2014-2015學(xué)年高中數(shù)學(xué) ppt課件

1、第3課時(shí)空間向量與空間角問題問題引航引航1.1.異面直線所成的角異面直線所成的角, ,直線與平面所成的角直線與平面所成的角, ,平面與平平面與平面所成角的范圍分別是多少面所成角的范圍分別是多少? ?2.2.如何應(yīng)用向量法求空間三種角如何應(yīng)用向量法求空間三種角? ?空間三種角的向量求法空間三種角的向量求法角的分類角的分類向量求法向量求法范圍范圍異面直線異面直線所成的角所成的角設(shè)兩異面直線所成的角為設(shè)兩異面直線所成的角為,它們它們的方向向量為的方向向量為a, ,b, ,則則cos=cos=_=_._=_._直線與平直線與平面所成的面所成的角角設(shè)直線設(shè)直線l與平面與平面所成的角為所成的角為,l的的方

2、向向量為方向向量為a, ,平面平面的法向量為的法向量為n, ,則則sin=_=_.sin=_=_._|cos|cos|a ba b(02，|cos|cos|a na n02，角的分類角的分類向量求法向量求法范圍范圍二面角二面角設(shè)二面角設(shè)二面角-l - -為為,平面平面,的法向量分別為的法向量分別為n1 1, ,n2 2, ,則則|cos|=|cos|=_=_=_|cos|cos|1212.| | |n nnn0,0,1.1.判一判判一判( (正確的打正確的打“”, ,錯(cuò)誤的打錯(cuò)誤的打“”) )(1)(1)兩異面直線所成的角與兩直線的方向向量所成的角相兩異面直線所成的角與兩直線的方向向量所成的角

3、相等等.(.() )(2)(2)若向量若向量n1,n2n1,n2分別為二面角的兩半平面的法向量分別為二面角的兩半平面的法向量, ,則二面角則二面角的平面角的余弦值為的平面角的余弦值為cos= (cos= () )(3)(3)直線與平面所成角的范圍為直線與平面所成角的范圍為 ( () )1212.| | |n nnn(0).2，【解析】【解析】(1)(1)錯(cuò)誤錯(cuò)誤. .兩異面直線所成的角的范圍為兩異面直線所成的角的范圍為 , ,兩直線兩直線的方向向量所成角的范圍為的方向向量所成角的范圍為0,.0,.(2)(2)錯(cuò)誤錯(cuò)誤. .二面角的范圍為二面角的范圍為0,0,兩向量所成角的范圍為兩向量所成角的范

4、圍為0,0,雖然范圍一致雖然范圍一致, ,但兩向量所成的角與二面角不一定一致但兩向量所成的角與二面角不一定一致, ,因平面的法向量的指向有兩個(gè)因平面的法向量的指向有兩個(gè), ,兩向量所成的角與二面角所成兩向量所成的角與二面角所成的角同為直角、銳角、鈍角時(shí)才相等的角同為直角、銳角、鈍角時(shí)才相等. .(3)(3)錯(cuò)誤錯(cuò)誤. .當(dāng)直線與平面垂直時(shí)所成角為當(dāng)直線與平面垂直時(shí)所成角為 . .答案答案:(1):(1)(2)(2)(3)(3)(02，22.2.做一做做一做( (請(qǐng)把正確的答案寫在橫線上請(qǐng)把正確的答案寫在橫線上) )(1)(1)已知兩平面的法向量分別為已知兩平面的法向量分別為m=(0,1,0),

5、n=(0,1,1),m=(0,1,0),n=(0,1,1),則兩平則兩平面所成的二面角的大小為面所成的二面角的大小為. .(2)(2)若直線的方向向量為若直線的方向向量為u1=(1,1,1),u1=(1,1,1),平面的法向量為平面的法向量為u2=(2,2,2),u2=(2,2,2),則直線與平面所成角的正弦值為則直線與平面所成角的正弦值為. .(3)(3)若直線若直線l1l1的方向向量為的方向向量為u1=(1,3,2),u1=(1,3,2),直線直線l2l2的方向向量為的方向向量為u2=(2,-1,1),u2=(2,-1,1),則兩直線所成的角的余弦值為則兩直線所成的角的余弦值為. .【解析

6、】【解析】(1)cos= (1)cos= 所以所以=45=45. .所以二面角為所以二面角為4545或或135135. .答案答案:45:45或或135135(2)(2)因?yàn)橐驗(yàn)閡1=(1,1,1)u1=(1,1,1)與與u2=(2,2,2)u2=(2,2,2)共線易得直線與平面垂直共線易得直線與平面垂直, ,則直線與平面所成的角的正弦值為則直線與平面所成的角的正弦值為1.1.答案答案:1:11222，m nm n(3)(3)因?yàn)橐驗(yàn)閡1u2=(1,3,2)(2,-1,1)=1,u1u2=(1,3,2)(2,-1,1)=1,|u1|u2|= |u1|u2|= 則兩直線所成的角的余弦值為則兩直線

7、所成的角的余弦值為|cos|= |cos|= 答案答案: :1 944 1 1842 21 ，121221.42| | |u uuu2142【要點(diǎn)探究】【要點(diǎn)探究】知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn) 向量法求空間角向量法求空間角1.1.兩條異面直線所成的角的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)兩條異面直線所成的角的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)(1)余弦值非負(fù)余弦值非負(fù): :兩條異面直線所成角的余弦值一定為非負(fù)值兩條異面直線所成角的余弦值一定為非負(fù)值, ,而對(duì)應(yīng)的方向向量的夾角可能為鈍角而對(duì)應(yīng)的方向向量的夾角可能為鈍角. .(2)(2)范圍范圍: :異面直線所成的角異面直線所成的角 , ,故兩直線的方向向量故兩直線的方向向量夾角夾角的余弦值為負(fù)時(shí)的余弦值

8、為負(fù)時(shí), ,應(yīng)取其絕對(duì)值應(yīng)取其絕對(duì)值. .(02，2.2.對(duì)直線與平面所成角的兩點(diǎn)說明對(duì)直線與平面所成角的兩點(diǎn)說明(1)(1)互余關(guān)系互余關(guān)系: :若直線與平面所成的角為若直線與平面所成的角為,直線的方向向量和直線的方向向量和平面的法向量夾角為平面的法向量夾角為,則其關(guān)系為則其關(guān)系為sin=|cos|.sin=|cos|.(2)(2)對(duì)應(yīng)關(guān)系對(duì)應(yīng)關(guān)系: :若直線若直線l(l(方向向量為方向向量為a)a)與平面與平面(法向量為法向量為n)n)所所成的角為成的角為,當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),= -;,= -;當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),=- .,=- .02，(2，223.3.二面角范圍的辨別二面角范圍的辨別若二面角為若二面角

9、為,兩平面的法向量夾角為兩平面的法向量夾角為,那么那么|cos|=|cos|,|cos|=|cos|,需分辨角需分辨角是銳角還是鈍角是銳角還是鈍角, ,可由圖形觀察可由圖形觀察得出得出, ,也可由法向量特征得出也可由法向量特征得出. .4.4.“一作一作, ,二證二證, ,三求計(jì)算空間角三求計(jì)算空間角一作一作: :即作輔助線找到對(duì)應(yīng)角如異面直線夾角關(guān)鍵是通過平移即作輔助線找到對(duì)應(yīng)角如異面直線夾角關(guān)鍵是通過平移法求解法求解, ,線面角的關(guān)鍵是作出斜線在平面上的射影線面角的關(guān)鍵是作出斜線在平面上的射影, ,二面角的關(guān)二面角的關(guān)鍵是利用三垂線定理找二面角鍵是利用三垂線定理找二面角; ;二證二證: :

10、找到對(duì)應(yīng)角后利用異面直線所成角找到對(duì)應(yīng)角后利用異面直線所成角, ,線面所成角線面所成角, ,面面所面面所成角的定義證明對(duì)應(yīng)角就是所求角成角的定義證明對(duì)應(yīng)角就是所求角; ;三求三求: :一般來說是通過解三角形求解一般來說是通過解三角形求解. .要注意異面直線所成角要注意異面直線所成角, ,直線與平面所成角直線與平面所成角, ,二面角的范圍二面角的范圍. .【微思考】【微思考】(1)(1)若二面角若二面角-l-l-的兩個(gè)半平面的法向量分別為的兩個(gè)半平面的法向量分別為n1,n2,n1,n2,則二則二面角的平面角與兩法向量夾角面角的平面角與兩法向量夾角的關(guān)系的關(guān)系. .提示提示: :相等或互補(bǔ)相等或互

11、補(bǔ)(2)(2)利用向量法求空間角時(shí)利用向量法求空間角時(shí), ,關(guān)鍵需找到哪些量關(guān)鍵需找到哪些量? ?提示提示: :關(guān)鍵要找到直線的方向向量與平面的法向量關(guān)鍵要找到直線的方向向量與平面的法向量. .【即時(shí)練】【即時(shí)練】已知點(diǎn)已知點(diǎn)A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3),A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3),則平面則平面ABCABC與平面與平面xOyxOy所所成銳二面角的余弦值為成銳二面角的余弦值為. .【解析】【解析】 ( (1 1，2 2，0)0)， ( (1 1，0 0，3)3)設(shè)平面設(shè)平面ABCABC的法向量為的法向量為n n(x(x，y y，z)z)由由n n

12、 0 0，n n 0 0知知令令x x2 2，則，則y y1 1，z z所以平面所以平面ABCABC的一個(gè)法向量為的一個(gè)法向量為n n(2(2，1 1， ) )平面平面xOyxOy的一個(gè)的一個(gè)法向量為法向量為 (0(0，0 0，3)3)由此易求出所求二面角的余弦值由此易求出所求二面角的余弦值為為答案：答案： AB AC AB AC x2y0 x3z0. ，2.323OC 2727【題型示范】【題型示范】類型一類型一 異面直線所成的角異面直線所成的角【典例【典例1 1】(1)(2019(1)(2019天津高二檢測(cè)天津高二檢測(cè)) )已知正四棱柱已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1ABCD-A1B

13、1C1D1中中, ,AA1=2AB,EAA1=2AB,E是是AA1AA1的中點(diǎn)的中點(diǎn), ,則異面直線則異面直線D1CD1C與與BEBE所成角的余弦值所成角的余弦值為為( () )13 10103A. B. C. D.510105(2)(2)在三棱錐在三棱錐V-ABCV-ABC中，頂點(diǎn)中，頂點(diǎn)C C在空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)處，頂在空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)處，頂點(diǎn)點(diǎn)A A，B B，V V分別在分別在x x，y y，z z軸上，軸上，D D是線段是線段ABAB的中點(diǎn)，且的中點(diǎn)，且ACACBCBC2 2，VDCVDC.當(dāng)當(dāng) 時(shí)，求異面直線時(shí)，求異面直線ACAC與與VDVD所成角的余所成角的余弦值弦值3【解題

14、探究】【解題探究】1.1.題題(1)(1)中如何建立空間直角坐標(biāo)系中如何建立空間直角坐標(biāo)系? ?異面直線異面直線D1CD1C與與BEBE所對(duì)應(yīng)的方向向量分別是多少所對(duì)應(yīng)的方向向量分別是多少? ?2.2.題題(2)(2)中在坐標(biāo)系中如何確定點(diǎn)中在坐標(biāo)系中如何確定點(diǎn)A,C,V,DA,C,V,D的坐標(biāo)的坐標(biāo)? ?【探究提示】【探究提示】1.1.以以A A為原點(diǎn)，為原點(diǎn)，ABAB，ADAD，AA1AA1所在直線分別為所在直線分別為x x軸、軸、y y軸、軸、z z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)ABAB1 1，則異面直線，則異面直線BEBE與與D1CD1C的方向向量分別為的方向向量分別

15、為 ( (1 1，0 0，1)1)， ( (1 1，0 0，2).2).2.2.由由ACACBCBC2 2，D D是是ABAB的中點(diǎn)，所以的中點(diǎn)，所以C(0C(0，0 0，0)0)，A(2A(2，0 0，0)0)，B(0B(0，2 2，0)0)，D(1D(1，1 1，0)0)再結(jié)合再結(jié)合 可得可得V(0V(0，0 0， ). ).BE 1CD 36【自主解答】【自主解答】(1)(1)選選B.B.以以A A為原點(diǎn)，為原點(diǎn)，ABAB，ADAD，AA1AA1所在直線分別為所在直線分別為x x軸，軸，y y軸，軸，z z軸建立空間直角坐軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)標(biāo)系，設(shè)ABAB1 1，則，則B(1B(1

16、，0 0，0)0)，D(0D(0，1 1，0)0)，C(1C(1，1 1，0)0)，因?yàn)椋驗(yàn)锳A1AA12AB2AB，所以，所以E(0E(0，0 0，1)1)，D1(0D1(0，1 1，2)2)，所以，所以 ( (1 1，0 0，1)1)， ( (1 1，0 0，2)2)，所以所以 (2)AC(2)ACBCBC2 2，D D是是ABAB的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，所以所以C(0C(0，0 0，0)0)，A(2A(2，0 0，0)0)，B(0B(0，2 2，0)0)，D(1D(1，1 1，0)0)BE 1CD 111BE CD33 10cosBE CD.10BE |CD |25 ，|當(dāng)當(dāng) 時(shí)，在時(shí)，在Rt

17、RtVCDVCD中，中，CDCD故故V(0V(0，0 0， ) )所以所以 ( (2 2，0 0，0)0)， (1(1，1 1， ) )所以所以所以異面直線所以異面直線ACAC與與VDVD所成角的余弦值為所成角的余弦值為32，6AC VD6AC VD22cosAC VD.42 2 2AC |VD| ， 2.4【方法技巧】求異面直線夾角的兩種方法【方法技巧】求異面直線夾角的兩種方法(1)(1)幾何法幾何法. .方法：解決此類問題，關(guān)鍵是通過平移法求解方法：解決此類問題，關(guān)鍵是通過平移法求解. .過某一點(diǎn)作過某一點(diǎn)作平行線，將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為平面角，最后通過解三角平行線，將異面直線所成的角轉(zhuǎn)

18、化為平面角，最后通過解三角形求解形求解. .主要以主要以“作，證，算來求異面直線所成的角，同時(shí)，作，證，算來求異面直線所成的角，同時(shí)，要注意異面直線所成角的范圍要注意異面直線所成角的范圍. .關(guān)注點(diǎn)：結(jié)合圖形求角時(shí)，應(yīng)注意平面幾何知識(shí)的應(yīng)用，如關(guān)注點(diǎn)：結(jié)合圖形求角時(shí)，應(yīng)注意平面幾何知識(shí)的應(yīng)用，如等腰等腰( (邊邊) )三角形的性質(zhì)、中位線的性質(zhì)及勾股定理、余弦定理三角形的性質(zhì)、中位線的性質(zhì)及勾股定理、余弦定理及有關(guān)推論及有關(guān)推論. .(2)(2)向量法向量法. .方法方法: :利用數(shù)量積或坐標(biāo)方法將異面直線所成的角利用數(shù)量積或坐標(biāo)方法將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為兩直線的方向向量所成的角兩直線

19、的方向向量所成的角,若求出的兩向量的夾角為鈍角若求出的兩向量的夾角為鈍角, ,則異面直線的夾角應(yīng)為兩向量夾角的補(bǔ)角則異面直線的夾角應(yīng)為兩向量夾角的補(bǔ)角, ,即即cos=|cos|.cos=|cos|.關(guān)注點(diǎn)關(guān)注點(diǎn): :求角時(shí)求角時(shí), ,常與一些向量的計(jì)算聯(lián)系在一起常與一些向量的計(jì)算聯(lián)系在一起, ,如向量的如向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算及模的運(yùn)算坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算及模的運(yùn)算. .【變式訓(xùn)練】如下圖【變式訓(xùn)練】如下圖, ,在三棱柱在三棱柱ABC-A1B1C1ABC-A1B1C1中中,AA1,AA1底面底面ABC,AB=BC=AA1, ABC=90ABC,AB=BC=AA1, ABC=90, ,點(diǎn)點(diǎn)

20、E,FE,F分別是棱分別是棱AB,BB1AB,BB1的中點(diǎn)的中點(diǎn), ,則則直線直線EFEF和和BC1BC1所成角的大小是所成角的大小是. .【解析】分別以【解析】分別以BA,BC,BB1BA,BC,BB1為為x,y,zx,y,z軸軸, ,建立空間直角坐標(biāo)系建立空間直角坐標(biāo)系, ,如圖如圖, ,設(shè)設(shè)AB=1,AB=1,則則B(0B(0，0 0，0)0)，E( E( ，0 0，0)0)，F(xiàn)(0F(0，0 0， ) )，C1(0C1(0，1 1，1)1)，所以所以 (0(0，1 1，1)1)所以直線所以直線EFEF和和BC1BC1所成角的大小為所成角的大小為6060. .答案：答案：60601212

21、11EF (0)22， ， ，1BC 1111EF BC12cosEFBC22EF BC22 ， ，【補(bǔ)償訓(xùn)練】如下圖【補(bǔ)償訓(xùn)練】如下圖, ,三棱柱三棱柱OAB-O1A1B1OAB-O1A1B1中中, ,平面平面OBB1O1OBB1O1平平面面OAB,O1OB=60OAB,O1OB=60,AOB=90,AOB=90, ,且且OB=OO1=2,OA= ,OB=OO1=2,OA= ,求異求異面直線面直線A1BA1B與與AO1AO1所成角的余弦值的大小所成角的余弦值的大小. .3【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系, ,則則O(0O(0，0 0，0)0)，O1(0

22、O1(0，1 1， ) )，A( A( ，0 0，0)0)，A1( A1( ，1 1， ) )，B(0B(0，2 2，0)0)，所以，所以所以所以所以異面直線所以異面直線A1BA1B與與AO1AO1所成角的余弦值為所成角的余弦值為333311A B OB OA313 ， ，11O A OA OO313 ，11cosA BO A ，1111A B O A(313) ( 313)1.777A B |O A| ， ， ，1.7類型二類型二 直線與平面所成的角直線與平面所成的角【典例【典例2 2】(1)(1)已知三棱柱已知三棱柱ABC-A1B1C1ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等的側(cè)棱與底面

23、邊長(zhǎng)都相等,A1,A1在底面在底面ABCABC內(nèi)的射影為內(nèi)的射影為ABCABC的中心的中心, ,則則AB1AB1與底面與底面ABCABC所成角的正弦值所成角的正弦值等于等于( () )1232A. B. C. D.3333(2)(2019(2)(2019湖南高考湖南高考) )如圖如圖, ,在直棱柱在直棱柱ABCD-A1B1C1D1ABCD-A1B1C1D1中中, , ADBC,BAD=90ADBC,BAD=90,ACBD,BC=1,AD=AA1=3.,ACBD,BC=1,AD=AA1=3.證明證明:ACB1D;:ACB1D;求直線求直線B1C1B1C1與平面與平面ACD1ACD1所成角的正弦值

24、所成角的正弦值. .【解題探究】【解題探究】1.1.題題(1)(1)中可利用哪個(gè)條件建立空間直角坐標(biāo)系中可利用哪個(gè)條件建立空間直角坐標(biāo)系? ?2.2.題題(2)(2)中可借助題目中的哪些條件建立空間直角坐標(biāo)系中可借助題目中的哪些條件建立空間直角坐標(biāo)系? ?直線直線B1C1B1C1與平面與平面ACD1ACD1所成角的正弦值用向量如何表示所成角的正弦值用向量如何表示? ?【探究提示】【探究提示】1.1.可利用側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等可利用側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等,A1,A1在底面在底面ABCABC內(nèi)的射影為內(nèi)的射影為ABCABC的中心的中心, ,建立空間直角坐標(biāo)系建立空間直角坐標(biāo)系. .2.2.利用利用A

25、B,AD,AA1AB,AD,AA1兩兩垂直可以建立空間直角坐標(biāo)系兩兩垂直可以建立空間直角坐標(biāo)系. .設(shè)設(shè)n n是平是平面面ACD1ACD1的一個(gè)法向量的一個(gè)法向量, ,則直線則直線B1C1B1C1與平面與平面ACD1ACD1所成角的正弦值所成角的正弦值sin=|cos|= sin=|cos|= 11B C1111B C.|B C |nn【自主解答】【自主解答】(1)(1)選選B.B.如圖如圖, ,設(shè)設(shè)A1A1在平面在平面ABCABC內(nèi)的射影為內(nèi)的射影為O,O,以以O(shè) O為坐標(biāo)原點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),OA,OA1,OA,OA1分別為分別為x x軸、軸、z z軸建立空間直角坐標(biāo)系軸建立空間直角坐標(biāo)系, ,

26、如圖設(shè)如圖設(shè)ABCABC邊長(zhǎng)為邊長(zhǎng)為1 1，那么，那么所以所以平面平面ABCABC的法向量的法向量n n(0(0，0 0，1)1)，則則AB1AB1與底面與底面ABCABC所成角所成角的正弦值為的正弦值為sin sin |cos|cos ，n n| |133 16A(0 0)B ()3223， ，15 3 16AB()623 ，1AB 623.375163649(2)(2)易知易知,AB,AD,AA1,AB,AD,AA1兩兩垂直兩兩垂直. .如圖如圖, ,以以A A為坐標(biāo)原為坐標(biāo)原點(diǎn)點(diǎn),AB,AD,AA1,AB,AD,AA1所在直線分別為所在直線分別為x x軸軸,y,y軸軸,z,z軸建立空間直

27、角坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系系. .設(shè)設(shè)ABABt t，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為：，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為：A(0A(0，0 0，0)0)，B(tB(t，0 0，0)0)，B1(tB1(t，0 0，3)3)，C(tC(t，1 1，0)0)，C1(tC1(t，1 1，3)3)，D(0D(0，3 3，0)0)，D1(0D1(0，3 3，3)3)從而從而 ( (t t，3 3，3)3)， (t(t，1 1，0)0)， ( (t t，3 3，0)0)1B D AC BD 因?yàn)橐驗(yàn)锳CBDACBD，所以，所以 t2t23 30 00.0.解得解得t t 或或t t ( (舍去舍去) )于是于是由于由于 3 33 3

28、0 00 0，所以，所以即即AC BD 331B D3 33 AC310 ， ， ， ， ，1AC B D 1ACB D ，1ACB D.由知，由知， (0(0，3 3，3)3)， ( ( ，1 1，0)0)， (0(0，1 1，0)0)設(shè)設(shè)n n(x(x，y y，z)z)是平面是平面ACD1ACD1的一個(gè)法向量，的一個(gè)法向量，那么那么 即即令令x x1 1，則，則n n設(shè)直線設(shè)直線B1C1B1C1與平面與平面ACD1ACD1所成角為所成角為，則，則sin sin |cos|cosn n， | |即直線即直線B1C1B1C1與平面與平面ACD1ACD1所成角的正弦值為所成角的正弦值為1AD A

29、C 311B C1AC0AD0 ，nn3xy03y3z0.，133，11B C1111B C321.77| B C|nn21.7【方法技巧】【方法技巧】1.1.直線和平面所成的角的向量公式直線和平面所成的角的向量公式如下圖如下圖, ,設(shè)直線設(shè)直線l l的方向向量為的方向向量為e,e,平面平面的法向量為的法向量為n,n,直線直線l l與與平面平面所成的角為所成的角為,兩向量?jī)上蛄縠 e與與n n的夾角為的夾角為,則有則有sin=|cos|= sin=|cos|= .| | |n ene2.2.利用向量法求直線與平面夾角的基本步驟利用向量法求直線與平面夾角的基本步驟(1)(1)建立空間直角坐標(biāo)系建

30、立空間直角坐標(biāo)系. .(2)(2)求直線的方向向量求直線的方向向量(3)(3)求平面的法向量求平面的法向量n.n.(4)(4)計(jì)算：設(shè)線面角為計(jì)算：設(shè)線面角為，則，則sin sin AB. |AB|.| AB nn【變式訓(xùn)練】【變式訓(xùn)練】(2019(2019石家莊高二檢測(cè)石家莊高二檢測(cè)) )正方體正方體ABCD-A1B1C1D1ABCD-A1B1C1D1中中,E,F,E,F分別為分別為AB,C1D1AB,C1D1的中點(diǎn)的中點(diǎn), ,則則A1B1A1B1與平面與平面A1EFA1EF夾角的正弦值夾角的正弦值為為( () )666A. B. C. D. 2234【解題指南】建立空間直角坐標(biāo)系【解題指南

31、】建立空間直角坐標(biāo)系, ,先計(jì)算直線先計(jì)算直線A1B1A1B1對(duì)應(yīng)的方對(duì)應(yīng)的方向向量向向量 , ,再求出平面再求出平面A1EFA1EF的法向量的法向量, ,然后利用向量公式求然后利用向量公式求出出A1B1A1B1與平面與平面A1EFA1EF夾角的正弦值夾角的正弦值. .11A B【解析】選【解析】選B.B.建系如圖，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為建系如圖，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1 1，則，則A1(1A1(1，0 0，1)1)，E(1E(1， ，0)0)，F(xiàn)(0F(0， ，1)1)，B1(1B1(1，1 1，1)1) (0(0，1 1，0).0).設(shè)平面設(shè)平面A1EFA1EF的法向量的法向量n n(x(x，y y，

32、z)z)，那么那么 即即令令y y2 2，那么，那么 所以所以n n(1(1，2 2，1)1)，coscosn n， 即所求角的正弦值為即所求角的正弦值為 . .121211A B11A E0A F0 ，nn1yz02yx0.2 ，x1z1，11A B2636，63【補(bǔ)償訓(xùn)練】在正方體【補(bǔ)償訓(xùn)練】在正方體ABCD-A1B1C1D1ABCD-A1B1C1D1中中,A1B,A1B與平面與平面A1B1CDA1B1CD所成所成角的大小為角的大小為. .【解析】以【解析】以D D為原點(diǎn)為原點(diǎn),DA,DC,DD1,DA,DC,DD1分別為分別為x,y,zx,y,z軸軸, ,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)建立如

33、圖所示的空間直角坐標(biāo)系系, ,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,1,則則A1(1,0,1), A1(1,0,1), C(0,1,0).C(0,1,0).所以所以 =(1,0,1), =(0,1,0). =(1,0,1), =(0,1,0).1DA DC 設(shè)平面設(shè)平面A1B1CDA1B1CD的法向量為的法向量為n n(x(x，y y，z)z)，那么那么令令z z1 1得得x x1.1.所以所以n n(1(1，0 0，1)1)，又，又B(1B(1，1 1，0)0)，所以所以 (0(0，1 1，1)1)，1DA0 xz0y0.DC0 ，nn1A B coscosn n， 所以所以n n， 6060

34、，所以所以A1BA1B與平面與平面A1B1CDA1B1CD所成的角為所成的角為3030. .答案：答案：30301A B 11A B11.222A B | nn1A B 類型三類型三 二面角二面角【典例【典例3 3】(1)(1)在一個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)都和二面角的棱垂直的兩個(gè)向量在一個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)都和二面角的棱垂直的兩個(gè)向量分別為分別為(0,-1,3),(2,2,4),(0,-1,3),(2,2,4),則這個(gè)二面角的余弦值為則這個(gè)二面角的余弦值為( () )(2)PA(2)PA平面平面ABCABC，ACBCACBC，PAPAACAC1 1，BCBC 求二面角求二面角A-A-PB-CPB-C的

35、余弦值的余弦值151515A. B C. D663以上都不對(duì)2.【解題探究】【解題探究】1.1.題題(1)(1)中的都和二面角的棱垂直的兩個(gè)向量分中的都和二面角的棱垂直的兩個(gè)向量分別為別為(0,-1,3),(2,2,4),(0,-1,3),(2,2,4),所成的角與二面角是否相等所成的角與二面角是否相等? ?2.2.題題(2)(2)中建立空間直角坐標(biāo)系的條件有哪些中建立空間直角坐標(biāo)系的條件有哪些? ?求二面角的向量求二面角的向量法公式是什么法公式是什么? ?【探究提示】【探究提示】1.1.不一定相等不一定相等, ,依據(jù)向量的方向性可能相等也可依據(jù)向量的方向性可能相等也可能互補(bǔ)能互補(bǔ). .2.P

36、A2.PA平面平面ABC,ACBCABC,ACBC是建立空間直角坐標(biāo)系的條件是建立空間直角坐標(biāo)系的條件. .利用利用cos= cos= 1212.n nn n【自主解答】【自主解答】(1)(1)選選D.D.設(shè)二面角為設(shè)二面角為，則，則cos =cos = 所以這個(gè)二面角的余弦值為所以這個(gè)二面角的余弦值為 或或(2)(2)方法一：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，方法一：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則則A(0A(0，0 0，0)0)，B( B( ，1 1，0)0)，C(0C(0，1 1，0)0)，P(0P(0，0 0，1)1)，所以所以 (0(0，0 0，1)1)， ( ( ，1 1，0)0)(013)

37、2 2 41561 944 16， ， ，15615.62AP AB 2設(shè)平面設(shè)平面PABPAB的法向量為的法向量為n1n1(x1(x1，y1y1，z1)z1)，由由 得得令令x1x11 1，則，則n1n1(1(1， ，0)0) (0(0，1 1，1)1)， ( ( ，0 0，0)0)11AP0AB0 ，nn111z02xy0.，2CP CB 2設(shè)平面設(shè)平面PBCPBC的法向量為的法向量為n2n2(x2(x2，y2y2，z2)z2)，由由 得得令令z2z21 1，則，則n2n2(0(0，1 1，1)1)所以所以coscosn1n1，n2n2因?yàn)樗蠖娼菫殇J角，因?yàn)樗蠖娼菫殇J角，所以二面角

38、所以二面角A-PB-CA-PB-C的余弦值為的余弦值為22CP0CB0 ，nn222yz02x0.，121223.332n nn n3.3方法二：如下圖，取方法二：如下圖，取PBPB的中點(diǎn)的中點(diǎn)D D，連結(jié)，連結(jié)CD.CD.因?yàn)橐驗(yàn)镻APA平面平面ABCABC，所以，所以PAAC.PAAC.所以所以PCPC因?yàn)橐驗(yàn)镻CPCBCBC所以所以CDPB.CDPB.作作AEPBAEPB于于E E，那么二面角那么二面角A-PB-CA-PB-C平面角的大小就等于平面角的大小就等于 與與 的夾角的夾角.22PAAC2.2，DC EA 因?yàn)橐驗(yàn)镻APA平面平面ABCABC，BCACBCAC，所以所以PCBC.

39、PCBC.所以所以PBPB 2.2.所以所以PDPD1 1，PEPE所以所以DEDEPDPDPEPE又因?yàn)橛忠驗(yàn)锳EAE CD CD1 1，ACAC1 1，且且22PCBC2PA1.PB21.2AP AB3PB2，AC AE ED DC ，AEED EDDC ，所以所以即即1 1 1 12 2 1 1cos cos ，解得，解得cos cos 故二面角故二面角A-PB-CA-PB-C的余弦值為的余弦值為2222ACAEEDDC2|AE| |DC| cos ，31443233，3.3【方法技巧】利用向量法求二面角的兩種方法【方法技巧】利用向量法求二面角的兩種方法(1)(1)若若AB,CDAB,C

40、D分別是兩個(gè)平面分別是兩個(gè)平面,內(nèi)與棱內(nèi)與棱l l垂直的異面直線垂直的異面直線, ,那么那么兩個(gè)平面的夾角的大小就是向量?jī)蓚€(gè)平面的夾角的大小就是向量 與與 的夾角的夾角, ,如圖如圖. .AB CD (2)(2)設(shè)設(shè)n1,n2n1,n2分別是平面分別是平面,的法向量的法向量, ,則向量則向量n1n1與與n2n2的夾角的夾角( (或其補(bǔ)角或其補(bǔ)角) )就是兩個(gè)平面夾角的大小就是兩個(gè)平面夾角的大小, ,如圖如圖. .此方法的解題步此方法的解題步驟如下驟如下: :【變式訓(xùn)練】【變式訓(xùn)練】(2019(2019北京高二檢測(cè)北京高二檢測(cè)) )正方體正方體ABEF-DCEFABEF-DCEF中中, , M,

41、NM,N分別為分別為AC,BFAC,BF的中點(diǎn)的中點(diǎn)( (如圖如圖),),求平面求平面MNAMNA與平面與平面MNBMNB所成角的所成角的余弦值余弦值. .【解析】方法一：設(shè)正方體棱長(zhǎng)為【解析】方法一：設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1.1.以以B B為坐標(biāo)原點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，BABA，BEBE，BCBC所在直線分別所在直線分別為為x x軸，軸，y y軸，軸，z z軸建立空間直角坐標(biāo)系軸建立空間直角坐標(biāo)系BxyzBxyz，那么那么 A(1A(1，0 0，0)0)，B(0B(0，0 0，0)0)取取MNMN的中點(diǎn)的中點(diǎn)G G，連接，連接BGBG，AGAG，那么那么111 1M(0)N(0)222 2， ， ，1 1

42、 1G()2 4 4， 由于由于AMNAMN，BMNBMN為等腰三角形，為等腰三角形，所以所以AGMNAGMN，BGMN.BGMN.所以所以AGBAGB為二面角的平面角或其補(bǔ)角為二面角的平面角或其補(bǔ)角由于由于所以所以故所求兩平面所成角的余弦值為故所求兩平面所成角的余弦值為111GA ()244， ，111GB ()244 ， ，1GA GB18cosGA GB.333GA GB88 ， 1.3方法二：設(shè)平面方法二：設(shè)平面AMNAMN的法向量的法向量n1n1(x(x，y y，z)z) 即即令令x x1 1，解得，解得y y1 1，z z1 1，111 1AM (0) AN (0)222 2 ，

43、， ， ，11AM0AN0 ，nn11xz02211xy0.22，所以所以n1n1(1(1，1 1，1)1)同理可求得平面同理可求得平面BMNBMN的一個(gè)法向量的一個(gè)法向量n2n2(1(1，1 1，1)1)所以所以 coscosn1n1，n2n2故所求兩平面所成角的余弦值為故所求兩平面所成角的余弦值為121211.333n nn n1.3【補(bǔ)償訓(xùn)練】【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2019(2019汕頭高二檢測(cè)汕頭高二檢測(cè)) )如下圖，四棱錐如下圖，四棱錐P-ABCDP-ABCD中，中，底面底面ABCDABCD為正方形，為正方形，PDPD平面平面ABCDABCD，PDPDABAB2 2，E E，F(xiàn) F，G G分

44、別分別為為PCPC，PDPD，BCBC的中點(diǎn)的中點(diǎn)(1)(1)求證：求證：PAEF.PAEF.(2)(2)求二面角求二面角D-FG-ED-FG-E的余弦值的余弦值【解析】以【解析】以D D為坐標(biāo)原點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn), ,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz,Dxyz,則則D(0,0,0),A(0,2,0),C(-2,0,0),P(0,0,2),E(-1,0,1), D(0,0,0),A(0,2,0),C(-2,0,0),P(0,0,2),E(-1,0,1), F(0,0,1),G(-2,1,0).F(0,0,1),G(-2,1,0).(1)(1)證明：由于證明：由于 (0

45、(0，2 2，2)2)， (1(1，0 0，0)0)，那么，那么 1 10 00 02 2( (2)2)0 00 0，所以所以PAEF.PAEF.PA EFPA EF (2)(2)易知易知 (0(0，0 0，1)1)， (1(1，0 0，0)0)， ( (2 2，1 1，1)1)，設(shè)平面設(shè)平面DFGDFG的法向量的法向量m m(x1(x1，y1y1，z1)z1)，那么那么 解得解得令令x1x11 1，得，得m m(1(1，2 2，0)0)是平面是平面DFGDFG的一個(gè)法向量的一個(gè)法向量DF EFFG DF0FG0 ，mm1111z02xyz0.，設(shè)平面設(shè)平面EFGEFG的法向量的法向量n n(

46、x2(x2，y2y2，z2)z2)，同理可得同理可得n n(0(0，1 1，1)1)是平面是平面EFGEFG的一個(gè)法向量的一個(gè)法向量因?yàn)橐驗(yàn)閏oscosm m，n n設(shè)二面角設(shè)二面角D-FG-ED-FG-E的平面角為的平面角為，由圖可知，由圖可知m m，n n，所以所以cos cos 所以二面角所以二面角D-FG-ED-FG-E的余弦值為的余弦值為 . .2210| |55210，m nmn105，105【拓展類型】空間角中的探索題【拓展類型】空間角中的探索題 【備選典例】【備選典例】(1)(1)如圖，在五面體如圖，在五面體ABCDEFABCDEF中中 ，F(xiàn)AFA平面平面ABCDABCD，AD

47、BCFEADBCFE，ABADABAD，AF=AB=BC=FE= AD.AF=AB=BC=FE= AD.求異面直線求異面直線BFBF與與DEDE所成角的余弦值所成角的余弦值. .在線段在線段CECE上是否存在點(diǎn)上是否存在點(diǎn)M M，使得直線，使得直線AMAM與平面與平面CDECDE所成角的所成角的正弦值為正弦值為 若存在，試確定點(diǎn)若存在，試確定點(diǎn)M M的位置；若不存在，請(qǐng)說明的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由理由. .1363？(2)(2)如圖，矩形如圖，矩形ABCDABCD和梯形和梯形BEFCBEFC所在平面互相垂直，所在平面互相垂直，BECFBECF，BCFBCFCEFCEF9090，ADAD E

48、F EF2.2.求證：求證：AEAE平面平面DCFDCF；當(dāng)當(dāng)ABAB的長(zhǎng)為何值時(shí)，二面角的長(zhǎng)為何值時(shí)，二面角A-EF-CA-EF-C的大小為的大小為6060？3，【解析】【解析】(1)(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)AB=1AB=1，則則B(1B(1，0 0，0)0)，C(1C(1，1 1，0)0)，D(0D(0，3 3，0)0)，F(xiàn)(0F(0，0 0，1)1)，E(0E(0，1 1，1)1) =(-1 =(-1，0 0，1)1)， =(0 =(0，-2-2，1)1)，所以異面直線所以異面直線BFBF與與DEDE所成角的余弦值為所成角的余弦值為B

49、FDE cosBFDE ， BF DE1101025BF DE ，10.10設(shè)平面設(shè)平面CDECDE的法向量為的法向量為n=(xn=(x，y y，z)z)， =(-1 =(-1，2 2，0)0)， =(0 =(0，-2-2，1)1)，由于由于所以所以令令y=1y=1，得，得x=z=2x=z=2，所以，所以n=(2n=(2，1 1，2)2)，CD DE CD0 DE0 ，nnx2y02yz0. ，設(shè)存在點(diǎn)設(shè)存在點(diǎn)M(pM(p，q q，r)r)滿足條件，由滿足條件，由 得得p=1-p=1-，q=1q=1，r=r=，即，即M(1-M(1-，1 1，)，所以，所以 =(1- =(1-，1 1，).).

50、因?yàn)橹本€因?yàn)橹本€AMAM與平面與平面CDECDE所成角的正弦值為所成角的正弦值為所以所以 得得=故當(dāng)點(diǎn)故當(dāng)點(diǎn)M M為為CECE中點(diǎn)時(shí)，直線中點(diǎn)時(shí)，直線AMAM與平面與平面CDECDE所成角的正弦值為所成角的正弦值為CMCE AM 6AM6|cosAM|33AM |， ，| |nnn12，63，6.3(2)(2)建系如圖，設(shè)建系如圖，設(shè)ABABa a，BEBEb b，CFCFc c，則，則C(0C(0，0 0，0)0)，D(0D(0，0 0，a)a)，F(xiàn)(0F(0，c c，0)0)，A( A( ，0 0，a)a)，E( E( ，b b，0)0)，B( B( ，0 0，0)0)， ( ( ，b b

51、，0)0)( ( ，0 0，a)a)(0(0，b b，a)a)， (0(0，0 0，a)a)， (0(0，c c，0)0)，設(shè)設(shè) 那么那么(0(0，b b，a)a)(0(0，cc，a)a)，所以所以 1 1，所以，所以又又AEAE 平面平面DCFDCF，所以，所以AEAE平面平面DCF.DCF.333AE 33CD CFAECDCF ，bc，bAECDCFc ，由于由于且且所以所以 解得解得b b3 3，c c4 4，所以所以E( E( ，3 3，0)0)，F(xiàn)(0F(0，4 4，0)0)EF3cb 0 CE ( 3b 0) ， ， ， ， ，EF CE 0 EF2. ，23b cb03cb2

52、，3設(shè)設(shè)n n(1(1，y y，z)z)與平面與平面AEFAEF垂直，垂直，則則n n 0 0，n n 0 0，解得解得n n又因?yàn)橛忠驗(yàn)锽ABA平面平面BEFCBEFC， (0(0，0 0，a)a)，所以所以得到得到a a 所以當(dāng)所以當(dāng)ABAB為為 時(shí)，二面角時(shí)，二面角A-EF-CA-EF-C的大小為的大小為6060. .AE EF3 3(13)a， ，BA 2|BA|3 31|cosBA |2|BA|4a27 ， ，nnn92，92【方法技巧】關(guān)于空間角的探索問題的處理思路【方法技巧】關(guān)于空間角的探索問題的處理思路利用空間向量解決空間角中的探索問題，通常不需要復(fù)雜的幾利用空間向量解決空間角

53、中的探索問題，通常不需要復(fù)雜的幾何作圖，論證，推理，只需先假設(shè)結(jié)論成立，設(shè)出空間的坐標(biāo)，何作圖，論證，推理，只需先假設(shè)結(jié)論成立，設(shè)出空間的坐標(biāo)，通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行推斷，把是否存在問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行推斷，把是否存在問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解的問題來處理標(biāo)是否有解的問題來處理. .【規(guī)范解答】利用向量法求空間角【規(guī)范解答】利用向量法求空間角【典例】【典例】(12(12分分)(2019)(2019新課標(biāo)全國(guó)卷新課標(biāo)全國(guó)卷)如圖如圖, ,直棱柱直棱柱ABC-ABC-A1B1C1A1B1C1中中,D,E,D,E分別是分別是AB,BB1AB,BB1的中點(diǎn)的中點(diǎn),AA1=AC=CB=

54、 AB.,AA1=AC=CB= AB.(1)(1)證明證明:BC1:BC1平面平面A1CD.A1CD.(2)(2)求二面角求二面角D-A1C-ED-A1C-E的正弦值的正弦值. .22【審題】抓信息【審題】抓信息, ,找思路找思路【解題】明步驟【解題】明步驟, ,得高分得高分【點(diǎn)題】警誤區(qū)【點(diǎn)題】警誤區(qū), ,促提升促提升失分點(diǎn)失分點(diǎn)1:1:解題時(shí)若在處不能利用三角形中的邊長(zhǎng)關(guān)系找到垂解題時(shí)若在處不能利用三角形中的邊長(zhǎng)關(guān)系找到垂直的條件直的條件, ,從而不能正確恰當(dāng)?shù)亟⒖臻g直角坐標(biāo)系從而不能正確恰當(dāng)?shù)亟⒖臻g直角坐標(biāo)系, ,則本例最則本例最多得多得4 4分分. .失分點(diǎn)失分點(diǎn)2:2:解題時(shí)若在處不能利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解點(diǎn)的坐標(biāo)解題時(shí)若在