第6章MATLAB數(shù)值計算

1、1/30第第6章章 MATLAB數(shù)值計算數(shù)值計算6.1 數(shù)據(jù)處理與多項式計算數(shù)據(jù)處理與多項式計算6.2 數(shù)值微積分數(shù)值微積分(略略)6.3 離散傅立葉變換離散傅立葉變換(略略)6.4 線性方程組求解線性方程組求解6.5 非線性方程與最優(yōu)化問題求解非線性方程與最優(yōu)化問題求解(略略)6.6 常微分方程的數(shù)值求解常微分方程的數(shù)值求解(略略)6.7 稀疏矩陣稀疏矩陣(略略)2/306.1 數(shù)據(jù)處理與多項式計算數(shù)據(jù)處理與多項式計算 6.1.1 數(shù)據(jù)統(tǒng)計與分析數(shù)據(jù)統(tǒng)計與分析1. 求矩陣最大元素和最小元素求矩陣最大元素和最小元素MATLAB提供的求數(shù)據(jù)序列的最大值和最小提供的求數(shù)據(jù)序列的最大值和最小值的函數(shù)

2、分別為值的函數(shù)分別為max和和min，兩個函數(shù)的調(diào)，兩個函數(shù)的調(diào)用格式和操作過程類似。用格式和操作過程類似。（1）求向量的最大值和最小值）求向量的最大值和最小值 y=max(X)：返回向量：返回向量X的最大值存入的最大值存入y，如，如果果X中包含復(fù)數(shù)元素，則按模取最大值。中包含復(fù)數(shù)元素，則按模取最大值。3/30 y,I=max(X)：返回向量：返回向量X的最大值存入的最大值存入y，最大，最大值的序號存入值的序號存入I，如果，如果X中包含復(fù)數(shù)元素，則按模中包含復(fù)數(shù)元素，則按模取最大值。取最大值。求向量求向量X的最小值的函數(shù)是的最小值的函數(shù)是min(X)，用法和，用法和max(X)完全相同。完全相

3、同。例例 求向量求向量x的最大值。的最大值。命令如下：命令如下：x=-43,72,9,16,23,47;y=max(x) %求向量求向量x中的最大值中的最大值y,l=max(x) %求向量求向量x中的最大值及其該元素的位置中的最大值及其該元素的位置4/30（2）求矩陣的最大值和最小值）求矩陣的最大值和最小值求矩陣求矩陣A的最大值的函數(shù)有的最大值的函數(shù)有3種調(diào)用格式，分種調(diào)用格式，分別是：別是： max(A)：返回一個行向量，向量的第：返回一個行向量，向量的第i個元個元素是矩陣素是矩陣A的第的第i列上的最大值。列上的最大值。 Y,U=max(A)：返回行向量：返回行向量Y和和U，Y向量向量記錄記

4、錄A的每列的最大值，的每列的最大值，U向量記錄每列最向量記錄每列最大值的行號。大值的行號。5/30 max(A,dim)：dim取取1或或2。dim取取1時，時，該函數(shù)和該函數(shù)和max(A)完全相同；完全相同；dim取取2時，該時，該函數(shù)返回一個列向量，其第函數(shù)返回一個列向量，其第i個元素是個元素是A矩矩陣的第陣的第i行上的最大值。行上的最大值。 求最小值的函數(shù)是求最小值的函數(shù)是min，其用法和，其用法和max完完全相同。全相同。例例6.1 分別矩陣分別矩陣A中各列和各行元素中的最大中各列和各行元素中的最大值，并求整個矩陣的最大值和最小值。值，并求整個矩陣的最大值和最小值。6/301 35 6

5、7 82 56 32 3 57 82 55 6 3101AA=13,-56,78;25,63,-235;78,25,563;1,0,-1;max(A,2) %求每行最大元素min(A,2) %求每行最小元素max(A) %求每列最大元素min(A) %求每列最小元素max(max(A) %求整個矩陣的最大元素。也可使用命令：max(A(:)min(min(A) %求整個矩陣的最小元素。也可使用命令：min(A(:)7/30（3）兩個向量或矩陣對應(yīng)元素的比較）兩個向量或矩陣對應(yīng)元素的比較 函數(shù)函數(shù)max和和min還能對兩個同型的向量或矩陣進行比較，還能對兩個同型的向量或矩陣進行比較，調(diào)用格式為：

6、調(diào)用格式為： U=max(A,B)：A,B是兩個同型的向量或矩陣，結(jié)果是兩個同型的向量或矩陣，結(jié)果U是與是與A,B同型的向量或矩陣，同型的向量或矩陣，U的每個元素等于的每個元素等于A,B對應(yīng)元素的對應(yīng)元素的較大者。較大者。 U=max(A,n)：n是一個標量，結(jié)果是一個標量，結(jié)果U是與是與A同型的向量或同型的向量或矩陣，矩陣，U的每個元素等于的每個元素等于A對應(yīng)元素和對應(yīng)元素和n中的較大者。中的較大者。 min函數(shù)的用法和函數(shù)的用法和max完全相同。完全相同。 8/302. 求矩陣的平均值和中值求矩陣的平均值和中值求數(shù)據(jù)序列平均值的函數(shù)是求數(shù)據(jù)序列平均值的函數(shù)是mean，求數(shù)據(jù)序列中值的函數(shù)，

7、求數(shù)據(jù)序列中值的函數(shù)是是median。兩個函數(shù)的調(diào)用格式為：。兩個函數(shù)的調(diào)用格式為：mean(X)：返回向量：返回向量X的算術(shù)平均值。的算術(shù)平均值。median(X)：返回向量：返回向量X的中值。的中值。mean(A)：返回一個行向量，其第：返回一個行向量，其第i個元素是個元素是A的第的第i列的算術(shù)列的算術(shù)平均值。平均值。median(A)：返回一個行向量，其第：返回一個行向量，其第i個元素是個元素是A的第的第i列的中列的中值。值。mean(A,dim)：當：當dim為為1時，該函數(shù)等同于時，該函數(shù)等同于mean(A)；當；當dim為為2時，返回一個列向量，其第時，返回一個列向量，其第i個元素

8、是個元素是A的第的第i行的算術(shù)行的算術(shù)平均值。平均值。median(A,dim)：當：當dim為為1時，該函數(shù)等同于時，該函數(shù)等同于median(A)；當；當dim為為2時，返回一個列向量，其第時，返回一個列向量，其第i個元素是個元素是A的第的第i行的行的中值。中值。9/303. 矩陣元素求和與求積矩陣元素求和與求積數(shù)據(jù)序列求和與求積的函數(shù)是數(shù)據(jù)序列求和與求積的函數(shù)是sum和和prod，其使用方法類似。設(shè)其使用方法類似。設(shè)X是一個向量，是一個向量，A是一是一個矩陣，函數(shù)的調(diào)用格式為：個矩陣，函數(shù)的調(diào)用格式為：sum(X)：返回向量：返回向量X各元素的和。各元素的和。prod(X)：返回向量：返

9、回向量X各元素的乘積。各元素的乘積。sum(A)：返回一個行向量，其第：返回一個行向量，其第i個元素是個元素是A的第的第i列的元素和。列的元素和。10/30prod(A)：返回一個行向量，其第：返回一個行向量，其第i個元素是個元素是A的第的第i列的元素乘積。列的元素乘積。sum(A,dim)：當：當dim為為1時，該函數(shù)等同于時，該函數(shù)等同于sum(A)；當；當dim為為2時，返回一個列向量，時，返回一個列向量，其第其第i個元素是個元素是A的第的第i行的各元素之和。行的各元素之和。prod(A,dim)：當：當dim為為1時，該函數(shù)等同于時，該函數(shù)等同于prod(A)；當；當dim為為2時，返

10、回一個列向量，時，返回一個列向量，其第其第i個元素是個元素是A的第的第i行的各元素乘積。行的各元素乘積。11/304. 矩陣元素累加和與累乘積矩陣元素累加和與累乘積在在MATLAB中，使用中，使用cumsum和和cumprod函數(shù)能方便地求得函數(shù)能方便地求得向量和矩陣元素的累加和與累乘積向量，函數(shù)的調(diào)用格式向量和矩陣元素的累加和與累乘積向量，函數(shù)的調(diào)用格式為：為：cumsum(X)：返回向量：返回向量X累加和向量。累加和向量。cumprod(X)：返回向量：返回向量X累乘積向量。累乘積向量。cumsum(A)：返回一個矩陣，其第：返回一個矩陣，其第i列是列是A的第的第i列的累加和向列的累加和向

11、量。量。cumprod(A)：返回一個矩陣，其第：返回一個矩陣，其第i列是列是A的第的第i列的累乘積列的累乘積向量。向量。cumsum(A,dim)：當：當dim為為1時，該函數(shù)等同于時，該函數(shù)等同于cumsum(A)；當當dim為為2時，返回一個矩陣，其第時，返回一個矩陣，其第i行是行是A的第的第i行的累加行的累加和向量。和向量。cumprod(A,dim)：當：當dim為為1時，該函數(shù)等同于時，該函數(shù)等同于cumprod(A)；當當dim為為2時，返回一個向量，其第時，返回一個向量，其第i行是行是A的第的第i行的累乘行的累乘積向量。積向量。12/307. 排序排序MATLAB中對向量中對向

12、量X是排序函數(shù)是是排序函數(shù)是sort(X)，函數(shù)返，函數(shù)返回一個對回一個對X中的元素按升序排列的新向量。中的元素按升序排列的新向量。sort函數(shù)也可以對矩陣函數(shù)也可以對矩陣A的各列或各行重新排序，其的各列或各行重新排序，其調(diào)用格式為：調(diào)用格式為：Y,I=sort(A,dim)其中其中dim指明對指明對A的列還是行進行排序。若的列還是行進行排序。若dim=1，則按列排；若則按列排；若dim=2，則按行排。，則按行排。Y是排序后的矩是排序后的矩陣，而陣，而I記錄記錄Y中的元素在中的元素在A中位置。中位置。Note:不同版本此函數(shù)可選參數(shù)不同。13/30例例6.6 對下列矩陣做各種排序。A=1,-8

13、,5;4,12,6;13,7,-13;sort(A) %對A的每列按升序排序-sort(-A,2) %對A的每行按降序排序 X,I=sort(A) %對A按列排序，并將每個元素所在行號送矩陣I137136124581AZhou yi14/306.1.4 多項式計算多項式計算1. 多項式的四則運算多項式的四則運算（1）多項式的加減運算）多項式的加減運算（2）多項式乘法運算）多項式乘法運算函數(shù)函數(shù)conv(P1,P2)用于求多項式用于求多項式P1和和P2的乘積。的乘積。這里，這里，P1、P2是兩個多項式系數(shù)向量。是兩個多項式系數(shù)向量。note:非等高次多項式相加減時缺項補零。15/30（3）多項式

14、除法）多項式除法函數(shù)函數(shù)Q,r=deconv(P1,P2)用于對多項式用于對多項式P1和和P2作除作除法運算。其中法運算。其中Q返回多項式返回多項式P1除以除以P2的商式，的商式，r返返回回P1除以除以P2的余式。這里，的余式。這里，Q和和r仍是多項式系數(shù)仍是多項式系數(shù)向量。向量。deconv是是conv的逆函數(shù)，即有的逆函數(shù)，即有P1=conv(P2,Q)+r。16/302. 多項式的導(dǎo)函數(shù)多項式的導(dǎo)函數(shù)對多項式求導(dǎo)數(shù)的函數(shù)是：對多項式求導(dǎo)數(shù)的函數(shù)是：p=polyder(P)：求多項式：求多項式P的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)p=polyder(P,Q)：求：求PQ的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)p,q=polyder(

15、P,Q)：求：求P/Q的導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)的分的導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)的分子存入子存入p，分母存入，分母存入q。上述函數(shù)中，參數(shù)上述函數(shù)中，參數(shù)P,Q是多項式的向量表示，結(jié)果是多項式的向量表示，結(jié)果p,q也是多項式的向量表示。也是多項式的向量表示。17/303. 多項式求值多項式求值MATLAB提供了兩種求多項式值的函數(shù)：提供了兩種求多項式值的函數(shù)：polyval與與polyvalm，它們的輸入?yún)?shù)均為多項式系數(shù)向量，它們的輸入?yún)?shù)均為多項式系數(shù)向量P和自變量和自變量x。兩者的區(qū)別在于前者是代數(shù)多項式求。兩者的區(qū)別在于前者是代數(shù)多項式求值，而后者是矩陣多項式求值。值，而后者是矩陣多項式求值。18/30(1

16、)代數(shù)多項式求值代數(shù)多項式求值polyval函數(shù)用來求代數(shù)多項式的值，其調(diào)用函數(shù)用來求代數(shù)多項式的值，其調(diào)用格式為：格式為：Y=polyval(P,x)若若x為一數(shù)值，則求多項式在該點的值；若為一數(shù)值，則求多項式在該點的值；若x為向量或矩陣，則對向量或矩陣中的每個為向量或矩陣，則對向量或矩陣中的每個元素求其多項式的值。元素求其多項式的值。例例6.14 已知多項式已知多項式x4+8x3-10，分別取，分別取x=1.2和和一個一個23矩陣為自變量計算該多項式的值。矩陣為自變量計算該多項式的值。A=1,8,0,0,-10; % 4次多項式系數(shù)x=1.2; % 取自變量為一數(shù)值y1=polyval(A

17、,x)x=-1,1.2,-1.4;2,-1.8,1.6 % 給出一個矩陣xy2=polyval(A,x) % 分別計算矩陣x中各元素為自變量的多項式之值19/304. 多項式求根多項式求根n次多項式具有次多項式具有n個根，當然這些根可能是實個根，當然這些根可能是實根，也可能含有若干對共軛復(fù)根。根，也可能含有若干對共軛復(fù)根。MATLAB提供的提供的roots函數(shù)用于求多項式的函數(shù)用于求多項式的全部根，其調(diào)用格式為：全部根，其調(diào)用格式為：x=roots(P)其中其中P為多項式的系數(shù)向量，求得的根賦給向為多項式的系數(shù)向量，求得的根賦給向量量x，即，即x(1),x(2),x(n)分別代表多項式的分別代

18、表多項式的n個根。個根。20/30例例6.16 求多項式求多項式x4+8x3-10的根。的根。命令如下：命令如下：A=1,8,0,0,-10;x=roots(A)若已知多項式的全部根，則可以用若已知多項式的全部根，則可以用poly函數(shù)建立起函數(shù)建立起該多項式，其調(diào)用格式為：該多項式，其調(diào)用格式為：P=poly(x)若若x為具有為具有n個元素的向量，則個元素的向量，則poly(x)建立以建立以x為其為其根的多項式，且將該多項式的系數(shù)賦給向量根的多項式，且將該多項式的系數(shù)賦給向量P。Zhou san zhou si21/30例例6.17 已知已知(1) 計算計算f(x)=0 的全部根。的全部根。(

19、2) 由方程由方程f(x)=0的根構(gòu)造一個多項式的根構(gòu)造一個多項式g(x)，并，并與與f(x)進行對比。進行對比。命令如下：命令如下：P=3,0,4,-5,-7.2,5;%缺項補零缺項補零X=roots(P) %求方程求方程f(x)=0的根的根G=poly(X) %求多項式求多項式g(x)52 . 7543)(235xxxxxf22/306.4 線性方程組求解線性方程組求解6.4.1 直接解法直接解法1利用左除運算符的直接解法利用左除運算符的直接解法對于線性方程組對于線性方程組Ax=b，可以利用左除運算符，可以利用左除運算符“”求解：求解： x=Ab23/30例例6.24 用直接解法求解下列線

20、性方程組。用直接解法求解下列線性方程組。命令如下：命令如下：A=2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4;b=13,-9,6,0;x=Ab04662975135243214324214321xxxxxxxxxxxxxx24/302利用矩陣的分解求解線性方程組利用矩陣的分解求解線性方程組(略略)矩陣分解是指根據(jù)一定的原理用某種算法將一個矩陣分解成矩陣分解是指根據(jù)一定的原理用某種算法將一個矩陣分解成若干個矩陣的乘積。常見的矩陣分解有若干個矩陣的乘積。常見的矩陣分解有LU分解、分解、QR分解、分解、Cholesky分解，以及分解，以及Schur分解、分解、Hessen

21、berg分解、奇異分解、奇異分解等。分解等。25/306.4.3 求線性方程組的通解求線性方程組的通解線性方程組的求解分為兩類：一類是求方程組的唯線性方程組的求解分為兩類：一類是求方程組的唯一解即特解，另一類是求方程組的無窮解即通解。一解即特解，另一類是求方程組的無窮解即通解。這里對線性方程組這里對線性方程組Ax=b的求解理論作一個歸納。的求解理論作一個歸納。(1)當系數(shù)矩陣當系數(shù)矩陣A是一個滿秩方陣時，方程是一個滿秩方陣時，方程Ax=b稱為稱為恰定方程，方程有惟一解恰定方程，方程有惟一解x=A-1b，這是最基本的，這是最基本的一種情況。一般用一種情況。一般用x=Ab求解速度更快。求解速度更快

22、。(2)當方程組右端向量當方程組右端向量b=0時，方程稱為齊次方程組。時，方程稱為齊次方程組。齊次方程組總有零解，因此稱解齊次方程組總有零解，因此稱解x=0為平凡解。為平凡解。當系數(shù)矩陣當系數(shù)矩陣A的秩小于的秩小于n(n為方程組中未知變量的為方程組中未知變量的個數(shù)個數(shù))時，齊次方程組有無窮多個非平凡解，其通時，齊次方程組有無窮多個非平凡解，其通解中包含解中包含n-rank(A)個線性無關(guān)的解向量，用個線性無關(guān)的解向量，用MATLAB的函數(shù)的函數(shù)null(A,r)可求得基礎(chǔ)解系。可求得基礎(chǔ)解系。26/30(3)當方程組右端向量當方程組右端向量b0時，系數(shù)矩陣的秩時，系數(shù)矩陣的秩rank(A)與其增廣矩陣的秩與其增廣矩陣的秩rank(A,b)是判斷其是否有解是判斷其是否有解的基本條件：的基本條件：當當rank(A)=rank(A,b)=n時，方程組有惟一解：時，方程組有惟一解：x=Ab 。當當rank(A)=rank(A,b)n時，方程組有無窮多個時，方程組有無窮多個解，其通解解，其通解=方程組的一個特解方程組的一個特解+對應(yīng)的齊次方程對應(yīng)的齊次方程組組Ax=0的通解?？梢杂玫耐ń??？梢杂肁b求得方程組的一