誤差和不確定的區(qū)別和聯(lián)系

1、誤差與不確定度的概念比較實(shí)驗(yàn)教學(xué)中關(guān)于誤差和不確定度的區(qū)別和聯(lián)系，是學(xué)生感到難以理解并準(zhǔn)確掌握的概念之一，本文將對此比較總結(jié)如下。 1誤差和不確定度的定義1.1 誤差的概念 各被測量量在實(shí)驗(yàn)當(dāng)時(shí)條件下均有不依人的意志為轉(zhuǎn)移的真實(shí)大小，此值被稱為被測量的真值。即真值就是被測量量所具有的、客觀的真實(shí)數(shù)值。然而實(shí)際測量時(shí)，總是由具體的觀測者，通過一定的測量方法，使用一定的測量儀器和在一定的測量環(huán)境中進(jìn)行的。由于受到觀測者的操作和觀察能力，測量方法的近似性，測量儀器的分辨力和準(zhǔn)確性，測量環(huán)境的波動(dòng)等因素的影響，其測量結(jié)果和客觀的真值之間總有一定的差異。測量結(jié)果與真值的差為測量值的誤差，即 測量值(x)

2、-真值(a)=誤差()在實(shí)驗(yàn)中通常要處理的來源于測量值的誤差有兩類：偶然誤差和系統(tǒng)誤差。 對于偶然誤差，有算術(shù)平均值作為被測量真值的最佳估計(jì)值，相應(yīng)的誤差有標(biāo)準(zhǔn)偏差s，它的定義為 -(1)式中n為測量值的個(gè)數(shù)。對于算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差，用來表示算術(shù)平均值的偶然誤差，表達(dá)式為-(2)二者的統(tǒng)計(jì)意義是，標(biāo)準(zhǔn)偏差小的測量值，其可靠性較高。 對于系統(tǒng)誤差，不能用統(tǒng)計(jì)的方法評定不確定度，首先要對實(shí)驗(yàn)理論分析或?qū)Ρ确治鲋?，可以得知其系統(tǒng)誤差的來源，并可采取一定的措施去削減系統(tǒng)誤差。例如由于天平左右臂長不完全相同導(dǎo)致的系統(tǒng)誤差，可將物體放在天平左盤、右盤上各稱一次取平均去消除，而對于單擺周期與振幅有關(guān)，縮

3、小振幅可以減小此項(xiàng)系統(tǒng)誤差，在測量要求更高時(shí)，可根據(jù)理論分析得出的修正公式去補(bǔ)正。 1.2 不確定度的概念 測量不確定度則是評定作為測量質(zhì)量指標(biāo)的此量值范圍，即對測量結(jié)果殘存誤差的評估。設(shè)測量值為x，其測量不確定度為u，則真值可能在量值范圍(x-u，x+u)之中，顯然此量值范圍越窄，即測量 不確定度越小，用測量值表示真值的可靠性就越高。 不確定度也有兩類：A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度和B類不確定度。 由于偶然效應(yīng)，A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度用統(tǒng)計(jì)方法來評定，其就取為平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差，即(2)式，也可寫為-(3)B類評定的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為 u(x)=/-(4)(4) 式又稱為儀器的標(biāo)準(zhǔn)誤差。該式是根據(jù)儀器誤差概率密度函

4、數(shù)遵從均勻分布規(guī)律，由數(shù)學(xué)計(jì)算所得。 式中為極限誤差或儀器誤差，是在規(guī)定的使用條件下，正確使用儀器時(shí)，儀器的示值和被測量真值之間可能出現(xiàn)的最大誤差，其可以從下列幾種情況中獲得：國家計(jì)量技術(shù)規(guī)范；計(jì)量儀器說明書或檢定書；儀器準(zhǔn)確度等級；儀器分度值或經(jīng)驗(yàn)(粗略估計(jì))等。 2 二者的比較 不同類型的誤差中究竟如何來區(qū)分誤差和不確定度，表達(dá)式等方面有何不同，仍然有很多教材沒有說明清楚。1993年，國際標(biāo)準(zhǔn)化組織頒布了測量不確定度表達(dá)指南(UGM)，1999年，國家技術(shù)監(jiān)督局頒布了測量不確定度的評定與表示 (JJF1059-1999)。這兩個(gè)文件的頒布，標(biāo)志著我國各技術(shù)領(lǐng)域 在不確定度的評定和表達(dá)方法上

5、，將逐步走向一致，并與國際通行作法接軌。在大學(xué)一年級的教學(xué)中，可講授以下相關(guān)的問題。2.1 來源方面的比較對誤差的來源可以概括為五個(gè)方面：理論；儀器；實(shí)驗(yàn)裝置；實(shí)驗(yàn)條件；觀測者和監(jiān)視器。誤差的來源不同，它對測量的影響不同，不同的來源評定不確定度的方法應(yīng)不同。從測量值來看其影響表現(xiàn)可分為兩類：一類是偶然效應(yīng)引起的，使測量值分散開，例如用手控停表測擺的周期，由于手的控制存在偶然性，每次測量值不會(huì)相同；另一類則使測量值恒定的向某一方向偏移，重復(fù)測量時(shí)，此偏移的方向和大小不變，例如用電壓表測一電阻兩端的電壓，由于這時(shí)偶然效應(yīng)很弱，反復(fù)測量其值基本不變，當(dāng)用更精密的電勢差計(jì)去測時(shí)，可以得知電壓計(jì)的示值有

6、恒定的偏差，這是電壓計(jì)的基本誤差所致，此類誤差稱為系統(tǒng)誤差。前者的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為A類評定，后者為B類，以估計(jì)殘存系統(tǒng)誤差的可能范圍。對于多個(gè)來源的誤差，則用合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度評定。這就是下面要討論的。2.2 標(biāo)準(zhǔn)誤差的傳遞公式與合成不確定度前面討論的是直接測量結(jié)果及其誤差的估算和相應(yīng)的不確定度，但在實(shí)驗(yàn)中大多數(shù)物理量的求得，往往是由一些直接測得量通過一定的公式計(jì)算得到的。由直接測得量代入公式計(jì)算得到的結(jié)果，稱為間接測得量。將各個(gè)直接測得量的最佳值(算術(shù)平均值)代入測量公式計(jì)算，得到的結(jié)果稱為間接測得量的最佳值。當(dāng)測量次數(shù)無限增多時(shí)，此最佳值與間接測得量的算術(shù)平均值是一致的。由于各個(gè)直接測得量的最

7、佳值都有一定的誤差，因此，求得的間接測量結(jié)果也必然具有誤差。表達(dá)直接測量誤差與間接測量誤差之間的關(guān)系式，稱為誤差傳遞公式，其表達(dá)式摘要如下。設(shè)間接測量N=F(A，B，C，)，式中A，B，C，為各獨(dú)立的直接測得量，它們分別表示為則間接測得量表示為-(5)式中為間接測得量的最佳值，即=F(，)-(6)uN為間接測得量的標(biāo)準(zhǔn)誤差。經(jīng)理論計(jì)算可以得到間接測得量的標(biāo)準(zhǔn)誤差為 - (7) 上式稱為標(biāo)準(zhǔn)誤差的傳遞公式。表達(dá)式與(7)式相似的，有合成不確定度uc(x)。 對一物理量測定之后，要計(jì)算測得量的不確定度，由于其測得量的不確定度來源不止一個(gè)，所以要合成其標(biāo)準(zhǔn)不確定度。計(jì)算的方法是方和根法。 對于直接測

8、量，設(shè)被測量X的標(biāo)準(zhǔn)不確定度的來源有k項(xiàng)，則合成不確定度uc(x)取 -(8) 上式中的u(x)可以是A類評定也可是B類評定。 對于間接測量，設(shè)被測量量Y由m個(gè)直接被測量x1，x2，xm算出，它們的關(guān)系為y=y(x1，x2，xm)，各xi的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為u(xi)，則y的合成不確定度uc(y)為 -(9)比較(9)式與(7)式，在數(shù)學(xué)表達(dá)式上是一致的。但是(7)式是計(jì)算間接測得量N的誤差，(9)式是合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度。 對于測得結(jié)果的報(bào)道通常寫為 Y=y±uc(y)(單位) 或用相對不確定度 Y=y(1±u)(單位) 測量后，一定要計(jì)算不確定度，如果實(shí)驗(yàn)時(shí)間較少，不便于比較全

9、面計(jì)算不確定度時(shí)，在偶然誤差為主的測量情況下，可以只計(jì)算A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度作為總的不確定度，略去B類不確定度；在系統(tǒng)誤差為主的測量情況下，可以只計(jì)算B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度作為總的不確定度。又由上文表明，如果用不確定度作為測量結(jié)果的報(bào)道，就可以不用標(biāo)準(zhǔn)誤差，反之亦然。 2.3 綜上所述，誤差與不確定度是不可分的，二者緊密聯(lián)系，但在處理數(shù)據(jù)時(shí)又要有所側(cè)重 二者的聯(lián)系至少有：一是誤差的來源決定了不確定度的類型，也即由于測量有誤差，因而才要評定不確定度；二是對于誤差的多種來源，要用(7)式和(8)式(9)式，目前更提倡用(8)和(9)式；二者的主要區(qū)別從上文看顯而易見的：誤差是測量結(jié)果和客觀的真值之間總有一定

10、的差異，是不可避免的，而不確定度是對誤差的評估方法，包括對測量結(jié)果殘存誤差的評估和評定誤差的范圍。 3 規(guī)范教學(xué)內(nèi)容的原則 首先是向剛步入大學(xué)實(shí)驗(yàn)課堂的學(xué)生說明，大學(xué)實(shí)驗(yàn)是要用更進(jìn)一步的手段來分析誤差，而不是僅用誤差的概念來分析誤差。 3.1 為了與中學(xué)教學(xué)銜接，還是要在誤差的基礎(chǔ)上通過比較引導(dǎo)學(xué)生用不確定度來報(bào)道實(shí)驗(yàn)結(jié)果。雖然，標(biāo)準(zhǔn)誤差與不確定度在表達(dá)式上差異并不大，但測量不確定度更能反映絕對誤差與真值a的不可確知性，是對測量可靠性的評價(jià)，即是評定作為測量質(zhì)量指標(biāo)的此量值范圍。然而測量不確定度的評定，常以估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差(或標(biāo)準(zhǔn)偏差)去表示大小，這時(shí)二者就沒有區(qū)別。在對大一學(xué)生的大學(xué)實(shí)驗(yàn)入門教學(xué)

11、中，指出這一點(diǎn)，有助于學(xué)生將中學(xué)學(xué)習(xí)的誤差概念深化。 3.2 在教學(xué)中，前述的(1)(2)(3)式，比較了偶然誤差和A類不確定度，(4)式則比較了系統(tǒng)誤差與B類不確定度，(7)和(9)式則比較了標(biāo)準(zhǔn)誤差的傳遞公式與合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度。在對大一學(xué)生的 教學(xué)中，如果直接介紹(3)、(4)和(9)式，學(xué)生就感到難以接受，覺得中學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容都沒有用了，同時(shí)學(xué)習(xí)實(shí)驗(yàn)理論的積極性也會(huì)受到影響，而分別在(1)、(2)式和極限誤差或儀器誤差、(5)、(6)、(7)式討論后再要求用不確定度進(jìn)行教學(xué)，效果就會(huì)大不一樣。 3.3 通過具體的實(shí)驗(yàn)實(shí)例分析，研究減少系統(tǒng)誤差的方法，有利于學(xué)生對誤差的深入認(rèn)識(shí)，使之在中學(xué)的

12、基礎(chǔ)上得到提高。在實(shí)驗(yàn)的理論方法、環(huán)境條件、儀器結(jié)構(gòu)、操作測量等方面，都可能存在由于偶然因素產(chǎn)生的一些漲落擾動(dòng)，或是一些不能嚴(yán)格確定的系統(tǒng)誤差。這些都將構(gòu)成實(shí)驗(yàn)的不確定因素。這些不確定因素往往就成為實(shí)驗(yàn)基本誤差的主要來源。因此，在實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)安排、儀器裝置的設(shè)計(jì)使用以及操作測量過程中，要盡量避免或減少這些不確定因素的影響。 在教學(xué)中可以介紹如提高信噪比，在地下礦井或山洞里尋找新的宇宙粒子，在低溫下做實(shí)驗(yàn)以減小分子不規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)的影響。一些精確恒溫的實(shí)驗(yàn)放到山洞里做，或者建立恒溫室。形成噪聲的現(xiàn)象除了量子力學(xué)的測不準(zhǔn)原理限制外，還有布朗運(yùn)動(dòng)、約翰遜噪聲、非連續(xù)物質(zhì)造成的干擾。 在實(shí)驗(yàn)操作中如精密天平

13、，學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)用“復(fù)稱法”來消除不等臂造成的系統(tǒng)誤差，用靜力稱衡法測固體密度則是用天平測量體積，從而減少了測體積的誤差。 另一個(gè)有趣的例子是，量熱器蓋內(nèi)的水珠到底吸收了多少蒸發(fā)熱或汽化熱，又有多少分額是由于重新凝結(jié)而又釋放了回去?甘油吸收了空氣中多少水分而使它的粘滯系數(shù)實(shí)際上變化了多少?用棉線吊起來的物體放入水里，由于水的表面張力的影響，在露出水面部分的線上吸收了多少水分等，這些不確定的因素都是要在科研實(shí)驗(yàn)中盡量避免的。 這些例子表明，通過誤差和不確定度的比較，不僅使概念更加清楚，還可以促使研究性的實(shí)驗(yàn)的開展。 然后教材應(yīng)對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理有更好的規(guī)范，規(guī)范后的教學(xué)內(nèi)容，應(yīng)具有科學(xué)性、簡潔性和通用性。 科學(xué)性是指在評定不確定度的理論和方法上，要體現(xiàn)最新研究成果，與UGM及JJF1059不發(fā)生矛盾。 簡潔性就是用最少的文字、最淺顯的論述實(shí)現(xiàn)預(yù)定的教學(xué)目標(biāo)，以便做到用4個(gè)學(xué)時(shí)完成對基本教學(xué)內(nèi)容的講述。 通用性是指規(guī)范后的教學(xué)內(nèi)容必須對后續(xù)相關(guān)課程具有適用性，也應(yīng)該對學(xué)生未來的技術(shù)崗位具有適用性。 兩個(gè)焦點(diǎn)問題是：一是B類評定方法可否在教材中刪除? 二是直接測量和間接測量評定方法的聯(lián)系和區(qū)別。 并非在所有情況下，測量不確定度都能通過A類評定得到。相反，很多情況下，不確定度只能用B類評定得到。第二個(gè)問題：用下式評定 -(10) 式中u(xi)稱為標(biāo)準(zhǔn)不確定度，是A類評