高中不等式所有知識(shí)及典型例題

1、不等式的性質(zhì)：不等式大小比較的常用方法：1作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號(hào)得出結(jié)果;2. 作商（常用于分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的代數(shù)式）；3.分析法；4.平方法；5.分子（或分母）有理化；6利用函數(shù)的單調(diào)性；7.尋找中間量或放縮法；8.圖象法。其中比較法（作差、作商）是最基本的方法。三.重要不等式1.（1）若a,bR，則a2b22ab(2)若a,bR，則ab（當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“二”）2. （1）若a,bR*，則.ab（2）若a,bR*，則ab2.ab（當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“二”）22若a,bR*，則ab（當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“二”）213. 若x0，則x2（當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取“=”）；x若x0,則x丄

2、2（當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取“二”）x若x0，則x12即x12或x1-2（當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“二”）xxx若ab0,則ab2（當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“=”）ba-2（當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“二”）4.若a,bR，則（2T2a2b22（當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“二”）注：（1）當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定植時(shí)，可以求它們的和的最小值，當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定植時(shí)，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”.（2）求最值的條件“一正，二定，三取等”（3）均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實(shí)際問題方面有廣泛的應(yīng)用.+b3+c3>3abc(a,b,c?R)a+b+c3>3abc（當(dāng)且僅當(dāng)a=b

3、=c時(shí)取等號(hào)）16.n(a1+a2+an)>a1a2Lan(a?R+,i=1,2,n)，當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=an取等號(hào);變式：a2+b2+c2>ab+bc+ca;abc(穿)2(a,b?Ft);abc<(a+；+c)3(a,b,c?Ft)2abra+b吐贏=ab=T22a+b2<b.(0<a<b)7.濃度不等式：<<+,a>b>n>0,m>0;a-naa+m'''應(yīng)用一：求最值c11例1:求下列函數(shù)的值域（1）y=3x2+衣（2）y=x+解題技巧：技巧一：湊項(xiàng)例1：已知x5，求函數(shù)y4x21的最大值

4、。44x5評(píng)注：本題需要調(diào)整項(xiàng)的符號(hào)，又要配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積為定值。技巧二：湊系數(shù)例1.當(dāng)時(shí)，求yx(82x)的最大值。2技巧三：分離例3.求yx1x7x10(x1)的值域。技巧四：換元解析二：本題看似無法運(yùn)用基本不等式，可先換元，令t=x+1,化簡原式在分離求最值。(t1)27(t1)+10t25t44y=t技巧五：注意：在應(yīng)用最值定理求最值時(shí),若遇等號(hào)取不到的情況，應(yīng)結(jié)合函數(shù)af(x)x的單x調(diào)性。例：求函數(shù)yX25一的值域。x24解：令.X24t(t2)，則yx25x2411x2-4t嚴(yán)2)1因t0,t-1，1因?yàn)閥t在區(qū)間t1不在區(qū)間2,，故等號(hào)不成立，考慮單調(diào)性。1,單調(diào)遞增，所以

5、在其子區(qū)間2,為單調(diào)遞增函數(shù)，故y當(dāng)1,即t=一|時(shí)，y9(當(dāng)t=2即x=1時(shí)取“=”號(hào))所以，所求函數(shù)的值域?yàn)?.已知0x1,求函數(shù)yx(ix)的最大值.；3.o-，求函數(shù)y.x(23x)的最大值.3條件求最值1若實(shí)數(shù)滿足ab2，則3a3b的最小值是分析：“和”到“積”是一個(gè)縮小的過程，而且3a3b定值，因此考慮利用均值定理求最小值,解:3a和3b都是正數(shù)，3a3b>23a3b23b6當(dāng)3a3b時(shí)等號(hào)成立，由ab2及3a3b得ab1即當(dāng)ab1時(shí)，3a3b的最小值是6.112，求的最小值.并求x,y的值xy技巧六：整體代換：多次連用最值定理求最值時(shí)，要注意取等號(hào)的條件的一致性，否則就會(huì)出

6、錯(cuò)。變式：若log4xlog4y192:已知x0,y0，且1，求xy的最小值。xy技巧七、已知x,y為正實(shí)數(shù)，且x2+*_1,求x'1+y2的最大值.a2+b2分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式ab<匕同時(shí)還應(yīng)化簡寸1+y2中y2前面的系數(shù)為1,x/1+y2_xF面將x.+:分別看成兩個(gè)因式：2y_!1x2+2+2_2x2+<a，b為正實(shí)數(shù)，2b+ab+a_30，求函數(shù)分析：這是一個(gè)二元函數(shù)的最值問題，通常有兩個(gè)途徑，再用單調(diào)性或基本不等式求解，對(duì)本題來說，這種途徑是可行的;題來說，因已知條件中既有和的形式，放縮后，再通過解不等式的途徑進(jìn)行。技巧八：已知即x1+

7、y2_21y_ab的最小值.一是通過消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題，二是直接用基本不等式，對(duì)本又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式注302b法一：a_，302b2b2+30bab_苛b_b+1由a>0得，0vbv15令t=b+1,1vtv16,2t2+34t31ab=2(t+¥)+34vt+學(xué)>2ab<181-y>18當(dāng)且僅當(dāng)t_4,即b_3,a_6時(shí)，等號(hào)成立。30ab_a+2bva+2b>22ab30ab>22abJ則u2+2,2u30<0,52<u<32解法一：若利用算術(shù)平均與平方平均之間的不等關(guān)系,法二：由已知得

8、：令u_,abab<32,ab<18,二y>點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式-一b.ab(a,bR)的應(yīng)用、不等式的解法及運(yùn)算能力；如何由已知2不等式aba2b30(a,bR)出發(fā)求得ab的范圍，關(guān)鍵是尋找到ab與ab之間的關(guān)系，由此想.ab(a,bR)，這樣將已知條件轉(zhuǎn)換為含ab的不等式，進(jìn)而解得ab的范圍.到不等式U2 變式：1.已知a>0，b>0，ab(a+b)_1，求a+b的最小值。2若直角三角形周長為1,求它的面積最大值。技巧九、取平方5、已知x,y為正實(shí)數(shù)，3x+2y_10,求函數(shù)W_.3x+2y的最值.22a+ba+b2<廠，本題很簡單3x+2y<.

9、2.(；3x)2+(2y)2_2.3x+2y_25解法二：條件與結(jié)論均為和的形式，設(shè)法直接用基本不等式，應(yīng)通過平方化函數(shù)式為積的形式，再向“和為定值”條件靠攏。W>0,W2_3x+2y+23x.2y_10+2.3x.2y<10+(3x)2(.2y)2_10+(3x+2y)_20W<20=25應(yīng)用二：利用基本不等式證明不等式1.已知a,b,c為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求證：a2b2c2abbcca1)正數(shù)a，b，c滿足a+b+c=1,求證：(1a)(1b)(1c)>8abc111例6:已知a、b、cR，且abc1。求證：一1一1一18abc分析：不等式右邊數(shù)字8,使我們聯(lián)想到左

10、邊因式分別使用基本不等式可得三個(gè)“2”連乘，又一1乙叵，可由此變形入手。aaaa解：Qa、b、c1R，abc1。-1a同理一12acbb12ab1。cc上述三個(gè)不等式兩邊均為正，分別相乘，得一1一111abca2、bCg2、aCg2.ab&bc當(dāng)且僅當(dāng)a1-時(shí)取等號(hào)。3應(yīng)用三：基本不等式與恒成立問題19例：已知x0,y0且1，求使不等式xym恒成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍。xy19Axy9x9y,10y9x,解：令xyk,x0,y0,1，1.1xykxkykkxky1031102-。k16，m,16kk應(yīng)用四：均值定理在比較大小中的應(yīng)用：1ab例：若ab1,P、lgalgb,Q(IgaIgb

11、),Rlg()，則P,Q,R的大小關(guān)系是.22分析：ab1iga0,igb1.0Q2(igaigb)igaigbpRabig()ig-ab1igabQR>Q22四.不等式的解法.1.一元一次不等式的解法。2.元二次不等式的解法3. 簡單的一元高次不等式的解法：標(biāo)根法：其步驟是：(1)分解成若干個(gè)一次因式的積，并使每一個(gè)因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正；(2)將每一個(gè)一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，從最大根的右上方依次通過每一點(diǎn)畫曲線；并注意奇穿過偶彈回；(3)根據(jù)曲線顯現(xiàn)f(x)的符號(hào)變化規(guī)律，寫出不等式的解集。如(1) 解不等式(x1)(x2)20。(答：x|x1或x2);(2) 不等式(x2)Jx2

12、2x30的解集是(答：x|x3或x1);(3) 設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)的定義域都是R，且f(x)0的解集為x|1x2，g(x)0的解集為，則不等式f(x)gg(x)0的解集為(答:(,1)U2,);(4) 要使?jié)M足關(guān)于x的不等式2x29xa0(解集非空)的每一個(gè)x的值至少滿足不等式x24x30和x26x80中的一個(gè)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.(答:7,81)84分式不等式的解法：分式不等式的一般解題思路是先移項(xiàng)使右邊為0,再通分并將分子分母分解因式，并使每一個(gè)因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正，最后用標(biāo)根法求解。解分式不等式時(shí)，一般不能去分母，但分母恒為正或恒為負(fù)時(shí)可去分母。如(1) 解不等式25X1x2

13、x3(答:(1,1)U(2,3);(2) 關(guān)于x的不等式axb0的解集為(1,)，則關(guān)于x的不等式空0的解集為x2(答：(,1)(2)5. 指數(shù)和對(duì)數(shù)不等式。6. 絕對(duì)值不等式的解法：(1) 含絕對(duì)值的不等式|x|va與|x|>a的解集(2) |ax+b|wc(c>0)和|ax+b|>c(c>0)型不等式的解法 |ax+b|<c-c<ax+b<c; |ax+b|>cax+b>c或ax+b<-c.(3) |x-a|+|x-b|>c(c>0)和|x-a|+|x-b|<c(c>0)型不等式的解法方法一：利用絕對(duì)值不等

14、式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；方法二：利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；方法三：通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想。方法四：兩邊平方。例1:解下列不等式：(1).x22xx(2).-3<-<2x【解析】：(1)解法一(公式法)原不等式等價(jià)于x2-2x>x或x2-2x<-x解得x>3或x<0或0<x<1原不等式的解集為x|x<0或0<x<1或x>3I解法2(數(shù)形結(jié)合法)作出示意圖，易觀察原不等式的解集為x|x<0或0<x<1或x>3I第（1）題圖第（2）題圖

15、【解析】：此題若直接求解分式不等式組，略顯復(fù)雜，且容易解答錯(cuò)誤；若能結(jié)合反比例函數(shù)圖象，則解集為x|x1或心，結(jié)果一目了然。例2：解不等式:|x|-x【解析】作出函數(shù)f(x)=|x|和函數(shù)易知解集為（一，°）1，+象,g(x)=x的圖g(x)34,解不等式.|x1|x1|例3:【解法1】令|x1|x1|2(x1)2x(1x2(x1)令h（x）1)32，分別作出函數(shù)g(x)和h(x)的圖象,知原不等式的解集為【解法2】原不等式等價(jià)于g(x)|x1|,h(x)|x1|令匕rlD3.hT|x分別作出函數(shù)g（x）和h（x）的圖象，易求出g（x）和h（x）的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為（4,7所以不等式|

16、x1|x1|33,)2的解集為4【解法3】由|x31|x1|2的幾何意義可設(shè)F1(1,0),F2(l,0)，M(x，y)，MF1MF2若2，可知M的軌跡是以F1、F2為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，其中右頂點(diǎn)為（,0),由雙曲線的圖象和Ix+1|x-1I昌知X.37含參不等式的解法：求解的通法是“定義域?yàn)榍疤?，函?shù)增減性為基礎(chǔ)，分類討論是關(guān)鍵.注意解完之后要寫上：“綜上，原不等式的解集是”。注意：按參數(shù)討論，最后應(yīng)按參數(shù)取值分別說明其解集；但若按未知數(shù)討論，最后應(yīng)求并集如22（1）若loga-1，則a的取值范圍是（答：a1或0a-）;3 3-（-）解不等式x（aR）ax111（答：a0時(shí)，x|x0;a0

17、時(shí)，x|x或x0;a0時(shí)，x|x0或x0）aa提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后務(wù)必有集合的形式表示；（-）不等式解集的端點(diǎn)值往往是不等式對(duì)應(yīng)方程的根或不等式有意義范圍的端點(diǎn)值。如關(guān)于x的不等式axb0的解集為（,1），則不等式丄20的解集為（答：（一1,-）axb五絕對(duì)值三角不等式定理1：如果a,b是實(shí)數(shù)，則|a+b0|a|+|b|當(dāng)且僅當(dāng)ab>0時(shí)，等號(hào)成立。注：（1）絕對(duì)值三角不等式的向量形式及幾何意義：當(dāng)a，b不共線時(shí)，L+bs|；|+|b|,它的幾何意義就是三角形的兩邊之和大于第三邊。（-）不等式|a|-|bS|a±b|<|a|+|b中“=”成立的條件分

18、別是：不等式|a|-|b|<|a+b|<|a|+|b|,在側(cè)“二”成立的條件是ab>0,左側(cè)“二”成立的條件是ab<0且|a|>|b|不等式|a|-|b|a-b|<|a|+|b|,右側(cè)“=”成立的條件是ab<0，左側(cè)“=”成立的條件是ab>0且|a|>|b|。定理-如果a,b,c是實(shí)數(shù)，那么|a-c|<|a-b|+|b-c|當(dāng)且僅當(dāng)（a-b）（b-c）時(shí)，等號(hào)成立。例1已知0,|xa，|yb，求證-x3y-a3b5.例-.（1）求函數(shù)y|x3x1的最大和最小值；設(shè)aR，函數(shù)fxax-xa（1x1）.若a1，求fx的最大值例3.兩個(gè)施工

19、隊(duì)分別被安排在公路沿線的兩個(gè)地點(diǎn)施工，這兩個(gè)地點(diǎn)分別位于公路路牌的第10km和第-0km處.現(xiàn)要在公路沿線建兩個(gè)施工隊(duì)的共同臨時(shí)生活區(qū)，每個(gè)施工隊(duì)每天在生活區(qū)和施工地點(diǎn)之間往返一次.要使兩個(gè)施工隊(duì)每天往返的路程之和最小，生活區(qū)應(yīng)該建于何處/、.柯西不等式aibia-ban0-aa-a-b-bf-bnaibiR,i1,-n等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a1a-an0或bikai時(shí)成立（k為常數(shù)，i1,-n）類型一：利用柯西不等式求最值1.求函數(shù)1的最大值一:_三且，函數(shù)的定義域?yàn)槠A二，且|二一，尹二"1十強(qiáng)冥圧匚莖J爭(zhēng)+（膺心疔孑+仔中二6$127即時(shí)函數(shù)取最大值，最大值為'-.'.

20、、:_1工且：-2.-1L,函數(shù)的定義域?yàn)?#39;二-?-r_丄對(duì)0力卜0由.127ax得：J'-即',I'.'-，解得?''/127時(shí)函數(shù)取最大值，最大值為'.當(dāng)函數(shù)解析式中含有根號(hào)時(shí)常利用柯西不等式求解類型二：利用柯西不等式證明不等式2229+>2.設(shè)為正數(shù)且各不相等，求證：-'-<-'-丁2（口+心+匚）（一十丄+丄）二13+切+17）+口）（_17+亠+丄）2ab+ce-haa+ib-Hrc4-（a+1+羅又：、占、各不相等，故等號(hào)不能成立22294+>_rI類型三：柯西不等式在幾何上的應(yīng)用6.

21、ABC的三邊長為a、b、c,其外接圓半徑為R,求證：（aa+護(hù)+>36a.也q14貞sin衛(wèi)二I=證明：由三角形中的正弦定理得，所以：:i14貞14017于是左邊=七.證明不等式的方法：比較法、分析法、綜合法和放縮法（比較法的步驟是：作差（商）后通過分解因式、配方、通分等手段變形判斷符號(hào)或與1n常用的放縮技巧有：-n1n(n1)1的大小，然后作出結(jié)論。）.111）n1n(n如（1）已知abc，求證：a2b、k2*k、匸3.kb2cc2aab2be22ca已知a,b,cR，求證：a2b2b2c2c2a211已知a,b,x,yR，且一，xy，求證:ab(3)若ab、c是不全相等的正數(shù)，求證:abc(axxa,ab,b已知a,b,cR，求證：a2b2N，求證:（n1）2已知|a|b|，求證：(5)若nb2c21|a|b|ab|L1n(n1)|a|b|；|ab|'gpg-c2a2n21n；bc)；y.yb'ccalglgalgblgc；22abc(abc)；（8）求證：14&23八不等式的恒成立，能成立,恰成立等問題：不等式恒成立問題的常規(guī)處理方式（常應(yīng)用函數(shù)方程思想和“分離變量法”轉(zhuǎn)化為