2.1幾種類型函數(shù)的求導(dǎo)方法ppt課件

1、問題問題:隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)?隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則: :用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo).012 yx;12 xy02 yxexy? y定義定義: :顯顯函函數(shù)數(shù)存存在在函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系確定確定通過方程通過方程0),( yxF )(xyy的函數(shù)的函數(shù)隱函數(shù)。隱函數(shù)。稱為稱為( )yf x 的形式稱為顯函數(shù)。的形式稱為顯函數(shù)。例例1 1.,)(00 xyxyyxyyeexy的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)所所確確定定的的隱隱函函數(shù)數(shù)求求由由方方程程解解,求求導(dǎo)導(dǎo)方方程程兩兩邊邊對對 xyxy 解得解得,yxexyey ,

2、0 x由原方程知由原方程知000 yxyxxexyey. 1 的函數(shù)）的函數(shù)）是是（注意：（注意：xyxe ye y 0 , 0 y例例2 2.)(,lnarctan22xyyxxy 求求設(shè)設(shè)解解求求導(dǎo)導(dǎo)得得方方程程兩兩邊邊對對x21 xy2x22yx 222yx yyx 22yxy yxy yyx .yxyxy 22yxyxy 22yxyyx 即即例例3 3.)(,0 xyxyey 求求設(shè)設(shè)解解,求求導(dǎo)導(dǎo)方方程程兩兩邊邊對對 x的函數(shù)）的函數(shù)）是是（注意：（注意：xy0 yxyyey,xeyyy ,求求導(dǎo)導(dǎo)再再對對上上式式兩兩邊邊關(guān)關(guān)于于xyeyeyy 2)(y 0 yxy02)()(2 y

3、yeyxeyy即即xeyeyyyy 2)(2.)1()22(322 yxyyy觀察函數(shù)觀察函數(shù),)4()3(1)1(23 xxxxy方法方法: : 先取對數(shù)先取對數(shù), 然后再求導(dǎo)然后再求導(dǎo) -對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法適用范圍適用范圍: :式式，多多個個函函數(shù)數(shù)相相乘乘相相除除的的形形.sin xxy 問題問題: : 如何求上述函數(shù)的導(dǎo)數(shù)如何求上述函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ? .)()(的的情情形形或或冪冪指指函函數(shù)數(shù)xvxuy 解解 先取對數(shù)，先取對數(shù)，4ln3ln21ln311lnln xxxxy求導(dǎo)，求導(dǎo)，上式兩邊關(guān)于上式兩邊關(guān)于 x的函數(shù)）的函數(shù)）是是（注意：（注意：xyy111 x)1(31x 4132

4、 xx)4()3(1)1(23 xxxxy4132)1(3111 xxxxy 例例4 4.,y 求求設(shè)設(shè))4()3(1)1(23 xxxxy例例5 5.)0)()()(的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求冪冪指指函函數(shù)數(shù) xuxuyxv)(ln)(lnxuxvy 解解 兩邊先取對數(shù)，兩邊先取對數(shù)，求求導(dǎo)導(dǎo)，上上式式兩兩邊邊關(guān)關(guān)于于 x的函數(shù)）的函數(shù)）是是（注意：（注意：xyy1y )(ln)(xuxv )()(1)(xuxuxv )()()()(ln)(xuxuxvxuxvyy )()()()(ln)()()(xuxuxvxuxvxuyxv 即即uvuvuuuvvv 1ln)(亦亦即即),(求求導(dǎo)導(dǎo)對對看看常常數(shù)

5、數(shù)把把vu),(求求導(dǎo)導(dǎo)對對看看常常數(shù)數(shù)把把uv例例6 6解解.),0(sinyxxyx 求求設(shè)設(shè)兩邊取對數(shù)，兩邊取對數(shù)，xxylnsinln 求求導(dǎo)導(dǎo)，上上式式兩兩邊邊關(guān)關(guān)于于xyy 1的函數(shù)）的函數(shù)）是是（注意：（注意：xyxx lncos xx1sin )sinln(cosxxxxyy . )sinln(cossinxxxxxx 求求導(dǎo)導(dǎo)法法求求導(dǎo)導(dǎo)：也也可可直直接接根根據(jù)據(jù)復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)xxysin xxesinln ,lnsinxxe )0( xxxelnsin )sinln(coslnsinxxxxexx . )sinln(cossinxxxxxx )(sin xxyx)(lns

6、in xxex)lnsin( xxx，參參數(shù)數(shù)方方程程的的一一般般形形式式是是 )()(tytx , t,0)()()( ttytx 都都可可導(dǎo)導(dǎo)，且且與與設(shè)設(shè),)()(1xttx 存存在在反反函函數(shù)數(shù)又又則則：的的復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)是是 xy，)(1xy 由復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)的求導(dǎo)法則，有由復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)的求導(dǎo)法則，有dxdtdtdy xxt )()(1 )(t .)(t dxdy例例7 7解解ttxydxdy ttcos1sin taatacossin ,12 tdxdy.方方程程處處的的切切線線在在求求擺擺線線2)cos1()sin( ttayttax.),12(,2ayaxt 時時當(dāng)當(dāng)

7、所求切線方程為所求切線方程為)12( axay)22( axy即即,)()(二二階階可可導(dǎo)導(dǎo)設(shè)設(shè) tytx ,)()(ttdxdy 則則)(22dxdydxddxyd dxdt )()()()()(2ttttt .)()()()()(322tttttdxyd 即即 )()(ttdxd )()(ttdtd )(1t 例例8 8解解.sincos33表表示示的的函函數(shù)數(shù)的的二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求由由方方程程 taytax)sin(cos3cossin322ttatta ttan )(22dxdydxddxyd )cos(sec32 tatttatsincos3sec22 tatsin3sec4 tt

8、xydxdy dxdt tdtdtan )tan(tdxd 相關(guān)變化率問題相關(guān)變化率問題: :已知其中一個變化率時如何求出另一個變化率已知其中一個變化率時如何求出另一個變化率?.從從中中解解出出所所求求變變化化率率求法：求法：,)()(都都是是可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)及及設(shè)設(shè)tyytxx ,)(xfyyx 之之間間存存在在某某種種關(guān)關(guān)系系與與而而變變量量,)(dtdxxfdtdy 則則.化化率率稱稱為為這這樣樣兩兩個個相相互互依依賴賴的的變變相相關(guān)關(guān)變變化化率率:,)(求求導(dǎo)導(dǎo)得得再再兩兩邊邊關(guān)關(guān)于于先先建建立立關(guān)關(guān)系系txfy dtdxxfdtdy)( 例例9 9解解?,500./140,500多多少少員員視視線線的的仰仰角角增增加加率率是是觀觀察察米米時時當(dāng)當(dāng)氣氣球球高高度度為為秒秒米米其其速速率率為為升升米米處處離離地地面面鉛鉛直直上上一一氣氣球球從從離離開開觀觀察察員員觀觀察察員員視視其其高高度度為為秒秒后后設(shè)設(shè)氣氣球球上上升升