多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則(8)

1、整理課件1)3sin()(lim2222yxyxyx33sinlimsin,cos22 原原式式令令解解yyx)|lim,yxxyxyxxkxy時，當設(shè)沿直線解, |不存在。yxxkxkxyxxkxyx|lim,|lim|整理課件2函數(shù)函數(shù) 在點在點 可微分可微分),(yxfz ),(yx)(oyBxAz)(oyyzxxzyyzxxzdz )(odzzxzyxfxxx000lim),(xyxfyxxfx),(),(lim00000),(yxfz ),(00yx函數(shù)函數(shù) 在點在點 可導(dǎo)可導(dǎo) )( xoxxzzx整理課件4證證),()(tttu 則則);()(tttv 一、鏈式法則一、鏈式法則定理

2、定理 如果函數(shù)如果函數(shù))(tu 及及)(tv 都在點都在點 t可導(dǎo)， 函數(shù)可導(dǎo)， 函數(shù)),(vufz 在對應(yīng)點在對應(yīng)點),(vu具有連續(xù)偏具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù))(),(ttfz 在對應(yīng)點在對應(yīng)點 t可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計算：可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計算： dtdvvzdtduuzdtdz ，獲獲得得增增量量設(shè)設(shè)tt 整理課件5由由于于函函數(shù)數(shù)),(vufz 在在點點),(vu有有連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù),21vuvvzuuzz 當當0 u，0 v時時，01 ，02 tvtutvvztuuztz 21 當當0 t時時， 0 u，0 v,dtdutu ,dtdvtv 整理

3、課件6.lim0dtdvvzdtduuztzdtdzt 上定理的結(jié)論可推廣到中間變量多于兩個的情況上定理的結(jié)論可推廣到中間變量多于兩個的情況.如如dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz uvwtz以上公式中的導(dǎo)數(shù)以上公式中的導(dǎo)數(shù) 稱為稱為dtdz整理課件7 上定理還可推廣到中間變量不是一元函數(shù)上定理還可推廣到中間變量不是一元函數(shù)而是多元函數(shù)的情況：而是多元函數(shù)的情況：).,(),(yxyxfz 如如果果),(yxu 及及),(yxv 都都在在點點),(yx具具有有對對x和和y的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，且且函函數(shù)數(shù)),(vufz 在在對對應(yīng)應(yīng)點點),(vu具具有有連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，則則復(fù)復(fù)合合

4、函函數(shù)數(shù)),(),(yxyxfz 在在對對應(yīng)應(yīng)點點),(yx的的兩兩個個偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)存存在在，且且可可用用下下列列公公式式計計算算 xvvzxuuzxz ， yvvzyuuzyz .整理課件8uvxzy鏈式法則如圖示鏈式法則如圖示 xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv 整理課件9 類似地再推廣，設(shè)類似地再推廣，設(shè)),(yxu 、),(yxv 、),(yxww 都在點都在點),(yx具有對具有對x和和y的偏導(dǎo)數(shù)，復(fù)合的偏導(dǎo)數(shù)，復(fù)合函數(shù)函數(shù)),(),(),(yxwyxyxfz 在對應(yīng)點在對應(yīng)點),(yx兩個偏導(dǎo)數(shù)存在，且可用下列公式計算兩個偏導(dǎo)數(shù)存在，且可用下列公式計算 xwwz

5、xvvzxuuzxz , ywwzyvvzyuuzyz .zwvuyx整理課件10注意：注意：1）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)時要區(qū)分函數(shù)與法則的關(guān)系；復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)時要區(qū)分函數(shù)與法則的關(guān)系； )(),(xyyyxfz 例如例如)()(,(xzxyxfz 由復(fù)合關(guān)系由復(fù)合關(guān)系則則 z 對對 x 與與 f 對對 x 意義不一樣。意義不一樣。 求偏導(dǎo)；對看作常數(shù)把的二元函數(shù)是xyyxfzxfxz,求求導(dǎo)導(dǎo)。對對的的一一元元函函數(shù)數(shù)，通通過過復(fù)復(fù)合合是是xzxzdxdzdxdyyfxfdxdz 2）區(qū)分偏導(dǎo)與導(dǎo)數(shù)的符號；區(qū)分偏導(dǎo)與導(dǎo)數(shù)的符號； 3）復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一般還是復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一般還是復(fù)合函數(shù).zxyx

6、整理課件11設(shè)設(shè) f(x,y) 可微，且可微，且 f(x,2x)=x, fx(x,2x)=x2, 求求 fy(x,2x).解：解：1)()2,(xdxdxxfdxddxdyxxfxxfxxfdxdyx)2 ,()2 ,()2 ,(21)2,(2xxxfy)2 ,(22xxfxy分析分析：xyyyxyxxyxfxxfyxfxxf22| ),()2 ,(,| ),()2 ,()()(,(2),(xzxyxfzxyyxfz整理課件12特殊地特殊地),(yxufz ),(yxu 即即,),(yxyxfz ,xfxuufxz .yfyuufyz 令令,xv , yw 其中其中, 1 xv, 0 xw,

7、0 yv. 1 yw把把復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù),),(yxyxfz 中中的的y看看作作不不變變而而對對x的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)把把),(yxufz 中中的的u及及y看看作作不不變變而而對對x的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)兩者的區(qū)別兩者的區(qū)別區(qū)別類似區(qū)別類似整理課件13例例 1 1 設(shè)設(shè)vezusin ，而，而xyu ，yxv ， 求求 xz 和和yz .解解 xz uzxu vzxv 1cossin veyveuu),cossin(vvyeu yz uzyu vzyv 1cossin vexveuu).cossin(vvxeu 整理課件14例例 2 2 設(shè)設(shè)tuvzsin ，而而teu ，tvcos ， 求求全全導(dǎo)導(dǎo)數(shù)

8、數(shù)dtdz.解解tzdtdvvzdtduuzdtdz ttuvetcossin ttetettcossincos .cos)sin(costttet 整理課件15復(fù)合函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)),(),(),(),(),(),(yxzyxvyxufzyxvvyxuuvufz ),(),(),(),(yxxvvuvfyxxuvuufxz ),(),(),(),(yxyvvuvfyxyuvuufyz 整理課件16),(),(),(),(),(yxxvvuufvyxxuvuufuvuufx),(),(),(),(),(yxxvvuvfvyxxuvuvfuvuvfxxvvufxuuf222xxv

9、fuf 12 11xvvfxuuvf222xxvfuf 22 21yyvfufvuufy 12 11),(yyvfufvuvfy 22 21),(整理課件17),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),()(22yxxvxvuvfyxxvvuvfxyxxuxvuufyxxuvuufxyxxvvuvfyxxuvuufxxzxxz 22222)(xuufxuxvvufxuuf22222)(xvvfxvxvvfxuuvfxxxxxxxxxxxvfvufvufufvufuf12 12 211 122 11整理課件18 例例 3 3 設(shè)設(shè)),(xyzzyxfw ，f具具有有二二

10、階階 連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，求求xw 和和zxw 2. .解解令令, zyxu ;xyzv 記記,),(1uvuff ,),(212vuvuff 同理有同理有,2f ,11f .22f xwxvvfxuuf ;21fyzf 整理課件19 zxw2)(21fyzfz ;221zfyzf yzf zf1zvvfzuuf 11;1211fxyf zf2zvvfzuuf 22;2221fxyf 于是于是 zxw21211fxyf 2f y )(2221fxyfyz .)(22221211f yf zxyfzxyf 整理課件20 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(vufz 具具有有連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，則則有有全全微微

11、分分dvvzduuzdz ;當當),(yxu 、),(yxv 時時，有有dyyzdxxzdz .全微分形式不變形的實質(zhì)：全微分形式不變形的實質(zhì)： 無論無論 是自變量是自變量 的函數(shù)或中間變量的函數(shù)或中間變量 的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的.zvu、vu、二、全微分形式不變性二、全微分形式不變性整理課件21dxxvvzxuuz dyyzdxxzdz dyyvvzyuuz dyyudxxuuz dyyvdxxvvzduuz .dvvz 整理課件22例例 4 4 已已知知02 zxyeze，求求xz 和和yz .解解, 0)2( zxyezed, 02)( dzedzx

12、ydezxy)()2(ydxxdyedzexyz dyexedxeyedzzxyzxy)2()2( xz ,2 zxyeyeyz .2 zxyexe整理課件231、鏈式法則、鏈式法則（分三種情況）（分三種情況）2、全微分形式不變性、全微分形式不變性（特別要注意課中所講的特殊情況）（特別要注意課中所講的特殊情況）（理解其實質(zhì)）（理解其實質(zhì)）三、小結(jié)三、小結(jié)整理課件24設(shè)設(shè)),(xvufz ，而而)(xu ，)(xv ，則則xfdxdvvfdxduufdxdz ，試試問問dxdz與與xf 是是否否相相同同？為為什什么么？思考題思考題整理課件25思考題解答思考題解答不不相相同同.等等式式左左端端的的

13、z是是作作為為一一個個自自變變量量x的的函函數(shù)數(shù)，而而等等式式右右端端最最后后一一項項f是是作作為為xvu,的的三三元元函函數(shù)數(shù)， 寫寫出出來來為為 xxvuxdxduufdxdz),(.),(),(xvuxxvuxfdxdvvf 整理課件26一、填空題一、填空題: : 1 1、設(shè)、設(shè)xyyxzcoscos , ,則則 xz_； yz_. .2 2、 設(shè)設(shè)22)23ln(yyxxz , ,則則 xz_； yz_._. 3 3、設(shè)、設(shè)32sinttez , ,則則 dtdz_._.二二、設(shè)設(shè)uvuez , ,而而xyvyxu ,22，求求yzxz , . .練練 習(xí)習(xí) 題題整理課件27三、設(shè)三、

14、設(shè))arctan(xyz , ,而而xey , ,求求dxdz. .四、設(shè)四、設(shè)),(22xyeyxfz ( (其其具具中中f有一階連續(xù)偏導(dǎo)有一階連續(xù)偏導(dǎo) 數(shù)數(shù)) ), ,求求yzxz ,. .五、設(shè)五、設(shè))(xyzxyxfu ,(,(其其具具中中f有一階連續(xù)偏導(dǎo)有一階連續(xù)偏導(dǎo) 數(shù)數(shù)),),求求.,zuyuxu 六、設(shè)六、設(shè)),(yxxfz ,(,(其其具具中中f有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)),),求求 22222,yzyxzxz . .整理課件28七、設(shè)七、設(shè),)(22yxfyz 其中為可導(dǎo)函數(shù)其中為可導(dǎo)函數(shù), , 驗證驗證: :211yzyzyxzx . .八、設(shè)八、設(shè) ,),(其中其中yyxxz 具有二階導(dǎo)數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù), ,求求 .,2222yzxz 整理課件29一、一、1 1、xyyyyxxxyxxxy222cos)cossin(cos,cos)sin(coscos ； 2 2、,)23(3)23ln(2222yyxxyxyx 2232)23(2)23ln(2yyxxyxyx ； 3 3、.)43(1)41(3232ttt 二、二、,)(22222222yxxyeyyxyxyxxz )(22222)