論文《淺談幾何變式訓(xùn)練》

1、淺談幾何變式訓(xùn)練在日常教學(xué)中，我們常常會(huì)遇到這樣的情況：一道題講幾遍仍有許多學(xué)生不會(huì)做；若從不同角度、不同層次或不同背景變化某些題目，學(xué)生就很難體會(huì)它們之間的聯(lián)系，因而也不能順利解決這些問(wèn)題；一些比較新穎的應(yīng)用型題型絕大部分學(xué)生不會(huì)運(yùn)用已有的知識(shí)和模型解決。最近幾年河南省中招數(shù)學(xué)試卷中的第22、23題最后一問(wèn)得分率低正是上述現(xiàn)象的具體體現(xiàn)。如何提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，不僅是提升教育教學(xué)質(zhì)量的要求，也是培養(yǎng)學(xué)生理性思維，具有創(chuàng)新意識(shí)的要求。變式訓(xùn)練是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力和創(chuàng)新意識(shí)的有效途徑。變式訓(xùn)練的實(shí)質(zhì)是根據(jù)學(xué)生的心理特點(diǎn)，在設(shè)計(jì)問(wèn)題

2、時(shí)創(chuàng)設(shè)認(rèn)知和技能的最近發(fā)展區(qū)，誘發(fā)學(xué)生通過(guò)探究、求異思維活動(dòng)，發(fā)展能力，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)。教學(xué)活動(dòng)是師生積極參與、交往互動(dòng)、共同發(fā)展的過(guò)程。有效的教學(xué)活動(dòng)是學(xué)生學(xué)與教師教的統(tǒng)一，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者。數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)應(yīng)激發(fā)學(xué)生興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)造性思維；要注重培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，使學(xué)生掌握恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。教學(xué)中若能充分挖掘典型例題潛在功能，進(jìn)行一題多解、一題多變、多題歸一，定會(huì)收到事半功倍的效果。在解決問(wèn)題的過(guò)程中，教師要善于從橫向、縱向、逆向等方面對(duì)問(wèn)題進(jìn)行整體分析，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，由表及里，揭示問(wèn)題本質(zhì)。這樣才能激發(fā)學(xué)生

3、的學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵(lì)學(xué)生創(chuàng)造性思維，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，掌握恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。下面是筆者在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)幾何習(xí)題變式訓(xùn)練的一點(diǎn)嘗試：一、一題多解，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性一題多解的本質(zhì)是解題方法的變式。這種變式教學(xué)，可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)同一問(wèn)題從不同角度進(jìn)行思考，探求解決同一問(wèn)題的不同策略。對(duì)比不同的解決方法，可以培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維、求異思維和優(yōu)化意識(shí)等，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性。例1:如圖1,已知ABC內(nèi)接于OQAC是O0的直徑，D是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作直線BC的垂線，分別交CBCA勺延長(zhǎng)線E、F.求證：EFD是Q的切線.分析：圓中切線的證明有兩條思路：一是連半徑，證垂直，利用

4、切線的判定定理；二是作垂直，證半徑，利用d=R由于D點(diǎn)位于圓上，應(yīng)該選用第一種思路：連結(jié)QD證明QDLEF。證明QDLEF有兩種思路，第一種證明CE/QD第二種證明/QDE=90各種證法如下：方法1:如圖2,連結(jié)QDQB,則/C/AQB,2vD是AB的中點(diǎn)，二/AQDhBQD/AQB2/C=ZAQD,CE/QD,又TCE!EF,ODLEF,即卩EF3是O的切線方法2:如圖3,連結(jié)OD交AB與G,TD是AB的中點(diǎn)，O是圓心，二AG=BGtOA=OC；.OG/CB,又TCELEF,ODLEF,即卩EF是OO的切線方法3:如圖4,連結(jié)CD、OD,TD是AB的中點(diǎn)，/BCDhDCA,tOC=ODZDC

5、OMCDO,BCDhCDO,CE/OD,又tCELEF,ODLEF,即卩EF是OO的切線方法4:連結(jié)OD交AB與GTD是AB的中點(diǎn)，OD過(guò)圓心，/OGBMDGB=900又tAC是OO的直徑，/ABCMABG=90又T四邊形GDEB勺內(nèi)角和等于3600,，/ODE=90ODLEF,EF是OO的切線.上述幾種解法站在不同角度思考本題,把圓周角定理及推論、三角形中位線定理、垂徑定理的推論、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定、四邊形內(nèi)角和、切線的判定等知識(shí)有機(jī)地聯(lián)系起來(lái)。解決此類問(wèn)題,常采用逆向思維,從要證明的結(jié)論出發(fā),尋求滿足結(jié)論的條件,從而找到不同的問(wèn)題解決策略。二、一題多變,培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性一題

6、多變包括兩種情況,一種是改變命題的結(jié)構(gòu)、呈現(xiàn)形式或問(wèn)題情境；另一種是改變圖形的大小、形狀或位置關(guān)系。一題多變能使學(xué)生透過(guò)紛繁復(fù)雜的題目看到數(shù)學(xué)的本質(zhì),從變中發(fā)現(xiàn)圖形不變的性質(zhì)或從變中找到不變的規(guī)律,達(dá)到觸類旁通,舉一反三的效果,從而減輕學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān),提高教學(xué)質(zhì)量,進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性。（一）改變命題1、變?yōu)槟婷}將命題的題設(shè)和結(jié)論（或部分題設(shè)和結(jié)論）互換，來(lái)研究原命題與其逆命題的關(guān)系，是研究數(shù)學(xué)命題的重要手段，也是數(shù)學(xué)變式的常用方法，同時(shí)還是培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的重要途。例2：已知：如圖6,AABC中，/ACB=90,AC=BC,AE=CFD是AB的中點(diǎn).求證：(1)DE=DF(2)DELDF

7、.AC=BCD是AB的中點(diǎn),AC=BCDE二DFD是AB的變式1:已知：如圖6,AABC中，/ACB=90,DELDF.求證：(1)DE=DF(2)AE=CF.變式2：已知：如圖6,AABC中，/ACB=90,中點(diǎn).求證：（1）AE=CF（2）DELDF.（假命題）這類變式題目解決問(wèn)題的思路一般互逆。2、變證明為計(jì)算將原命題中圖形的某些性質(zhì)賦以具體的值，變定性的關(guān)系為定量關(guān)系。變式3：已知：如圖6,ABC中，/ACB=90,AC=BCD是AB的中點(diǎn),點(diǎn)E、F分別在邊AGBC上，且DELDF,若AE=3BF=5求EF的長(zhǎng).3、改變命題情景在原命題中植入新的知識(shí)，在新的背景之中拓寬對(duì)圖形性質(zhì)的研究

8、。變式4:已知：如圖7,AABC中,AC=BCZACB=90,D為AB的中點(diǎn)，經(jīng)過(guò)CD兩點(diǎn)的圓交AC于E,交BC于F.則圖中的相似三角形有幾對(duì)？（二）改變圖形1、改變圖形的相對(duì)位置，探究變化中不變的規(guī)律改變圖形的相對(duì)位置有三種方法：平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱。利用這三種方法改變圖形的相對(duì)位置時(shí)，圖形的某些性質(zhì)會(huì)保持不變，比如圖形的形狀、大?。挥行┬再|(zhì)會(huì)發(fā)生改變，比如圖形間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，但在圖形的運(yùn)動(dòng)變換過(guò)程中，有些不變的規(guī)律可循，找到這些不變的規(guī)律正是變式訓(xùn)練的目的所在。例3:如圖8,在等邊ABC中，點(diǎn)P是BC邊的中點(diǎn)，PE!AB于E,PF丄AC求證：BD二PE+PF.于F,C1039BDLA

9、C于D,變式1:如圖9,上題中的點(diǎn)P是BC邊上任意一點(diǎn)，其它條件不變，BDPEPF分別用h、hi、h2表示，h二h+h2嗎？變式2:如圖10,變式1中的點(diǎn)P為等邊三角形內(nèi)部任意一點(diǎn)，且PG丄BC于GPG用ha，其它條件不變，則h、n、h2、h3之間有什么關(guān)系？變式3:如圖11,變式2中的點(diǎn)P為等邊三角形外部任意一點(diǎn)，其它條件不變，則h、h1、h2、ha之間有什么關(guān)系？本題說(shuō)明等邊三角形任一邊上任一點(diǎn)到其它兩邊的距離等于該等邊三角形的高，等邊三角形內(nèi)部任一點(diǎn)到三邊的距離和等于該等邊三角形的高。當(dāng)點(diǎn)在等邊三角形一邊上時(shí)，該點(diǎn)到這邊的距離為0,因此，上面兩句話可以概括為一句話“等邊三角形邊上或內(nèi)部任

10、一點(diǎn)到三角形三邊的距離和等于該等邊三角形的高”。另外，當(dāng)點(diǎn)在等邊三角形外部時(shí)，該結(jié)論變?yōu)椤包c(diǎn)到較遠(yuǎn)兩邊的距離和減去到較近一邊的距離等于等邊三角形的高”。例4：用兩個(gè)全等的等邊三角形ABC和厶ACD拼成菱形ABCD.把一個(gè)含60°角的三角板與這個(gè)菱形疊合，使三角板的60°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)A重合，兩邊分別與AB、AC重合，將三角板繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)。（1）如圖12，當(dāng)三角板的兩邊分別與菱形的兩邊BC、CD相交于點(diǎn)E、F時(shí)，通過(guò)觀察或測(cè)量BE、CF的長(zhǎng)度，你能得出什么結(jié)論？并證明你的結(jié)論。（2）如圖13,當(dāng)三角板的兩邊分別與菱形的兩邊BC、CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E、F時(shí)，（1）中的結(jié)

11、論還成立嗎？試說(shuō)明理由。S20S21本題中無(wú)論三角板轉(zhuǎn)到什么位置，只要滿足題目中的條件，BE與CF總相2、改變圖形的形狀，探究變化中不變的規(guī)律題目中的圖形形狀發(fā)生改變時(shí)，圖形的一些性質(zhì)會(huì)保持不變或發(fā)生對(duì)應(yīng)變化。例5：如圖14，C是BD上一點(diǎn)，ABCHCDE是等邊三角形，連接AD和BE,它們交于點(diǎn)F，AC和BE交于點(diǎn)G,AD和CE交于點(diǎn)H,（1）求證：BE=AD（2）BE與AD所在直線的夾角是多少？圖14DEBI)B圖9變式1:如圖15,將原題中的CDE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)ACE共線，AD和BC交于點(diǎn)H,BE和CD交于點(diǎn)G,其它條件不變，BE=AD5成立嗎？BE與AD所在直線的夾角是多少？變式2:將

12、原題中的CDE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)如圖16所示,上述兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？變式3:將本題中兩等邊三角形變成兩等腰直角三角形，/ACBMDCE=90CDE繞點(diǎn)C分別旋轉(zhuǎn)至圖17、18、19位置，BE=AD5成立嗎？BE與AD所在直線的夾角是多少？本題中將兩等邊三角形改成兩直角三角形后，對(duì)應(yīng)兩線段之間的數(shù)量關(guān)系保持不變，它們的夾角隨靠近旋轉(zhuǎn)中心的三角形的內(nèi)角的變化而變化。3、改變圖形的大小，探究變化中不變的規(guī)律題目中的圖形大小發(fā)生改變時(shí)，圖形的一些性質(zhì)會(huì)保持不變或發(fā)生對(duì)應(yīng)變例6:已知ABCDEC，將DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖20位置,求證:(1)BE=AD;(2)BC=BEACAD變式：上題中ABCDEC變成ABC

13、DEC，將DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖21位置，原題中的結(jié)論還成立嗎？本題中兩三角形的關(guān)系由全等變?yōu)橄嗨坪?，線段BE與AD之間的相等關(guān)系不再存在，但對(duì)應(yīng)線段之間的比例關(guān)系保持不變。原題中除得出BE=AD夕卜，還可以得出竺二，這一結(jié)論在兩三角形的關(guān)系由全等變?yōu)橄嗨坪笕猿闪ⅰCAD在圖形發(fā)生變化的變式題目中，變式題目的解決策略基本相同或類似。三、多題歸一，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性多題歸一的本質(zhì)是不同問(wèn)題情境的實(shí)際問(wèn)題可以利用同一數(shù)學(xué)模型來(lái)解決。多題歸一可以讓學(xué)生通過(guò)對(duì)比、分析、抽象、概括，發(fā)現(xiàn)一類問(wèn)題的共同特點(diǎn)，從而培養(yǎng)學(xué)生的抽象、概括能力和思維的廣闊性。例6：如圖20，直線I上有2個(gè)點(diǎn)，則圖中有2條可用

14、圖中字母表示的射線，有1條線段。圖二圖22變式1：如圖21，直線上有3個(gè)點(diǎn)，則圖中有條可用圖中字母表示的射線，有條線段。變式2：若直線上有n個(gè)點(diǎn)，則圖中有條可用圖中字母表示的射線，有條線段。變式3：平面上有n個(gè)點(diǎn)，任意三點(diǎn)不在一條直線上，那么過(guò)兩點(diǎn)畫一條直線，共可畫條直線變式4:一條線段上，除去兩端點(diǎn)外有n個(gè)點(diǎn)，線段外一點(diǎn)與線段上各點(diǎn)連結(jié)，可得到個(gè)三角形。變式5：某校七年級(jí)有6個(gè)班級(jí)進(jìn)行足球比賽，準(zhǔn)備進(jìn)行單循環(huán)比賽（即每?jī)申?duì)之間賽一場(chǎng)），預(yù)計(jì)全部賽完共需場(chǎng)比賽。變式6：某次國(guó)際會(huì)議上，各國(guó)領(lǐng)導(dǎo)人見(jiàn)面后，兩兩握手，若參會(huì)人員100人，則共握手次。變式7：往返于甲、乙兩地的火車，中途要停靠10個(gè)站，則有種不同的票價(jià)（來(lái)回的票價(jià)一樣），需準(zhǔn)備種車票。本題中的幾個(gè)題目看似風(fēng)馬牛不相及，但它們均可以利用數(shù)線段這個(gè)模型來(lái)解決，因此解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是找到對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。幾何變式訓(xùn)練，可以引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與教學(xué)活動(dòng)，在獲取知識(shí)的同時(shí)，激發(fā)他們強(qiáng)烈的求知欲和創(chuàng)造欲，從而得到提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效益的目的；幾何變式訓(xùn)練，可以培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性、思維的深刻性、思維的靈活性等；幾何變式訓(xùn)練，可以培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，進(jìn)而獲得可持續(xù)發(fā)展的