高中數學：復習不等式知識點及主要題型_講義含解答

1、不等式的基本知識一、解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式ax2bxc0或ax2bxc0a0的解集：設相應的一元二次方程ax2bxc0a0的兩根為x2且X!x2，b24ac，則標根法：其步驟是：1）分解成若干個一次因式的積，并使每一個因式中最高次項的系數為正；2）將每一個一次因式的根標在數軸上，從最大根的右上方依次通過每一點畫曲線；并注意奇穿過偶彈回；233）根據曲線顯現f（x）的符號變化規(guī)律，寫出不等式的解集。女口：x1x1x201是闔重根3、分式不等式的解法：分式不等式的一般解題思路是先移項使右邊為0，再通分并將分子分母分解因式，并使每一個因式中最高次項的系數為正，最后用標根法求解

2、。解分式不等式時，一般不能去分母，但分母恒為正或恒為負時可去分母。f(x)f(x)f(x)g(x)0胃0f(x)g(x)0;胃0(g(x)g(x)g(x)04、不等式的恒成立問題：常應用函數方程思想和“分離變量法”轉化為最值問題若不等式fXA在區(qū)間D上恒成立，則等價于在區(qū)間D上fX皿山A若不等式fXB在區(qū)間D上恒成立,則等價于在區(qū)間D上fXmaxB二、線性規(guī)劃1、用二兀一次不等式(組)表示平面區(qū)域二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐標系中表示直線Ax+By+C=0某一側所有點組成的平面區(qū)域.(虛線表示區(qū)域不包括邊界直線)2、二元一次不等式表示哪個平面區(qū)域的判斷方法由于對在直線Ax+By+

3、C=0同一側的所有點(x,y)，把它的坐標(x,y)代入Ax+By+C,所得到實數的符號都相同，所以只需在此直線的某一側取一特殊點(X。,y。),從Ax+Bw+C的正負即可判斷Ax+By+C0表示直線哪一側的平面區(qū)域(特殊地，當Cm0時，常把原點作為此特殊點)3、線性規(guī)劃的有關概念： 線性約束條件：在上述問題中，不等式組是一組變量x、y的約束條件，這組約束條件都是關于x、y的一次不等式，故又稱線性約束條件. 線性目標函數：關于x、y的一次式z=ax+by是欲達到最大值或最小值所涉及的變量x、y的解析式，叫線性目標函數. 線性規(guī)劃問題：一般地，求線性目標函數在線性約束條件下的最大值或最小值的問題

4、，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題. 可行解、可行域和最優(yōu)解：滿足線性約束條件的解(x,y)叫可行解.由所有可行解組成的集合叫做可行域.使目標函數取得最大或最小值的可行解叫線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解.4、求線性目標函數在線性約束條件下的最優(yōu)解的步驟：1) 尋找線性約束條件，列出線性目標函數；2) 由二元一次不等式表示的平面區(qū)域做出可行域；3) 依據線性目標函數作參照直線ax+by=0,在可行域內平移參照直線求目標函數的最優(yōu)解三、基本不等式.晶21、若a,bR,則a2+b22ab,當且僅當a=時取等號.2、如果a,b是正數，那么乞丄.ab（當且僅當ab時取號）.22ab變形：有:a+b2.ab;ab0恒成立，則a的

5、取值范圍是13、已知x0,y0且19xy12、若不等式x22mx2m10對0x1的所有實數x都成立，求m的取值范圍.1，求使不等式xym恒成立的實數m的取值范圍。三、基本不等式、as2題型五：求最值14、（直接用）求下列函數的值域2)y=x+x211）y=3x+奏15、（配湊項與系數）5“已知x4，求函數y4x21的最大值。4x52）當I4時，求yx（82x）的最大值。16、（耐克函數型）求yx27x1）的值域。f(x)x-的單調x注意：在應用基本不等式求最值時，若遇等號取不到的情況，應結合函數性。x2517、（用耐克函數單調性）求函數y工的值域。Vx418、（條件不等式）1）若實數滿足ab2

6、，則3a3b的最小值是192）已知x0,y0,且1,求xy的最小值。xy3）已知x，y為正實數，且x2+專=1,14）已知a,b為正實數，2b+ab+a=30,求函數y=話的最小值題型六：利用基本不等式證明不等式QQQ19、已知a,b,c為兩兩不相等的實數，求證：abcabbcca20、正數a,b,c滿足a+b+c=1求證：(1a)(1b)(1c)8abc21、已知a、b、cR，且abc1。求證:題型七：均值定理實際應用問題:22、某工廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為200m2的三級污水處理池（平面圖如圖），如果池外圈周壁建造單價為每米400元，中間兩條隔墻建筑單價為每米248元,池底建造單價

7、為每平方米80元，池壁的厚度忽略不計，試設計污水池的長和寬，使總造價最低，并求出最低造價。四、線性規(guī)劃題型八：目標函數求最值2xy323、滿足不等式組7xy800，求目標函數k3xy的最大值x,y024、已知實系數一元二次方程x2(1a)xab10的兩個實根為捲、x2,并且K0x,2,x22則的取值范圍是a1x025、已知x,y滿足約束條件：3x4y4，則x2y22x的最小值是yox2y3026、已知變量x,y滿足約束條件x3y30.若目標函數zaxy（其中a0）僅在點y10(3,0)處取得最大值，則a的取值范圍為y27、已知實數x,y滿足yx1,2x1,如果目標函數zym.y的最小值為1，則

8、實數m等于題型九：實際問題28、某餅店制作的豆沙月餅每個成本35元，售價50元；鳳梨月餅每個成本20元，售價30元?，F在要將這兩種月餅裝成一盒，個數不超過10個，售價不超過350元，問豆沙月餅與鳳梨月餅各放幾個，可使利潤最大？又利潤最大為多少？不等式的基本知識參考答案高中數學必修內容練習-不等式1、；2、pq；3、當0x1或x4時，1+Iogx32logx2；34當1x時，1+Iogx3v2log%2;34當x時，1+Iogx3=2logx234、丁ab1/.1|lga0,lgb0Q-(IgaIgb)IgaIgbpabiRlg(-)lg.ab-lgabQ二rqp225、氓；)uc-J+佃)鄧4

9、(列6、x|x1或x2；7、(1,1)U(2,3)；&2不等式axbx120的解集為x|-1vxv2，則a=-6,b=6_9、(,1)(2,).10、，解：當a=0時，不等式的解集為xx1；2分11當a工時，a(x)(x-1)v0；當av0時，原不等式等價于(x-)(x-1)0aa不等式的解集為xx1或x1；6分a11當0vav1時，1v，不等式的解集為x1x；8分aa11當a1時，一v1，不等式的解集為x|x1;10分aa當a=1時，不等式的解為12分11、023x2=6值域為,6，+)2)當x0時，y=x+12寸x-1=2;當xv0時，y=x+f=-(-x-?)2才3b23b6下面將x，蚌

10、七分別看成兩個因式:x+y2x+1324即x1+y2=2x4）解：法一:302ba=b+1302bab=TT/ab2法二：由已知得：令u=ab貝Uuab32，ab119、QQQ已知a,b,c為兩兩不相等的實數，求證：abcabbcca由a0得，0vbv15人2t2+34t31令t=b+1，1vtv16,ab=1二y當且僅當t=4，即b=3，a=6時，等號成立。1830ab=a+2b-a+2b2-2ab-30ab2；2ab2+22u300，52u8abc中間隔墻長：.（米）X池底面積:200(米2)目標函數:7=400(3+22+60x200=800(x4-壬4瓷1-1+1600=44E0D23、3,24、25、127、528、解：設一盒內放入x個豆沙月