商務(wù)統(tǒng)計(jì)學(xué)Ch08置信區(qū)間

1、Chap 8-1第8章置信區(qū)間估計(jì)Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.商務(wù)統(tǒng)計(jì)學(xué)(第5版)Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-2學(xué)習(xí)目標(biāo)在本章中你將學(xué)到：在本章中你將學(xué)到：n 構(gòu)建和理解均值和比例的置信區(qū)間估計(jì)n 如何根據(jù)所要得到的均值和比例的置信區(qū)間確定樣本容量Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-3章節(jié)提綱本章內(nèi)容本章內(nèi)容n總體均值, 的置信區(qū)間

2、n當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差已知n當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差未知n總體比例, 的置信區(qū)間n確定所需的樣本容量Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-4點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)n點(diǎn)估計(jì)是單個(gè)數(shù)值n置信區(qū)間提供了估計(jì)變動(dòng)的額外信息點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)置信區(qū)間下界置信區(qū)間下界置信區(qū)間上界置信區(qū)間上界置信區(qū)間寬度置信區(qū)間寬度Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-5能夠估計(jì)總體參數(shù) 點(diǎn)估計(jì)樣本統(tǒng)計(jì)量(點(diǎn)估計(jì))均值比例pXBasic Business Statistics, 11e

3、 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-6置信區(qū)間n有多少不確定性是與總體參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)相關(guān)?n區(qū)間估計(jì)比點(diǎn)估計(jì)提供了總體特征的更多信息n這樣的區(qū)間估計(jì)稱為置信區(qū)間Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-7置信區(qū)間估計(jì)n區(qū)間給出了觀測(cè)值的一個(gè)范圍:n考慮樣本統(tǒng)計(jì)量隨著樣本的不同而變化n基于一個(gè)樣本的觀測(cè)值n給出接近未知總體參數(shù)的信息n以置信度表示n例如95%的置信度， 99%的置信度n不能為100%的置信度Basic Business Statistics, 11e 2009 Prenti

4、ce-Hall, Inc.Chap 8-8置信區(qū)間例子麥片包裝例子n 總體的 = 368且 = 15n 如果取容量n = 25的樣本，你知道n368 1.96 * 15 / = (362.12, 373.88) 包括95% 的樣本均值n當(dāng)不知道時(shí), 使用X 來估計(jì) n如果X = 362.3 ，區(qū)間為362.3 1.96 * 15 / = (356.42, 368.18)n既然356.42 368.18， 基于此樣本的區(qū)間正確的表述了但，其他可能容量為25的樣本的區(qū)間如何?2525Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Cha

5、p 8-9置信區(qū)間例子(續(xù))樣本號(hào)X下界上界包含?1362.30356.42368.18是2369.50363.62375.38是3360.00354.12365.88否4362.12356.24368.00是5373.88368.00379.76是Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-10置信區(qū)間例子n實(shí)踐中只選擇一個(gè)容量為n 的樣本n實(shí)踐中不知道，因此也不知道 區(qū)間是否真正包含n但是知道以這種方式構(gòu)造的區(qū)間95%的包含n因此，基于這個(gè)樣本，可以有95%的把握相信區(qū)間包含 (這就是置信度是95%的置信區(qū)間)

6、(續(xù))注意: 95% 置信區(qū)間是基于我們使用Z = 1.96的事實(shí)Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-11估計(jì)過程(均值均值, , 未知未知)總體隨機(jī)樣本均值均值 X = 50樣本樣本95%的置信度的置信度 介于介于40 和和60之間之間Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-12一般公式n所有置信區(qū)間的一般公式為 :點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì) (臨界值臨界值)(標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差)其中:點(diǎn)估計(jì)是樣本統(tǒng)計(jì)量估計(jì)總體參數(shù)臨界值是點(diǎn)估計(jì)和所要求的置

7、信度的抽樣分布產(chǎn)生的值標(biāo)準(zhǔn)差是點(diǎn)估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)誤差Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-13置信度n置信度n置信區(qū)間包含未知總體參數(shù)n百分?jǐn)?shù)(低于100%)Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-14置信度， (1-)n假設(shè)置信度=95% n也可寫成(1 - ) = 0.95，(故 = 0.05)n一般的相關(guān)解釋：n構(gòu)造的所有置信區(qū)間95%包含未知的真實(shí)參數(shù)n特別的，區(qū)間可以包含也可以不包含真實(shí)參數(shù)n沒有可能包含在一個(gè)特殊區(qū)間里(

8、續(xù))Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-15置信區(qū)間總體均值總體均值 未知未知置信區(qū)間置信區(qū)間總體比例總體比例 已知已知Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-16的置信區(qū)間 (已知) n假設(shè)n總體標(biāo)準(zhǔn)差已知n總體是正態(tài)分布n如果總體非正態(tài)，則使用大樣本n置信區(qū)間估計(jì): 其中 是點(diǎn)估計(jì) Z/2 是正態(tài)分布的臨界值以上的比例為/2對(duì)應(yīng)的數(shù)值 是標(biāo)準(zhǔn)差 n/2ZXXn/Basic Business Statistics, 11e

9、 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-17尋找臨界值，Z/2n考慮置信度是95%的置信區(qū)間:Z/2 = -1.96Z/2 = 1.9610.95 0.05， 所以0.02520.0252點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)置信下限置信下限臨界值臨界值置信上限置信上限臨界值臨界值Z :X :點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)01.96/2ZBasic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-18常用置信度n通常使用的置信度是 90%，95%，和99%置信度置信度置信系數(shù)置信系數(shù), Z/2 值值1.281.6451.962.332.583.083

10、.270.800.900.950.980.990.9980.99980%90%95%98%99%99.8%99.9%1Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-19x置信區(qū)間和置信度置信區(qū)間區(qū)間從 擴(kuò)展到 (1-)x100%區(qū)間包含；()x100% 不包含均值的樣本分布n2/ZX n2/ZX xx1x2/2/21Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-20例子n正態(tài)總體中的11個(gè)電路樣本均值電阻為2.20歐姆。從以往的測(cè)試中知道總

11、體標(biāo)準(zhǔn)差是0.35歐姆。n確定總體電阻真實(shí)均值的置信度是95%的置信區(qū)間。Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-212.4068 1.99320.2068 2.20)11(0.35/ 1.96 2.20n/2 ZX例子n正態(tài)總體中的11個(gè)電路樣本均值電阻為2.20歐姆。從以往的測(cè)試中知道總體標(biāo)準(zhǔn)差是0.35歐姆。n解答:(續(xù))Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-22解釋n我們95%的確定真實(shí)均值電阻在1.9932和2.40

12、68歐姆之間 n盡管真實(shí)均值可能在也可能不在這個(gè)區(qū)間，但是此種方法形成的區(qū)間95%的包含真實(shí)均值Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-23置信區(qū)間總體均值總體均值 未知未知置信區(qū)間置信區(qū)間總體比例總體比例 已知已知Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-24你知道實(shí)際上的嗎?n可能不知道！n幾乎在所有的實(shí)際商業(yè)應(yīng)用中，是未知的 n如果有一種情形，是知道的，那么也將是知道的(因?yàn)橛?jì)算需要用到)n如果你真實(shí)的知道，則不需要收集樣本

13、去估計(jì)它。Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-25n如果總體標(biāo)準(zhǔn)差 是未知的，我們可以用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S來替代。 n這種做法是非常不確定的，因?yàn)镾隨著樣本的變化而變化。 n所以我們用t分布來代替正態(tài)分布。的置信區(qū)間 (未知)Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-26n假設(shè)n總體標(biāo)準(zhǔn)差是未知的n總體服從正態(tài)分布n如果總體比服從正態(tài)，則使用大樣本n用學(xué)生t分布n置信區(qū)間估計(jì)：(其中 t/2 是具有n -1自由度和/2的累積面積的t

14、分布的臨界值) 的置信區(qū)間 (未知)nStX2/(續(xù))Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-27學(xué)生t分布nt 是一個(gè)分布集nt/2 的值依賴于自由度 (d.f.)n觀察值在樣本均值計(jì)算后是自由變化的 d.f. = n - 1Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-28如果這三個(gè)數(shù)的均值是8.0， 那么X3一定是9 (即, X3 不是自由變化的)自由度 (df)這里，n = 3，所以自由度= n 1 = 3 1 = 2(對(duì)于一

15、個(gè)給定的均值，2個(gè)值可以是任意的數(shù)字，但是第三個(gè)數(shù)是不能自由變化的)思想：觀察值在樣本均值計(jì)算后是自由變化的例子：例子：假設(shè)3個(gè)數(shù)字的均值是8.0 令X1 = 7令X2 = 8X3是多少？Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-29學(xué)生t分布t0t (df = 5) t (df = 13)t-分布是鐘形的對(duì)稱的，但其尾部比正態(tài)的“胖”標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)(t 有df = )注意： t Z 是n增加Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-30

16、學(xué)生t分布表上部的尾部面積上部的尾部面積df.25.10.0511.000 3.078 6.31420.817 1.886 2.92030.765 1.638 2.353t02.920表的主體包含t值，但沒有概率令: n = 3 df = n - 1 = 2 = 0.10 /2 = 0.05/2 = 0.05Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-31選擇t分布值與Z值進(jìn)行比較 置信置信 t t t Z 度度 (10 d.f.) (20 d.f.) (30 d.f.) ( d.f.) 0.80 1.372 1.

17、325 1.310 1.28 0.90 1.812 1.725 1.697 1.645 0.95 2.228 2.086 2.042 1.96 0.99 3.169 2.845 2.750 2.58注意: t Z 是n增加Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-32t分布的置信區(qū)間例子2.06390.025t/2t258(2.0639)50nS/2tX46.698 53.302 一個(gè)隨機(jī)樣本n = 25，有X = 50和S = 8。形成的置信度是95%的置信區(qū)間nd.f. = n 1 = 24, 所以置信區(qū)間是

18、 Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-33t分布的置信區(qū)間例子n解釋這個(gè)區(qū)間需要假定總體接近于一個(gè)正態(tài)分布（尤其是因?yàn)閚僅僅是25）。n這個(gè)條件可以通過生成如下形式來進(jìn)行核查：n正態(tài)概率圖n盒形圖(續(xù))Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-34置信區(qū)間總體均值總體均值 未知未知置信區(qū)間置信區(qū)間總體比例總體比例 已知已知Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, In

19、c.Chap 8-35總體比例置信區(qū)間，n總體比例( )的區(qū)間估計(jì)可以通過對(duì)樣本比例( p )的不確定性增加一個(gè)限制來計(jì)算。Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-36總體比例置信區(qū)間，n回憶一下樣本比例，如果樣本容量足夠大，其分布將接近正態(tài)分布，有標(biāo)準(zhǔn)差n我們將通過樣本數(shù)據(jù)估計(jì)如下形式：(續(xù))np)p(1n)(1pBasic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-37置信區(qū)間端點(diǎn)n置信區(qū)間上下界通過以下公式來計(jì)算n其中 nZ/2 是所要

20、求的置信度的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)值np 是樣本比例nn 是樣本容量n注意：一定要 np 5 和n(1-p) 5np)p(1/2ZpBasic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-38例子n一個(gè)100人的隨機(jī)樣本有25個(gè)人是左撇子n生成一個(gè)左撇子的真實(shí)比例，具有置信度是95%的置信區(qū)間Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-39例子n一個(gè)100人的隨機(jī)樣本有25個(gè)人是左撇子。生成一個(gè)左撇子的真實(shí)比例，具有置信度是95%的置信區(qū)間。 /1000.25(

21、0.75)1.9625/100p)/np(1/2Zp0.3349 0.1651 (0.0433) 1.96 0.25 (續(xù))Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-40解釋n我們有95%的把握確信在總體中左撇子的比例在16.51% 和 33.49%之間 n盡管區(qū)間0.16510.3349有可能包含也有可能不包含真實(shí)的比例，但是對(duì)于這100個(gè)樣本用此種方法生成的區(qū)間95%包含真實(shí)比例。Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-41樣

22、本容量的確定均值均值樣本容量樣本容量的確定的確定比例比例Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-42抽樣誤差n樣本容量需要達(dá)到置信度(1 - )要求下的誤差界限（e）n此誤差界限也稱為抽樣誤差n總體參數(shù)估計(jì)時(shí)的不精確量n點(diǎn)估計(jì)生成置信區(qū)間時(shí)增加減少的量Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-43樣本容量的確定均值均值樣本容量樣本容量的確定的確定n2/ZX n2/Ze 抽樣誤差 (誤差界限)Basic Business Stati

23、stics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-44樣本容量的確定均值均值樣本容量的確定n2/Ze (續(xù))2222/eZn求解n得到Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-45樣本容量的確定n為了確定均值所需的樣本容量，必須知道：n目標(biāo)置信度 (1 - )，其決定了關(guān)鍵值 Z/2n可接受的抽樣誤差 en標(biāo)準(zhǔn)差 (續(xù))Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-46求樣本容量的例子如果 = 45，在90%的置信度下均值5的估計(jì)所需的樣本容量要多大？ (取整)219.195(45)(1.645)eZn222222所以目標(biāo)樣本容量 n = 220Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-47如果未知n如果是未知的，其可以通過目標(biāo)樣本容量的公式來進(jìn)行估計(jì)n使用的值應(yīng)期望至少與真實(shí)的值一樣大n選擇一個(gè)試驗(yàn)樣本并通過樣本標(biāo)準(zhǔn)差S來估計(jì)Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-48樣本容量的確定樣