彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答

1、平面問題的極坐標(biāo)解答平面問題的極坐標(biāo)解答第四章第四章合肥工業(yè)大學(xué)本科生教學(xué)合肥工業(yè)大學(xué)本科生教學(xué)彈性力學(xué)彈性力學(xué)主講教師：袁海平主講教師：袁海平 (副教授、博士后副教授、博士后)彈性力學(xué)2第四章第四章平面問題的極坐標(biāo)解答平面問題的極坐標(biāo)解答本章要點(diǎn)本章要點(diǎn)彈性力學(xué)簡明教程(第三版)徐芝綸院士(1911-1999)要點(diǎn)：要點(diǎn)：（1）極坐標(biāo)中平面問題的基本方程：）極坐標(biāo)中平面問題的基本方程： 平衡方程、幾何方程、物理方程、平衡方程、幾何方程、物理方程、相容方程、邊界條件。相容方程、邊界條件。（2）極坐標(biāo)中平面問題的求解方法及應(yīng)用）極坐標(biāo)中平面問題的求解方法及應(yīng)用應(yīng)用：應(yīng)用：圓盤、圓環(huán)、厚壁圓筒、楔

2、形圓盤、圓環(huán)、厚壁圓筒、楔形體、半無限平面體等的應(yīng)力與體、半無限平面體等的應(yīng)力與變形分析。變形分析。彈性力學(xué)3一、極坐標(biāo)中的平衡微分方程一、極坐標(biāo)中的平衡微分方程二、極坐標(biāo)中的幾何方程與物理方程二、極坐標(biāo)中的幾何方程與物理方程三、極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程三、極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程四、應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式四、應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式五、軸對稱應(yīng)力與相應(yīng)的位移五、軸對稱應(yīng)力與相應(yīng)的位移六、圓環(huán)或圓筒受均布壓力六、圓環(huán)或圓筒受均布壓力七、壓力隧洞七、壓力隧洞八、圓孔的孔邊應(yīng)力集中八、圓孔的孔邊應(yīng)力集中九、半平面體在邊界上受集中力九、半平面體在邊界上受集中力十、半平面體在邊界上受分布力十、半平面

3、體在邊界上受分布力彈性力學(xué)簡明教程(第三版)徐芝綸院士(1911-1999)第四章第四章平面問題的極坐標(biāo)解答平面問題的極坐標(biāo)解答內(nèi)容提要內(nèi)容提要彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答4極坐標(biāo)中的微元體極坐標(biāo)中的微元體xyOdrdrPABCrrrfrfddrr)( rddrrrrdrrrrddrrd體力：體力：ffr,應(yīng)力：應(yīng)力：PA面面rr,PB面面r,BC面面drr極坐標(biāo)中的平衡微分方程極坐標(biāo)中的平衡微分方程一一drrrrdrrrrAC面面r、的的正面正面上，與坐標(biāo)方向上，與坐標(biāo)方向一致一致時(shí)為正；時(shí)為正；r、的的負(fù)面負(fù)面上，與坐標(biāo)方向上，與坐標(biāo)方向相反相反時(shí)為正。時(shí)為正。應(yīng)力正向規(guī)定：應(yīng)力正向規(guī)定：

4、彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答5考慮微元體平衡（厚度為考慮微元體平衡（厚度為1），將力投影到中心徑向軸上：），將力投影到中心徑向軸上：0rFrdrcos2rddr()cos2rrdddrddrrdrrrr)(sin2dddrsin2ddr0rdrdfrxyOdrdrPABCrrrfrfddrr)( rddrrrrdrrrrdrrd極坐標(biāo)中的平衡微分方程極坐標(biāo)中的平衡微分方程一一01rrrrfrrr兩邊同除以兩邊同除以 ，并略去高階小量：，并略去高階小量：rdrd彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答6：0F兩邊同除以兩邊同除以 ，并略去高階小量：，并略去高階小量：rdrd021frrrrr極坐標(biāo)中的平衡微

5、分方程極坐標(biāo)中的平衡微分方程一一xyOdrdrPABCrrrfrfddrr)( rddrrrrdrrrrdrrd將力投影到中心環(huán)向軸上：將力投影到中心環(huán)向軸上：ddrrdrrddrddrdrr2cos2cos2sinddrdrdrrr02sindrrdfddrr彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答70Mrr 剪應(yīng)力互等定理剪應(yīng)力互等定理于是，極坐標(biāo)下的平衡方程為：于是，極坐標(biāo)下的平衡方程為：（41）兩方程三個(gè)未知量，是一次超靜定問題，須應(yīng)用幾何學(xué)和物兩方程三個(gè)未知量，是一次超靜定問題，須應(yīng)用幾何學(xué)和物理學(xué)方面的條件才能求解。理學(xué)方面的條件才能求解。02101frrrfrrrrrrrrr極坐標(biāo)中的平衡微

6、分方程極坐標(biāo)中的平衡微分方程一一xyOdrdrPABCrrrfrfddrr)( rddrrrrdrrrrdrrd方程說明：方程說明：彈性力學(xué)8一、極坐標(biāo)中的平衡微分方程一、極坐標(biāo)中的平衡微分方程二、極坐標(biāo)中的幾何方程與物理方程二、極坐標(biāo)中的幾何方程與物理方程三、極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程三、極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程四、應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式四、應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式五、軸對稱應(yīng)力與相應(yīng)的位移五、軸對稱應(yīng)力與相應(yīng)的位移六、圓環(huán)或圓筒受均布壓力六、圓環(huán)或圓筒受均布壓力七、壓力隧洞七、壓力隧洞八、圓孔的孔邊應(yīng)力集中八、圓孔的孔邊應(yīng)力集中九、半平面體在邊界上受集中力九、半平面體在邊界上受集中力十、半

7、平面體在邊界上受分布力十、半平面體在邊界上受分布力彈性力學(xué)簡明教程(第三版)徐芝綸院士(1911-1999)第四章第四章平面問題的極坐標(biāo)解答平面問題的極坐標(biāo)解答內(nèi)容提要內(nèi)容提要彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答91. 幾何方程幾何方程dxyOrPPABdrruAB1drruurrdurr)( duurr(1) 只有徑向變形，無環(huán)向變形。只有徑向變形，無環(huán)向變形。徑向線段徑向線段PA的相對伸長：的相對伸長：rudrudrruurrrrPAPPAAPAPAAPr1（a）徑向線段徑向線段PA的轉(zhuǎn)角：的轉(zhuǎn)角：01（b）線段線段PB的相對伸長：的相對伸長：PBPBBPrdrddurr)(rur（c）1極坐標(biāo)中

8、的幾何方程與物理方程極坐標(biāo)中的幾何方程與物理方程二二環(huán)向線段環(huán)向線段PB的轉(zhuǎn)角：的轉(zhuǎn)角：PBPPBBrduduurrr)(rur111tan（d）彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答10徑向線段徑向線段PA的相對伸長：的相對伸長：rur1r（a）徑向線段徑向線段PA的轉(zhuǎn)角：的轉(zhuǎn)角：01（b）環(huán)向線段環(huán)向線段PB的相對伸長：的相對伸長：（c）rur1環(huán)向線段環(huán)向線段PB的轉(zhuǎn)角：的轉(zhuǎn)角：rur11（d）剪應(yīng)變?yōu)椋杭魬?yīng)變?yōu)椋簉rur1111（e）dxyOrPPABdrruAB1drruurrdurr)( duurr極坐標(biāo)中的幾何方程與物理方程極坐標(biāo)中的幾何方程與物理方程二二彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答11d

9、yxOrPBdrAP A B uduudrruu(2) 只有環(huán)向變形，無徑向變形。只有環(huán)向變形，無徑向變形。徑向線段徑向線段PA的相對伸長：的相對伸長：PAPAAP 0drdrdr2r（f）徑向線段徑向線段PA的轉(zhuǎn)角：的轉(zhuǎn)角：2rudrudrruu2（g）環(huán)向線段環(huán)向線段PB的相對伸長：的相對伸長：PBPBBP PBPPBB rduduuur12（h）2ru2（i）環(huán)向線段環(huán)向線段PB的轉(zhuǎn)角：的轉(zhuǎn)角：剪應(yīng)變?yōu)椋杭魬?yīng)變?yōu)椋?22rruru（j）極坐標(biāo)中的幾何方程與物理方程極坐標(biāo)中的幾何方程與物理方程二二彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答12(3) 總應(yīng)變總應(yīng)變21rrr0rurrur21urrur12

10、1rrrruruurr1rurrurrur1ruruurrr1（42）極坐標(biāo)中的幾何方程與物理方程極坐標(biāo)中的幾何方程與物理方程二二彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答132. 物理方程物理方程平面應(yīng)力情形：平面應(yīng)力情形：)(1rrE)(1rErrrEG)1 (21平面應(yīng)變情形：平面應(yīng)變情形：)1(12rrErrrEG)1 (21)1(12rE（43）（44）極坐標(biāo)中的幾何方程與物理方程極坐標(biāo)中的幾何方程與物理方程二二彈性力學(xué)14一、極坐標(biāo)中的平衡微分方程一、極坐標(biāo)中的平衡微分方程二、極坐標(biāo)中的幾何方程與物理方程二、極坐標(biāo)中的幾何方程與物理方程三、極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程三、極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容

11、方程四、應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式四、應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式五、軸對稱應(yīng)力與相應(yīng)的位移五、軸對稱應(yīng)力與相應(yīng)的位移六、圓環(huán)或圓筒受均布壓力六、圓環(huán)或圓筒受均布壓力七、壓力隧洞七、壓力隧洞八、圓孔的孔邊應(yīng)力集中八、圓孔的孔邊應(yīng)力集中九、半平面體在邊界上受集中力九、半平面體在邊界上受集中力十、半平面體在邊界上受分布力十、半平面體在邊界上受分布力彈性力學(xué)簡明教程(第三版)徐芝綸院士(1911-1999)第四章第四章平面問題的極坐標(biāo)解答平面問題的極坐標(biāo)解答內(nèi)容提要內(nèi)容提要彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答15xyOrPxy（1）極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)間的關(guān)系）極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)間的關(guān)系222yxrxyarctancosrx

12、sinry cosrxxrsinryyrrryxsin2rrxycos2（2）應(yīng)力分量與應(yīng)力函數(shù)關(guān)系）應(yīng)力分量與應(yīng)力函數(shù)關(guān)系),(r xyxxrrxrrsincosyyrryrrcossinrrsincosrrcossin極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程三三彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答16rrrrxsincossincos22rrrrr22222sincossin2cos22222sincossin2rrrrrrycossincossin22rrrrr22222coscossin2sin(a)xxyy22222coscossin2rr(b)極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程極

13、坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程三三彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答17rrrryxcossinsincos2rrrrrcossinsincoscossin22222222222cossinsincosrr(c)xyOrPxy由直角坐標(biāo)下應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力的關(guān)系：由直角坐標(biāo)下應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力的關(guān)系：222022011rrryxr220220rxyyrx,0時(shí)當(dāng)rrrryxxyr111222020極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程三三彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答18（3）極坐標(biāo)中的相容方程）極坐標(biāo)中的相容方程rrrrrx2222222sincossin2cos22222sincossin2

14、rrrrrrry2222222coscossin2sin22222coscossin2rr(a)(b)將式將式(a)與與(b)相加相加22222222211rrrryxrrrryx222222222211極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程三三彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答19極坐標(biāo)下的極坐標(biāo)下的 Laplace 微分算子：微分算子：22222211rrrr極坐標(biāo)下的相容方程為：極坐標(biāo)下的相容方程為：01111222222222222rrrrrrrr011222222224rrrr（46）說明：方程（說明：方程（46）為常體力情形的相容方程。）為常體力情形的相容方程。極坐標(biāo)中

15、的應(yīng)力函數(shù)與相容方程極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程三三彈性力學(xué)20一、極坐標(biāo)中的平衡微分方程一、極坐標(biāo)中的平衡微分方程二、極坐標(biāo)中的幾何方程與物理方程二、極坐標(biāo)中的幾何方程與物理方程三、極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程三、極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程四、應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式四、應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式五、軸對稱應(yīng)力與相應(yīng)的位移五、軸對稱應(yīng)力與相應(yīng)的位移六、圓環(huán)或圓筒受均布壓力六、圓環(huán)或圓筒受均布壓力七、壓力隧洞七、壓力隧洞八、圓孔的孔邊應(yīng)力集中八、圓孔的孔邊應(yīng)力集中九、半平面體在邊界上受集中力九、半平面體在邊界上受集中力十、半平面體在邊界上受分布力十、半平面體在邊界上受分布力彈性力學(xué)簡明教程(第三版)徐

16、芝綸院士(1911-1999)第四章第四章平面問題的極坐標(biāo)解答平面問題的極坐標(biāo)解答內(nèi)容提要內(nèi)容提要彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答21 設(shè)已知極坐標(biāo)中的應(yīng)力分量 、 、 。試求直角坐標(biāo)中的應(yīng)力分量 、 、 。rrxyxy在彈性體中取微小三角板A，各邊上的應(yīng)力如圖所示。三角板的厚度取為一個(gè)單位。令bc邊的長度為ds，則ab邊及ac邊的長度分別為 及 。 sindscosdsrryyxrrrrxyxcaboyxAB應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式四四在一定的應(yīng)力狀態(tài)下，如果已知極坐標(biāo)中的應(yīng)力分量，就可以利用簡單的關(guān)系式求得直角坐標(biāo)中的應(yīng)力分量。反之，如果已知直角坐標(biāo)中的應(yīng)力分量，也可以利用簡單

17、的關(guān)系式求得極坐標(biāo)中的應(yīng)力分量。彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答2222sincosdsdsdsrxcossin2sincos22rrx 0yF)sin(coscossin)(22rrxy另取微小三角板另取微小三角板B Bcossin2cossin22rry 0 xFrryyxrrrrxyxcaboyxAB應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式四四0cossinsincosdsdsrr剪應(yīng)力互等剪應(yīng)力互等 0yF彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答23(1) 用極坐標(biāo)下的應(yīng)力分量表示直角坐標(biāo)下的應(yīng)力分量用極坐標(biāo)下的應(yīng)力分量表示直角坐標(biāo)下的應(yīng)力分量(2) 用直角坐標(biāo)下的應(yīng)力分量表示極坐標(biāo)下的應(yīng)力分量用直角

18、坐標(biāo)下的應(yīng)力分量表示極坐標(biāo)下的應(yīng)力分量)sin(coscossin)(cossin2cossincossin2sincos222222rrxyrryrrx)sin(coscossin)(cossin2cossincossin2sincos222222xyxyrxyyxxyyxr應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式四四綜上，得出應(yīng)力分量由極坐標(biāo)向直角坐標(biāo)的變換式為：綜上，得出應(yīng)力分量由極坐標(biāo)向直角坐標(biāo)的變換式為：彈性力學(xué)24一、極坐標(biāo)中的平衡微分方程一、極坐標(biāo)中的平衡微分方程二、極坐標(biāo)中的幾何方程與物理方程二、極坐標(biāo)中的幾何方程與物理方程三、極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程三、極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)

19、與相容方程四、應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式四、應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式五、軸對稱應(yīng)力與相應(yīng)的位移五、軸對稱應(yīng)力與相應(yīng)的位移六、圓環(huán)或圓筒受均布壓力六、圓環(huán)或圓筒受均布壓力七、壓力隧洞七、壓力隧洞八、圓孔的孔邊應(yīng)力集中八、圓孔的孔邊應(yīng)力集中九、半平面體在邊界上受集中力九、半平面體在邊界上受集中力十、半平面體在邊界上受分布力十、半平面體在邊界上受分布力彈性力學(xué)簡明教程(第三版)徐芝綸院士(1911-1999)第四章第四章平面問題的極坐標(biāo)解答平面問題的極坐標(biāo)解答內(nèi)容提要內(nèi)容提要彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答25應(yīng)力分量應(yīng)力分量相容方程相容方程軸對稱應(yīng)力與相應(yīng)的位移軸對稱應(yīng)力與相應(yīng)的位移五五極坐標(biāo)系下應(yīng)力分量與相容

20、方程極坐標(biāo)系下應(yīng)力分量與相容方程011222222224rrrr22211rrrr22rrrrrr111222彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答26求解方法：求解方法： 逆解法逆解法1. 軸對稱問題應(yīng)力分量與相容方程軸對稱問題應(yīng)力分量與相容方程（2）應(yīng)力分量）應(yīng)力分量22drddrdrr10r（3）相容方程）相容方程012224drdrdrd2. 相容方程的求解相容方程的求解將相容方程表示為：將相容方程表示為：011122222224drdrdrddrdrdrddrdrdrd)(r 軸對稱應(yīng)力與相應(yīng)的位移軸對稱應(yīng)力與相應(yīng)的位移五五（1）應(yīng)力函數(shù)）應(yīng)力函數(shù)極坐標(biāo)平面內(nèi)僅為極坐標(biāo)平面內(nèi)僅為 r 的函數(shù)的

21、函數(shù)彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答27軸對稱問題拉普拉斯算子軸對稱問題拉普拉斯算子drdrdrdrdrdrdrd11222代入相容方程成為代入相容方程成為011drdrdrdrdrdrdrdr為四階常微分方程，其全部通解只有為四階常微分方程，其全部通解只有4項(xiàng)。積分得軸對稱應(yīng)力函數(shù)通解：項(xiàng)。積分得軸對稱應(yīng)力函數(shù)通解：DCrrBrrA22lnln（ A、B、C、D 為待定常數(shù)為待定常數(shù)）3. 應(yīng)力分量應(yīng)力分量將應(yīng)力函數(shù)通解代入應(yīng)力分量表達(dá)式，得軸對稱應(yīng)力的一般性解答將應(yīng)力函數(shù)通解代入應(yīng)力分量表達(dá)式，得軸對稱應(yīng)力的一般性解答02)ln23(2)ln21 (12222rrrCrBrAdrdCrBrAd

22、rdr軸對稱應(yīng)力與相應(yīng)的位移軸對稱應(yīng)力與相應(yīng)的位移五五彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答284. 位移分量位移分量),(uur對于平面應(yīng)力問題，將應(yīng)力分量代入物理方程，得相應(yīng)的形變分量對于平面應(yīng)力問題，將應(yīng)力分量代入物理方程，得相應(yīng)的形變分量ruErrr)(1CrBBrAE)1 (2ln)1 (2)31 ()1 (12ruurErr1)(1CrBBrAE)1 (2ln)1 (2)3()1 (12(a)0112ruruurErrr由式（由式（a）的第一式積分，得）的第一式積分，得軸對稱應(yīng)力與相應(yīng)的位移軸對稱應(yīng)力與相應(yīng)的位移五五彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答29) 1(ln)1 (2)31 ()1 (1r

23、BrBrrAEur將式（將式（b）代入式（）代入式（a）中第二式，得）中第二式，得ruCrBBrAEru)1 (2ln)1 (2)3()1 (2)(4fEBr將上式積分，得將上式積分，得:將式（將式（b）、）、 （c）代入式（代入式（a）中第三式，得）中第三式，得01ruruurrr或?qū)懗桑夯驅(qū)懗桑篸fddfdrrdfrrf)()()()(11)()1 (2fCr （b）)(f 是任意的待定函數(shù)是任意的待定函數(shù))()(41rfdfEBru（c）)(1rf 是是 r 任意函數(shù)任意函數(shù)0)()(1)()(111rrfdfrdrrdfddfr要使該式成立，兩要使該式成立，兩邊須為同一常數(shù)。邊須為同一

24、常數(shù)。軸對稱應(yīng)力與相應(yīng)的位移軸對稱應(yīng)力與相應(yīng)的位移五五彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答30Fdrrdfrrf)()(11Fdfddf)()(（d）（e）式中式中F 為常數(shù)。對為常數(shù)。對（d）積分有：積分有：FHrrf)(1（f）其中其中 H 為常數(shù)。對式（為常數(shù)。對式（e）兩邊求導(dǎo)）兩邊求導(dǎo)0)()(22fdfd其解為：其解為：sincos)(KIf（g）cossin)()(KIFddfFdf（h）將式（將式（f） （g） （h）代入式（）代入式（b） （c），得），得（4-12）cossin4KIHrEBrusincos)1 (2KICrBrrBrrAEur)31 () 1(ln)1 (2)1

25、(1軸對稱應(yīng)力與相應(yīng)的位移軸對稱應(yīng)力與相應(yīng)的位移五五彈性力學(xué)31一、極坐標(biāo)中的平衡微分方程一、極坐標(biāo)中的平衡微分方程二、極坐標(biāo)中的幾何方程與物理方程二、極坐標(biāo)中的幾何方程與物理方程三、極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程三、極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程四、應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式四、應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式五、軸對稱應(yīng)力與相應(yīng)的位移五、軸對稱應(yīng)力與相應(yīng)的位移六、圓環(huán)或圓筒受均布壓力六、圓環(huán)或圓筒受均布壓力七、壓力隧洞七、壓力隧洞八、圓孔的孔邊應(yīng)力集中八、圓孔的孔邊應(yīng)力集中九、半平面體在邊界上受集中力九、半平面體在邊界上受集中力十、半平面體在邊界上受分布力十、半平面體在邊界上受分布力彈性力學(xué)簡明教程(第三版)徐

26、芝綸院士(1911-1999)第四章第四章平面問題的極坐標(biāo)解答平面問題的極坐標(biāo)解答內(nèi)容提要內(nèi)容提要彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答32已知：已知：baqqba,求：圓環(huán)應(yīng)力分布。求：圓環(huán)應(yīng)力分布。軸對稱問題應(yīng)力軸對稱問題應(yīng)力應(yīng)力分量表達(dá)式：應(yīng)力分量表達(dá)式：CrBrAr2)ln21 (2CrBrA2)ln23(20rr（411）邊界條件：邊界條件：0arr0brraarrqbbrrq（a）將式（將式（a）代入）代入應(yīng)力分量，有：應(yīng)力分量，有：aqCaBaA2)ln21 (2bqCbBbA2)ln21 (2（b）圓環(huán)或圓筒受均布壓力圓環(huán)或圓筒受均布壓力六六彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答33式式(b)中有

27、三個(gè)未知常數(shù)，二個(gè)方程無法完全確定。中有三個(gè)未知常數(shù)，二個(gè)方程無法完全確定。對于多連體問題，位移須滿足位移單值條件。對于多連體問題，位移須滿足位移單值條件。sincos)1 (2KICrBrrBrrAEur)31 () 1(ln)1 (2)1 (1cossin4KIHrEBru位移多值項(xiàng)位移多值項(xiàng)圓環(huán)或圓筒受均布壓力圓環(huán)或圓筒受均布壓力六六要使單值，須有：要使單值，須有：B = 0 ，由式（，由式（b）得）得),(2222abqqabbaA2222)(2abbqaqCba將其代回應(yīng)力分量式，有：將其代回應(yīng)力分量式，有：為同一點(diǎn)，位移相同。與211彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答34barqbara

28、qabrb222222221111baqbaraqabrb222222221111（4-13）（1）若：）若：0, 0aqa,brqbq( 二向等壓情況二向等壓情況)（2）若：）若：)0(0abqq而（壓應(yīng)力）（壓應(yīng)力）（拉應(yīng)力）（拉應(yīng)力）arqabrb112222aqabrb112222)0()0(r圓環(huán)或圓筒受均布壓力圓環(huán)或圓筒受均布壓力六六（壓應(yīng)力）（壓應(yīng)力）（拉應(yīng)力）（拉應(yīng)力）彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答35 具有圓形孔道的無限大彈性體。具有圓形孔道的無限大彈性體。r（3）若：）若：)0( , 0baqqbrqbara222211bqbara222211)0()0(（壓應(yīng)力）（壓應(yīng)力）

29、（壓應(yīng)力）（壓應(yīng)力）（4）若：）若：)0(aqbarqra22aqra22圓環(huán)或圓筒受均布壓力圓環(huán)或圓筒受均布壓力六六彈性力學(xué)36一、極坐標(biāo)中的平衡微分方程一、極坐標(biāo)中的平衡微分方程二、極坐標(biāo)中的幾何方程與物理方程二、極坐標(biāo)中的幾何方程與物理方程三、極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程三、極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程四、應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式四、應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式五、軸對稱應(yīng)力與相應(yīng)的位移五、軸對稱應(yīng)力與相應(yīng)的位移六、圓環(huán)或圓筒受均布壓力六、圓環(huán)或圓筒受均布壓力七、壓力隧洞七、壓力隧洞八、圓孔的孔邊應(yīng)力集中八、圓孔的孔邊應(yīng)力集中九、半平面體在邊界上受集中力九、半平面體在邊界上受集中力十、半平面體在邊界

30、上受分布力十、半平面體在邊界上受分布力彈性力學(xué)簡明教程(第三版)徐芝綸院士(1911-1999)第四章第四章平面問題的極坐標(biāo)解答平面問題的極坐標(biāo)解答內(nèi)容提要內(nèi)容提要彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答37,E,E問題：問題：厚壁圓筒埋在無限大彈性體內(nèi)，受內(nèi)壓厚壁圓筒埋在無限大彈性體內(nèi)，受內(nèi)壓 q 作用，求作用，求圓筒的應(yīng)力。圓筒的應(yīng)力。1. 分析分析與以前相比較，相當(dāng)于兩個(gè)軸對稱問題：與以前相比較，相當(dāng)于兩個(gè)軸對稱問題：(a) 受內(nèi)外壓力作用的厚壁圓筒；受內(nèi)外壓力作用的厚壁圓筒；(b) 僅受內(nèi)壓作用的無限大彈性體。僅受內(nèi)壓作用的無限大彈性體。確定外壓確定外壓 p 的兩個(gè)條件：的兩個(gè)條件：徑向變形連續(xù)：

31、徑向變形連續(xù)：brrbrruu徑向應(yīng)力連續(xù)：徑向應(yīng)力連續(xù)：brrbrr,E,E壓力隧洞壓力隧洞七七彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答382. 求解求解(1) 圓筒的應(yīng)力與邊界條件圓筒的應(yīng)力與邊界條件CrAr22CrA22應(yīng)力：應(yīng)力：（a）邊界條件：邊界條件：(2) 無限大彈性體的應(yīng)力與邊界條件無限大彈性體的應(yīng)力與邊界條件應(yīng)力：應(yīng)力：CrAr22CrA22（b）pbrr,E,E,E,Eqarrpbrr邊界條件：邊界條件：0rr將式（將式（a）、（）、（b）代入相應(yīng)的邊界條件，得到如下方程：）代入相應(yīng)的邊界條件，得到如下方程：壓力隧洞壓力隧洞七七彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答39,EpCbAqCaA222

32、20222CpCbA4個(gè)方程不能解個(gè)方程不能解5個(gè)未知量，個(gè)未知量，需由位移連續(xù)條件確定。需由位移連續(xù)條件確定。brrbrruusincosKICrrAEur)11 (2)11 (12(c)(d)由軸對稱應(yīng)力狀態(tài)下對應(yīng)的位移分量公式，平面應(yīng)由軸對稱應(yīng)力狀態(tài)下對應(yīng)的位移分量公式，平面應(yīng)變問題的圓筒和無限大彈性體的徑向位移為：變問題的圓筒和無限大彈性體的徑向位移為：rCrAEur)11 (2)11 (12sincosKI,E壓力隧洞壓力隧洞七七彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答40sincos)21 (21KIrACrEursincos)21 (21KIrArCEur利用：利用：brrbrruusinc

33、os)21 (21KIbACbEsincos)21 (21KIbAbCE(e)要使對任意的要使對任意的 成立，須有成立，須有bACbE)21 (21bAbCE)21 (21IIKK(f)由(d)式知壓力隧洞壓力隧洞七七0C彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答410)21 (222bAbACn(g)其中：其中：)1 ()1 (EEn式（式（g）與式（）與式（c）（）（d）聯(lián)立求解）聯(lián)立求解（4-16）)1()21(1)1()21(12222nabnnrbnqr)1 ()21 (1)1 ()21 (12222nabnnrbnq)1()21(1)1(22222nabnrbnqr圓筒圓筒及無及無限大限大彈性彈

34、性體應(yīng)體應(yīng)力分力分量量式式(f)壓力隧洞壓力隧洞七七彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答42,E,Err討論：討論：（1）完全接觸完全接觸壓力隧洞問題為最簡單的接觸問題（面接觸）。壓力隧洞問題為最簡單的接觸問題（面接觸）。接觸面間既不互相脫離，也不互相滑動。接觸面間既不互相脫離，也不互相滑動。接觸條件為接觸條件為應(yīng)力：應(yīng)力：brrbrrbrrbrr（2）非完全接觸（光滑接觸）非完全接觸（光滑接觸）接觸條件：接觸條件：當(dāng)當(dāng) n a），），圓孔半徑為圓孔半徑為 a，在無限遠(yuǎn)處受有均勻，在無限遠(yuǎn)處受有均勻拉應(yīng)力拉應(yīng)力 q 作用。作用。求：孔邊附近的應(yīng)力。求：孔邊附近的應(yīng)力。圓孔的孔邊應(yīng)力集中圓孔的孔邊應(yīng)力集

35、中八八彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答45),(rAOxybAqxArrrA原問題轉(zhuǎn)化為：原問題轉(zhuǎn)化為：無限大圓板中間開有一圓孔的新問題。無限大圓板中間開有一圓孔的新問題。rrb（2）問題的求解）問題的求解 問題分析問題分析坐標(biāo)系：坐標(biāo)系：就外邊界（直線），宜用直角坐標(biāo)；就外邊界（直線），宜用直角坐標(biāo)；就內(nèi)邊界（圓孔），宜用極坐標(biāo)。就內(nèi)邊界（圓孔），宜用極坐標(biāo)。 取一半徑為取一半徑為 r =b (ba），在其上取一），在其上取一點(diǎn)點(diǎn) A 的應(yīng)力，有：的應(yīng)力，有：由應(yīng)力轉(zhuǎn)換公式：由應(yīng)力轉(zhuǎn)換公式：2cos22cos2qqq2sin2cossinqqcossin2sincos22xyyxr)sin(co

36、scossin)(22xyxyr0, 0,xyyxq圓孔的孔邊應(yīng)力集中圓孔的孔邊應(yīng)力集中八八彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答46新問題的邊界條件可表示為：新問題的邊界條件可表示為：xyba內(nèi)內(nèi)邊邊界界0arr0arr外外邊邊界界2cos22qqbrr2sin2qbrr（a）rr問題問題12qbrr0brr2cos2qbrr2sin2qbrr（b）2qrba將外邊界條件（將外邊界條件（a）分解為兩部分：）分解為兩部分：2cos2qr2sin2qr（c）ba問題問題2圓孔的孔邊應(yīng)力集中圓孔的孔邊應(yīng)力集中八八彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答47 問題問題1的解：的解：內(nèi)邊界內(nèi)邊界0arr0arr外邊界外邊界

37、2qbrr0brr（b 該問題為軸對稱問題，其解為該問題為軸對稱問題，其解為2112222qbarar2112222qbara0r 當(dāng)當(dāng) ba 時(shí)，有時(shí)，有2122qrar2122qra0r（d）問題問題12qrba圓孔的孔邊應(yīng)力集中圓孔的孔邊應(yīng)力集中八八彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答48 問題問題2的解：的解：（非軸對稱問題）（非軸對稱問題）內(nèi)內(nèi)邊邊界界0arr0arr外外邊邊界界2cos2qbrr2sin2qbrr（c） 由邊界條件（由邊界條件（c），可假設(shè)：），可假設(shè)： 為為 r 的某一函數(shù)的某一函數(shù)乘以乘以 ； 為為r 的某一函數(shù)乘以的某一函數(shù)乘以 。 r2cosr2sin 又由極坐標(biāo)下

38、的應(yīng)力分量表達(dá)式：又由極坐標(biāo)下的應(yīng)力分量表達(dá)式：22211rrrrrrr1 可假設(shè)應(yīng)力函數(shù)為：可假設(shè)應(yīng)力函數(shù)為：2cos2qr2sin2qrba問題問題22cos)(rf 將其代入相容方程：將其代入相容方程：011222222rrrr圓孔的孔邊應(yīng)力集中圓孔的孔邊應(yīng)力集中八八彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答4902cos)(9)(9)(2)(32223344drrdfrdrrfdrdrrfdrdrrfd0)(9)(9)(2)(32223344drrdfrdrrfdrdrrfdrdrrfd)ln(rtert或令：0)(16)(4)(4)(223344dttdfdttfddttfddttfd 該方程的特

39、征方程：該方程的特征方程：01644234特征根為：特征根為：, 41, 22, 0324方程的解為：方程的解為：tttDeCBeAetf224)(2cos12cos)(224rDCBrArrf2241)(rDCBrArrf圓孔的孔邊應(yīng)力集中圓孔的孔邊應(yīng)力集中八八彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答50 相應(yīng)的應(yīng)力分量：相應(yīng)的應(yīng)力分量：22211rrrr2cos)642(42rDrCB22r2cos)6212(42rDBArrrr12sin)6226(422rDrCBAr 對上述應(yīng)力分量應(yīng)用邊界條件（對上述應(yīng)力分量應(yīng)用邊界條件（c）, 有有內(nèi)邊界內(nèi)邊界0arr0arr外邊界外邊界2cos2qbrrsi

40、n2qarr（c） （e）2cos2qr2sin2qrba問題問題2圓孔的孔邊應(yīng)力集中圓孔的孔邊應(yīng)力集中八八彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答51264242qbDbCB26226422qbDbCBAb064242aDaCB06226422aDaCBAa0A4qB2qaC 44qaD2cos2qr2sin2qrba問題問題2代入應(yīng)力分量式（代入應(yīng)力分量式（e）, 有有2cos31244raq2cos)31)(1 (22222raraqr2sin)31)(1 (22222raraqrr （f）圓孔的孔邊應(yīng)力集中圓孔的孔邊應(yīng)力集中八八彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答52將將問題問題1和和問題問題2的解相加的

41、解相加, 得全解：得全解：2cos312124422raqraq2cos)31)(1 (2)1 (2222222raraqraqr2sin)31)(1 (22222raraqrr討論：討論：（1）沿孔邊，沿孔邊，r = a，環(huán)向正應(yīng)力：，環(huán)向正應(yīng)力：)2cos21 ( q),(rAb 齊爾西（齊爾西（G. Kirsch）解）解3q2qq0q906045300圓孔的孔邊應(yīng)力集中圓孔的孔邊應(yīng)力集中八八彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答53（3）沿沿 x 軸，軸， =0，環(huán)向正應(yīng)力：，環(huán)向正應(yīng)力：) 13(22222raraq, ar ; q,3ar 0圓孔的孔邊應(yīng)力集中圓孔的孔邊應(yīng)力集中八八（2）沿沿

42、y 軸，軸， =90，環(huán)向正應(yīng)力：，環(huán)向正應(yīng)力：)23211 (4422raraq1.04q1.07q1.22q3q4a3a2aar彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答54（4）若矩形薄板（或長柱）受雙向拉應(yīng)力若矩形薄板（或長柱）受雙向拉應(yīng)力 q1、q2 作用作用xyq1q2q2q1xyq1q1xyq2q2疊加后的應(yīng)力：疊加后的應(yīng)力：2cos3121244212221raqqraqq2cos)31)(1 (2)1 (22222212221raraqqraqqr2sin)31)(1 (2222221raraqqrr圓孔的孔邊應(yīng)力集中圓孔的孔邊應(yīng)力集中八八彈性力學(xué)55一、極坐標(biāo)中的平衡微分方程一、極坐標(biāo)中

43、的平衡微分方程二、極坐標(biāo)中的幾何方程與物理方程二、極坐標(biāo)中的幾何方程與物理方程三、極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程三、極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程四、應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式四、應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式五、軸對稱應(yīng)力與相應(yīng)的位移五、軸對稱應(yīng)力與相應(yīng)的位移六、圓環(huán)或圓筒受均布壓力六、圓環(huán)或圓筒受均布壓力七、壓力隧洞七、壓力隧洞八、圓孔的孔邊應(yīng)力集中八、圓孔的孔邊應(yīng)力集中九、半平面體在邊界上受集中力九、半平面體在邊界上受集中力十、半平面體在邊界上受分布力十、半平面體在邊界上受分布力彈性力學(xué)簡明教程(第三版)徐芝綸院士(1911-1999)第四章第四章平面問題的極坐標(biāo)解答平面問題的極坐標(biāo)解答內(nèi)容提要內(nèi)容提要彈性

44、力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答56xyO22P1. 楔頂受有集中力楔頂受有集中力P作用作用 楔形體頂角為楔形體頂角為，下端為無限長（單位厚度），下端為無限長（單位厚度），頂端受有集中力頂端受有集中力 P ，與中心線的夾角為，與中心線的夾角為，求：，求：（1）應(yīng)力函數(shù)的確定）應(yīng)力函數(shù)的確定因次分析法：因次分析法：rr,rP)N/m( :2單位)N/m( :單位rP半平面體在邊界上受集中力半平面體在邊界上受集中力九九由應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量間的微分關(guān)系，由應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量間的微分關(guān)系，可推斷：可推斷：)(rf （a）將其代入相容方程，以確定函數(shù)將其代入相容方程，以確定函數(shù))(f011222222rrrrr

45、rrr彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答570)()(2)(122443fdfddfdr0)()(2)(2244fdfddfd 4階常系數(shù)齊次的常微分方程階常系數(shù)齊次的常微分方程通解：通解：)sincos(sincos)(DCBAf其中其中A，B，C，D為積分常數(shù)。為積分常數(shù)。將其代入前面的應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式：將其代入前面的應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式：)(rf )sincos(sincosDCrBrArxy)sincos(DCr （4-20）（對應(yīng)于無應(yīng)力狀態(tài)）（對應(yīng)于無應(yīng)力狀態(tài)）xyO22P半平面體在邊界上受集中力半平面體在邊界上受集中力九九彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答58（2）應(yīng)力分量的確定）應(yīng)力分量的確定xy

46、O22P22211rrrr22rrrrr1)sincos(2CDr00邊界條件：邊界條件：02r, 02 自然滿足自然滿足abrrr （b）任取一圓弧任取一圓弧 ，其上的應(yīng)力應(yīng)與楔頂?shù)牧?，其上的?yīng)力應(yīng)與楔頂?shù)牧?P 平衡。平衡。ab:0 xF0coscos22Prdr:0yF0sinsin22Prdr將式（將式（b）代入，有：）代入，有：半平面體在邊界上受集中力半平面體在邊界上受集中力九九彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答590cos)cossincos(2222PdCD0sin)sincossin(2222PdCD積分得：積分得：0cos)(sinPD0sin)(sinPCsinsinPCsinc

47、osPD代入式（代入式（b）00rr)sinsinsinsincoscos(2rPr （4-21） 密切爾（密切爾（ J. H. Michell ）解答）解答xyO22Pabrrr半平面體在邊界上受集中力半平面體在邊界上受集中力九九彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答60兩種特殊情況：兩種特殊情況：P0（1）, 000rrsincos2rPr應(yīng)力對稱分布應(yīng)力對稱分布r應(yīng)力反對稱分布應(yīng)力反對稱分布rPxyO22abrrrxyO22abrrr半平面體在邊界上受集中力半平面體在邊界上受集中力九九,29000rrsinsin2rPr（2）彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答6100rrrPrcos2(1) 應(yīng)力分量應(yīng)

48、力分量由楔形體受集中力的情形，可以得到由楔形體受集中力的情形，可以得到 極坐標(biāo)表示的極坐標(biāo)表示的 應(yīng)力分量應(yīng)力分量利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的應(yīng)力轉(zhuǎn)換式（利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的應(yīng)力轉(zhuǎn)換式（4-8），可求得），可求得PxyOr無限大半平面體在邊界無限大半平面體在邊界法線方向受集中力作用法線方向受集中力作用 02. 半平面邊界受法向集中力作用半平面邊界受法向集中力作用rPx3cos2rPycossin22rPxy2cossin2或?qū)⑵涓臑橹苯亲鴺?biāo)表示或?qū)⑵涓臑橹苯亲鴺?biāo)表示xyyxrarctan222 （4-23）半平面體在邊界上受集中力半平面體在邊界上受集中力九九彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答622223

49、)(2yxxPx2222)(2yxxyPy2222)(2yxyxPxy(2) 位移分量位移分量直角坐直角坐標(biāo)表示標(biāo)表示的應(yīng)力的應(yīng)力分量分量假定為平面應(yīng)力情形，假定為平面應(yīng)力情形，其極坐標(biāo)形式的物理方程為其極坐標(biāo)形式的物理方程為PxyOr)(1rrE)(1rE0r將式代入將式代入rEPrcos2rEPcos20r （4-24）00rrrPrcos2半平面體在邊界上受集中力半平面體在邊界上受集中力九九彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答63由幾何方程由幾何方程rEPrurcos2rEPurrurcos2101ruruurr(a)(b)(c)積分式（積分式（a）)(lncos21frEPur(d)式（式（d

50、）代入式（）代入式（b）ruEPucos2)()ln(cos21frEP積分上式積分上式)()()ln(sin221rfdfrEPu(e)rEPrcos2rEPcos20r半平面體在邊界上受集中力半平面體在邊界上受集中力九九彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答64將式（將式（d）(e) 代入式（代入式（c） 得，得，ddfrEPr)(lnsin211drrdfEPr)(sin2120)()()ln(sin2121rfdfrEPrdrrdfrrfdfEPddf)()()()1 (sin2)(2211要使上式成立，方程兩側(cè)須等于同一常數(shù)。要使上式成立，方程兩側(cè)須等于同一常數(shù)。方程左方程左方程右方程右半平面體在邊界上受集中力半平面體在邊界上受集中力九九彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答65不妨令不妨令sincossin)1 ()(1KIEPfHrrf)(2代入位移分量式（代入位移分量式（d）（）（e），有），有sincossin)1 (lncos2KIEPrEPurcos)1 (sin)1 (lnsin2EPEPrEPucossinKIHr式中，常數(shù)式中，常數(shù)H，I，K 由邊界條