設(shè)xnfn是一個(gè)以自然數(shù)集為定義域的函數(shù)將其函數(shù)值按學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1設(shè)設(shè)xnfn是一個(gè)以自然數(shù)集為定義域的函數(shù)是一個(gè)以自然數(shù)集為定義域的函數(shù)將其函數(shù)值按將其函數(shù)值按第一頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。 設(shè)xn=f (n)是一個(gè)以自然數(shù)集為定義域的函數(shù),將其函數(shù)值按自變量大小順序排成一列，x1, x2,xn, , 稱(chēng)為一個(gè)數(shù)列. xn稱(chēng)為數(shù)列的第n項(xiàng)，也稱(chēng)為通項(xiàng),數(shù)列也可表示為xn或xn=f (xn)第一節(jié)數(shù)列的極限第一節(jié)數(shù)列的極限一、數(shù)列的極限一、數(shù)列的極限第1頁(yè)/共156頁(yè)第二頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。例例. .,11 . 1nxn,) 1( . 2 nn,21) 1( . 3nnx, . 42n,1,34,23, 2nn ,) 1(,31,21,

2、 1nn,21) 1(, 1 , 0 , 1 , 0n, 9 , 4 , 12n第2頁(yè)/共156頁(yè)第三頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。1x 看數(shù)列1.nxn11從直觀上看,這個(gè)數(shù)列當(dāng)n越來(lái)越大時(shí), 對(duì)應(yīng)的項(xiàng)xn會(huì)越來(lái)越接近于1,或者說(shuō)“當(dāng)n趨向于無(wú)窮大時(shí), 數(shù)列xn趨近于1.如何用精確的, 量化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)刻劃這一事實(shí)?2x123x234x345x4xn第3頁(yè)/共156頁(yè)第四頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。 注意到,實(shí)數(shù)a, b的接近程度由| ab |確定. | ab |越小, 則a, b越接近.因此, 要說(shuō)明“ 當(dāng)n越來(lái)越大時(shí), xn越來(lái)越接近于1”就只須說(shuō)明“ 當(dāng)n越來(lái)越大時(shí), | xn1 |

3、會(huì)越來(lái)越接近于0”.而要說(shuō)明“| xn1 |越來(lái)越接近于0”則只須說(shuō)明“ 當(dāng)n充分大時(shí),| xn1 |能夠小于任意給定的, 無(wú)論多么小的正數(shù)” 就行了,也就是說(shuō)無(wú)論你給一個(gè)多么小的正數(shù), 當(dāng)n充分大時(shí), | xn1 | 比還小,由于是任意的,從而就說(shuō)明了|xn1| 會(huì)越來(lái)越接近于0.第4頁(yè)/共156頁(yè)第五頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。事實(shí)上, nxn1| 1|, 給10001, 很小, 100011| 1|nxn, 只須n1000 即可, 數(shù)列中,從第1001項(xiàng)開(kāi)始,以后各項(xiàng)都有10001| 1|nx要也即在這個(gè)第5頁(yè)/共156頁(yè)第六頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。又給100001, 則從第10

4、001項(xiàng)開(kāi)始,以后各項(xiàng)都有100001|1|nx第6頁(yè)/共156頁(yè)第七頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。一般, 任給 0, 不論多么小, nxn1| 1|只須1n. 因此, 從第11項(xiàng)開(kāi)始, 以后各項(xiàng)都有 | 1|nx. 因是任意的, 這就說(shuō)明了當(dāng)n越來(lái)越大時(shí),xn會(huì)越來(lái)越接近于1.要使第7頁(yè)/共156頁(yè)第八頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。定義定義: : 設(shè)xn是一個(gè)數(shù)列, a是一個(gè)常數(shù), )( , limnaxaxnnn或若 0, 正整數(shù)N, 使得當(dāng)nN時(shí), 都有|xna|0, 正整數(shù)N, 使得當(dāng)nN 時(shí), 都有|xna|0, 正整數(shù)N, 使得當(dāng)nN 時(shí), 都有|xna|N時(shí), 有| xna |”

5、的意思是說(shuō), 從第N+1項(xiàng)開(kāi)始,以后各項(xiàng)都有|xna |0, 正整數(shù)N, 使得當(dāng)nN 時(shí), 都有|xna|,.limaxnn則記第11頁(yè)/共156頁(yè)第十二頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。幾何意義幾何意義: :x2x1a-xN+5axN+1a+x3x)(xN由于| xna | a xn0, 正整數(shù)N, 使得當(dāng)nN 時(shí), 都有|xna|0. 由于|xn1|=|c c|= 0取N=1, 當(dāng)nN時(shí), 有|xnc |=0 ccnlim故即常數(shù)的極限就是常數(shù)本身.第13頁(yè)/共156頁(yè)第十四頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。例例2.2. 設(shè)q是滿(mǎn)足 |q | 0. 設(shè) 0 |q |N時(shí), 有 |qn 0| )因

6、| xn a | = |qn 0| = |qn | = |q | n ,要使| xn a | , 只須 |q | n 即可.第14頁(yè)/共156頁(yè)第十五頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。即 n ln |q | N 時(shí), 有,|lnln|lnlnqqn從而有. 0limnnq故| qn 0 | 0) | 0cos1|nn.1|0cos1|0|nnnxn因|0|nx要使,1n只須則當(dāng)nN時(shí), 有.|0cos1|0|nnxn(要證N, 當(dāng)nN時(shí), 有,1.1Nn取即. 0cos1limnnn故若 0, 正整數(shù)N, 使得當(dāng)nN 時(shí), 都有|xna|0,由于nnannanaxn22221|)(222nanna

7、.2na第17頁(yè)/共156頁(yè)第十八頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。要使 | xn a | N 時(shí), 有122nan. 1lim22nann故第18頁(yè)/共156頁(yè)第十九頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。例例5.5. .0. 1lim為常數(shù)其中證明aann證證: : (1) 設(shè) a = 1, 結(jié)論顯然成立.(2) 設(shè) a 1, ),0(1nnna令從而 nnnnnnnnnnCCCa 2211)1 ( 1+ nn.1nan得第19頁(yè)/共156頁(yè)第二十頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。 0,11naann,1na要使,1na只須.1即可即an.1,1naNnaN有時(shí)則當(dāng)取).1(1limaann其中故第20頁(yè)/

8、共156頁(yè)第二十一頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。(3) 設(shè) 0 a 0, N, 當(dāng)nN時(shí), 有 .11na.1nnaa即nnaa1或 .(因 0 a 1) 綜合得).0(.1limaann).10(.1limaann第21頁(yè)/共156頁(yè)第二十二頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。本例也可用本例也可用有理化有理化的方法處理的方法處理. 注意到公式從而) 1,(. 11abaaannn看作公式中的將1)()( 1)()(1(2121 nnnnnnnnnaaaaana 1(分母都用1代).以下同(2).第22頁(yè)/共156頁(yè)第二十三頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。baxb+ 證證: : 反設(shè)xn收斂, 但極限

9、不唯一, ,2ba設(shè)bN1時(shí),2|baaxnN2, 當(dāng)nN2時(shí),2|babxn取N=maxN1, N2, 則當(dāng)nN時(shí), 上兩式同時(shí)成立.從而當(dāng) nN時(shí), 有|bxxabxxababannnnbababa22矛盾, 故極限唯一.若 0, 正整數(shù)N, 使得當(dāng)nN 時(shí), 都有|xna|0, 使得|xn|M, n=1, 2, . 則稱(chēng)數(shù)列xn有界, 否則, 稱(chēng)xn無(wú)界.由于 |xn|MMxnM xnM, M.故, 所謂xn有界, 就是xn要全部落在某個(gè)對(duì)稱(chēng)區(qū)間M, M內(nèi).看圖0MxxnM)(第25頁(yè)/共156頁(yè)第二十六頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。例例1.1. xn=(1)n有界, 而xn=n2無(wú)界.

10、x11x0194x1x2x30 x2nx2n-1第26頁(yè)/共156頁(yè)第二十七頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。設(shè)xna (n), 則對(duì)n=1, 2, ,有|xn|M證證: :由定義, 對(duì)=1, 存在自然數(shù)N,當(dāng)nN時(shí), 有|xna|1,故 |xn|xna|+|a|0, 正整數(shù)N, 使得當(dāng)nN 時(shí), 都有|xna| N時(shí), (1), (2)同時(shí)成立，即 xn yn. 第30頁(yè)/共156頁(yè)第三十一頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。在定理3中取 yn= 0.0limbynn故正整數(shù)N, 當(dāng)nN時(shí), . 0nnyx有推論推論1.1. (保號(hào)性定理) 若axnnlim, 而a0 (aN時(shí), 有xn0 (xn b

11、 = 0.類(lèi)似證明 a 0的情形.第31頁(yè)/共156頁(yè)第三十二頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。推論推論2.2. .,lim,limbayxNnNbyaxnnnnnn則必有有時(shí)當(dāng)正整數(shù)且若設(shè)證證: : 反設(shè) a N1時(shí), 有xn N2 ( N)時(shí),有 xnN時(shí), axnnlim, 則 有 xn0 (xn0). 且a0 (a0).)0lim(0limnnnnxx即第33頁(yè)/共156頁(yè)第三十四頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。01lim , 01nnxnn但比如,注注: : 在推論3中, 即使xn0, 也只能推出a0,0lim,nnx即第34頁(yè)/共156頁(yè)第三十五頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。定理定理4.

12、4.xn yn zn.lim,limlimayazxnnnnnn則且證證: :,limlimazxnnnn由 0 , N1, 當(dāng)n N1時(shí), 有 |xn a| .(1)即 a xn N 時(shí), 有第35頁(yè)/共156頁(yè)第三十六頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。N2, 當(dāng)n N2時(shí), 有 a zn N * 時(shí), (1), (2), (3)同時(shí)成立.有a xn yn zn a + 即 | yn a | 1 時(shí)的結(jié)論的方法是記,1nna得nnnna1)1 (得.1nan現(xiàn)在類(lèi)似，記),0(1nnnn則第39頁(yè)/共156頁(yè)第四十頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。22) 1(1)1 (nnnnnnnn22) 1(1

13、nnn解得nn20nnnn2111易證, 02limnn, 1)21 (limnn所以. 1limnnn第40頁(yè)/共156頁(yè)第四十一頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。所謂數(shù)列xn 子列，就是從數(shù)列 x1, x2, , xn, 中任取無(wú)窮多項(xiàng)，按原來(lái)的次序，從左到右排成一個(gè)新的數(shù)列，這個(gè)數(shù)列稱(chēng)為xn的子列. 比如，x2, x5, x14, , x78, 就是xn的一個(gè)子列,21kknnnnxxkxx子列記作記作項(xiàng)第第二項(xiàng)記作子列中第一項(xiàng)記作上列中n1=2, n2=5, n3=14等.二、子列二、子列第41頁(yè)/共156頁(yè)第四十二頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。注：注：.,) 1 (項(xiàng)中的第是原來(lái)的數(shù)列表

14、示下標(biāo)中子列knnknnxxnxkk.)2(項(xiàng)是子列中的第表示kxkkn易見(jiàn) k nk .,項(xiàng)是原數(shù)列中的第表示這是因?yàn)閗nknxnk,項(xiàng)是子列中的第表示而kxkknknx所以在前必已從xn中抽出了k1項(xiàng)，是從從而knxxn的第 k 項(xiàng)后的項(xiàng)中抽出，也即 k nk .第42頁(yè)/共156頁(yè)第四十三頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。(3) 對(duì)任何兩個(gè)正整數(shù) h, k, 若 h k, 則有 nh nk .反之，若 nh nk, 則 h k.這是因子列次序與原數(shù)列次序相同.在子列中位置靠后的項(xiàng)，在原數(shù)列中位置也靠后，反之也對(duì).第43頁(yè)/共156頁(yè)第四十四頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。,)4(,21knnn

15、nkxxxk而不是位置的是下標(biāo)表示各項(xiàng)在子列中的中在子列a 的定義是：收斂于因此子列knx|, 0, 0axKkKkn有時(shí)當(dāng)此時(shí)，記為)(limkaxaxkknnk或或)(limkaxaxkknnk或第44頁(yè)/共156頁(yè)第四十五頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。定理定理5.5. .,lim為極限且都以都收斂的任何子列的充要條件是axaxnnn證：證：充分性充分性.由于xn可看作它自已的一個(gè)子列.由條件 xn 的任何子列都以 a 為極限，故axnnlim第45頁(yè)/共156頁(yè)第四十六頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。必要性必要性.,knnxx的子列任取KkK當(dāng)要證, 0(),|,axkn有時(shí), 0,lim

16、知由axnn.|, 0axNnNn有時(shí)當(dāng).)|,(axNnknk有時(shí)當(dāng)顯然,NKnnKkNKKk有時(shí)當(dāng)取.| axkn從而.limaxknK故第46頁(yè)/共156頁(yè)第四十七頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。注：注：由定理5，若 xn 的兩個(gè)子列一個(gè)收斂于 a , 而另一個(gè)收斂于 b，且 ab, 則xn發(fā)散；或者，xn中有一個(gè)子列發(fā)散，則xn發(fā)散.,2) 1(1,nnx例0, 1, 0, 1, 發(fā)散.,2sin,nxn例1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 發(fā)散.推論推論. . ).(,lim122kaxaxaxaxkknnn即和偶數(shù)項(xiàng)子列都收斂于的奇數(shù)項(xiàng)子列的充要條件是第47頁(yè)/共156頁(yè)

17、第四十八頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。 若數(shù)列xn滿(mǎn)足 x1x2xn, 則稱(chēng)xn為單調(diào)遞增數(shù)列. 若x1x2xn, 則稱(chēng)xn為單調(diào)遞減數(shù)列.單調(diào)遞增和單調(diào)遞減數(shù)列統(tǒng)稱(chēng)為單調(diào)數(shù)列.三、收斂準(zhǔn)則三、收斂準(zhǔn)則第48頁(yè)/共156頁(yè)第四十九頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。例例4.4. xn=n2是單調(diào)遞增數(shù)列, 但xn是發(fā)散的. xn=(1)n是有界數(shù)列, 但xn=(1)n也是發(fā)散的.第49頁(yè)/共156頁(yè)第五十頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。定理定理6.6. 單調(diào)遞增且有上界的數(shù)列必有極限; 單調(diào)遞減且有下界的數(shù)列必有極限.即, 單調(diào)有界數(shù)列必有極限.第50頁(yè)/共156頁(yè)第五十一頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分

18、。例例5.5.數(shù)列nnnx)11 ( 是單調(diào)遞增且有上界的數(shù)列.證證: : 首先注意到, 當(dāng)ab0時(shí),有11nnba)(1221nnnnnbabbabaabanaban)(1(移項(xiàng), 有1)(1(nnbbanaa即1) 1(nnbnabna第51頁(yè)/共156頁(yè)第五十二頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。(1) 取代入,111 ,11nbna有,)1(1中nnbnabna1111112) 1(11nnnnnnnnnn即111111nnnn.11 是單調(diào)遞增的故nnnx第52頁(yè)/共156頁(yè)第五十三頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。(2) 取代入, 1 ,211bna,)1(1中nnbnabna有即1212)

19、 1(211nnnnnn2211nn., 2 , 1 , 4211 22nnxnn從而第53頁(yè)/共156頁(yè)第五十四頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。由于nnnx)11 ( 單調(diào)有界, 從而必有極限.enn)11 (lim ,n記(e=2.71828, 為一無(wú)理數(shù)). 4.11 212nnnnxxnx有單調(diào)遞增由于數(shù)列. . 411有上界所以故nnnxnx第54頁(yè)/共156頁(yè)第五十五頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。定理定理7:7:| xnxm | 0, N 0, 當(dāng)n, mN 時(shí)，有第55頁(yè)/共156頁(yè)第五十六頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。例例6.6. 利用柯西收斂原理證明 xn=1+q+q2+ +q

20、n ( | q |0，設(shè) m n，| xmxn |mnnqqq21|1|1|1qqqnmn|1|1qqnmnnqqq|21第56頁(yè)/共156頁(yè)第五十七頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。要使| xmxn | , 只須.|1|1qqn即(n+1)ln |q| N 時(shí)，有| xnxm | 0, N 0, 當(dāng) n N 時(shí), 有 | xn | 0, N 0, 當(dāng) n N 時(shí), 有 | xna | .即| n | 0, N 0, 當(dāng) n N 時(shí), 有 |n | .即| xna | N 時(shí)), 第62頁(yè)/共156頁(yè)第六十三頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。性質(zhì)性質(zhì)4.4. 若若 xn 是無(wú)窮小量是無(wú)窮小量, yn

21、a ( 0), 則則. 0是無(wú)窮小量即nnnnyxyx1. 兩個(gè)無(wú)窮小量的商不一定是無(wú)窮小量.2. 性質(zhì)1, 2中的條件有限多個(gè)不能丟.1111lim nnnn如n個(gè)注注: : 第63頁(yè)/共156頁(yè)第六十四頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。例例1.1. .8cos1limnnn求解解: :. 0, 1.8cos. 01原式nn例例2.2. .2) 1(2limnnnnn求解解: :nnnnnnnn) 1(2(212) 1(2. 1,) 1(2( , 021從而有界有界因nnnn故 原式 = 0.第64頁(yè)/共156頁(yè)第六十五頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分?？磾?shù)列 xn = n2, 即， 1, 22,

22、32, , n2, . x322210當(dāng) n 越來(lái)越大時(shí), 數(shù)列 xn 的值也越來(lái)越大, 要多么大就有多么大, 可以大于預(yù)先給定的任意大的數(shù)G.稱(chēng)為無(wú)窮大數(shù)列(無(wú)窮大量).二、無(wú)窮大量二、無(wú)窮大量第65頁(yè)/共156頁(yè)第六十六頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。定義定義2.2. 若若 G 0(無(wú)論多么大無(wú)論多么大), N 0, 當(dāng)當(dāng) n N時(shí)時(shí), 有有 | xn | G ,則稱(chēng)則稱(chēng) xn 為無(wú)窮大量為無(wú)窮大量, 記作記作).(limnxxnnn或(1).lim的極限不存在表示nnnxx(2) 任何常數(shù)列(常量)都不是無(wú)窮大量.注注: : 第66頁(yè)/共156頁(yè)第六十七頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。的幾何

23、意義nnxlimxxN+2Gx10 xNGxN+1即, 當(dāng)n N 時(shí), xn 都落在區(qū)間 G, G外面.在 G, G內(nèi), 只有 xn 的有限多個(gè)項(xiàng).第67頁(yè)/共156頁(yè)第六十八頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。例例3.3. 設(shè) | q | 1.limnnq證明證證: : G 0, (要證N 0, 當(dāng) n N 時(shí), 有 | qn | G )要使 | qn | = | q |n G.只須.|lnlnqGn ,|lnlnqGN取則當(dāng) n N 時(shí), 有 | qn | G .limnnq故第68頁(yè)/共156頁(yè)第六十九頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。例例4.4. 數(shù)列 xn = (1+(1)n)n 是否為無(wú)窮大

24、量?解解: : 數(shù)列 xn 為0, 22, 0, 24, 0, 26, .如圖x2624x2k+122因不論 n 多么大, 總有 | xn | = | x2k+1 | = 0 G.所以 xn 不是無(wú)窮大量.第69頁(yè)/共156頁(yè)第七十頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。定義定義3.3. .),(0,lim正無(wú)窮大量為則稱(chēng)時(shí)且若nnnnxNnxx.limnnx記作.),(0,lim負(fù)無(wú)窮大量為則稱(chēng)時(shí)且若nnnnxNnxx.limnnx記作從幾何上看, xn .xx1x20G xn xxnx30G x1 x2xn +.第70頁(yè)/共156頁(yè)第七十一頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。證證: : 設(shè) xn 為無(wú)窮大

25、量, 要證 為無(wú)窮小量.nx1 0, .1|,1即可只須要nnxx因 xn 為無(wú)窮大量., 0, 01NG對(duì).1|,GxNnn有時(shí)當(dāng)從而.1nx.1是無(wú)窮小量故nx定理定理2.2. 若 xn 是為無(wú)窮大量, 則 為無(wú)窮小量.nx1nx1若 xn 是為無(wú)窮小量(xn 0), 則 為無(wú)窮大量.第71頁(yè)/共156頁(yè)第七十二頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。(1) 兩個(gè)無(wú)窮大量的和, 差, 兩個(gè)無(wú)窮大量的商都不一定是無(wú)窮大量.比如, 當(dāng)n +時(shí), n2 , n2 , 但 n2 + (n2) = 0,. 122nn都不是無(wú)窮大量.但, +(+) = +, +() = . 注注: : 第72頁(yè)/共156頁(yè)第七

26、十三頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。(2) 有界量乘無(wú)窮大量不一定是無(wú)窮大量.無(wú)窮小量乘無(wú)窮大量不一定是無(wú)窮大量(無(wú)窮小量)特別, 比如, 當(dāng)xn = n2 , yn = 0, 則 xnyn = 0 不是無(wú)窮大量.(3) 若數(shù)列 xn , 則 xn 無(wú)界,但反之不對(duì).如, 當(dāng)xn = (2+(1)n)n . 無(wú)界, 但不是無(wú)窮大量.(4) = , (有界量) = .第73頁(yè)/共156頁(yè)第七十四頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。定理定理3.3. 設(shè)數(shù)列 xn和 yn 的極限都存在. 且,limaxnn.limbxnn則(1).limlim)(limbayxyxnnnnnnn(2).limlim)(li

27、mbayxyxnnnnnnn(3) 設(shè) C 為常數(shù)，有.limlimaCxCCxnnnn(4) 當(dāng) b0 時(shí)，有.limlimlimbayxyxnnnnnnn三、數(shù)列極限的運(yùn)算法則三、數(shù)列極限的運(yùn)算法則第74頁(yè)/共156頁(yè)第七十五頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。證：證：只證(1). 因.lim,limbyaxnnnn由極限與無(wú)窮小關(guān)系，有，xn=a+n, yn=b+n，其中n, n0(n+).從而 xn yn =(a b)+(n n )由無(wú)窮小量性質(zhì)知n n0(n+)再由極限與無(wú)窮小的關(guān)系定理，知.limlim)(limnnnnnnnyxbayx第75頁(yè)/共156頁(yè)第七十六頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn)

28、 二分。定理定理4.4. 若. |lim|lim),(limnnnnnnxaxax則常數(shù)證：證：由于由極限定義,limaxnn.|, 0, 0axNnNn有時(shí)當(dāng)注意到不等式 | | A | | B | | | A B |從而 | | xn | | a | | | xn a | 故. |limaxnn第76頁(yè)/共156頁(yè)第七十七頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。反之不對(duì)反之不對(duì). .lim|,|lim的結(jié)論不能得出即若axaxnnnn比如, 設(shè) xn = (1)n., 1|limnnx則.lim不存在但nnx第77頁(yè)/共156頁(yè)第七十八頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。例例5.5. 求.235123li

29、m22nnnnn解解: :一般, 稱(chēng)形為 f (x) = a0 xk+a1xk1+ak1x+ak 為 x 的一個(gè) k 次多項(xiàng)式. 其中k為非負(fù)整數(shù)，ai為常數(shù), a00.兩個(gè)多項(xiàng)式的商稱(chēng)為有理式(有理函數(shù)).對(duì)這種以n為自變量的有理函數(shù)的極限問(wèn)題(n時(shí)), 可將分子，分母同除以分母的最高次冪n2.第78頁(yè)/共156頁(yè)第七十九頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。235123lim22nnnnn由于分母的極限等于5(0), 分子的極限等于3，235123lim32nnnnn= 0，235123lim23nnnnn= .,235123lim22nnnnn.53原式故第79頁(yè)/共156頁(yè)第八十頁(yè)，編輯于星期

30、二：九點(diǎn) 二分。一般，若 a0, b0 都非0，則LLkknbnbana00limLkba,00，0，k L第80頁(yè)/共156頁(yè)第八十一頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。例例6.6. 求).100(lim2nnnn解：解：有理化有理化.)100(lim2nnnn)100100(lim2nnnn11001100lim2nn= 50.第81頁(yè)/共156頁(yè)第八十二頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。例例7.7. 求求.21lim2nnn解：解：注意到求和公式.2) 1(21nnnnnn21lim2= 2.) 1(2lim2nnnn第82頁(yè)/共156頁(yè)第八十三頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。例例8.8. 求) 1

31、(1321211(limnnn解：解：注意到,111) 1(1nnnn從而) 1(1321211nnxn)111()3121()211 (nn.111n所以，原式=. 1)111 (limnn第83頁(yè)/共156頁(yè)第八十四頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。例例9.9. 求).11 ()411)(311)(21(limnn解：解：注意到,111nnn從而，)11 ()311)(211 (nxnnn1433221.1n故 . 01limnn原式第84頁(yè)/共156頁(yè)第八十五頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。例例10.10. 設(shè)x0=1, ), 2, 1(1111nxxxnnn證明 xn 的極限存在，并求之.證

32、：證：通常要證明某數(shù)列極限存在可考慮用:(1)單調(diào)有界數(shù)列必有極限.(2)夾逼定理(條件中往往有不等式).此例用(1)注意到 0 0 , 故 a 0.第87頁(yè)/共156頁(yè)第八十八頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。設(shè)有數(shù)列u1, u2, , un, ,則式子121nnnuuuu稱(chēng)為一個(gè)(常數(shù)項(xiàng))無(wú)窮級(jí)數(shù).第n項(xiàng)un稱(chēng)為級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)或通項(xiàng).1是左端和式的簡(jiǎn)寫(xiě)符號(hào)nnu第四節(jié)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)第四節(jié)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)一、基本概念一、基本概念第88頁(yè)/共156頁(yè)第八十九頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。1222221 nnn比如1) 1(1321211) 1(1 nnnnn而級(jí)數(shù)是無(wú)窮多個(gè)數(shù)的和. 它

33、可能是一個(gè)確定的數(shù), 也可能不是一個(gè)確定的數(shù).比如0+0+ +0+ =0,而1+1+ +1+就不是一個(gè)數(shù).第89頁(yè)/共156頁(yè)第九十頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。,211nnnuuuu設(shè)級(jí)數(shù)記 Sn = u1+ u2 + +un. 稱(chēng)為此級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)部分和.(如 S1= u1, S2 = u1+u2, , Sn = u1+ u2 + + un.)由部分和構(gòu)成的數(shù)列S1, S2, Sn , , 稱(chēng)為此級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列.易見(jiàn). (i) un = SnSn 1(ii) 從形式上看, 有11limlimnnnkknnnuuS第90頁(yè)/共156頁(yè)第九十一頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。定義定義: :1,n

34、nnSu 的部分和數(shù)列為設(shè)級(jí)數(shù),limSSnn若則稱(chēng)此級(jí)數(shù)收斂,極限值S 稱(chēng)為該級(jí)數(shù)的和. .1Sunn.,lim則稱(chēng)該級(jí)數(shù)發(fā)散不存在若nnS記作第91頁(yè)/共156頁(yè)第九十二頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。nnnnSSrSu記時(shí)收斂于當(dāng)級(jí)數(shù),121nnuu稱(chēng)為該級(jí)數(shù)的余和(余項(xiàng), 余式)0limlim nnnnSSr有第92頁(yè)/共156頁(yè)第九十三頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。例例1.1.1),0( ,nnnaararaar級(jí)數(shù)稱(chēng)為等比級(jí)數(shù). r 稱(chēng)為公比. 討論等比級(jí)數(shù)斂散性.解解: :1,1,1)1 (12rnarrraarararaSnnn第93頁(yè)/共156頁(yè)第九十四頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn)

35、二分。從而,(i). 0lim,1|nnrr有時(shí)當(dāng)事實(shí)上, 若0 r 1,. 0limnnr有若1 r 0, 則 r = | r |, rn = (1)n | r |n . 0|) 1(lim nnnr仍然有.11)1 (limlimrarraSnnnn第94頁(yè)/共156頁(yè)第九十五頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。從而,(ii).lim,1|nnrr有時(shí)當(dāng).1)1 (limlimrraSnnnn(iii).limlim,1naSrnnn時(shí)當(dāng)(iv)rraSrnnnn1)1 (limlim,1時(shí)當(dāng),2) 1(1 limnna不存在.第95頁(yè)/共156頁(yè)第九十六頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。綜合:1|

36、,1|,1limrrraSnn不存在即:收斂等比級(jí)數(shù)1nnar| r | 0. .)1ln(1xxxx則nSn1312111)11ln()311ln()211ln() 11ln(nnkk1)11ln(nkkk1ln)1ln()( ,)1ln(nn故調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散.第113頁(yè)/共156頁(yè)第一百一十四頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。例例5.5.)(.,:111發(fā)散則發(fā)散收斂若證明nnnnnnnVuvu證證: : .)(1收斂反設(shè)nnnVu記Wn = un + Vn .從而Vn = Wn un . ,11都收斂和由于nnnnuW.,)(1111矛盾收斂從而nnnnnnnnnuWuWV第114頁(yè)/共156

37、頁(yè)第一百一十五頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。., 01為正項(xiàng)級(jí)數(shù)則稱(chēng)級(jí)數(shù)若nnnuu正項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列 Sn=u1+ u2 + +un 是單調(diào)遞增數(shù)列 0 S1 S2 Sn . 1nnu第五節(jié)第五節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別法一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別法一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別法第115頁(yè)/共156頁(yè)第一百一十六頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。.,.lim,1收斂即存在則有上界若所以nnnnnuSS.lim,1存在則收斂若反之nnnnSu從而Sn有界,也就有上界.定理定理1.1.正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件是其部分和數(shù)列Sn有界(有上界).)0(1nnnuu第116頁(yè)/共156頁(yè)

38、第一百一十七頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。推論推論: :.lim11nnnnnnnSSuu無(wú)界數(shù)列的部分和發(fā)散正項(xiàng)級(jí)數(shù)(最后一個(gè)充要條件可由無(wú)界數(shù)列. 無(wú)窮大量的定義以及Sn單調(diào)遞增得到.)第117頁(yè)/共156頁(yè)第一百一十八頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。定理定理2.2.(比較法).,11nnnnnnVuVu且和設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)n = 1, 2, , 則(1).,11收斂則收斂若nnnnuV(2).,11發(fā)散則發(fā)散若nnnnVu第118頁(yè)/共156頁(yè)第一百一十九頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。證證: :.,11nnnnnnVSu的部分和為的部分和為記.0 11nnkknkknVuS故, (1) .,1有

39、上界從而有上界則收斂若nnnnSV.,1收斂因此nnu. . )( )( .11發(fā)散故從而因發(fā)散若nnnnnnnVnnSu(2)第119頁(yè)/共156頁(yè)第一百二十頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。注注2.2.實(shí)際應(yīng)用時(shí), 要判正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂. 可將un1nnu.,11收斂則收斂若nnnnuV.,1逐步縮小可將發(fā)散要判正項(xiàng)級(jí)數(shù)nnnuu.11發(fā)散發(fā)散，則若nnnnuV注注1.1.定理2中條件“ un Vn”只須從某項(xiàng)開(kāi)始以后一直成立即可.逐步放大, un Vn .nnVu第120頁(yè)/共156頁(yè)第一百二十一頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。例例1.1. 0,11的斂散性級(jí)數(shù)討論nPpnP解解: : (1) 若

40、 0 1. 考慮對(duì)P級(jí)數(shù)按下列方法加括號(hào)所成級(jí)數(shù).第121頁(yè)/共156頁(yè)第一百二十二頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。PkPkPPPPPPPP) 12(1)2(1)15181()71615141()3121(11PkPkPPPPPPPP)2(1)2(1 818141414141212118 個(gè)2k 個(gè)kPPPP131211212121211第122頁(yè)/共156頁(yè)第一百二十三頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。.,12101收斂的等比級(jí)數(shù)最后的級(jí)數(shù)是公比為P從而, 加括號(hào)的P級(jí)數(shù)收斂. 原來(lái)級(jí)數(shù)收斂加括號(hào)的級(jí)數(shù)收斂.”由于“ 對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)而言,故, 當(dāng)P 1時(shí), P級(jí)數(shù)收斂.1.,1 ;,1,1,nPPPn

41、發(fā)散時(shí)當(dāng)收斂時(shí)當(dāng)綜合第123頁(yè)/共156頁(yè)第一百二十四頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。推論推論. . (比較法的極限形式).,11是正項(xiàng)級(jí)數(shù)設(shè)nnnnVu.0 ,limnnnVu若則這兩個(gè)級(jí)數(shù)有相同的斂散性.第124頁(yè)/共156頁(yè)第一百二十五頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。例例2. 2. .1sin12的斂散性判別nn解解: : 常以P級(jí)數(shù)和調(diào)和級(jí)數(shù)作為推論中的.1nnV. 111sinlim22nnn因?yàn)?112收斂而nn.1sin12收斂故nn第125頁(yè)/共156頁(yè)第一百二十六頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。例例3.3.)1(1的斂散性判別nnn解解: :nnun1)( 011nnn.211li

42、mlim .1nnnVunVnnnnn有取. .11故原級(jí)數(shù)發(fā)散發(fā)散因nn第126頁(yè)/共156頁(yè)第一百二十七頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。定理定理3.3. (比值法, 或,達(dá)朗貝爾判別法).,lim.11nnnnnuuu若為正項(xiàng)級(jí)數(shù)設(shè)則(1) 1或 = +時(shí), 級(jí)數(shù)發(fā)散.(3) = 1時(shí), 級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散(須用另外的方法判斷).第127頁(yè)/共156頁(yè)第一百二十八頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。例例4.4. .0,!anann的斂散性判別解解: :nnnnnnannauu!)!1(limlim1101limnan 1故級(jí)數(shù)收斂. 0!lim ,nann且知? )100(!收斂或發(fā)散問(wèn)nnn

43、第128頁(yè)/共156頁(yè)第一百二十九頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。例例5. 5. .!1的斂散性判別nnnn解解: :nnnnnnnnnnuu!)!1() 1(limlim11nnnnn) 1(lim . 1)11 (limennn故級(jí)數(shù)發(fā)散.第129頁(yè)/共156頁(yè)第一百三十頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。例例6. 6. .) 1(11的斂散性判別nnn解解: :1) 1() 1)(2(1limlim1nnnnuunnnn. 12limnnn所以, 用比值法無(wú)法判定其斂散性, 改用比較法.第130頁(yè)/共156頁(yè)第一百三十一頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。.) 1(1nnun注意到.1nVn取則111

44、1lim1) 1(1limlimnnnnVunnnnn. ,1故原級(jí)數(shù)發(fā)散發(fā)散由于nn第131頁(yè)/共156頁(yè)第一百三十二頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。定理定理4.4. (根值法, 或柯西判別法).,lim.1nnnnnuu 若設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)則(1) 1或 = +時(shí), 級(jí)數(shù)發(fā)散.(3) = 1時(shí), 級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散第132頁(yè)/共156頁(yè)第一百三十三頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。例例7.7. .) 1(21的斂散性判別nnnn解解: :. 0) 1(2nnnnu記nnnVnu3 有. 103limlimnVnnnnn因?yàn)?1收斂故nnV.,1收斂由比較法nnu第133頁(yè)/共156頁(yè)第一百三十四頁(yè)

45、，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。.) 1() 1(, 0111為交錯(cuò)級(jí)數(shù)或稱(chēng)設(shè)nnnnnnnuuu交錯(cuò)級(jí)數(shù)各項(xiàng)是正負(fù)交錯(cuò)的.二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其斂散性判別法二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其斂散性判別法第134頁(yè)/共156頁(yè)第一百三十五頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。定理定理5.5. (萊布尼茲判別法)滿(mǎn)足若交錯(cuò)級(jí)數(shù), 0,) 1(11nnnnuu. 0lim)2( , 2 , 1,) 1 (1nnnnunuu則級(jí)數(shù)收斂, 且其和 S u1.第135頁(yè)/共156頁(yè)第一百三十六頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。證證: : 我們來(lái)證明部分和數(shù)列Sn收斂, 為此, 只須證明. limlim122即可SSSnnnn(1) 因S2n

46、=(u1 u2) + (u3 u4) + +(u2n1 u2n ) 0.且易見(jiàn), S2(n+1) S2n .以及S2n= u1 (u2u3 )(u4u5) (u2n2u2n1)u2n u1.故數(shù)列S2, S4, S6,S2n , 單調(diào)遞增有上界. 從而存在極限.第136頁(yè)/共156頁(yè)第一百三十七頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。.lim12uSSnn設(shè)(2) S2n+1 = S2n + u2n+1 ,12212limlimlimnnnnnnuSS故= S + 0 = S綜合(1),(2)知,.lim1uSSnn問(wèn): 若將條件(1)改為un un+1, n =N, N+1, N+2, , 結(jié)論是否全對(duì), 應(yīng)如何修改.第137頁(yè)/共156頁(yè)第一百三十八頁(yè)，編輯于星期二：九點(diǎn) 二分。例例8.8. .1) 1(11的斂散性判別nnn解解: : 此為交錯(cuò)級(jí)數(shù).111,11nnnunnunu因. 0limnmu且由萊布尼茲判別法, 級(jí)數(shù)收斂.注: 本題是由調(diào)和級(jí)數(shù).) 1(,111而成添符號(hào)nnn?0,