平面向量全部講義

1、第一節(jié)平面向量的概念及其線性運算1,向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量;向量的大小叫做向量的模.(2)零向量：長度為0_的向量，其方向是任意的.單位向量：長度等于1個單位的向量.(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量,又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量共線.(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量.(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量.例1.若向量a與b不相等，則a與b一定()A.有不相等的模B.不共線C.不可能都是零向量D.不可能都是單位向量uuuruuur例2.給出下列命題：若|a|=|b|,則a=b；若AB,C,D是不共線的四點，則AB=DC等價于四邊形ABC時平

2、行四邊形；若a=b,b=c,則a=c；a=b等價于|a|=|b|且a/b；若a/b,b/c,則a/c.其中正確命題的序號是()A.B.C.D.CA2.向量的線性運算例3:例4:A.0平行四邊形法則減法求a與b的相反向量一b的和的運算叫做a與b的差三角形法則a-b=a+(b)數(shù)乘求實數(shù)入與向量a的積的運算(1)|旬=|刖a|;(2)當X>0時，心的方向與a的方向相同;當K0時，后的方向與a的方向相反;當Q0時，后=0X心a)=(入)pa;(計)a=?a+fa；?(a+b)=電+b化簡ACBD片CD-AB導()a.如圖，在正六邊形ABCDE中,uuurB.BEuuur.ADAbb.DAc.B

3、cduuuBAuuu+CD+uuurEFD.=(uuuCF向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算三角形法則(1)交換律：a+b=b+a；(2)結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)(2)設(shè)D,E分別是(入，力為實數(shù))，則ABC勺邊ABBC上的點,uuurAD=2ABBE=3BC若DEuuur=入AB+uuur為AC鞏固練習：1 .將4(3a+2b)2(b2a)化簡成最簡式為.2 .若|篇OB=|OA-Ob,則非零向量OAOb勺關(guān)系是()a.平行b,重合c.垂直d.不確定uuuruuuuuu3 .若菱形ABCD勺邊長為2,則|ABCB+CD|=uuu4 .D是ABC勺邊AB上

4、的中點，則向量CD等于()uuur1uuuuuir1uuuuuir1uuuuuur1uuuA.-BC+-BAB.BC-BAC.BC-BAD.BC+-BA5.若A,B,C,D是平面內(nèi)任意四點，給出下列式子：uuuruuuuuuruuirACBD=DC+AB.其中正確的有()A.0個B.1個C.2個D.3個uuuruuuuuurumnuuuruuuruuuruutrAB+CD=BC+DA；AC+BD=BC+AD；精品文檔6.解：Ab=Ac+CB=3a+2b,D,E為AB6.如圖，在ABC,D,E為邊AB的兩個三等分點，CA=3a,CB=2b,求CDCE鞏固練習1。16a+6b2°C3。2

5、4°A5°C的兩個三等分點，AD=1Abj=-a+2b=DE.CU熱AD=3a-a+|b=2a+|b.-.CEC>Dt2a+2b-a+33332 .4§b=a+3b.3 .共線向量定理：向量a（a*0）與b共線等價于存在唯一一個實數(shù)人使得b=H例5.已知a與b是兩個不共線向量，且向量a+心與一（b3a）共線，則甘uuiruuuruuu例6.設(shè)兩個非零向量a與b不共線，（1）若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3（a-b）,求證：A,B,D三點共線.（2）試確定實數(shù)k,使ka+b和a+kb共線.鞏固練習：1.給出下列命題：但它們的模能比較大小.后=0（入其

6、中錯誤的命題的個數(shù)為（）uuur，則AD=（）兩個具有公共終點的向量，一定是共線向量.兩個向量不能比較大小,為實數(shù)），則入必為零.人科為實數(shù),?a=jjb,則a與b共線.A.1B.2D.4uuuruuur2.如圖，已知AB=a,ACuun=b,BDuuu=3DC,用uuura,b表示AD.3.A. a+4b13B. 4a+4b31D.4a+4b3.已知向量a,b,c中任意兩個都不共線，但a+b與c共線，且b+c與a共線，則向量a+b+c=（）A.aB.bC.cD.0uuuriuuiruuur4如圖，在ABC43,/A=60°,/A的平分線交BC于D,若AB=4,且AD=4AC+入AB

7、（沃R）,則AD的長為（）A.2A/3B.3#C.4MD.5V3uunuuuruuuruuiruuuu5 .在？ABC珅,AB=a,AD=b,AN=3NC,M為BC的中點，則MN=(用a,b表示）.uuuruuuruuuruuiruuuruuuu6 .設(shè)點M是線段BC的中點，點A在直線BC外，BC2=16"AB+AC|=|ABAC|,則|AM|=1 uuuruuuruuu例5.-例6.解(1)證明：.AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),uuuruuiruuuuuuruuiruuirBD=BC+CD=2a+8b+3(ab)=2a+8b+3a3b=5(a+b)=5AB.A

8、B,BD共線,又.它們有公共點B,.A,B,D三點共線.(2);ka+b與a+kb共線，存在實數(shù)使ka+b=Xa+kb),即ka+b=后+Kb.，(k?)a=(衣一1)b.-a,b是不共線的兩個非零向量，二.k一七k1=0,1-k21=0.k=zd.CBDB-a+1b2444 .向量的中線公式：若P為線段AB的中點，O為平面內(nèi)一點，則群=：（OA+能）.5 .三點共線等價關(guān)系uuuuuiruuuuuuuuuA,P,B三點共線？AP=入AB(后0)?OP=(1-t)OA+tOB(O為平面內(nèi)異于A,P,B的任一點，tCR)?群i=xOA+yOi(O為平面內(nèi)異于A,P,B的任一點，xCR,yCR,x

9、+y=1).第二節(jié)平面向量的基本定理及坐標表示1 .平面向量基本定理如果ebe2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對實數(shù)A,M使a=He+兀&.其中，不共線的向量e,e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底2 .平面向量的坐標運算（1）向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模：設(shè)a=（x1,y1）,b=（x2,y*,貝Ua+b=（X1+X2,y1+y2）,ab=（x1一x2,y1一y2）,）a=（K,項），|a|=xjx2+y2.（2）向量坐標的求法：若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標.2歡立下載精品文檔uumuuur2設(shè)A(xi,yi),

10、B(x2,y2),則AB=(X2xi,y2-yi),|AB|x2-xiz+y2-yi3.平面向量共線的坐標表示設(shè)a=(xi,yi),b=(x2,y2),其中bw0.a/b?xiy2x2yi=0.平面向量基本定理及其應用：如果，那么對這一平面內(nèi)的任一向量十?2e2,其中ei,e2是一一組基底.a,有且只有一對實數(shù)A,M使a=%ei特別注意：若ei,e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，a=»ei+?2e2,biei2e2則ab例i0:(i)如圖，平面內(nèi)有三個向量OAObOc其中也O的夾角為例7.若A(0,i),Ri,2),C(3,4),則AB2BC=uuuu例8.已知點M5,6)和向量a=

11、(i,2),若MN=-3a,則點N的坐標為()A.(2,0)B.(-3,6)C.(6,2)D.(-2,0)uuuuuuruuu例9.已知A(-2,4),B(3,-i),C(-3,4).設(shè)AB=a,BC=b,CA=c.(i)求3a+b-3c；(2)求滿足a=nb+nc的實數(shù)色n.鞏固練習：i.若向量a=(i,i),b=(-i,i),c=(4,2),則c=()A.3a+bB.3a-bC.-a+3bD.a+3bi20°,OAtOc勺夾角為30。，且10A=|ObI=i,|0(p=2>/3,若OoOafmob九代r),則計科的值為umruuuuuuruuuruuurr(2)已知AD,B

12、E分別是ABC的邊BC,AC上的中線，且ADa,BEb,則BC可用向量a,b表示為2 .已知向量a=(x,y),b=(i,2),且a+b=(i,3),則|a|等于()A.J2B.J3C.鎘D.屈3 .已知向量a=(3,2),b=(x,-4)，若a/b,則x=()A.4B.5C.6D.74 .設(shè)點A(2,0),B(4,2),若點P在直線AB上，且|A|=2|Ap,則點P的坐標為()A.(3,i)B.(i,i)C.(3,i)或(i,i)D,無數(shù)多個5 .已知a=(i,2),b=(3,2),當ka+b與a3b平行時，k=()A.；B.；C.-1D.144336 .已知向量a=(cos仇sin向量b=

13、h/3,-i),則|2ab|的最大值、最小值分別是()DA.4啦，0B.4V2,4C.i6,0D.4,07 .已知向量a=(i,2),b=(2,3),c=(4,i),若用a和b表示c,則c=.8 .已知向量a=(3,i),b=(i,3),c=(k,7),若(ac)/b,則k=.(3).如圖，已知c為OAB邊ab上一點，且AC2CB,OCmOAnOB(m,n變式訓練：uuuri.在ABC中，已知D是AB邊上一點，若ADA.23B.-3C.uuiruuir2DB,CDi3iuuuuuu-CACB,則32D.一32.設(shè)D,E分別是ABCW邊ABBC上的點，AD=；ABBE=|bCDE=瓜B+?2AC

14、A,入為實數(shù))，則入+4的值23.例7.(-3,-3)例8.A例9.解：由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(i,8)(i)3a+b-3c=3(5,5)+(6,-3)-3(i,8)=(i5-6-3,-i5-3-24)=(6,42).6m+n=5,m=-i,3i3.若M為ABC內(nèi)一點，且滿足AMABAC,則ABM與ABC的面積之比為44(2)nb+nc=(-6m+n,3m+8n),解得-3n8n=-5,n=-i.BCCCCD2a-b53歡立下載精品文檔4.若點M是ABO在平面內(nèi)的一點，且滿足5A陣A打3AC則ABMfABCW面積比為(1A.52B.59D.254n=3,3.解由題意

15、得(3,2)=m1,2)+n(4,1),所以2m+n=2,59,8n=n9.16(2) a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),由題意得2x(3+4k)(5)x(2+k)=0.k=13例10:2ra34b31:4平面向量共線的坐標表示例11.已知a=(1,2),b=(3,2),當實數(shù)k取何值時,ka+2b與2a4b平行？/(a2b),貝U等于()C12練習：1.已知向量a=(2,3),b=(1,2),若(ma+nb)-1A.-2B.2C2D.uuuruuir2 .已知A(1,1),R3,1),aa,b).(1)若A,B,C三點共線，求a,b的關(guān)系式；(2)若AC=2AB,求點C

16、的坐標.3 .平面內(nèi)給定三個向量a=(3,2),b=(1,2),c=(4,1).(1)求滿足a=nb+nc的實數(shù)m,n；(2)若(a+kc)/(2b-a),求實數(shù)k;例11.解法一：:2a4bw0,，存在唯一實數(shù)Z,使ka+2b=?(2a4b).將a,b的坐標代入上式，彳#(k6,2k+4)=X14,-4),得k6=14入且2k+4=4入解得k=-1.k-2X=0,解法二：同法一有ka+2b=?(2a-4b),即(k24a+(2+44b=0.丁a與b不共線，2+4入=0.k=一1.uuuruuuruuuruuir1) C2.解：(1)由已知得AB=(2,2),AC=(a-1,b-1),vA,B

17、,C三點共線，AB/AC.2(b-1)+2(a1)=0,即a+b=2.uuuruuma1=4,a=5,2) )AC=2AB,(a1,b-1)=2(2,2).解得b-1=-4,b=-3.點C的坐標為(5,-3).平面向量的數(shù)量積及應用知識梳理1 .兩個向量的夾角uuuuuu(1)定義：已知兩個向量a和b,作OA=a,OB=b,則稱作向量a與力向量b的夾角，記作a,b>,7一，J(2)范圍：向量夾角a,b>的范圍是,且=b,a.(3)向量垂直：如果a,b>=,則a與b垂直，記作.2 .平面向量的數(shù)量積(1)平面向量的數(shù)量積的定義：叫作向量a和b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作ab=.可見

18、，ab是實數(shù)，可以等于正數(shù)、負數(shù)、零.其中|a|cos6(|b|cos。)叫作向量a在b方向上(b在a方向上)的投影.(2)向量數(shù)量積的運算律ab=(交換律)(a+b)c=(分配律)(a)b=a(2)(數(shù)乘結(jié)合律).3.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)：已知非零向量a=(a,a。，b=(b,b。性質(zhì)幾何表小坐標表小定義ab=a|b|cosa,b>ab=ab+a2b2模aa=|a|2或|a|=/a'"aJI/22|a|aa1a2uuu若A(X1,y1),Rx2,v公，則AB=(X2X1,y2y。uuurnr2AB=7(X2-X1)+(y2-y1)a±b的等價條件ab=0ab

19、+a2b2=04歡立下載精品文檔夾角,一ab3b|a|b|(|a|b|w0)aba?b22cos<a,b>=11t22222丁七1a2、:b1b2|ab|與|a|b|的關(guān)系|ab|<|a|b|.122,2,2|abia2b2|qaa2bb2一、平面向量數(shù)量積的運算rrrr例2.(1)設(shè)向量a,b滿足abrr1及3a2br3,求3arb的值(2)設(shè)平面向量a=(1,2),b=(2,y),若A爐B.鄧C.產(chǎn)Da/b,則|3a+b|等于().-26uuuruu口例1(1)在等邊三角形ABC,D為AB的中點，AB=5,求AB.BC,(2)若a=(3,4),b=(2,1),求(a2b)

20、(2a+3b)和|a+2b|.變式訓練1.已知下列各式：|a|2=a2;|a|A.2.(a22b)|a|3.已知4.已知uuinCD；變式訓練1.已知|a|=2,|b|=5,ab=-3,則|a+b|=,1a-b|=，一，一、一一.，-一、，IT一2.若向量a,b滿足|a|=1,|b|=2且a與b的夾角為-,則|a+b|=3.ABC中，|AB|3,|AC|4,|BC|5,則ABBC(答:9);wb;(ab)2=a2b2;(ab)2=a22ab+b2,其中正確的有(2|a|r2,b3,3x3x4.已知向量a=cos,sin,b=cos-,-sin-,且xCJt_7t3'4.2|b|b|；0

21、或b0；r(bc)rr若ababacrrrcb,則aaa(bc)(ab)c；(1)求ab及|a+b|；(2)若f(x)=ab|a+b|,求f(x)的最大值和最小值.3總與b的夾角為120°,求°rb;(2)arc;2其中正確的是%-b；(3(2ab)(a3b)(答：)r三、求夾角例3已知|a|=4,|b|=3,(2a3b)(2a+b)=61.(1)求a與b的夾角向.rr34,2與b的夾角為一4rrb)(ar2b)。變式訓練:di5.已知a=(1,3),b=(4,6),c=(2,3)，則(bc)a等于().A.(26,78)B.(-28,-42)C.52D.-78rb?u,2

22、,且arrrrb與a垂直，求a與b的夾角rrrrrrr2.若a,b是非零向量且滿足(a2b)a,(b2a)b，則a與b的夾角(、求平面向量的模A.-B.C.-D.6335歡立下載精品文檔rr3.已知a,b是兩個非零向量，且rb的夾角為(答：30°)5.在ABC中,AB=(2,3),AC=(1,k),且ABC的一個內(nèi)角為直角,r4、已知ar(6,0),b(5,5),則，r，與b的夾角為（）、45°B、600C、1350D、1200五：求夾角范圍r已知|a|_r一，r22|b|0,且關(guān)于x的萬程x0有實根，則a與b的夾角的取值范圍是r5.已知a(1,小(0,Arrkb,drirc與d的夾角為-,則k等于（答:1）；A.0,-B.C.（2）已知a(,2),（3,2），如果a與b的夾角為銳角，則的取值范圍是6.已知|a|3,|b|5,且a12,則向量a在向量b上的投影為12（答：一）5變式訓練.四。利用