應(yīng)力狀態(tài)分析與強度理論

1、第五章應(yīng)力狀態(tài)分析與強度理論一、內(nèi)容提要1 .應(yīng)力狀態(tài)的概念1.1 一點的應(yīng)力狀態(tài)通過受力構(gòu)件的一點的各個截面上的應(yīng)力情況的集合，稱為該點的應(yīng)力狀1.2 一點的應(yīng)力狀態(tài)的表示方法一一單元體研究受力構(gòu)件內(nèi)一點處的應(yīng)力狀態(tài)，可以圍繞該點取一個無限小的正六面體，即單元體。若單元體各個面上的應(yīng)力已知或已計算出，則通過該點的其他任意方位截面上的應(yīng)力就可用解析法或圖解法確定。1.3 主平面、主應(yīng)力單元體上切應(yīng)力為零的平面稱為主平面,主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力。過受力構(gòu)件內(nèi)任一點總有三對相互垂直的主平面。相應(yīng)的主應(yīng)力用來表示，它們按代數(shù)值的大小順序排列，即123。1是最大主應(yīng)力，3是最小主應(yīng)力，它們分別是過

2、一點的所有截面上正應(yīng)力中的最大值和最小值。1.4 應(yīng)力狀態(tài)的分類1.5 單向應(yīng)力狀態(tài)，只有一個主應(yīng)力不為零，另兩個主應(yīng)力均為零；1.6 二向或平面應(yīng)力狀態(tài)，兩個主應(yīng)力不為零，另一個為零；1.7 三向或空間應(yīng)力狀態(tài)，三個主應(yīng)力都不為零。單向應(yīng)力狀態(tài)又稱簡單應(yīng)力狀態(tài)，二向、三向應(yīng)力狀態(tài)稱為復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)。2 .平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法在平面應(yīng)力狀態(tài)的單元體中，有一對平面上的應(yīng)力等于零，即為主平面，其上主應(yīng)力為零。可將單元體用平面圖形表示，如圖5-1所示。圖5-12.1 任意斜截面上的應(yīng)力當(dāng)已知x、y、xyyx時，應(yīng)用截面法，可得xyxycos2xysin2(5-1)-sin2xycos222式中，正

3、應(yīng)力以拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)；切應(yīng)力以對單元體內(nèi)任意點的矩為順時針轉(zhuǎn)向為正，反之為負(fù)；為斜截面外法線與x平面外法線即x軸間的夾角,角從x軸量起，反時針轉(zhuǎn)向為正，反之為負(fù)。2.2 主應(yīng)力maxmin2xy22xy(5-2)式中,max和min分別表示單元體上垂直于零應(yīng)力面的所有截面上正應(yīng)力的最大值和最小值。它們是三個主應(yīng)力中的兩個，而另一個主應(yīng)力為零。三個主應(yīng)力max、min和。要按代數(shù)值大小排列，分別用12.3 主平面的方位角0主平面與x軸間的夾角0可按下式計算tg202xy(5-3)由上式可確定兩個主平面的方位角0和090,其中當(dāng)xy時，0主平面上的主應(yīng)力為max,090主平面上的主應(yīng)力為當(dāng)

4、xy時，0主平面上的主應(yīng)力為90主平面上的主應(yīng)力為max03 .平面應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法3.1應(yīng)力圓方程圖5-22xy圓心坐標(biāo)一y,0半徑一y2-2xy3.2畫法當(dāng)已知x、y、xyyx時，選取坐標(biāo)系統(tǒng)，選取適當(dāng)?shù)谋壤撸_軸于C點，以C為圓心，以CDi定Di(x，xy)和D2(y,yx)兩點，連接兩點，交和CD2為半徑，畫出對應(yīng)于此應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓，如圖5-2所示。3.3單元體與應(yīng)力圓的對應(yīng)關(guān)系(1)對于某一平面應(yīng)力狀態(tài)而言，單元體的應(yīng)力狀態(tài)一定和一個應(yīng)力圓相對應(yīng)。(2)單元體中的一個面一定和應(yīng)力圓上的一個點相對應(yīng)。(3)單元體中一個面上的應(yīng)力對應(yīng)于應(yīng)力圓上一個點的坐標(biāo)。(4)應(yīng)力圓上兩點沿圓

5、弧所對應(yīng)的圓心角是單元體上與這兩點對應(yīng)的兩個平面間夾角的兩倍，且轉(zhuǎn)向相同。4.三向應(yīng)力狀態(tài)圖5-3如已知三向應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力單元體及主應(yīng)力1、2和3,則有(1) 一點處的最大正應(yīng)力max1。(2) 一點處的最大切應(yīng)力max一,其作用面與2平行且與1、3所在2主平面夾角各成45。(3)根據(jù)1、2和3作出三個應(yīng)力圓，則該點任意斜截面上的應(yīng)力對應(yīng)于三個應(yīng)力圓所圍的陰影區(qū)內(nèi)的一點的坐標(biāo)值，如圖5-3所示。5廣義胡克定律5.1一般形式線應(yīng)變只與正應(yīng)力有關(guān),切應(yīng)變只與11xExyzxyG刈切應(yīng)力有關(guān)y二E1yxzyz1Gyz1z-zyx5.2主應(yīng)力與主應(yīng)發(fā)間的關(guān)系11 E12312 E23113/312z

6、xG對于各向同性材料,在小變形情況下,(5-5)(5-6)5.3平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系1xy1Gxy(5-7a)1E1E(5-7b)6.體積應(yīng)變和變形應(yīng)變已知三個主應(yīng)力及材料的彈性常數(shù)6.1 體積應(yīng)變121 23E6.2 體積改變能密度3)z)12/u(16E6.3畸變能密度3)2Ud6.16T(14應(yīng)變能密度12)23)21)2(5-10)uUd2E121)(5-8)(5-9)(5-11)7.強度理論7.1 材料失效破壞現(xiàn)象的兩種類型(1)屈服失效材料出現(xiàn)不可恢復(fù)的塑性變形而導(dǎo)致材料的失效。塑性材料的失效就屬于屈服失效。(2)斷裂失效材料無明顯的變形而突然斷裂。脆性材料的失效就屬于斷裂

7、失效。7.2 強度理論的概念強度理論是關(guān)于材料失效現(xiàn)象主要原因的假設(shè)。即認(rèn)為不論是簡單應(yīng)力狀態(tài)還是復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，材料某一類型的破壞是由于某一種因素引起的。據(jù)此，可以利用簡單應(yīng)力狀態(tài)的實驗結(jié)果，來建立復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的強度條件。7.3 幾種常用的強度理論(1)有關(guān)脆性斷裂的強度理論最大拉應(yīng)力理論(第一強度理論)基本假設(shè)最大拉應(yīng)力是引起材料斷裂的主要因素。斷裂準(zhǔn)則ib強度條件i(5-12)最大伸長線應(yīng)變理論(第二強度理論)基本假設(shè)最大伸長線應(yīng)變是引起材料斷裂的主要因素斷裂準(zhǔn)則強度條件123(5-13)對兩種強度理論的分析大理石、混凝土等脆性材料的脆性斷裂規(guī)律,最大拉應(yīng)力理論比較符合鑄鐵、應(yīng)用較廣。但沒

8、有考慮到2和3對破壞的影響，對沒有拉應(yīng)力的應(yīng)力狀態(tài)則無法應(yīng)用此理論檢驗其強度。最大伸長線應(yīng)變理論，在形式上除了考慮第一主應(yīng)力1外，還考慮了第二、第三主應(yīng)力的影響。但實踐表明，它只與少數(shù)脆性材料的實驗結(jié)果相符合，如鑄鐵在拉一壓二向應(yīng)力、且壓應(yīng)力較大的情況吻合。故現(xiàn)今工程中甚少應(yīng)用這一理論。(2)有關(guān)塑性屈服的強度理論最大切應(yīng)力理論(第三強度理論)基本假設(shè)最大切應(yīng)力是引起材料塑性流動的主要因素。斷裂準(zhǔn)則maxJ13)2s強度條件13(5-14)畸變能密度理論(第四強度理論)基本假設(shè)畸變能密度是引起材料塑性屈服的主要因素。斷裂準(zhǔn)則山工(12)2(23)2(31)21(2s2)6E6E強度條件(12)

9、2(23)2(31)2(5-15)對兩種強度理論的分析最大切應(yīng)力理論與畸變能理論均能適合于塑性材料的屈服失效。按第三強度理論計算出的構(gòu)件尺寸往往偏于安全，按第四強度理論計算的結(jié)果與實驗接近。7.4上述四種強度理論可寫成統(tǒng)一形式ri（i1,2,3,4）（5-16）其中ri稱為計算應(yīng)力，從第一到第四強度理論的次序分別為ri1(5-17)r21(23)r3r4131222.J(12)(23)(31)27.5 莫爾強度理論基本假設(shè)以實驗資料為基礎(chǔ)，考慮了材料拉、壓強度的不同，承認(rèn)最大切應(yīng)力是引起屈服剪斷的主要原因并考慮了剪切面上正應(yīng)力的影響。強度條件1，3（5-18）c分析莫爾強度理論考慮了材料抗拉和

10、抗壓能力不等的情況，這符合脆性材料（如巖石混凝土等）的破壞特點。但未考慮中間主應(yīng)力2的影響是其不足之處對于t和c相同的材料，式（5-18）可演化成式（5-14）7.6 強度理論的選用一般情況下，脆性材料選用關(guān)于脆斷的強度理論與莫爾強度理論，塑性材料選用關(guān)于屈服的強度理論。但材料的失效形式還與應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)。例如，無論是塑性或脆性材料，在三向拉應(yīng)力情況下將以斷裂形式失效，宜采用最大拉應(yīng)力理論。在三向壓應(yīng)力情況下都引起塑性變形，宜采用第三或第四強度理論二、基本要求1 .理解應(yīng)力狀態(tài)的概念。2 .熟練掌握平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法和圖解法。3 .了解三向應(yīng)力狀態(tài)的最大應(yīng)力。4 .理解廣義胡克定律并熟練應(yīng)

11、用。5 .了解復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)變能密度的概念及計算。6 .理解強度理論的概念及常用的四種強度理論。三、典型例題分析例5.1已知圖(a)所示單元體的x60MPa,y40MPa,xy30MPa,yx30MPa0試求(1)30斜截面上的應(yīng)力；（2）主應(yīng)力、主平面和主應(yīng)力單元體；（3）最大切應(yīng)力3060圖5-4圖5-5解：1.斜截面上的應(yīng)力xyxycos2229.02MPaxysin2604026040cos6030sin602sin2xvcos22xy6040.sin6030cos6058.3MPa2.主應(yīng)力、主平面和主應(yīng)力單元體maxmin2xy60406040230268.3MPa48.3由此得到

12、：168.3MPa,0,348.3MPa主方向可由下式求得tg202xy60604015.5,2105.5或74.5,由于xy，可知1主平面的主應(yīng)力為2主平面的主應(yīng)力為3?？傻弥鲬?yīng)力單元體如圖（b）所示。3.最大切應(yīng)力13max268.348.358.3MPa2其所在平面與所在主平面各成45。例5.2用圖解法求解例5.1解：1.作應(yīng)力圓在直角坐標(biāo)系中，按選定的比例尺，確定點Di(60,-30)和點D2（-40,30）,連接兩點與軸交于C點，以C點為圓心，CDi為半徑作出應(yīng)力圓。2.由30,使半徑CD?瞬時針轉(zhuǎn)過60到CE,量得E點的坐標(biāo)（9,-58）,可得30斜截面上的應(yīng)力為9MPa,58MP

13、a。3.量得Ai,A2點的橫坐標(biāo)，則主應(yīng)力為168.3MPa-0,348.3MPa。量得圓心角DiCAi31,得015.5i且知該主平面上的主應(yīng)力為i由此畫出主單元體。4.量得應(yīng)力圓上F的縱坐標(biāo)，得max58MPa。55圖5-6例5.3討論圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力狀態(tài)，并分析鑄鐵構(gòu)件受扭轉(zhuǎn)時的破壞現(xiàn)象。解：0WP1 .取單元體圓軸扭轉(zhuǎn)時，在橫截面的邊緣處切應(yīng)力最大，其數(shù)值為在圓軸的表面，按圖（a）所示方式取出單元體ABCD,單元體各面上的應(yīng)力如圖（b）所示，其中xy0，xy,這是純剪切應(yīng)力狀態(tài)。2 .作應(yīng)力圓在直角坐標(biāo)系中，確定點Di（0,）和點D2（0,）,連接兩點與軸交于O點，以O(shè)點為圓心，ODi

14、為半徑作出應(yīng)力圓。則主應(yīng)力為10Al,20,3OA2。由Di到Ai為順時針轉(zhuǎn)向，且2090。所以在單元體上以x軸順時針轉(zhuǎn)過045,即可確定i所在主平面的法線。（圖b）。3 .分析純剪切應(yīng)力狀態(tài)的兩個主應(yīng)力絕對值相等，但一個為拉應(yīng)力，另一個為壓應(yīng)力。圓截面鑄鐵構(gòu)件扭轉(zhuǎn)時，表面各點1所在的主平面連成傾角為45的螺旋面。由于鑄鐵抗拉強度較低，構(gòu)件將眼這一螺旋面因拉伸而發(fā)生斷裂破壞，如圖（d）所示。例5.4單元體各面上的應(yīng)力如圖（a）所示。試求出單元體的主應(yīng)力及最大切應(yīng)力。圖5-7解：該單元體有一個已知的主應(yīng)力z20MPa,因此，與該主平面正交的各截面上的應(yīng)力與主應(yīng)力z無關(guān)。于是，可x,y平面上的應(yīng)力

15、畫出應(yīng)力圓（圖（b）,求出出另外兩個主應(yīng)力。從圓上量得兩個主應(yīng)力的值分別為兩68MPa,OA12MPa。將單元體的三個主應(yīng)力按代數(shù)值的大小排列為168MPa,212MPa,320MPa根據(jù)上述三個主應(yīng)力值，可作出三個應(yīng)力圓（圖（b）0單元體的最大切應(yīng)力為最大應(yīng)力圓的半徑max-344MPa例5.5邊長為0.1m的銅立方塊，無間隙地放入變形可略去不計的剛性凹槽中（圖（a）。已知銅的彈性模量E=100GPa,泊松比v=0.34。當(dāng)銅塊受到了F=300kN的均步壓力作用時，試求銅塊的三個主應(yīng)力的大小。解：31 .銅塊橫截面上的壓應(yīng)力為y-3001030MPaA0.12J圖5-82 .銅塊受到軸向壓縮

16、將產(chǎn)生橫向變形，但由于剛性凹槽壁的約束，使得銅塊在x,z方向的應(yīng)變等于零。于是，在銅塊與凹槽壁接觸面將產(chǎn)生均勻的壓應(yīng)力z（圖（b）。按廣義胡克定律公式，可得聯(lián)解兩式，可得0.3410.343015.5MPa3.按主應(yīng)力的代數(shù)值順序排列，的該銅塊的主應(yīng)力為1215.5MPa,330MPa20，例5.6當(dāng)鍋爐或其他圓筒形容器的壁厚t遠(yuǎn)小于它的內(nèi)直徑D時（譬如，t稱之為薄壁圓筒。圖（a）所示一薄壁容器承受內(nèi)壓力的壓強為p。圓筒部分的內(nèi)直徑為D,壁厚為t,且。試按第三、第四強度理論寫出圓筒壁的計算應(yīng)力表達(dá)式。解：1 .圓筒部分橫截面上的正應(yīng)力由圓筒及其受力的對稱性可知，作用在圓筒底上壓力的合力F的作用線與圓筒的軸線重合（圖（b）0因此圓筒部分的橫截面上各點處的正應(yīng)力可按軸向拉伸時的公式計算D2fpTADtPD4t2 .圓筒部分縱截面上的正應(yīng)力用相距為l的兩個橫截面和包含直徑的縱向平面，從圓筒中截取一部分（圖（C）o若在筒壁縱向截面上應(yīng)力為，則內(nèi)力為Fntl。在這一部分圓筒內(nèi)壁的微分面積lDd上的壓力為plDd。該部分22內(nèi)壓力在y方向的投影的代數(shù)和為圖5-9plDsin2plD積分結(jié)果表明,衡方程F