高等數學(專升本)

1、精品文檔高等數學（專升本）-學習指南一、選擇題1函數 zln x2y224 x2y 2 的定義域為【D 】Ax2y22 Bx2y22222y244 C x yD 2 x解： z 的定義域為：x2y2202x2y24 ，故而選 D。4x2y202設 f (x) 在 xx0 處間斷，則有【 D 】A f ( x) 在 xx0 處一定沒有意義；B f ( x00)lim f ( x) limf ( x) ；f (x 0) ; ( 即 x x0x x0C lim f ( x) 不存在，或 limf ( x)；x x0x x0D若 f (x) 在 xx0 處有定義，則 xx0 時， f ( x)f (x

2、0 ) 不是無窮小3極限 n123Ln【 B 】2222limnnnnA 1B 1C1D 042解：有題意，設通項為：12LnSnn2n2n21n 12 n2nn 12n1 12 2n原極限等價于： lim12Lnlim111222nnnnn22n24設 ytan2 x ，則 dy【 A 】.精品文檔A 2 tan x sec2xdxB 2sin x cos2xdxC 2sec x tan 2xdxD 2cos x sin 2xdx解：對原式關于x 求導，并用導數乘以dx 項即可，注意三角函數求導規(guī)則。y 'tan 2 xd tan x2 tan xdx22 tan x sec x所以

3、， dy2 tan x sec2 x ，即 dy2 tan x sec2 xdxdx5函數 y( x 2) 2 在區(qū)間 0,4上極小值是【 D 】A-1B1C 2D0解：對 y 關于 x 求一階導，并令其為0，得到 2 x 20 ；解得 x 有駐點： x=2，代入原方程驗證0 為其極小值點。6對于函數 fx, y 的每一個駐點x0, y0 ，令 Af xx x0 , y0 ， Bfxyx0 , y0 ，C fyy x0 , y0 ，若 AC B2 0 ，則函數【 C】A有極大值B有極小值C沒有極值D不定7多元函數 fx, y在點 x, y 處關于y的偏導數f yx0 , y0【 】00Cf x

4、0x, y0f x0 , y0B limf x0x, y0yf x0 , y0A limxxx0x0C limf x0 , y0yf x0 , y0D limf x0x, y0yf x0 , y00yyyy08向量 a 與向量 b 平行，則條件：其向量積 ab 0 是【 B】A充分非必要條件B充分且必要條件C必要非充分條件D既非充分又非必要條件9向量 a 、 b 垂直，則條件：向量a 、 b 的數量積 a b0 是【B】A充分非必要條件B充分且必要條件C必要非充分條件D既非充分又非必要條件已知向量 ab 、c 兩兩相互垂直，且a，b，求 ab a b10、12 c 3【 C】A1B2C4D8.

5、精品文檔解：因為向量 a 與 b 垂直，所以 sin a, b1，故而有：ababaa - ab + ba - bb2 ba2 ba sin a, b2 2 1 1411下列函數中，不是基本初等函數的是【B】1x ysin xByln x2D y3x5AyCcos xe解：因為 yln x 2 是由 yln u ， ux 2 復合組成的，所以它不是基本初等函數。xy 212二重極限 limx0 x 2y 4【D】y0A等于 0B等于1C等于 1D不存在2xy 2k解： xlimky 2 x 2y 41k2 與 k 相關，因此該極限不存在。y 013無窮大量減去無窮小量是【 D】A無窮小量B零C

6、常量D未定式解：所謂的無窮大量， 或者無窮小量只是指的是相對而言， 變量的一種變化趨勢，而非具體的值。所以，相對的無窮大量減去相對的無窮小量沒有實際意義，是個未定式。14 lim1cos2x【C】x 0sin2 3xA1B 1C 2D 1399解：根據原式有：lim2sin 2 x224sin 3 x 3sin x216sin 4 x24sin 2 x 99x 015設 yex (sin xxcos x) ，則 y '【D】A ex (sin x x cos x)B xex sin x.精品文檔C ex (cos xx sin x)D ex (sin xx cos x)xex sin

7、x解：對原式直接求導，注意乘積項的求導即可。yex (sin xx cos x)ex(sin xx cos x)ex (sin xx cos x)ex (sin xxcos x)ex (cosxcosxx sin x)ex sin xx sin xx cosxyex (sin xx cos x)xex sin x16 直線 L1 上的一個 方向 向量 sm , n , p ，直線 L2 上的一個 方向向 量1111s1m2 , n2 , p2，若 L與L平行，則 【 】12BA m m n n p p 1 m1n1p1121212Bn2p2m2C m1m2n1n2p1 p20D m1n1p11

8、m2n2p217平面1 上的一個方向向量 n1A1 ,B1, C1 ，平面2 上的一個方向向量n2A2 , B2 ,C2，若1 與2 垂直，則 【C】A A1 A2B1B2C1C21B A1B1C1A2B2C2C A1 A2B1B2C1C20D A1B1C11A2B2C218若無窮級數un 收斂，而un 發(fā)散，則稱稱無窮級數un 【C】n 1n 1n 1A發(fā)散B收斂C條件收斂D絕對收斂19下面哪個是二次曲面中拋物柱面的表達式 【A】A x2ayB x2ay2C x2y21D x2y21a2b2a2b2.精品文檔20設 D 是矩形：0xa,0yb ，則dxdy【 A】DA. abB.2abC.k

9、( a b)D.kab解：關于單位1 對于一個矩形區(qū)域進行二重積分就是計算矩形區(qū)域的面積。由題意知： 0xa,0yb ，則：dxdya0b0abD設 fxx1，則ffx1【 D 】21A xB x 1C x 2D x 3解：由于 f ( x)x1，得f ( f ( x)1)( f ( x)1)1f ( x)2將 f ( x)x1 代入，得 f ( f (x)1) =( x1)2x322利用變量替換 ux, vy ，一定可以把方程xzyzz 化為新的方程xxy【 A 】A u zzB v zzC u zzD v zzuvvu解： z 是 x， y 的函數，從ux，vyxu，yuv，故 z 是 u

10、，v 的函數，x 可得又因為 ux ， vyx 。所以 z 是 x,yzz 1zyzz0z1的復合函數，故， yuvx ，從而xuvx 2左邊 = x zy zx z y z y zx zu zxyux vx vuu因此方程變?yōu)椋簔zuux23曲線 ye2 在點 (0,1) 處的切線斜率是 【A】A 1B 1 eC2D e2122xx解： ye21 e2。2所以，在點 (0,1)處，切線的斜率是： 1 e2xx 0122.精品文檔n24 lim2n【 A】n3A0 B1C 1D 1432解：因為 02132n2nlimlim，nn3n3所以 lim2n0nn325 lim sin x【 C 】

11、xxA cos xB tan xC0 D 1解：因為1sin x 1有界，所以 lim sin x0x x26已知向量 m3,5,8，n2,4,7 ， p5,1,4，求向量 a4m 3 p n 在y 軸上的投影及在z 軸上的分量 【 A】A27，51 B25， 27C25， 51D 27，25解： Aa43,5,85,1,42,4,743 3 52,45 314 , 483 4725,27,51因此Prj y a27， azk51k27向量 a 與 x 軸與 y 軸構成等角，與 z 軸夾角是前者的2 倍，下面哪一個代表的是 a 的方向【C】A，B，4，22448C，D，2，解： C4422設

12、a 的方向角為、，按題意有.精品文檔=， =2由于cos2cos2cos21即cos2cos2cos2 21化簡得到 cos22cos 210解得cos0 或cos22因為、 、都在 0到的范圍里，因此可以通過解反三角函數得到：4，或者，422228已知向量 a 垂直于向量 b2i 3 jk 和 c i2 j 3k ，且滿足于a i 2 j 7k10，求 a = 【B】A 7i 5 j kB 7i + 5 j + kC 5i 3 j kD 5i + 3j + k解： B因為 a 垂直于向量 b 和 c ，故而 a 必定與 bc 平行，因此ijkabc2317i5 jk123又因為 ai2 j7

13、k10即：7i5 jki2 j7k10解得1 ，所以 a7i + 5 j + k29若無窮級數un 收斂，且un收斂，則稱稱無窮級數un 【D】n 1n 1n 1A發(fā)散B收斂C條件收斂D絕對收斂30設 D 是方形域：0x1,0y1， xyd【 D】DA. 1B.1C.1D.1234.解： D1111,1x2 y2xyddx xydy0040,0D精品文檔14若 fxexax0 為無窮間斷點，x 1為可去間斷點，則 a【C】，31x x1A1B 0C eD e 1解：由于 x0 為無窮間斷點，所以 (exa)0 ，故 a1。若 a0 ，則 x1也是無窮間斷點。由 xx 0e ，故選 。1為可去間

14、斷點得 aC32設函數 f ( x), g (x) 是大于零的可導函數，且f (x)g (x)f ( x)g ( x)0，則當 ax b 時，有【 A】A f ( x)g(b)f (b)g ( x)B f (x)g(a)f (a) g( x)C f ( x)g (x)f (b)g (b)D f (x)g( x)f (a) g( a)解：考慮輔助函數 F (x)f (x),則 F ( x)f ( x) g( x)f ( x) g ( x)g( x)g2(x)0,則 F ( x)嚴格單調減少函數 . 當 xb時, f (x)f (b) ,g( x)g(b)即有 f (x) g(b)g (x) f

15、(b).應選 ( A).233函數函數 yx3 5 可能存在極值的點是 【 B 】A x5B x0C x1D不存在解：由作圖知道，函數在第二象限是減函數，在第一象限是增函數。當 x=0 時，函數取得最小值y=5。34 yx tan x3sec x ，則 y '【 D】A tan x3sec x tan xB tan xx sec2 xC2tan x23sec x tan xxsec x 3sec x tan xDx sec x解： yx tan x3sec xx tan x3sec xtan x x sec2 x 3sec x tan x.精品文檔35設 yxsin 1 ，則 dy【

16、C 】xA (sin 11 cos 1 )dxB (cos 11 sin 1 )dxxxxxxxC (sin 11 cos 1 )dxD (cos 11 sin 1) dxxxxxxx解：對 y 關于 x 求一階導有：yxsin 1(sin 11 cos1 )dyxxxxdx所以， dy(sin 11 cos 1 )dxxxx設直線 xyy2x9 y3z10 0平行，則k 等于【A】363k與平面4A. 2B. 6C. 8D. 10解：直線的方向向量為3,k,4 ，平面的法向量為2,9,3。因為直線和平面平行，所以兩個向量的內積為0。即： 329k340得到： k237若 f ( x, y)2

17、x2y ，則 f 'x (1,0)【 A】A. 4B. 0C. 2D.1解：因為 fxx, y2 x2yx4x所以 f x1,041438 f' (x, )和 f 'y ( x, y) 在點 ( x0 , y0 ) 連續(xù)是 f ( x, y) 在點 ( x0 , y0 ) 可微分的 【A】xyA. 充分條件B.必要條件C.充要條件D.無關條件解：由定理直接得到：如果函數z fx, y的偏導數z ,z 在點 x, y 連續(xù)，則xy函數在該點的全微分存在。39在 xoy 面上求一個垂直于向量 a5,3,4 ，且與 a 等長的向量 b = 【 D】A27,17B25,1515

18、,017,01517.精品文檔C1727,0D152515,17,01517解：由題意設向量 bx, y,0，因為 a 垂直于 b 且 ab ，所以有：b a05x3 y042 ，即：x2y2025232x2y250由以上方程解得 x15， y25， x ， y 同號1717故而所求向量 b15, 25 ,0 或者 b15,25 ,01717171740微分方程 x dyyx3 的通解是 【 B】dxx3cB.x3cxC.x3cD.x3cxA.x2244解： x dyyx3yyx2dx1x令 p x， qxx2x由一階線性非齊次微分方程的公式有：px dxp x dxq x ep x dxdx

19、y CeeCxxx21 dxxx3Cx2二、判斷題1 y1, y2 是齊次線性方程的解，則C1 y1C2 y2 也是。（）2 yfy, y（不顯含有 x ），令 yp ，則 yp 。（）解：根據微分方程解的性質得到y(tǒng)p dpdy 。blimb3對于無窮積分，有f x dxf x dx 。（）tt4 f x 在 x0 的鄰域內可導，且 fx00 ，若：當 xx0 時， f x0 ；當 x x0.精品文檔時， fx0 。則 x0 為極小值點。（）解：根據極值判定定理第一充分條件，x0 為極大值點。 fx在 a, b上連續(xù)，在 a,b 上有一階導數、二階導數，若對于5xa, b, fx0 , 則 f

20、 x在 a,b 上的圖形是凸的。（）6二元函數 z2x2y 2 的極大值點是0,0 。（）解：原式中 x20 ，當且僅當 x=0 時，取到極小值 0；同樣， y20 ，當且僅當 y=0 時，取到極小值 0 。所以，函數的極小值點位于（0，0）7設 zarctan xy，其中 yex ，則 dz1。（）dx解：直接求微計算：dzd arctan xydxydxdxydx112yx dyxydx112yxexxyyxex1xy28設V由0x1， 0y 1， 0 z 1所確定，則dv1。（）v解：由題意得到積分區(qū)域V 為各向尺度為 1 的立方體，其體積即為1。9函數 z ln x ln y 的定義域

21、是x, y| x 0, y 0 。（）解：由對數定義得到 x, y | x0, y 0。10設 zxexy ，則z1xy exy 。（）x11 y1, y2 是齊次線性方程的線性無關的特解，則C1 y1C2 y2 是方程的通解。().精品文檔12齊次型微分方程 dxx，設vx ，則 dxvy dv 。()dyyydydybx dxlimbxdx ，其中 a 為瑕點。 ()13對于瑕積分，有ffat at14fx在 x 的鄰域內可導，且 fx00 ，若：當 xx0 時， f x0 ，當 x x00時， fx0 。則 x0 為極大值點。 ()解：根據極值判定定理第一充分條件，x0 為極小值點。15

22、設 yf ( x) 在區(qū)間 I 上連續(xù)， x是 fx的內點，如果曲線 yf ( x) 經過0點 x0, f x0時，曲線的凹凸性改變了，則稱點x0, fx0為曲線的拐點。 ( )16設 D 是矩形區(qū)域 x, y | 0 x 1,0y3，則dxdy1 （）D解：顯然該積分表示長為3，寬為 1 的矩形面積，值應為3。17若積分區(qū)域 D 是 1 x2y24 ，則 dxdy 3。（）Ddxdy是解：1x2y24是一個外環(huán)半徑為 ，內環(huán)半徑為1的圓環(huán)，積分式2D在圓環(huán)上單位1 的二重積分，所以求的是圓環(huán)的面積。原式 =4212318設 V 是由 zx2y2 ， 1z4 所確定，函數 fz 在 1,4上連

23、續(xù)，那么fz dxdydze1 。（）v4解：f z dxdydz2dt1re r 2dre1 。v00419設不全為 0 的實數1 ，2 ，vvvvv v v3 使 1a2b3c0，則三個向量 a,b, c 共面。（）20二元函數 z6xx24yy2的極大值點是極大值 f3,236。（）21若 y C1 y1C2 y2y* 為非齊次方程的通解，其中y , y為對應齊次方程的12解， y*為非齊次方程的特解。 ()解：根據齊次線性方程解的性質，y1 與 y2 必須是線性無關的解，y* 是其特解。.精品文檔22若函數 fx 在區(qū)間 a, b 上連續(xù)，則a,b ，使得bfba 。()f x dxa

24、23函數 fx在 x點可導fx0f x0。()024 f x 在 x0 處二階可導，且 fx00 ， fx00。若 f x0 0 ，則 x0 為極大值點。 ()25若 lim fx，則 xa 為一條水平漸近線。 ()x a解：根據函數漸近線的定義和概念可以得到，xa 為一條鉛直漸近線。26設表示域： x2y2z21，則zdv 1。（）解：由定義得知表示以原點為中心， 半徑為 1 的正球體， 故而 z 軸方向關于球體的積分值為 0。27微分方程 yyex 的通解為 y1 exce x 。（）2解： y 'yex 對應的線性一階齊次方程是：dyy0dydxyCe xdxy結合原方程，等式右

25、邊項含x，所以通項公式為：yC x e x將通項公式帶入原式，得到：dyCx e xC x e xdx代入 dyyex ，得到：dxCx e xC x eC xC x e xyexx exex exdxCC x1 e2 xC2最后得到： y1 e2 xC e x1 exCe x22.精品文檔vvvvvvvvv vv v v6。（）28設 a3 ，b5 ，c4 ，且滿足 abc0，則 ab bcc a解：經計算向量積得到模值為36。29 zln xy, 則 z4xy1。（ ）2xx2x2x30設 D 為 O 0,0，A 1,0與B 0,1為頂點三角形區(qū)域，f x, y dxdy1xf x, ydy 。（dx0）D031若 yC1 y1C2 y2y* 為非齊次方程的通解，其中y1, y2為對應齊次方程的解，y* 為非齊次方程的解。（）解：根據齊次線性方程解的性質，y1 與 y2 必須是線性無關的解， y*是其特解。32若 Fx 為 fx 的一個原函數，則bx dxF b Faf。（）a33函數可微可導，且 dyfx0xfx0dx 。（）34 fx在 x處二階可導，且 fx00 ， fx00。若 fx00 ，則x為00極小值點。（）解：根據極值判定定理第二充分條件可以直接得到。35若