周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)

1、高等院校非數(shù)學(xué)類(lèi)本科數(shù)學(xué)課程 大學(xué)數(shù)學(xué)（三） 多元函數(shù)微積分 腳本編寫(xiě)：孟益民 教案制作：孟益民 ., 0 ., ., 2 .,)( . : 數(shù)或余弦級(jí)數(shù)上的函數(shù)展開(kāi)為正弦級(jí)能將定義在級(jí)數(shù)上的函數(shù)展開(kāi)為傅立葉和能將定義在數(shù)將偶函數(shù)展開(kāi)為余弦級(jí)函數(shù)展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)或能將奇立葉級(jí)數(shù)為周期的函數(shù)展開(kāi)為傅能將以的范圍給出傅立葉展開(kāi)式成立能正確的條件和結(jié)論狄利克雷定理了解收斂定理概念了解傅立葉級(jí)數(shù)的基本本章教學(xué)要求傅立葉分析第七章lll級(jí)數(shù)一般周期函數(shù)的傅立葉四正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)三條件傅立葉級(jí)數(shù)收斂的充分二數(shù)傅立葉系數(shù)和傅立葉級(jí)一周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)第一節(jié) 由函數(shù) 和 構(gòu)成的級(jí)數(shù) （1）稱(chēng)為三角級(jí)數(shù)，其中

2、 ， ， 為常數(shù)。而稱(chēng) nxsinnxcos10)sincos(21nnnnxbnxaa0ana), 2 , 1( nbn數(shù)傅立葉系數(shù)與傅立葉級(jí)一 nknnxkbxkaa10)sincos(21為三角多項(xiàng)式。若級(jí)數(shù)（1）在一個(gè)長(zhǎng)度為 的閉區(qū)間，例如在 上收斂，則因 和 的周期性，它必定對(duì)于任意實(shí)數(shù) 都收斂。于是其和函數(shù) 為定義在實(shí)數(shù)域 上的周期為 的函數(shù)。這時(shí)，我們也稱(chēng)周期函數(shù) 可以展開(kāi)為三角級(jí)數(shù)（1）。2 ,nxsinnxcosRx)(xfR2)(xf )( 0則稱(chēng)有任意階導(dǎo)數(shù)，在點(diǎn)設(shè)xxf000)()(! )(nnnxxnxf . )( 0處的泰勒級(jí)數(shù)在點(diǎn)為xxf0)( ! )0(nnnx

3、nf 2! 2)0()0()0(xfxffnnxnf ! )0()( , 0 0級(jí)數(shù)即得到常用的馬克勞林在泰勒級(jí)數(shù)中取x定理 , )U( )( 0內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)在設(shè)xxf內(nèi)處的泰勒級(jí)數(shù)在在點(diǎn)則 )U( )( 00 xxxf的充要條件是收斂于 )( xf0)(limxRnn )( )( ,0處泰勒公式的拉在為其中xxfxRn. 格朗日余項(xiàng) )(! ) 1()()( 10) 1(nnnxxnfxR 三角級(jí)數(shù)（1）在什么條件下收斂？ 怎樣的周期函數(shù) 可以展開(kāi)為三角級(jí)數(shù)，即等式 成立？ 若 可以展開(kāi)為三角級(jí)數(shù)，那么系數(shù) ， ， 如何確定？ )(xf )2( )sincos(21)(10nnnnxbn

4、xaaxf)(xf0a), 2 , 1( nnbna如同討論冪級(jí)數(shù)時(shí)一樣，這里也面臨以下幾個(gè)問(wèn)題：先研究三角函數(shù)序列1， ， ， ， ， ， ，的一個(gè)重要性質(zhì)。xcosxsinx2cos 2sin，xxncos sin，xn 若還有 則稱(chēng)函數(shù)序列 在 上是規(guī)范正交的。 1d)( 2banxx) , 2 , 1(n ,ba )(xn)(nm 若區(qū)間 上的函數(shù)序列 滿(mǎn)足 則稱(chēng)函數(shù)序列 在 上是正交的。 ,ba )(xn0d)()( bamnxxx )(xn ,ba容易證明三角函數(shù)序列在 上是正交的，而三角函數(shù)序列 在上是規(guī)范正交的., sin, cos, 2sin, 2cos, sin, cos,

5、 1nxnxxxxx, sin1, cos1, 2sin1, 2cos1, sin1, cos1, 21nxnxxxxx ,經(jīng)運(yùn)算可得 2d x0dcos xnx0dsin xnx, , 0, dcoscos nmnmxnxmx, , 0, dsinsin nmnmxnxmx 0dcossin xnxmx 以上等式，都可以通過(guò)計(jì)算定積分來(lái)驗(yàn)證，現(xiàn)將第四式驗(yàn)證如下 利用三角學(xué)中積化和差的公式,coscos21coscosxnmxnmnxmx., 3 , 2 , 1, 0 sinsin21 coscos21coscos,證其余等式請(qǐng)讀者自行驗(yàn)有時(shí)當(dāng)nmnmnmxnmnmxnmdxxnmxnmnxd

6、xmxnm 2 )sincos(21)(10nnnnxbnxaaxf假設(shè) 可以展開(kāi)為三角級(jí)數(shù)，即（2）式成立，且該級(jí)數(shù)一致收斂，那么，對(duì)（2）式兩端在 上關(guān)于x積分，并利用三角函數(shù)序列的正交性，便有)(xf , 0d)( axxf同理，在（2）式兩邊分別同乘 和 后，再在 上關(guān)于x積分，則依次有kxcoskxsin , dcos)( kaxkxxf) , 2 , 1( nk dsin)( kbxkxxf) , 2 , 1( nk 若周期為 的函數(shù) 可積，則稱(chēng) （3） （4）為函數(shù)的傅立葉系數(shù)， , dcos)( 1 xnxxfan, 2 , 1 , 0n, dsin)( 1 xnxxfbn,

7、2 , 1n2)(xf 公式（3）、（4）稱(chēng)為歐拉傅立葉公式。級(jí)數(shù)稱(chēng)為函數(shù) 的傅立葉級(jí)數(shù)。10)sincos(21nnnnxbnxaa)(xf 對(duì)任意一個(gè)以 為周期的可積函數(shù) ，由定義2都可以構(gòu)造出它的傅立葉級(jí)數(shù)，記為2)(xf10)sincos(21)(nnnnxbnxaaxf 函數(shù) 的傅立葉級(jí)數(shù)不一定收斂，即使收斂也不一定收斂于 自身。)(xf)(xf若 成立，則其系數(shù) ， ， 必由歐拉傅立葉公式（3）、（4）式唯一確定。此時(shí)稱(chēng)函數(shù) 可以展開(kāi)為傅立葉級(jí)數(shù)。10)sincos(21)(nnnnxbnxaaxf0ana nb)(xf條件傅立葉級(jí)數(shù)收斂的充分二 定理定理1 1 （狄里克雷（Dir

8、ichlet）定理） 設(shè) 是以 為周期的函數(shù)。若 在其一個(gè)周期內(nèi)滿(mǎn)足狄里克雷條件： （1） 連續(xù)或只有有限個(gè)第一類(lèi)間斷點(diǎn)； （2） 至多有有限個(gè)極值點(diǎn)，則 ， 的傅立葉級(jí)數(shù)收斂于 。)(xf2) ,(x)0()0(21xfxf)(xf)(xf.,.,: 得多展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的條件低成傅立葉級(jí)數(shù)的條件比函數(shù)展開(kāi)可見(jiàn)限的算術(shù)平均值斂于該點(diǎn)左極限與右極在間斷點(diǎn)出收于該點(diǎn)的函數(shù)值級(jí)數(shù)在連續(xù)點(diǎn)處就收斂函數(shù)的傅立葉并且不作無(wú)限次振動(dòng)限個(gè)第一類(lèi)間斷點(diǎn)上至多有有，只要函數(shù)在收斂定理告訴我們 若以 為周期的函數(shù) 在 上連續(xù)，則 在其連續(xù)點(diǎn)處可以展開(kāi)為它的傅立葉級(jí)數(shù)： ，而在 處， 的傅立葉級(jí)數(shù)收斂于 。 2)(xf

9、) ,)(xf10)sincos(21)(nnnnxbnxaaxfx)(xf)0()0(21ff例1 設(shè) 是以 為周期的函數(shù)，它在 上的表達(dá)式為)(xf2) ,) , 0 , 1 )0 , , 1)(xxxf將 展開(kāi)為傅立葉級(jí)數(shù)。 )(xf解解 . . , 0211 , , , ), 2, 1, 0(, 如下圖所示和函數(shù)的圖形數(shù)收斂于時(shí)級(jí)當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂于并且當(dāng)級(jí)數(shù)收斂的傅立葉從而由收斂定理知道在其它點(diǎn)處連續(xù)處不連續(xù)它在點(diǎn)的條件所給函數(shù)滿(mǎn)足收斂定理xfkxkxxfkkxo2xy121所求傅立葉系數(shù)為0 d d) 1( 1d)(1 0 0 0 xxxxfa0 dcosnx dcos) 1( 1dco

10、s)(1 0 0 xxnxxnxxfan dsin dsin) 1( 1dsin)(1 0 0 xnxxnxxnxxfbn) 1(1 2cos1 2nnnn故當(dāng) 時(shí)有), 2 , 1 , 0( kkx) 12sin(1213sin31sin4)(xkkxxxf2若周期為 的函數(shù) 為偶函數(shù)，則2)(xf于是奇函數(shù) 的傅立葉級(jí)數(shù)只含正弦項(xiàng)，即 )(xf1若周期為 的函數(shù) 為奇函數(shù)，則2)(xf由歐拉傅立葉公式容易得到以 為周期的奇函數(shù)和偶函數(shù)的傅立葉系數(shù)公式.2正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)三 0na) , 2 , 1 , 0(n 0 dsin)(2xnxxfbn) , 2 , 1(n1sin )(nnnxb

11、xf稱(chēng)為函數(shù) 的正弦級(jí)數(shù).)(xf 0 dcos)(2xnxxfan) , 2 , 1 , 0(n0nb) , 2 , 1(n于是偶函數(shù) 的傅立葉級(jí)數(shù)只含常數(shù)項(xiàng)和余弦項(xiàng)，即)(xf10cos 2 )(nnnxaaxf稱(chēng)為函數(shù) 的余弦級(jí)數(shù)。)(xf例2 設(shè) 是周期為 的函數(shù)，它在 上的表達(dá)式為 ，將 展開(kāi)為傅立葉級(jí)數(shù).)(xf2 ,xxf)()(xf解 函數(shù) 為奇函數(shù)，故)(xf, 0na) , 2 , 1 , 0(n易知 滿(mǎn)足狄里克雷條件，它只在點(diǎn) 處不連續(xù)，從而當(dāng) 時(shí)，有 )(xf) 12(kx), 2 , 1 , 0(k) 12(kx), 2 , 1 , 0(k)sin1) 1(3sin3

12、12sin21(sin2)(1nxnxxxxfn在 處，函數(shù) 的傅立葉級(jí)數(shù)收斂于) 12(kx)(xf , 2) 1(cos2dsin 21 0 nnnxnxxbnn) , 2 , 1(n02)()0()0(21ff例3 將下圖所示的鋸齒波所對(duì)應(yīng)的函數(shù)展開(kāi)為傅立葉級(jí)數(shù)。222323xyo11 由圖看出，在一個(gè)周期內(nèi)該函數(shù)的表達(dá)式為解, , 0 ,21 ),0 , ,21 )(tttttf它是偶函數(shù)，故0nb0d)21 (2d)(2 0 0 0ttttfa) 1(1 4dcos)21 (2dcos)(222 0 0 nnnttntttntfa顯然， 滿(mǎn)足狄里克雷條件，且在 上連續(xù)，于是)(tf)

13、 ,(022) 12cos() 12(18)(ntnntf),(t級(jí)數(shù)一般周期函數(shù)的傅立葉四 運(yùn)用變量代換可以把一般周期函數(shù)轉(zhuǎn)化為以 為周期的函數(shù)，然后，利用以為周期的函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)便可獲得一般周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)。2)(xft lft )(周期 2Tlxtt lx 或周期lT2在 上可積 ll ,傅立葉級(jí)數(shù)10)sincos(2 )(nnntnbtnaat（）10)sincos(2 )(nnntnbtnaat（）傅立葉系數(shù)為ttnt lfttntandcos1dcos)(1 , 2 , 1 , 0nttnt lfttntbndsin1dsin)(1 , 2 , 1 n利用變換 返回到原來(lái)的

14、變量，得到 的傅立葉級(jí)數(shù)t lx )(xf10)sincos(2 )(nnnlxnblxnaaxf（）傅立葉系數(shù)為xlxnxflallndcos)(1 , 2 , 1 , 0nxlxnxflbndsin)(1 , 2 , 1 n （） 式與 （） 式中的傅立葉系數(shù)相同: 如果 在 上滿(mǎn)足狄里克雷條件，則其傅立葉級(jí)數(shù)（）在 的連續(xù)點(diǎn)處收斂于 ，即有)(xfll ,)(xf)(xf10)sincos(2 )(nnnlxnblxnaaxfxlxnxflttntallndcos)(1dcos)(1 , 2 , 1 , 0nxlxnnxflttntbllndsin)(1dsin)(1 , 2 , 1 n例4設(shè)周期為4的函數(shù) 在一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式為)(xf), 2 , 0 ,2sin), 0 , 2 , 0 )(xxExxf其中E 為常數(shù)，將 展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù). )(xf解由 ，故 。于是 的傅立葉系數(shù)為42 l2l)(xfxxnxExxnxfand2cos2sin21d2cos)(212 2 2 2 , ) 1( 0 , , )1 (2dcossin2 0 nnnnEttntE為奇數(shù)，為