青理工高數(shù)同濟(jì)第七章教案

1、§3齊次方程齊次方程如果一階微分方程dyf(x,y)中的函數(shù)f(x,y)可寫成工的函數(shù)dxx即f(x,y)(y)則稱這方程為齊次方程x下列方程哪些是齊次方程？(1)xyyJy2x20是齊次方程丫血1、dxxdxxxJix2yJiy2不是齊次方程J一y2dx1x222(xy)dxxydy0是齊次方程yyyydxxydxyx(4) (2xy4)dx(xy1)dy0不是齊次方程孚2xy4dxxy1(5) (2xsh#3ych)dx3xchdy0是齊次方程xxx業(yè)2xshf3ych于業(yè)22，dx3xchdx3xxx齊次方程的解法在齊次方程Ty(y)中令u丫即yux有uxdu(u)dxxxdx

2、分離變量得dx(u)ux兩端積分得導(dǎo)dx(u)ux求出積分后再用-代替u便得所給齊次方程的通解x例1解方程yx2-dyxydydxdxdyy2(厶2解原方程可寫成-y丫2dxxyx2_y1x因此原方程是齊次方程令u則yux-yux-xdxdx2于是原方程變?yōu)閡xduu即xduudxu1dxu1分離變量得(1t)du爾ux兩邊積分得uIn|u|Cln|x|或?qū)懗蒊n|xu|uC以y代上式中的u便得所給方程的通解In|y|yCxxy2z22C(xC)練習(xí):P3141(3)作業(yè):P3141(2)2(2)§7.4線性微分方程一、線性方程線性方程方程學(xué)P(x)yQ(x)叫做一階線性微分方程dx

3、如果Q(x)0則方程稱為齊次線性方程否則方程稱為非齊次線性方程方程dyP(x)y0叫做對(duì)應(yīng)于非齊次線性方程dyP(x)yQ(x)的齊次線性方程dxdx下列方程各是什么類型方程？(1)(x2)dyydy丄y0是齊次線性方程dx'dxx273x25x5y0y3x25x是非齊次線性方程(3)yycosxesinx是非齊次線性方程矽i0xy不是線性方程dx32(5)(y1)2史x30dy°或dx不是線性方程dxdx(y1)2dyx3齊次線性方程的解法齊次線性方程業(yè)P(x)y0是變量可分離方程分離變量后得dx業(yè)P(x)dxy兩邊積分得ln|y|P(x)dxCi或yCeP(x)dx(Ce

4、Ci)這就是齊次線性方程的通解(積分中不再加任意常數(shù))例1求方程(x2)dyy的通解dx解這是齊次線性方程分離變量得dydXcyx2兩邊積分得ln|y|ln|x2|InC方程的通解為yC(x2)非齊次線性方程的解法將齊次線性方程通解中的常數(shù)換成x的未知函數(shù)u(x)把P(x)dxyu(x)e設(shè)想成非齊次線性方程的通解代入非齊次線性方程求得P(x)dxP(x)dxP(x)dxu(x)eu(x)eP(x)P(x)u(x)eQ(x)化簡得u(x)Q(x)eP(x)dxu(x)Q(x)eP(x)dxdxC于是非齊次線性方程的通解為P(x)dxP(x)dxyeQ(x)edxC或yCeP(x)dxeP(x)

5、dxQ(x)eP(x)dxdx非齊次線性方程的通解等于對(duì)應(yīng)的齊次線性方程通解與非齊次線性方程的一個(gè)特解之和11/265例2求方程dy2y(x1)2的通解dxx1解法1這是一個(gè)非齊次線性方程先求對(duì)應(yīng)的齊次線性方程dy2yo的通解dxx1分離變量得dy2dxyx1兩邊積分得Iny2ln(x1)InC齊次線性方程的通解為yC(x1)2代入所給非齊次線性方程得用常數(shù)變易法把C換成u即令yu(x1)225u(x1)22u(x1)u(x1)2(x1)2x11u(x1)23兩邊積分得u3(X1)2C再把上式代入yu(x1)2中即得所求方程的通解為因?yàn)?2y(x1)2卵解法2這里P(x)P(x)dx31)2C

6、2)dxP(x)dxe2ln(x1)5Q(x)(x1)22ln(x1)(x儼31)2512Q(x)eP(x)dxdx(x1)2(x1)2dx(x1)2dx2(x3所以通解為yeP(x)dxQ(x)eP(x)dxdxC(x1)22(x1)2C3例3解方程字dxxy解若把所給方程變形為dxdy但這里用變量代換來解所即為一階線性方程則按一階線性方程的解法可求得通解給方程令xyu則原方程化為du11即dudxudxu分離變量得dudxu1兩端積分得uln|u1|xIn|C|以u(píng)xy代入上式得yln|xy1|In|C|或xCe7y1練習(xí)：P3201(2)2(3)7(1)作業(yè)：P3201(1)2(2)&#

7、167;5可降階的高階微分方程一、y(n)f(X)型的微分方程解法積分n次y(n1)f(x)dxGy(n2)f(x)dxGdxC2例1求微分方程ye“cosx的通解解對(duì)所給方程接連積分三次得y1e2xsinxC1ye2xcosxCixC2y”e2xsinx”Cix2C2XC382這就是所給方程的通解或ye2xsinx2C|21y4e2xcosx2C1xC2y1e2xsinxC1x2C2xC38這就是所給方程的通解二、yf(xy)型的微分方程解法設(shè)yp則方程化為pf(xp)設(shè)pf(xp)的通解為p(xCi)貝Udy(x,C1)dx原方程的通解為y(x,C1)dxC2例2求微分方程(1x2)y2x

8、y滿足初始條件y|xo1y|xo3的特解解所給方程是yf(xy)型的設(shè)yp代入方程并分離變量后dpp2x1x2dx兩邊積分得In|p|ln(1x2)C即pyC1(1x2)(C1Ce)由條件y|x03得C13所以y3(1x2)兩邊再積分得yx33xC2又由條件y|x01得C21于是所求的特解為yx33x1例3設(shè)有一均勻、柔軟的繩索繩索在平衡狀態(tài)時(shí)是怎樣的曲線？兩端固定繩索僅受重力的作用而下垂試冋該、yf(yy)型的微分方程解法設(shè)yp有dpdpdypdpdxdydxdy原方程化為p學(xué)f(y,p)dy設(shè)方程pdyf(y，P)的通解為yp(yco則原方程的通解為dyxC2(yG)2例4求微分yyy20

9、的通解解設(shè)yp則y代入方程得yppp20dydy在y0、p0時(shí)約去p并分離變量得pypy兩邊積分得In|p|In|y|Inc即pCy或yCy(Cc)再分離變量并兩邊積分便得原方程的通解為In|y|CxInci或yCieCx(Cici)例5求微分yyy20的通解解設(shè)yp則原方程化為ypp20dy當(dāng)y0、p0時(shí)有也丄p0dyy于是pey'C1y即yCiy0從而原方程的通解為yC2eCdxC2eCix例6一個(gè)離地面很高的物體受地球引力的作用由靜止開始落向地面求它落到地面時(shí)的速度和所需的時(shí)間（不計(jì)空氣阻力）練習(xí)：1（2）（5）2（2）作業(yè)：1（4）（5）§6高階線性微分方程一、線性微

10、分方程二階線性微分方程二階線性微分方程的一般形式為yP(x)yQ(x)yf(x)若方程右端f(x)0時(shí)方程稱為齊次的否則稱為非齊次的二、線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)先討論二階齊次線性方程yP(x)yQ(x)y0即d-yP(x)-dyQ(x)y0dx2dx定理1如果函數(shù)yi(x)與y2(x)是方程yP(x)yQ(x)y0的兩個(gè)解那么yCiyi(x)C2y2(x)也是方程的解其中Ci、C2是任意常數(shù)齊次線性方程的這個(gè)性質(zhì)表明它的解符合疊加原理證明CiyiC2y2CiyiC2y2CiyiC2y2CiyiC2y2因?yàn)閥i與y2是方程yP(x)yQ(x)y0所以有yiP(x)yiQ(x)yi0及y2P(x)y

11、2Q(x)y20從而CiyiC2y2P(x)CiyiC2y2Q(x)CiyiC2y2CiyiP(x)yiQ(x)yiC2y2P(x)y2Q(x)y2000這就證明了yCiyi(x)C2y2(x)也是方程yP(x)yQ(x)y0的解函數(shù)的線性相關(guān)與線性無關(guān)設(shè)yi(x)y2(x)yn(x)為定義在區(qū)間I上的n個(gè)函數(shù)如果存在n個(gè)不全為零的常數(shù)kik2kn使得當(dāng)xI時(shí)有恒等式kiyi(x)k2y2(x)knyn(x)0成立那么稱這n個(gè)函數(shù)在區(qū)間I上線性相關(guān)否則稱為線性無關(guān)判別兩個(gè)函數(shù)線性相關(guān)性的方法對(duì)于兩個(gè)函數(shù)它們線性相關(guān)與否只要看它們的比是否為常數(shù)如果比為常數(shù)那么它們就線性相關(guān)否則就線性無關(guān)例如1c

12、os2xsin2x在整個(gè)數(shù)軸上是線性相關(guān)的函數(shù)1xx在任何區(qū)間(a,b)內(nèi)是線性無關(guān)的定理2如果如果函數(shù)yi(x)與y2(x)是方程yP(x)yQ(x)y0的兩個(gè)線性無關(guān)的解那么yCiyi(x)C2y2(x)(Ci、C2是任意常數(shù))是方程的通解例1驗(yàn)證yicosx與y2sinx是方程yy0的線性無關(guān)解并寫出其通解解因?yàn)閥iyicosxcosx0y2y2sinxsinx0所以yicosx與y2sinx都是方程的解因?yàn)閷?duì)于任意兩個(gè)常數(shù)ki、k2要使kicosxk2sinx0只有kik20所以cosx與sinx在(，)內(nèi)是線性無關(guān)的因此yicosx與y2sinx是方程yy0的線性無關(guān)解方程的通解為y

13、CicosxC2Sinx例2驗(yàn)證yix與y2ex是方程(xi)yxyy0的線性無關(guān)解并寫出其通解解因?yàn)?xi)yixyiyi0xx0(xi)y2xy2y2(xi)gxexex0所以yix與y2ex都是方程的解I2/26因?yàn)楸戎礶x/x不恒為常數(shù)所以yix與y2ex在(,)內(nèi)是線性無關(guān)的因此yix與y2ex是方程(x1)yxyy0的線性無關(guān)解方程的通解為yCixC2ex推論如果yi(x)y2(x)yn(x)是方程y(n)ai(x)y(n1)ani(x)yan(x)y0的n個(gè)線性無關(guān)的解那么此方程的通解為yCiyi(x)C2y2(x)Cnyn(x)其中CiC2Cn為任意常數(shù)二階非齊次線性方程解的結(jié)

14、構(gòu)我們把方程yP(x)yQ(x)y0叫做與非齊次方程yP(x)yQ(x)yf(x)對(duì)應(yīng)的齊次方程定理3設(shè)y*(x)是二階非齊次線性方程yP(x)yQ(x)yf(x)的一個(gè)特解丫(x)是對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解那么yY(x)y*(x)是二階非齊次線性微分方程的通解證明提示丫(x)y*(x)P(x)Y(x)y*(x)Q(x)Y(x)y*(x)YP(x)YQ(x)Yy*P(x)y*Q(x)y*0f(x)f(x)例如丫CicosxC2sinx是齊次方程yy0的通解y*x22是yyx2的一個(gè)特解因此yCicosxC2sinxx22是方程yyx2的通解定理4設(shè)非齊次線性微分方程yP(x)yQ(x)yf(x)的

15、右端f(x)幾個(gè)函數(shù)之和如yP(x)yQ(x)yfi(x)f2(x)而yi*(x)與y2*(x)分別是方程yP(x)yQ(x)yfi(x)與yP(x)yQ(x)yf2(x)的特解那么yi*(x)y2*(x)就是原方程的特解證明提示yiy2*P(x)yi*y2*Q(x)yi*y2*yi*P(x)yi*Q(x)yi*y2*P(x)y2*Q(x)y2*fi(x)f2(X)練習(xí)：P337ii15/26§7.7二階常系數(shù)齊次線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性微分方程方程ypyqy0稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程其中p、q均為常數(shù)如果yi、y2是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個(gè)線性無關(guān)解那么yCiy

16、iC2y2就是它的通解我們看看能否適當(dāng)選取r使yerx滿足二階常系數(shù)齊次線性微分方程為此將yerx代入方程ypyqy0得(r2prq)erx0由此可見只要r滿足代數(shù)方程r2prq0函數(shù)yerx就是微分方程的解特征方程方程r2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程特征方程的兩個(gè)根ri、r2可用公式特征方程的根與通解的關(guān)系(1)特征方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根ri、r2時(shí)函數(shù)yieriX、yer2x是方程的兩個(gè)線性無關(guān)的解這是因?yàn)楹瘮?shù)yierix、y2er2X是方程的解又比%e(rir2)x不是常數(shù)y2er2X因此方程的通解為yCierixC2er2x(2)特征方程有兩個(gè)相等的實(shí)根rir2時(shí)函數(shù)y1

17、er嚴(yán)、討2xer1x是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個(gè)線性無關(guān)的解這是因?yàn)閅1er1x是方程的解(xeriX)p(xeriX)q(xeriX)(2r1x)er1xp(1xGe"qxer1x尹(2口p)xer1x(pr1q)0所以y2xer1x也是方程的解且里y1xerxx不是常數(shù)因此方程的通解為yGeC2xe1x(3)特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根r1,2i時(shí)兩個(gè)線性無關(guān)的復(fù)數(shù)形式的解函數(shù)yexcos函數(shù)ye(、ye(i)x是微分方程的x、yexsinx是微分方程的兩個(gè)線性無關(guān)的實(shí)數(shù)形式的解函數(shù)yie(i)x和y2e(i)x都是方程的解而由歐拉公式得y1e(i)xex(cosisinx)y

18、2e(i)xex(cosisinx)y1y22excosxvecos1xa®y2)y1y22iexsinxexsinx才(yiy2)故excosx、y2exsinx也是方程解可以驗(yàn)證y1excosx、y2exsinx是方程的線性無關(guān)解21/26因此方程的通解為yex(CicosxC2sinx)求二階常系數(shù)齊次線性微分方程ypyqy0的通解的步驟為第一步寫出微分方程的特征方程r2prq0第二步求出特征方程的兩個(gè)根ri、r2第三步根據(jù)特征方程的兩個(gè)根的不同情況寫出微分方程的通解例1求微分方程y2y3y0的通解解所給微分方程的特征方程為r22r30即(r1)(r3)0其根ri1r23是兩個(gè)

19、不相等的實(shí)根因此所求通解為yCiexC2e3x例2求方程y2yy0滿足初始條件y|xo4、y|x02的特解解所給方程的特征方程為r22r10即(r1)20其根r1r21是兩個(gè)相等的實(shí)根因此所給微分方程的通解為y(C1C2x)ex將條件y|x04代入通解得C14從而y(4C2x)ex將上式對(duì)x求導(dǎo)得y(C24C2x)ex再把條件yko2代入上式得C22于是所求特解為x(42x)ex例3求微分方程y2y5y0的通解解所給方程的特征方程為r22r50特征方程的根為r112ir212i日疋-對(duì)共軛復(fù)根因此所求通解為yex(C1Cos2xC2sin2x)n階常系數(shù)齊次線性微分方程方程y(n)p1y(n1

20、p2y(n2)pn1ypny0稱為n階常系數(shù)齊次線性微分方程其中P1p2pn1pn都是常數(shù)二階常系數(shù)齊次線性微分方程所用的方法以及方程的通解形式可推廣到n階常系數(shù)齊次線性微分方程上去n階常系數(shù)齊次線性微分方程的特征方程L(r)rnpirn1p2rn2pnirpn0稱為微分方程L(D)y0的特征方程特征方程的根與通解中項(xiàng)的對(duì)應(yīng)單實(shí)根r對(duì)應(yīng)于一項(xiàng)Cerx一對(duì)單復(fù)根ri2i對(duì)應(yīng)于兩項(xiàng)ex(CicosxC2sinx)k重實(shí)根r對(duì)應(yīng)于k項(xiàng)erx(CiC2xCkxk1)一對(duì)k重復(fù)根ri2i對(duì)應(yīng)于2k項(xiàng)ex(CiC2XCkxk1)cosx(DiD2XDkxk1)sinx例4求方程y2y5y0的通解解這里的特

21、征方程為r42r35r20即r2(r22r5)0它的根是r1r20和r3412i因此所給微分方程的通解為yCiC2xex（C3cos2xC4sin2x）例5求方程y4y0的通解其中0解這里的特征方程為r440它的根為氣2邁（1i）r3,4厲（1i）因此所給微分方程的通解為xXye韶（Cicos晅xC2sin邁x）e屛（C3COS厲xC4SS逅x）練習(xí)：P3461（2）（5）（3）（7）（9）作業(yè)：P3461（1）（4）2（1）（2）（6）§.8二階常系數(shù)非齊次線性微分方程二階常系數(shù)非齊次線性微分方程方程ypyqyf(x)稱為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程其中p、q是常數(shù)二階常系數(shù)非齊次

22、線性微分方程的通解是對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解y丫(x)與非齊次方程本身的一個(gè)特解yy*(x)之和y丫(x)y*(x)當(dāng)f(x)為兩種特殊形式時(shí)方程的特解的求法一、f(x)Pm(x)ex型當(dāng)f(x)Pm(x)ex時(shí)可以猜想方程的特解也應(yīng)具有這種形式因此設(shè)特解形式為y*Q(x)ex將其代入方程得等式Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x)(1)如果不是特征方程r2prq0的根則2pq0要使上式成立Q(x)應(yīng)設(shè)為m次多項(xiàng)式Qm(x)boxmblxm1bmlxbm通過比較等式兩邊同次項(xiàng)系數(shù)可確定boblbm并得所求特解y*Qm(x)ex如果是特征方程r2prq0的單根貝U2pq0但2p0要使等

23、式Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x)成立Q(x)應(yīng)設(shè)為m1次多項(xiàng)式Q(x)xQm(x)Qm(x)boxmbixm1bmixbm通過比較等式兩邊同次項(xiàng)系數(shù)可確定bobibm并得所求特解y*xQm(x)ex(3)如果是特征方程r2prq0的二重根貝U2pq02p0要使等式Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x)成立Q(x)應(yīng)設(shè)為m2次多項(xiàng)式Q(x)x2Qm(x)Qm(x)boxmbixm1bmixbm通過比較等式兩邊同次項(xiàng)系數(shù)可確定bobibm并得所求特解y*x2Qm(x)ex綜上所述我們有如下結(jié)論如果f(x)Pm(x)ex則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程ypyqyf(

24、x)有形如y*xkQm(x)ex的特解其中Qm(x)是與Pm(x)同次的多項(xiàng)式而k按不是特征方程的根、是特征方程的單根或是特征方程的的重根依次取為0、i或2例i求微分方程y2y3y3xi的一個(gè)特解解這是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程且函數(shù)f(x)是Pm(x)ex型(其中Pm(x)3xi0)與所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為y2y3y0它的特征方程為r22r30由于這里0不是特征方程的根所以應(yīng)設(shè)特解為y*boxbi3b032bo3bi13bo32bo3bi1把它代入所給方程得3b0x2b03bi3xi比較兩端x同次幕的系數(shù)得由此求得b0ibi3于是求得所給方程的一個(gè)特解為y*xi例2求微分方程y5y6yx

25、e2x的通解解所給方程是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程且f(x)是Pm(x)ex型(其中Pm(x)x2)與所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為y5y6y0它的特征方程為r25r60特征方程有兩個(gè)實(shí)根ri2r23于是所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為YCie2xC2e3x由于2是特征方程的單根所以應(yīng)設(shè)方程的特解為y*x(b0xbi)ex把它代入所給方程得2b0X2b0bix比較兩端x同次幕的系數(shù)得2i/2627/262bo12bobi02bo12b0b10由此求得bo1bi1于是求得所給方程的一個(gè)特解為2y*x(；x1)e2x從而所給方程的通解為yC1e2xC2e3x；(x22x)0二、f(x)exR(x)cosxFn(x)sinx型方程ypyqyexPi(x)cosxPn(x)sinx的特解形式：如果f(x)exPl(x)cosxPn(x)sinx則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程ypyqyf(x)的特解可設(shè)為y*xkexRm(x)cosx