） （2） （3） （4） 十一、 連續(xù)與間斷任何初等函數(shù)在其定義域范圍內都是連續(xù)的。分段函數(shù)可能的間斷點是區(qū)間的分界點。若 ，則 在 處連續(xù)，否則間斷。第一類間斷點：左、右極限都存在的間斷點，進一步還可細分為可去間斷

4、點和跳動間斷點。其次類間斷點：不屬于第一類的間斷點，進一步還可細分為無窮間斷點和振蕩間斷點。1. 設在 處連續(xù)，求 解： 在 處連續(xù)， 2. 作業(yè)：P494、10P5011、123. 補充練習：（1）爭辯函數(shù)的連續(xù)性： ， （2）確定常數(shù) ，使下列函數(shù)連續(xù)： ， ， （3）求下列函數(shù)的間斷點并確定其所屬類型： 十二、 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質零點定理： 在 上連續(xù)，且 ，則在 內至少存在一點 ，使得 1. 補充練習：（1）證明方程 至少有一個不超過3的正實根。（2）證明方程 在 內至少有一個實根。（3）證明方程 在 內至少有一個實根。（4）證明方程 至少有一個小于1的正根。第三章 導數(shù)與微分十三

5、、 重要概念1. 可導必連續(xù)，但連續(xù)不肯定可導。2. 可導必可微，可微必可導。3. 函數(shù)在 處可導的充要條件是左、右導數(shù)存在并且相等。十四、 導數(shù)的定義作業(yè)：P75 2十五、 對于分段函數(shù)，爭辯分界點是否可導？例： 在 處，連續(xù)但不行導1. 作業(yè)：P754、52. 爭辯下列函數(shù)在區(qū)間分界點的連續(xù)性與可導數(shù) 答案：在 處連續(xù)、不行導 答案：在 處連續(xù)、不行導 答案：在 處不連續(xù)、不行導3. 設 ，為使 在 處連續(xù)且可導， 應取什么值？答案： 十六、 求導數(shù)1. 求函數(shù)的導數(shù)，特殊是復合函數(shù)的導數(shù)作業(yè)：P756、102. 利用對數(shù)求導法求導數(shù)作業(yè)：P76133. 求隱函數(shù)的導數(shù)作業(yè)：P76124.

6、 求由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)作業(yè)：P76145. 求高階導數(shù)作業(yè)：P75116. 求切線方程、法線方程利用導數(shù)求出切線的斜率 ，則法線的斜率為 例：求曲線 在 處的切線方程。解： 切線斜率 ，切線經過點 切線方程： 作業(yè)：P7537. 求變上限函數(shù)的導數(shù)作業(yè)：P1564十七、 求微分 1. ， 2. ，求 解：作業(yè)：P7615十八、 利用微分進行近似計算公式： 作業(yè)：P7616第四章 中值定理與導數(shù)的應用十九、 利用拉格朗日中值定理證明不等式定理：設 在 上連續(xù)，在 內可導，則在 內至少存在一點 ，使得 證明步驟：（1）依據待證的不等式設函數(shù) （2）敘述函數(shù) 滿足定理條件 （3）依據定理證

7、明出不等式。1. 作業(yè)：P9942. 補充練習：證明下列不等式：（1）當 時， （2） （3）當 時， 二十、 單調性與極值1. 單調性：（1）確定單調區(qū)間可能的分界點（駐點與導數(shù)不存在的點） （2）將定義域分成若干個子區(qū)間，列表爭辯 在各子區(qū)間上的符號，從而確定單調性與單調區(qū)間作業(yè)：P9962. 極值：（1）確定可能的極值點（駐點與導數(shù)不存在的點） （2）將定義域分成若干個子區(qū)間，列表爭辯 在各子區(qū)間上的符號，從而確定單調性與極值例：確定 的單調區(qū)間及極值點作業(yè)：P1009二十一、 求閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值步驟：（1）求出全部可能的極值點 （2）計算各可能極值點的函數(shù)值以及區(qū)間端點的函數(shù)值

8、（3）上述各值中最大的為max，最小的為min作業(yè)：P10010 （1）二十二、 最值的應用問題步驟：（1）寫出目標函數(shù) （2）求出可能的極值點 （應用問題只有一個可能的極值點） （3）分析是最大值問題還是最小值問題。假如是最大值問題，則寫出 ，并且最大值 ；假如是最小值問題，則寫出 ，并且最小值作業(yè)：P10013補充作業(yè)：從斜邊長 的一切直角三角形中，求有最大周長的直角三角形。第五章 不定積分二十三、 換元法、分部積分法求不定積分1. 換元法例： 解1（第一類換元）：解2（其次類換元）：作業(yè)：P1256P12672. 分部積分法例： 作業(yè)：P1268第六章 定積分及其應用二十四、 利用P132推論3估量積分值：作業(yè)：P1562二十五、 證明題（1）設 ，證明： （2）設 ，證明：證（1）：證