線性代數(shù)行列式基本概念

1、. .目錄一、行列式2二、矩陣特征值2三、正定矩陣2四、幺模矩陣3五、順序主子陣4六、正定二次型6七、矩陣的秩6八、初等變換elementary transformation7一、行列式見ppt。二、矩陣特征值設(shè) A 是n階方陣，如果存在數(shù)m和非零n維列向量 x，使得 Ax=mx 成立，那么稱 m 是A的一個(gè)特征值characteristic value)或本征值eigenvalue)。非零n維列向量x稱為矩陣A的屬于對應(yīng)于特征值m的特征向量或本征向量，簡稱A的特征向量或A的本征向量。 求矩陣特征值的方法 Ax=mx，等價(jià)于求m，使得(mE-A)x=0，其中E是單位矩陣，0為零矩陣。 |mE-

2、A|=0，求得的m值即為A的特征值。|mE-A| 是一個(gè)n次多項(xiàng)式，它的全部根就是n階方陣A的全部特征值，這些根有可能相重復(fù)，也有可能是復(fù)數(shù)。如果n階矩陣A的全部特征值為m1 m2 . mn，那么|A|=m1*m2*.*mn 如果n階矩陣A滿足矩陣多項(xiàng)式方程g(A)=0, 那么矩陣A的特征值m一定滿足條件g(m)=0;特征值m可以從解方程g(m)=0求得。三、正定矩陣設(shè)M是n階實(shí)系數(shù)對稱矩陣， 如果對任何非零向量 X=(x_1,.x_n)，都有 XMX>0(X'為X的轉(zhuǎn)置矩陣 )，就稱M正定(Positive Definite)。 正定矩陣在相合變換下可化為標(biāo)準(zhǔn)型， 即單位矩陣。

3、 所有特征值大于零的對稱矩陣或厄米矩陣也是正定矩陣。 另一種定義：一種實(shí)對稱矩陣.正定二次型f(x1,x2,xn)=XAX的矩陣A(A)稱為正定矩陣. 判定定理1：對稱陣A為正定的充分必要條件是：A的特征值全為正。 判定定理2：對稱陣A為正定的充分必要條件是：A的各階順序主子式都為正。 判定定理3：任意陣A為正定的充分必要條件是：A合同于單位陣。 正定矩陣的性質(zhì)： 1.正定矩陣一定是非奇異的。非奇異矩陣的定義：假設(shè)n階矩陣A的行列式不為零，即 |A|0，那么稱A為非奇異矩2.正定矩陣的任一主子矩陣也是正定矩陣。 3.假設(shè)A為n階對稱正定矩陣，那么存在唯一的主對角線元素都是正數(shù)的下三角陣L，使得

4、A=L*L，此分解式稱為正定矩陣的喬列斯基Cholesky分解。四、幺模矩陣英文名稱Unimodular Matrix 定義數(shù)學(xué)上，幺模矩陣是所有項(xiàng)都是整數(shù)而且行列式為1或-1的方陣。而幺模矩陣的逆還是幺模矩陣，所以所有的幺模矩陣構(gòu)成一個(gè)乘法群。 特殊的幺模矩陣單位矩陣是一個(gè)特殊的幺模矩陣 矩陣的行初等變換對應(yīng)于一個(gè)方陣，而其中交換兩行的初等變換對于于左乘一個(gè)行列式為-1的幺模矩陣，將一行的k倍(k為整數(shù))累加到另外一行對于與一個(gè)行列式為-1的幺模矩陣。不定方程中的作用對于二次型，我們可以將它寫成矩陣形式f(x)=x'Ax，其中A是一個(gè)整系數(shù)對稱方陣。如果T是一個(gè)幺模矩陣，那么二次型x

5、'T'ATx和上面的二次型有一樣的值域，也就是說不定方程x'Ax=c有解的充分必要條件是對某個(gè)幺模矩陣，不定方程x'T'ATx=c有解。特別的，如果A是二階或三階的整系數(shù)正定對稱矩陣，如果其行列式為1，那么存在幺模矩陣T使得A關(guān)于T合同與單位陣I,即A=T'T. 比方，利用這個(gè)結(jié)論，我們可以證明，任意一個(gè)正整數(shù)不能夠表示成三個(gè)整數(shù)平方和的充分必要條件是它形如4a(8k+7).為此，對于不是上面形式的整數(shù)n,我們只需要構(gòu)造一個(gè)行列式為1的三階整系數(shù)對稱正定陣，其值域能夠取到n即可。 計(jì)算機(jī)科學(xué)中的用途在編譯器優(yōu)化中，幺模矩陣在對于循環(huán)語句的優(yōu)化有著

6、非常重要的作用。其中，關(guān)于循環(huán)語句的最常用的優(yōu)化變換比方循環(huán)交換，循環(huán)倒置和循環(huán)扭曲都可以統(tǒng)一通過幺模矩陣來表示，以至于編譯器中將這一類變換稱為幺模變換。五、順序主子陣概念n 階行列式的i 階順序主子式是i 階主 順序主子式一般形式子式的特殊情況。 n 階行列式的i 階順序主子式是在i 階主子式的定義中，由1i 行和1i 列所確定的子式。 例如： 1階時(shí)：取第1行，第1列。 2階時(shí)：取第1、2行，第1、2列。 3階時(shí)：取第1、2、3行，第1、2、3列。 4階時(shí)：取第1、2、3、4行，第1、2、3、4列。 以此類推。 舉例對一個(gè)三階3x3矩陣 順序主子式對于矩陣： a b c d e f g h

7、 i 一階順序主子陣a 二階順序主子陣a b d e 三階順序主子陣a b c d e f g h i n階矩陣A，順序取A的前k行前k列構(gòu)成的矩陣稱為A的k階順序主子陣，其行列式稱為A的k階順序主子式 。 比方，有順序 138264 那么此排列的順序主子式按從大到小或從小到大為 123468 或864321 應(yīng)用判斷二次型正定n元二次型是正定二次型的充分必要條件是二次型矩陣的順序主子式全大于零。 矩陣的三角分解n*n方陣A可以唯一分解為A=LDU的充分必要條件是A的前n-1個(gè)順序主子式皆不為零，其中L是單位下三角矩陣，U是單位上三角矩陣，D=diagd1，d2,.,dn),而d1=1，dk=

8、k/k-1k=1，2，.，n，k為A的第k個(gè)順序主子式。六、正定二次型見ppt。七、矩陣的秩概述矩陣的秩是反映矩陣固有特性的一個(gè)重要概念。 設(shè)A是一組向量，定義A的極大無關(guān)組中向量的個(gè)數(shù)為A的秩。 定義1. 在m*n矩陣A中，任意決定k行和k列穿插點(diǎn)上的元素構(gòu)成A的一個(gè)k階子矩陣，此子矩陣的行列式，稱為A的一個(gè)k階子式。 例如，在階梯形矩陣中，選定1，3行和3，4列，它們穿插點(diǎn)上的元素所組成的2階子矩陣的行列式 就是矩陣A的一個(gè)2階子式。 定義2. A=(aij)m×n的不為零的子式的最大階數(shù)稱為矩陣A 的秩，記作rA，或rankA或R(A)。 特別規(guī)定零矩陣的秩為零。 顯然rAmi

9、n(m,n) 易得： 假設(shè)A中至少有一個(gè)r階子式不等于零，且在r<min(m,n)時(shí)，A中所有的r+1階子式全為零，那么A的秩為r。 由定義直接可得n階可逆矩陣的秩為n，通常又將可逆矩陣稱為滿秩矩陣, det(A)&sup1; 0；不滿秩矩陣就是奇異矩陣，det(A)=0。 由行列式的性質(zhì)1(1.54)知，矩陣A的轉(zhuǎn)置AT的秩與A的秩是一樣的。 例1. 計(jì)算下面矩陣的秩， 而A的所有的三階子式，或有一行為零；或有兩行成比例，因而所有的三階子式全為零，所以rA=2。 矩陣的秩 引理 設(shè)矩陣A=(aij)sxn的列秩等于A的列數(shù)n，那么A的列秩，秩都等于n。 定理 矩陣的行秩，列秩，

10、秩都相等。 定理 初等變換不改變矩陣的秩。 定理 矩陣的乘積的秩Rab<=minRa,Rb; 當(dāng)r(A)<=n-2時(shí)，最高階非零子式的階數(shù)<=n-2，任何n-1階子式均為零，而伴隨陣中的各元素就是n-1階子式再加上個(gè)正負(fù)號，所以伴隨陣為0矩陣。 當(dāng)r(A)<=n-1時(shí)，最高階非零子式的階數(shù)<=n-1，所以n-1階子式有可能不為零，所以伴隨陣有可能非零等號成立時(shí)伴隨陣必為非零。 變化規(guī)律(1)轉(zhuǎn)置后秩不變 (2)r(A)<=min(m,n),A是m*n型矩陣(3)r(kA)=r(A),k不等于0 (4)r(A)=0 <=> A=0 (5)r(A+B

11、)<=r(A)+r(B) (6)r(AB)<=min(r(A),r(B) (7)r(A)+r(B)-n<=r(AB) 特別的：A:m*n,B:n*s,AB=0 -> r(A)+r(B)<=n (8)P,Q為可逆矩陣, 那么 r(PA)=r(A)=r(AQ)=r(PAQ)八、初等變換elementary transformation線性方程組的初等變換我們稱對方程組的換法變換、倍法變換、消法變換為線性方程組的初等變換。 換法變換：交換兩個(gè)方程的位置。即rirj(或?qū)α凶儞Qcicj) 倍法變換：用一個(gè)非零數(shù)乘某一個(gè)方程。即ri×k(k0)或ri×k(k0) 消法變換：把一個(gè)方程的倍數(shù)加到另一個(gè)方程上。即ri+rj×k或ri+rj×k 用消元法解線性方程組實(shí)際上是對方程組反復(fù)施行了這三中變換。 行列式的初等變換我們稱對行列式的換法變換、倍法變換、消法變換為行列式的初等變換。換法變換：交換兩行列。 倍法變換：將行列式的某一行列的所有元素同乘以數(shù)k。 消法變換：把行列式的某一行列的所有元素乘以一個(gè)數(shù)k并加到另一行列的對應(yīng)元素上。 換法變換的行列式要變號；倍法變換的行列式要變k倍；消法變換的行列式不變