偏微分方程的解法

1、現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第一頁，共26頁 1、設(shè)置PDE的定解問題即設(shè)置二維定解區(qū)域、邊界條件以及方程的形式；和系數(shù) 2、用有限元法（FEM）求解PDE即網(wǎng)格的生成、方程的離散以及求出數(shù)值解； 3、解的可視化主要講述如何用主要講述如何用MATLABMATLAB實(shí)現(xiàn)對(duì)偏微分方程的仿真求實(shí)現(xiàn)對(duì)偏微分方程的仿真求解解MATLABMATLAB的偏微分方程工具箱（的偏微分方程工具箱（PDE ToolboxPDE Toolbox）的）的出現(xiàn)，為偏微分方程的求解以及定性研究提供了捷出現(xiàn)，為偏微分方程的求解以及定性研究提供了捷徑主要步驟為：徑主要步驟為：現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二頁，共26頁只能解決二維模型，一維的擴(kuò)成二維，三維的

2、縮只能解決二維模型，一維的擴(kuò)成二維，三維的縮成二維，時(shí)間維不計(jì)算在內(nèi)成二維，時(shí)間維不計(jì)算在內(nèi)公式類型公式類型，只能解決部分偏微分方程，由公式，只能解決部分偏微分方程，由公式類型決定類型決定邊界條件兩種，邊界條件兩種，DirichletDirichlet和和NeumannNeumann初始條件初始條件現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第三頁，共26頁現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第四頁，共26頁畫圖模式，先將處理的區(qū)域畫出來，畫圖模式，先將處理的區(qū)域畫出來，二維二維，方形，圓形，支持多邊形，可以手動(dòng)更方形，圓形，支持多邊形，可以手動(dòng)更改坐標(biāo)，旋轉(zhuǎn)改坐標(biāo)，旋轉(zhuǎn)rotaterotate例如，對(duì)于細(xì)桿導(dǎo)熱，雖然是一維問題，例如，對(duì)于細(xì)桿導(dǎo)熱

3、，雖然是一維問題，可以將寬度可以將寬度y y虛擬出來，對(duì)應(yīng)于虛擬出來，對(duì)應(yīng)于y y的邊界條的邊界條件和初始條件按照題意制定件和初始條件按照題意制定現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第五頁，共26頁現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第六頁，共26頁P(yáng)DE Specification，確定偏微分方程類型共有四種：現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第七頁，共26頁現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第八頁，共26頁現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第九頁，共26頁現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十頁，共26頁網(wǎng)格劃分，細(xì)化網(wǎng)格劃分，細(xì)化現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十一頁，共26頁如果有初始條件（與如果有初始條件（與t t有關(guān)），則在有關(guān)），則在SolveSolve的的ParametersParameters里有其設(shè)定，如果沒有初始里有其設(shè)定

4、，如果沒有初始條件（與條件（與t t無關(guān)），則不必設(shè)定無關(guān)），則不必設(shè)定PlotPlot只是確只是確定畫圖的參數(shù)，包括是否動(dòng)畫，是否定畫圖的參數(shù)，包括是否動(dòng)畫，是否3D3D，是，是否畫出等溫線，是否有箭頭。否畫出等溫線，是否有箭頭?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十二頁，共26頁保存成保存成M-fileM-file，自動(dòng)生成，自動(dòng)生成現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十三頁，共26頁 例： 解熱傳導(dǎo)方程 邊界條件是齊次類型，定解區(qū)域自定。 【解解】第一步：?jiǎn)?dòng)MATLAB，鍵入命令pdetool并回車，就進(jìn)入GUI在Options菜單下選擇Gid命令，打開柵格，柵格使用戶容易確定所繪圖形的大小第二步：選定定解區(qū)域本題為自定區(qū)域：自

5、擬定解區(qū)域如圖22 1所示：E1-E2+R1-E3具體用快捷工具分別畫橢圓E1、圓E2、矩形R1、圓E3然后在Set formula欄中進(jìn)行編輯并用算術(shù)運(yùn)算符將圖形對(duì)象名稱連接起來(或刪去默認(rèn)的表達(dá)式，直接鍵入E1-E2+R1-E3)tuuf 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十四頁，共26頁現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十五頁，共26頁第三步：選取邊界第三步：選取邊界 首先選擇Boundary菜單中Boundary Mode命令，進(jìn)入邊界模式然后單擊Boundary菜單中Remove All Subdomain Borders選項(xiàng)。從而去掉子域邊界，如圖22 2單擊Boundary菜單中Specify Boundary Con

6、ditions選項(xiàng)，打開Boundary Conditions對(duì)話框，輸入邊界件本例取默認(rèn)條件，即將全部邊界設(shè)為齊次Dirichlet條件，邊界顯示為紅色如果想將幾何與邊界信息存儲(chǔ)，可選Boundary菜單中的Export Decomposed GeometrvBoundary Conds命令，將它們分別存儲(chǔ)在g、b變量中，并通過MATLAB形成M文件現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十六頁，共26頁現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十七頁，共26頁第四步：設(shè)置方程類型第四步：設(shè)置方程類型選擇PDE菜單中PDE Mode命令，進(jìn)入PDE模式，再單擊PDE菜單中PDE Secification選項(xiàng)，打開PDE Secification

7、對(duì)話框，設(shè)置方程類型本例取拋物型方程故參數(shù)c,a,f,d,分別是l，0，10，1第五步：第五步：選擇Mesh菜單中Initialize Mesh命令，進(jìn)行網(wǎng)格剖分，選擇Mesh菜單中Refine Mesh命令，使網(wǎng)格密集化，如圖22.3(),udc uauft 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十八頁，共26頁現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十九頁，共26頁第六步：第六步： 解偏微分方程并顯示圖形解解偏微分方程并顯示圖形解選擇Solve菜單中Solve PDE命令，解偏微分方程并顯示圖形解，如圖 2.4 所示現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十頁，共26頁現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十一頁，共26頁 第七步：第七步：?jiǎn)螕鬚lot菜單中Parameter選項(xiàng)，打

8、開Plot Selection對(duì)話框，選中Color,Height(3D plot)和Show mesh三項(xiàng).再單擊Polt按鈕，顯示三維圖形解，如圖22.5所示.現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十二頁，共26頁第八步第八步：若要畫等值線圖和矢量場(chǎng)圖，單擊plot菜單中parameter 選項(xiàng)，在plot selection對(duì)話框中選中contour 和arrow兩選項(xiàng)。然后單擊plot按鈕，可顯示解的等值線圖和矢量場(chǎng)圖，如圖2.6所示。圖 2.6 解的等值線圖和矢量場(chǎng)圖 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十三頁，共26頁求解橢圓型方程的例子2222poisson( , )1 ,0(1).4ux y xyuxy單位圓上的方程邊值問題： -=1 , = 問題的精確解為 u(x,y)=現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十四頁，共26頁求解拋物型方程的例子考慮一個(gè)帶有矩形孔的金屬板上的熱傳導(dǎo)問題。板的左邊保持在100 C，板的右邊熱量從板向環(huán)境空氣定常流動(dòng)，其他邊及內(nèi)孔邊界保持絕緣。初始 是板的溫度為0 C ，于是概括為如下定解問題;區(qū)域的邊界頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-0.5,-0.8), (0.5,-0.8), (-0.5,0.8), (0.5,0.8)。內(nèi)邊界頂點(diǎn)坐標(biāo)(-0.05,-0.4