第一章3-阻尼振動(dòng),受迫振動(dòng)及共振-1

1、1、 阻尼振動(dòng)現(xiàn)象阻尼振動(dòng)現(xiàn)象2、 阻尼振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程：阻尼振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程：阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng) 受迫振動(dòng)與共振受迫振動(dòng)與共振1.6、阻尼振動(dòng)（、阻尼振動(dòng)（Damping Vibration）因摩擦、聲波輻射等原因阻礙振動(dòng)的進(jìn)行（阻尼），而導(dǎo)因摩擦、聲波輻射等原因阻礙振動(dòng)的進(jìn)行（阻尼），而導(dǎo)致振動(dòng)幅度隨時(shí)間衰減。致振動(dòng)幅度隨時(shí)間衰減。在運(yùn)動(dòng)速度不太大時(shí)，阻尼作用可體現(xiàn)為與速度成正比的在運(yùn)動(dòng)速度不太大時(shí)，阻尼作用可體現(xiàn)為與速度成正比的阻力（阻尼力）：阻力（阻尼力）：tddxv以彈簧振子為例：以彈簧振子為例： 22dtxdm整理得：整理得：kx 022022 xdtdxdtxd 其中：其中：m2

2、mk 0 （阻尼因子）（阻尼因子）（固有角頻率）（固有角頻率）：阻力系數(shù)：阻力系數(shù)tddx f 欠阻尼狀態(tài)欠阻尼狀態(tài)3、 阻尼振動(dòng)表達(dá)式與三種阻尼狀態(tài)阻尼振動(dòng)表達(dá)式與三種阻尼狀態(tài))(00)( titeeAtx其中：其中：220 若若0 或或減幅振動(dòng)減幅振動(dòng))cos()(00 teAtxttxotAe022022 xdtdxdtxd 若若0 若若0 tteBeBtx)(2)(1202202)( 緩慢地回到平衡位置緩慢地回到平衡位置tetCCtx )()(21很快地回到平衡位置很快地回到平衡位置過(guò)阻尼狀態(tài)過(guò)阻尼狀態(tài)臨界阻尼狀態(tài)臨界阻尼狀態(tài)欠阻尼狀態(tài)欠阻尼狀態(tài)若若0 )cos()(00 teAtxt

3、otx過(guò)阻尼過(guò)阻尼臨界阻尼臨界阻尼欠阻尼欠阻尼1.7、 受迫振動(dòng)（受迫振動(dòng)（Forced Vibration） 共振共振若策動(dòng)力（強(qiáng)迫力）為簡(jiǎn)諧的：若策動(dòng)力（強(qiáng)迫力）為簡(jiǎn)諧的：2、強(qiáng)迫振動(dòng)一般表達(dá)式與穩(wěn)態(tài)解、強(qiáng)迫振動(dòng)一般表達(dá)式與穩(wěn)態(tài)解在外來(lái)策動(dòng)力（周期性）作用下的振動(dòng)在外來(lái)策動(dòng)力（周期性）作用下的振動(dòng)1、動(dòng)力學(xué)方程、動(dòng)力學(xué)方程tFF cos0 22dtxdmkx tmFxdtdxdtxd cos202022 為方便運(yùn)算，可將方程改寫(xiě)為復(fù)函數(shù)形式：為方便運(yùn)算，可將方程改寫(xiě)為復(fù)函數(shù)形式：tiemFxdtdxdtxd 020222 dxd t F 0i tFF e 一，受迫振動(dòng)一，受迫振動(dòng):設(shè)穩(wěn)態(tài)解

4、為：設(shè)穩(wěn)態(tài)解為：tiemFxdtdxdtxd 020222 tiAex 代入方程得：代入方程得：mFAAiA02022 A 00 ieA 其中：其中：0A 2222022010)2()(cos 通解通解= 齊次方程解齊次方程解 （阻尼運(yùn)動(dòng)）（阻尼運(yùn)動(dòng)）+非齊次方程特解非齊次方程特解經(jīng)過(guò)一段時(shí)間經(jīng)過(guò)一段時(shí)間非齊次方程特解（穩(wěn)態(tài)解）非齊次方程特解（穩(wěn)態(tài)解）0iA e 02201()2Fmi 0222201()(2)Fm 最后得：最后得：()0itxA e 0022220()(2)FAm 實(shí)部代表實(shí)際的運(yùn)動(dòng)情況：實(shí)部代表實(shí)際的運(yùn)動(dòng)情況：0cos()xAt 二、共振（二、共振（Resonance）位移

5、共振位移共振當(dāng)系統(tǒng)的固有頻率與外力的頻率滿足一定關(guān)當(dāng)系統(tǒng)的固有頻率與外力的頻率滿足一定關(guān)系時(shí)，位移振幅達(dá)到極大值。系時(shí)，位移振幅達(dá)到極大值。00dAd 令：令：221022220cos()(2) 共振振幅共振振幅 :22002 mFAr2202 r得共振頻率：得共振頻率： (0,2) 1220cos 且相位差且相位差 :：驅(qū)動(dòng)力頻率等于振動(dòng)系統(tǒng)的固有：驅(qū)動(dòng)力頻率等于振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率時(shí)，振幅達(dá)到最大。頻率時(shí)，振幅達(dá)到最大。22002 mFAr且且若若02202 r則則0 ru尖銳共振：尖銳共振：002mFAr 2 1220cos 相位差相位差 :共振振幅共振振幅 :共振頻率：共振頻率：0cos

6、()xAt 0cosFFt 速度共振速度共振速度表達(dá)式：速度表達(dá)式：0sin()vAt 02220cos()2()(2)Ftm 0cos()xAt 221022220cos()(2) 0022220()(2)FAm 0cosFFt 0cos()2At 速度振幅達(dá)到極大的條件：速度振幅達(dá)到極大的條件：速度與策動(dòng)力同相位，速度與策動(dòng)力同相位，此時(shí)速度振幅達(dá)到極大值：此時(shí)速度振幅達(dá)到極大值： 0 mFv20max 2 另外：另外： v mF2 02220cos()2()(2)Fvtm 則：則：tmF cos20策動(dòng)力始終作正功，策動(dòng)力始終作正功，此時(shí)外界向系統(tǒng)輸入此時(shí)外界向系統(tǒng)輸入能量的功率最大能量的功率最大! ! 演示演示1多諧共振儀多諧共振儀演示演示2聲波擊碎燒杯聲波擊碎燒杯演示演示3、 1