2.1高階線性微分方程ppt課件

1、機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 第六節(jié)高階線性微分方程二、線性微分方程的解的結構二、線性微分方程的解的結構一、概念的引入一、概念的引入 第七章 一、概念的引入一、概念的引入例例: :設有一彈簧下掛一重物設有一彈簧下掛一重物,如果使物體具有一個初如果使物體具有一個初始速度始速度00 v,物體便離開平衡位置物體便離開平衡位置,并在平衡位置并在平衡位置附近作上下振動附近作上下振動.試確定物體的振動規(guī)律試確定物體的振動規(guī)律)(txx .解解受力分析受力分析;. 1cxf 恢復力恢復力;. 2dtdxR 阻力阻力xxo,maF ,22dtdxcxdtxdm 02222 xkdtdxndtxd物體自由

2、振動的微分方程物體自由振動的微分方程,sin ptHF 若若受受到到鉛鉛直直干干擾擾力力pthxkdtdxndtxdsin2222 強迫振動的方程強迫振動的方程tLCEudtdudtudLcmccc sin22022 串聯(lián)電路的振蕩方程串聯(lián)電路的振蕩方程二階線性微分方程二階線性微分方程)()()(22xfyxQdxdyxPdxyd 時，時，當當0)( xf二階線性齊次微分方程二階線性齊次微分方程時，時，當當0)( xf二階線性非齊次微分方程二階線性非齊次微分方程n階線性微分方程階線性微分方程).()()()(1)1(1)(xfyxPyxPyxPynnnn 二、線性微分方程的解的結構二、線性微分

3、方程的解的結構1.1.二階齊次方程解的結構二階齊次方程解的結構問題問題一定是通解嗎？一定是通解嗎？2211yCyCy )1(0)()( yxQyxPy例如例如xx22sin,cos1，xxxeee2, ，線性無關線性無關線性相關線性相關時，時，當當),( x特別地特別地:例如例如, 0 yy,sin,cos21xyxy ,tan12常數(shù)常數(shù)且且 xyy.sincos21xCxCy 2.2.二階非齊次線性方程的解的結構二階非齊次線性方程的解的結構解的疊加原理解的疊加原理三、降階法與常數(shù)變易法1.1.齊次線性方程求線性無關特解齊次線性方程求線性無關特解-降階法降階法的的一一個個非非零零特特解解，是

4、是方方程程設設)1(1y12)(yxuy 令令代入代入(1)式式, 得得, 0)()()(2(111111 uyxQyxPyuyxPyuy,uv 令令則有則有, 0)(2(111 vyxPyvy, 0)(2(111 uyxPyuy即即解得解得,1)(21 dxxPeyvdxeyudxxP )(211,1)(2112dxeyyydxxP 劉維爾公式劉維爾公式齊次方程通解為齊次方程通解為.1)(211211dxeyyCyCydxxP 0)(2(111 vyxPyvy降階法降階法的一階方程的一階方程 v2.2.非齊次線性方程通解求法非齊次線性方程通解求法-常數(shù)變易法常數(shù)變易法設對應齊次方程通解為設對

5、應齊次方程通解為2211yCyCy (3)設非齊次方程通解為設非齊次方程通解為2211)()(yxcyxcy 22112211)()()()(yxcyxcyxcyxcy 設設0)()(2211 yxcyxc22112211)()()()(yxcyxcyxcyxcy (4)得得代入方程代入方程將將),2(,yyy )()()()()()()()()(222211112211xfyxQyxPyxcyxQyxPyxcyxcyxc )()()(2211xfyxcyxc (5)(4),(5)聯(lián)立方程組聯(lián)立方程組 )()()(0)()(22112211xfyxcyxcyxcyxc, 0)(2121 yyy

6、yxw系系數(shù)數(shù)行行列列式式,)()()(21xwxfyxc ,)()()(12xwxfyxc 積分可得積分可得,)()()(211 dxxwxfyCxc,)()()(122 dxxwxfyCxc非齊次方程通解為非齊次方程通解為.)()()()(12212211 dxxwxfyydxxwxfyyyCyCy.1111的通解的通解求方程求方程 xyxyxxy解解, 01111 xxx對應齊方一特解為對應齊方一特解為,1xey 由劉維爾公式由劉維爾公式 dxeeeydxxxxx1221,x 對應齊方通解為對應齊方通解為.21xeCxCY 例例,)()(21xexcxxcy 設原方程的通解為設原方程的通解為應應滿滿足足方方程程組組，)()(21xcxc 1)()(0)()(2121xxcexcxcexcxxx解得解得 xxexcxc)(1)(2122)(Cexexcxx ，11)(Cxxc 原方程的通解為原方程的通解為. 1221 xxeCxCyx四、小結主要內(nèi)容主要內(nèi)容線性方程解的結構；線性方程解的結構；線性相關與線性無關；線性相關與線性無關；降階法與常數(shù)變易法；降階法與常數(shù)變易法；補充內(nèi)容補充內(nèi)容可觀察出