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文檔簡介
1、一元二次方程的四種解法一元二次方程的解法(1) 一元二次方程的概念一、考點、熱點回顧1、一元二次方程必須同時滿足的三個條件:2、一元二次方程的一般形式:二、典型例題例1:判斷下列方程是否為一元二次方程: x2 x 1 x2 1 x2 2x 3y 0 x2 3 (x 1)( x 4)ax2 bx c 0mx2 0 (m是不為零常數(shù))例2: 一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.22(1)x2 10x 900 0(2)5x10x 2.2 0(3)2 x2 15 0(4)x2 3x 0(5) (x 2)2 3(6) (x 3)(x 3) 0例3:當m時,關于x的方程(m+2 x|m|+3mx
2、+1=0H一元二次方程三、課堂練習1、下列方程中,關于x的一元二次方程是()211A3(x 1)2(x 1) B.- -20x y222C.ax bx c 0 D.x 2x x 12、用換元法解方程(x2+x)2+ (x2 + x)=6時,如果設x2+x=y,那么原方程可變形為()A、y2 + y 6=0B、y2-y-6= 0G y2 y + 6=0D 、y2+ y+6=03、已知兩數(shù)的積是12,這兩數(shù)的平方和是25,以這兩數(shù)為根的一元二次方程是 .4、已知關于x的一元二次方程x2 (k 1)x 6 。的一個根是2,求k的值.四、課后練習1 .將方程3x(x 1 )5( x 2)化成一兀二次方
3、程的一般形式,得 ;其中二次項系數(shù)是 ; 一次項系數(shù)是 ;常數(shù)項是.2 .方程(k 4)x2 5x 2k 3 0是一元二次方程,則k就滿足的條件是 3 .已知m是方程x2-x-2=0的一個根,則代數(shù)式n2-m=4 .在一幅長80cm,寬50cm的矩形風景畫的四周鑲一條金色紙邊,制成一幅矩形 掛圖,如果要使整個掛圖的面積是5400cn2,設金色紙邊的寬為xcm ,則x滿足的方程是()(A)x2 130x 14000(B)x265 x3500(C)x2130x 14000(D)x265x350025.關于x的方程(m 3)x nx m 0,在什么條件下是一元二次方程?在什么 條件下是一元一次方程?
4、(2)-直接開方法一、考點、熱點回顧1、了解形如x2=a(a>0)或(x + h) 2= k(k > 0)的一元二次方程的解法 直接 開平方法小結(jié):如果一個一元二次方程具有(x m)2 n( n 0)的形式,那么就可以 用直接開平方法求解。(用直接開平方法解一元二次方程就是將一元二次方程的 左邊化為一個完全平方式,右邊化為常數(shù),且要養(yǎng)成檢驗的習慣)【復習回顧】1 .方程(k 4)x2 5x 2k 3 0是一元二次方程,則k就滿足的條件是 2 .若(a+1) x2+(x-1) 2=0 二次項的系數(shù)為-2,則 a=二、典型例題例1:解下列方程:(1) x2= 2(2) 4x21 = 0
5、例2、解下列方程: 22, 、2(x 1)2(x 1)4 0 12(3 x) 3 0推薦例3:用直接開平方法解下列方程1 222 一、 2 一2(1) - 3x 115 0 (2) x 34 2x 1(3) x2 2ax a2 b 04三、課堂練習1 .若方程(x-4) 2=m-6可用直接開平方法解,則m的取值范圍是()A. m> 6 B . o C ,6 D , m=62 .方程(1-x) 2=2的根是()A.-1、3 B.1、-3 C.1-氏、1 + 72 D.&-1、&+13 .方程(3x -1) 2=- 5的解是。4 .用直接開平方法解下列方程:(1)4x 2=9
6、;(2)(x+2) 2=16(3)(2x-1) 2=3;(4)3(2x+1)2=12四、課后練習1、4的平方根是 方程x2 4的解是.222、方程x 11的根是,方程4 x 11的根是.3、當x取 時,代數(shù)式x2 5的值是2;若x2 兩 0,則*=4、關于x的方程3x2 k 1 0若能用直接開平方法來解,則 k的取值范圍是( )A、k>1 B 、k<1C 、k< 1D 、k> 15、解下列方程:2 212(1) -x2 - 0(2) 5x 4 639(3) x 而 x 75 7(4) 2 6 x 2 128 022(6)x 14x2,、22(5) 0.5y2 2 030
7、的兩根,求等腰三角形的6、已知一個等腰三角形的兩邊是方程 4 (x 10)2 面積(3)-配方法一、考點、熱點回顧1、經(jīng)歷探究將一元二次方程的一般式轉(zhuǎn)化為(x + h) 2= k (n>0)形式的過程, 進一步理解配方法的意義;2、填空:(1) x2+6x+ =(x+ ) 2; (2)x 2-2x+=(x- ) 2;(3)x 2-5x+=(x- ) 2; (4)x 2+x+=(x+ ) 2;(5)x 2+px+=(x+ ) 2;3、將方程x2+2x-3=0化為(x+h) 2=k的形式為;小結(jié)1:用配方法解一元二次方程的一般步驟:1、把常數(shù)項移到方程右邊;2、在方程的兩邊各加上一次項系數(shù)的
8、一半的平方,使左邊成為完全平方;3、利用直接開平方法解之。小結(jié)2:當一元二次方程二次項系數(shù)不為1時,用配方法解方程的步驟:二次項系數(shù)化為1;移項;直接開平方法求解.二、典型例題例1 :將下列各進行配方: x2 + 10x+= (x +)25 x x += (x )4例2 :解下列方程:(1) x2 4x 3 0 x2 6x += (x ) x2+bx += (x +)(2) x2 3x 1 015 / 14推薦例3:用配方法解下列關于x的方程:,2(1) x 110 x 19 0(2) x2 6ax 9a2 4b2 0例4:例1解方程:2x2 5x 2 0D 3x2 4x 1 0例5、一個小球
9、垂直向上拋的過程中,它離上拋點的距離h (m與拋出后小球運動的時間t(s)有如下關系:h 24t 5t2。經(jīng)過多少秒后,小球離上拋點的高度 是 16mm推薦例6:求證:對任意實數(shù)x,代數(shù)式x24x 4.5的值恒大于零三、課堂練習1 .完成下列配方過程:(1) x2+8x+=(x+) (2) x2-x+=(x-) (3) x2+4=(x+) 2(4)x2-+9 = (x-)42.若 x2-mx+A. 7549 / =(x+25B.-)2,則m的值為()C.-5D.-1453.用配方法解下列方程:(1)x 2-6x-16=0 ;(2)x(3)x 2+2 <3 x-4=0 ;(4)x4.已知直
10、角三角形的三邊a、b、2+3x-2=0;2Nx-2=0.33c,且兩直角邊a、b滿足等式(a2+b2)2-2(a2+b2)-15=0 ,求斜邊 c 的值5 .用配方法解方程2y2-75 y=1時,方程的兩邊都應加上()A.史 B. 5 C. 丑 D. 2244166 .a2+b2+2a-4b+5=(a+ J 2+(b-)27 .用配方法解下列方程:2x2+1=3x;(2)3y2-y-2=0 ;3x2-4x+1=0;(4)2x2=3-7x.8 .若4x2-(4m-1)x+m2+1是一個完全平方式,求 m.四、課后練習1、用配方法解下列方程:(1)x26x 160(2)x23x 2 0(3)x27
11、 6x(4)x21x -452一 、一.212、把方程x 3x p 0配方,得到x m 一.2(1)求常數(shù)p與m的值;(2)求此方程的解。3、用配方法解方程x2 px q 0( p2 4q 0)4、用配方法解下列方程:(1) x2 15 10x(2) 3x2 12x - 03(3)4 x212& x 1=0(4) 2x2 7x 2 0,(5)3x 2+ 2x 3=0(6) 2x2 4x 5 02、你能用配方法求:當x為何值時,代數(shù)式3x2 6x 5有最大值?(4)-公式法一、考點、熱點回顧1、 把方程 4-x 2=3x 化為 ax2+bx+c=0(a w 0)形式為 , b2-4ac=
12、.2、方程x2+x-1=0的根是。3、方程3x2+2=4x的判別式b2-4ac=,所以方程的根的情況 是.4、一元二次方程x2-4x+4=0的根的情況是()A.有兩個不等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根C.沒有實數(shù)根D.不能確定總結(jié):一元二次方程ax2+bx+c=0(aw0)的根的情況可由 來判斷:當 b2-4ac >0 時,當 b2-4ac=0 時,當 b2-4ac < 0 時,二、典型例題例1:解下列方程:2_ _ 2(1)x 3x 2 0;(2)2x 7x 4變式:1、解方程:(1)2x(x 1) 3;(2)x2 1 x( 2展 x).例2:解下列方程:(1)x2 x 1 0;
13、(2)x2 2 3x 3 0;(3)2x2 2x 1 0.例3:不解方程,判別下列方程根的情況.(1) 2x2+3x+4=0;(2) 2x2-5=6x ;(3) 4x(x-1)-3=0 ;(4) x2+5=2<5 x.題變:1、試說明關于x的方程x2+(2k+1)x+k-1=0必定有兩個不相等的實數(shù)根.推薦例4:當k為何值時,關于x的方程kx2 (2k+1) x + k+3 = 0有兩個不 相等的實數(shù)根?題變:1、已知一元二次方程(m-2)2x2+(2m+1)x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根,求 的取值范圍.三、隨堂練習1 .把方程(2x-1)(x+3)=x 2+1 化為 ax2 + bx
14、 + c = 0 的形式,b2-4ac=方程的根是.2 .方程(x-1)(x-3)=2 的根是()A. x 1=1,x2=3B.x=2 2 .3C.x=2,3D.x=-22.33 .關于x的一元二次方程x2+4x-m=0的一個根是%/5 -2 ,則m=,方程的另 一個根是.4 .若最簡二次根式mm27和J8m 2是同類二次根式,則的值為()A.9 或-1B.-1C.1D.95 .用公式法解下列方程:(1) x2-2x-8=0 ;(2) x2+2x-4=0;(3) 2x2-3x-2=0 ;(4) 3x(3x-2)+1=0.6 .方程(2x+1)(9x+8)=1的根的情況是()A.有兩個不相等的實
15、數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根C.無實數(shù)根D.不能確定7 .關于x的方程x2+2Vkx+1=0有兩個不相等的實數(shù)根,則k()A.k>-1 B.k >-1 C.k >1 D.k >08 .要使關于x的方程kx2-4x+3=0有實數(shù)根,則k應滿足的條件是()A. k<4/3 B.k>4/3 C.k <4/3 D.k >4/39 .已知方程x2-mx+n=0有兩個相等的實數(shù)根,那么符合條件的一組m n的值可以是 m= ,n=.10 .不解方程,判斷下列方程根的情況:(1) 3x2-x+1 = 3x (2) 5 (x2+1) = 7x(3) 3x2-4V3x
16、 = -411 .解下列方程:2_2_(1)x 6x 0;(2)x12x 27 0_ _2(3)2y y 5 0;2_(4)x2 6x 16 0四、課后練習1 .用公式法解方程 &x2+4T3x=2&,其中求的b2-4ac的值是()A.16 B. 4 C. 32D.642 .用公式法解方程x2=-8x-15 ,其中b2-4ac=,方程的根是. 03 .用公式法解方程3x2+4=12x,下列代入公式正確的是()八 12144 1212144 12A.x 1.2= B. x 1.2 =-12144 12-12 .144 48C. x 1,2= D. x 1.2=4 .三角形兩邊長分
17、別是3和5,第三邊的長是方程3x(4)x9 0-10x-8=0的根,則此三角形是 三角形.v25 .如果分式的值為零,那么x= .x 16.用公式法解下列方程:(1) 3y 2-y-2 = 0(2) 2 x2+1 =3x(3)4x 2-3x-1=x-2(4)3x(x-3)= 2(x-1)(x+1)7,下列方程中,沒有實數(shù)根的方程式()A.x2=9B.4x2=3(4x-1)C.x(x+1)=1D.2y2+6y+7=08 .方程ax2+bx+c=0(a w0)有實數(shù)根,那么總成立的式子是()A.b2-4ac>0B. b2-4ac<0C. b 2-4ac < 0D. b2-4ac
18、> 09 .如果方程9x2-(k+6)x+k+1=0有兩個相等的實數(shù)根,那么k= .(4)-因式分解法一、考點、熱點回顧應用回顧:下列哪些方法能用因式分解法解(1)x2 2x 0(2)(x-3)2 (x 3) 02(3)x 1 2(x 1)2 11小結(jié):因式分解法解一元二次方程的一般步驟:1 .將方程的右邊化為02 .將方程左邊因式分解.3 .把原來的一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程.4 .分別解兩個一元一次方程,它們的根就是原方程的根二、典型例題例1:用因式分解法解方程:1 1) x2 4x (2) x 3 x(x 3) 0例2:解方程(2x 1)2 x20三、隨堂練習1 .如果方程x2-3x+c=0有一個根為該方程可化為(x-1 ) (x)2 .方程x2=x的根為()A.x=0 B. x1=0,x2=13 .用因式分解法解下列方程:(1) (x+2) 2=3x+6;(3) 5 (2x-1 ) =(1-2x)(x+3);4 .用適當方法解下列方程:(1) (3x-1 ) 2=1;(3) (2x-1) 2+2(2x-1)=3 ;1,那么c=,該方程的另一根為
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