直線的參數(shù)方程(用)

1、直線的參數(shù)方程請(qǐng)同學(xué)們回憶:我們學(xué)過(guò)的直線的普通方程都有哪些?兩點(diǎn)式:112121yyxxyyxx點(diǎn)斜式:00()yyk xxykxb1xyab一般式:0AxByC截距式：截距式：斜截式：斜截式：000問(wèn)題：已知一條直線過(guò)點(diǎn)M (x ,y )，傾斜角 ， 求這條直線的方程.M0(x0,y0)M(x,y)e(cos ,sin )0M M xOy解：解： 在直線上在直線上任任取一點(diǎn)取一點(diǎn)M(x,y),則則00, ) ()x yxy（00(,)xxyyel設(shè) 是直線 的單位方向向量，則(cos ,sin)e00/ ,M MetRM Mte 因?yàn)樗源嬖趯?shí)數(shù)使即00(,)(cos,sin)xxyyt0

2、0cos ,sinxxtyyt00cos,sinxxtyyt即，000問(wèn)題：已知一條直線過(guò)點(diǎn)M (x ,y )，傾斜角 ， 求這條直線的方程求這條直線的方程.M0(x0,y0)M(x,y)exOy00cos,sinxxtyyt即，00cossinxxttyyt所以，該直線的參數(shù)方程為（ 為參數(shù)）0,M Mtelt 由你能得到直線 的參數(shù)方程中參數(shù) 的幾何意義嗎？|t|=|M0M|xyOM0Me解解:0M Mte 0M Mte 1ee又是單位向量，0M Mt e t所以所以, ,直線參數(shù)方程中參直線參數(shù)方程中參數(shù)數(shù)t t的絕對(duì)值等于直線上的絕對(duì)值等于直線上動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)M M到定點(diǎn)到定點(diǎn)M M0 0的

3、距離的距離. .這就是這就是t的幾何的幾何意義意義,要牢記要牢記直線的參數(shù)方程直線的參數(shù)方程( (標(biāo)準(zhǔn)式）標(biāo)準(zhǔn)式）)(sinyycosxx00為為參參數(shù)數(shù)直直線線的的參參數(shù)數(shù)方方程程ttt 0000000000(x ,),;()t,), )(.yyyk xxxxMxyM x yMM P其中時(shí)直線上的定點(diǎn)是傾斜角 其對(duì)應(yīng)的普通方程為或。表示幾何意義：（到直線上的點(diǎn) （不同于點(diǎn)）的有向線段的數(shù)量注意向量工具的使用注意向量工具的使用.此時(shí)此時(shí),若若t0,則則 的方向向上的方向向上;若若t0,則則 的點(diǎn)方向向下的點(diǎn)方向向下; 若若t=0,則則M與點(diǎn)與點(diǎn)M0重合重合.MM0MM0exM(x,y)OM0(

4、x0,y0)y|t|=|M0M|并且，直線參數(shù)方程中參數(shù)并且，直線參數(shù)方程中參數(shù)t t的絕對(duì)值等于直線上動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)值等于直線上動(dòng)點(diǎn)M M到到定點(diǎn)定點(diǎn)M M0 0的距離的距離. .M0（x0，y0） M（x，y）xyO是參數(shù)）ttyytxx(sincos00t表示有向線段表示有向線段M0P的數(shù)量。的數(shù)量。|t|=| M0M|t只有在只有在標(biāo)準(zhǔn)式標(biāo)準(zhǔn)式中中才有上述幾何意義才有上述幾何意義 設(shè)設(shè)A,BA,B為直線上任意兩點(diǎn)，它們所對(duì)應(yīng)的參為直線上任意兩點(diǎn)，它們所對(duì)應(yīng)的參數(shù)值分別為數(shù)值分別為t t1 1,t,t2 2. .（1 1）|AB|AB| （2 2）M M是是ABAB的中點(diǎn)，求的中點(diǎn)，求M M

5、對(duì)應(yīng)的參數(shù)對(duì)應(yīng)的參數(shù)值值21tt 221tt AB00210tttM為為中中點(diǎn)點(diǎn)若若,sin203(cos20ooxttyt 2。直線為參數(shù)）的傾斜角是.20oA.70oB.110oC.160oD練習(xí)練習(xí)C的傾斜角為參數(shù)求直線)(20cos20sin2. 1ttytx cos42cos3.(sin2sin(xtxtytay直線為參數(shù)）與圓為參數(shù)）相切，則直線傾斜角 為( )56A. 或63.44B或2.33C或5.66D或A1124.(3520,xttyt 一條直線的參數(shù)方程是為參數(shù)），另一條直線的方程是x-y-2 3則兩直線的交點(diǎn)與點(diǎn)（1，-5）間的距離是4 3 由于選取的參數(shù)不同，曲線有不

6、同的參數(shù)由于選取的參數(shù)不同，曲線有不同的參數(shù)方程；一般地，同一條曲線，可以選取不同的方程；一般地，同一條曲線，可以選取不同的變數(shù)為參數(shù)，因此得到的參數(shù)方程也可以有不變數(shù)為參數(shù)，因此得到的參數(shù)方程也可以有不同的形式。形式不同的參數(shù)方程，它們表示同的形式。形式不同的參數(shù)方程，它們表示 的曲線可以是相同的。的曲線可以是相同的。 另外，在建立曲線的參數(shù)時(shí)，要注明參數(shù)及另外，在建立曲線的參數(shù)時(shí)，要注明參數(shù)及參數(shù)的取值范圍。參數(shù)的取值范圍。普通方程化為參數(shù)方程需要普通方程化為參數(shù)方程需要引入?yún)?shù)引入?yún)?shù)2219413cos ,22 ,.xyxyt t 求橢圓的參數(shù)方程（ ）設(shè)為參數(shù)。（ ）設(shè)為參數(shù)普通方程

7、化為參數(shù)方程需要普通方程化為參數(shù)方程需要引入?yún)?shù)引入?yún)?shù)).(sincos:,sin,sin,coscos:為為參參數(shù)數(shù)的的參參數(shù)數(shù)方方程程是是所所以以橢橢圓圓的的任任意意性性，取取由由參參數(shù)數(shù)即即代代入入方方程程，得得）把把解解 23149221499312222yxyxyyyx)()(為為參參數(shù)數(shù)和和為為參參數(shù)數(shù)的的參參數(shù)數(shù)方方程程是是橢橢圓圓，則則代代入入方方程程，得得）把把（ttytxttytxyxtxtxty213213149131449222222222.,22,cos3114922為參數(shù)）設(shè)（為參數(shù)。）設(shè)（的參數(shù)方程求橢圓ttyxyx直線的參數(shù)方程可以寫(xiě)成這樣的形式直線的參數(shù)方程

8、可以寫(xiě)成這樣的形式:2202211abttM Mabt當(dāng)時(shí)，有明確的幾何意義，即當(dāng)時(shí)，沒(méi)有明確的幾何意義。00(xxattyybt為參數(shù)）|tbaMM220|212221ttbaMM直線的參數(shù)方程一般式直線的參數(shù)方程一般式:21.:10l xyyx 例 已知直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)度和點(diǎn)M(-1,2)到A,B兩點(diǎn)的距離之積。分析分析:3.點(diǎn)點(diǎn)M是否在直線上是否在直線上1.用普通方程去解還用普通方程去解還是用參數(shù)方程去解是用參數(shù)方程去解;2.分別如何解分別如何解.ABM(-1,2)xyO例題選講例題選講21.:10l xyyx 例 已知直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)

9、度和點(diǎn)M(-1,2)到A,B兩點(diǎn)的距離之積。例1ABM(-1,2)xyO解：因?yàn)榘腰c(diǎn)解：因?yàn)榘腰c(diǎn)M的坐標(biāo)代入的坐標(biāo)代入直線方程后直線方程后,符合直線方程符合直線方程,所以點(diǎn)所以點(diǎn)M在直線上在直線上.(2sintyt3x=-1+tcos4為參數(shù)）34所以直線的參數(shù)方程可以寫(xiě)成212(222xttyt 即為參數(shù)）把它代入拋物線把它代入拋物線y=xy=x2 2的方程的方程, ,得得2220tt t由參數(shù) 的幾何意義得1210ttAB121 22MAMBttt tABM(-1,2)xyO222121tttt,.),(.之之間間的的距距離離的的交交點(diǎn)點(diǎn)與與，求求此此直直線線與與傾傾斜斜角角為為過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)一

10、一直直線線006234431PyxPl .,)(|;|.BA,x),(.2的的坐坐標(biāo)標(biāo)求求交交點(diǎn)點(diǎn)）求求弦弦長(zhǎng)長(zhǎng)（兩兩點(diǎn)點(diǎn)相相交交與與與與圓圓，傾傾斜斜角角為為過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)直直線線BAABylPl217604220 例題選講例題選講3.動(dòng)點(diǎn)M作勻速直線運(yùn)動(dòng),它在x軸和y軸方向的分速度分別是3m/s和4m/s,直角坐標(biāo)系的長(zhǎng)度單位是1cm,點(diǎn)M的起始位置在點(diǎn)M0(2,1)處,求點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程.32(41xttyt為參數(shù)）(415ttyt 3x=2+5為參數(shù)）練習(xí)練習(xí)1. 求（線段）弦長(zhǎng)求（線段）弦長(zhǎng)3. 求軌跡問(wèn)題求軌跡問(wèn)題2. 線段的中點(diǎn)問(wèn)題線段的中點(diǎn)問(wèn)題直線參數(shù)方程的應(yīng)用直線參數(shù)方程的應(yīng)用

11、小結(jié):1.直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)式直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)式0cos(sinttyyt0 x=x是參數(shù)）|t|=|M0M|00(xxattyybt為參數(shù)）2.直線參數(shù)方程的一般式直線參數(shù)方程的一般式2202211abttM Mabt當(dāng)時(shí)，有明確的幾何意義，即當(dāng)時(shí)，沒(méi)有明確的幾何意義。|tbaMM220|212221ttbaMM12:44022043120lxylxylxy1。求直線與 ：及直線：所得兩交點(diǎn)間的距離。9 1714作業(yè)作業(yè)2242.(410 xattxyxybt 如直線為參數(shù)）與曲線相切，則這條直線的傾斜角等于233或.,)2(|;|1.BA,7x6),0 , 4(.3220的坐標(biāo)求交點(diǎn)）求弦長(zhǎng)（兩點(diǎn)相交與與圓，傾斜角為過(guò)點(diǎn)直線BAABylPl所交弦長(zhǎng)。所交弦長(zhǎng)。與圓與圓求直線求直線思考：思考：9322122yxtytx分析：此處的分析：此處的t t的系數(shù)平方和不等于的系數(shù)平方和不等于1 1，且，且 3030因此因此t t不具有參數(shù)方程標(biāo)準(zhǔn)式中不具有參數(shù)方程標(biāo)準(zhǔn)式中t t的幾何意的幾