BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)詳細(xì)講解

1、PS:這篇介紹神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是很詳細(xì)的，有一步一步的推導(dǎo)公式！神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是DL(深度學(xué)習(xí))的基礎(chǔ)。如果對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)已經(jīng)有所了解，可以直接跳到三、BP算法的執(zhí)行步驟“部分，算法框架清晰明了。另外，如果對(duì)NN很感興趣，也可以參閱最后兩篇參考博文，也很不錯(cuò)！學(xué)習(xí)是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)一種最重要也最令人注目的特點(diǎn)。在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展進(jìn)程中，學(xué)習(xí)算法的研究有著十分重要的地位。目前，人們所提出的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型都是和學(xué)習(xí)算法相應(yīng)的。所以，有時(shí)人們并不去祈求對(duì)模型和算法進(jìn)行嚴(yán)格的定義或區(qū)分。有的模型可以有多種算法.而有的算法可能可用于多種模型。不過，有時(shí)人們也稱算法為模型。自從40年代Hebb提出的學(xué)習(xí)規(guī)則以來，人們相繼提出了各種各樣

2、的學(xué)習(xí)算法。其中以在1986年Rumelhart等提出的誤差反向傳播法，即BP(errorBackPropagation)法影響最為廣泛。直到今天，BP算法仍然是自動(dòng)控制上最重要、應(yīng)用最多的有效算法。1.2.1神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)機(jī)理和機(jī)構(gòu)在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，對(duì)外部環(huán)境提供的模式樣本進(jìn)行學(xué)習(xí)訓(xùn)練，并能存儲(chǔ)這種模式，則稱為感知器；對(duì)外部環(huán)境有適應(yīng)能力，能自動(dòng)提取外部環(huán)境變化特征，則稱為認(rèn)知器。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在學(xué)習(xí)中，一般分為有教師和無教師學(xué)習(xí)兩種。感知器采用有教師信號(hào)進(jìn)行學(xué)習(xí)，而認(rèn)知器則采用無教師信號(hào)學(xué)習(xí)的。在主要神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)如BP網(wǎng)絡(luò)，Hopfield網(wǎng)絡(luò)，ART網(wǎng)絡(luò)和Kohonen網(wǎng)絡(luò)中；BP網(wǎng)絡(luò)和Hopfiel

3、d網(wǎng)絡(luò)是需要教師信號(hào)才能進(jìn)行學(xué)習(xí)的；而ART網(wǎng)絡(luò)和Kohonen網(wǎng)絡(luò)則無需教師信號(hào)就可以學(xué)習(xí)。所謂教師信號(hào)，就是在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)中由外部提供的模式樣本信號(hào)。一、感知器的學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)感知器的學(xué)習(xí)是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)最典型的學(xué)習(xí)。目前，在控制上應(yīng)用的是多層前饋網(wǎng)絡(luò)，這是一種感知器模型，學(xué)習(xí)算法是BP法，故是有教師學(xué)習(xí)算法。一個(gè)有教師的學(xué)習(xí)系統(tǒng)可以用圖17表示。這種學(xué)習(xí)系統(tǒng)分成三個(gè)部分：輸入部，訓(xùn)練部和輸出部。訓(xùn)練部敦卯信號(hào)（期望輸出信號(hào)）圖1-7神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)系統(tǒng)框圖輸入部接收外來的輸入樣本X,由訓(xùn)練部進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)的權(quán)系數(shù)W調(diào)整，然后由輸出部輸出結(jié)果。在這個(gè)過程中，期望的輸出信號(hào)可以作為教師信號(hào)輸入，由該教師信號(hào)與實(shí)際

4、輸出進(jìn)行比較，產(chǎn)生的誤差去控制修改權(quán)系數(shù)Wo學(xué)習(xí)機(jī)構(gòu)可用圖18所示的結(jié)構(gòu)表示。在圖中，X|,X2,，Xn,是輸入樣本信號(hào)，Wi,W2,，Wn是權(quán)系數(shù)。輸入樣本信號(hào)Xi可以取離散值“眼1：輸入樣本信號(hào)通過權(quán)系數(shù)作用，在u產(chǎn)生輸出結(jié)果EWiXi,即有：U=EWiXi=WlXi+W2X2+WnXn再把期望輸出信號(hào)丫(t)和U進(jìn)行比較，從而產(chǎn)生誤差信號(hào)e。即權(quán)值調(diào)整機(jī)構(gòu)根據(jù)誤差e去對(duì)學(xué)習(xí)系統(tǒng)的權(quán)系數(shù)進(jìn)行修改，修改方向應(yīng)使誤差e變小，不斷進(jìn)行下去，使到誤差e為零，這時(shí)實(shí)際輸出值u和期望輸出值Y(t)完全一樣，則學(xué)習(xí)過程結(jié)束。期望輸出y神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)一般需要多次重復(fù)訓(xùn)練，使誤差值逐漸向零趨近，最后到達(dá)零。

5、則這時(shí)才會(huì)使輸出與期望一致。故而神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)是消耗一定時(shí)期的，有的學(xué)習(xí)過程要重復(fù)很多次，甚至達(dá)萬次級(jí)。原因在于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)系數(shù)W有很多分量Wi,W2,-Wn；也即是一個(gè)多參數(shù)修改系統(tǒng)。系統(tǒng)的參數(shù)的調(diào)整就必定耗時(shí)耗量。目前，提高神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)速度，減少學(xué)習(xí)重復(fù)次數(shù)是十分重要的研究課題，也是實(shí)時(shí)控制中的關(guān)鍵問題。二、感知器的學(xué)習(xí)算法感知器是有單層計(jì)算單元的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，由線性元件及閥值元件組成。感知器如圖1-9所示。圖1-9感知器結(jié)構(gòu)感知器的數(shù)學(xué)模型:Y=HWJWX-0j1(1-12)其中：f.是階躍函數(shù)，并且有0是閥值。感知器的最大作用就是可以對(duì)輸入的樣本分類，故它可作分類器，感知器對(duì)輸入信號(hào)的分

6、類如下:即是，當(dāng)感知器的輸出為知感知器的分類邊界是：(1-14)1時(shí)，輸入樣本稱為A類；輸出為-1時(shí)，輸入樣本稱為B類。從上可七陰-8=0(1-15)i=1在輸入樣本只有兩個(gè)分量X1,X2時(shí)，則有分類邊界條件：=O(1-16)WiXi+W2X2-e=0（1-17）也可寫成這時(shí)的分類ff況如固110所示。感知器的學(xué)習(xí)算法目的在于找尋恰當(dāng)?shù)臋?quán)系數(shù)w=(w1.w2,，Wn),使系統(tǒng)對(duì)一個(gè)特定的樣本x=(xt,x2,，xn)熊產(chǎn)生期望值do當(dāng)x分類為A類時(shí)，期望值d=1;X為B類時(shí)，d=-1。為了方便說明感知器學(xué)習(xí)算法，把閥值。并人權(quán)系數(shù)w中，同時(shí)，樣本x也相應(yīng)增加一個(gè)分量xn+1。故令：Wn+1=-

7、e,Xn+1=1(1-19)則感知器的輸出可表示為：A11Y-irswiXj(1-20)感知器學(xué)習(xí)算法步驟如下：1 .對(duì)權(quán)系數(shù)w置初值對(duì)權(quán)系數(shù)W=(Wi.W2,，Wn,Wn+1)的各個(gè)分量置一個(gè)較小的零隨機(jī)值，但Wn+1=-0并記為W|(0),W2(0),，Wn(0),同時(shí)有Wn+1(0)=-8。這里Wi(t)為t時(shí)刻從第i個(gè)輸入上的權(quán)系數(shù)，i=1,2,，noWn+1(t)為t時(shí)刻時(shí)的閥值。圖1-10感知器的分類例子2 .輸入一樣本X=(Xi,X2,，Xn+1)以及它的期望輸出do期望輸出值d在樣本的類屬不同時(shí)取值不同。如果x是A類，則取d=1,如果x是B類，則取-1期望輸出d也即是教師信號(hào)。

8、3 .計(jì)算實(shí)際輸出值丫(t)=fXwXt)xJi=14 .根據(jù)實(shí)際輸出求誤差ee=dY(t)(1-21)5 .用誤差e去修改權(quán)系數(shù)Wi(t+1)=Wi(t)+7j-e*Xii=1,2,，n,n+1(1-22)其中，Y稱為權(quán)重變化率，0刀1在式(122)中，刀的取值不能太大.如果1取值太大則會(huì)影響w“t)的穩(wěn)定；的取值也不能太小,太小則會(huì)使Wi(t)的求取過程收斂速度太慢。當(dāng)實(shí)際輸出和期望值d相同時(shí)有：Wi(t+1)=Wi(t)6 .轉(zhuǎn)到第2點(diǎn)，一直執(zhí)行到一切樣本均穩(wěn)定為止。從上面式(114)可知，感知器實(shí)質(zhì)是一個(gè)分類器，它的這種分類是和二值邏輯相應(yīng)的。因此，感知器可以用于實(shí)現(xiàn)邏輯函數(shù)。下面對(duì)感

9、知器實(shí)現(xiàn)邏輯函數(shù)的情況作一些介紹。例：用感知器實(shí)現(xiàn)邏輯函數(shù)X1VX2的真值：X10011X20101X1VX20111以X1VX2=1為A類，以X1VX2=0為B類，則有方程組(1-23)rwro+w2-o-eo(1-24)從式(124)有:Wiewe令Wi=1,W2=2則有：ei取e=0.5則有：X1+X2-0.5=0,分類情況如圖iii所示。圖1-11邏輯函數(shù)XiVX2的分類1.2.2神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)的梯度算法使到網(wǎng)絡(luò)對(duì)于所輸入的模式權(quán)系數(shù)就反映了同類輸人由于權(quán)系數(shù)是分散存在的，故前面一節(jié)所講的感知器學(xué)習(xí)算從感如器的學(xué)習(xí)算法可知，學(xué)習(xí)的目的是在于修改網(wǎng)絡(luò)中的權(quán)系數(shù),樣本能正確分類。當(dāng)學(xué)習(xí)結(jié)束時(shí)

10、，也即神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能正確分類時(shí)，顯然模式樣本的共同特征。換句話講，權(quán)系數(shù)就是存儲(chǔ)了的輸人模式。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自然而然就有分布存儲(chǔ)的特點(diǎn)。前面的感知器的傳遞函數(shù)是階躍函數(shù)，所以，它可以用作分類器。法因其傳遞函數(shù)的簡單而存在局限性。感知器學(xué)習(xí)算法相當(dāng)簡單，并且當(dāng)函數(shù)線性可分時(shí)保證收斂。但它也存在問題：即函數(shù)不是線性可分時(shí)，則求不出結(jié)果；另外，不能推廣到一般前饋網(wǎng)絡(luò)中。為了克服存在的問題，所以人們提出另一種算法一一梯度算法(也即是LMS法)。為了能實(shí)現(xiàn)梯度算法，故把神經(jīng)元的激發(fā)函數(shù)改為可微分函數(shù)，例如Sigmoid函數(shù)，非對(duì)稱Sigmoid函數(shù)為f(X)=1/(1+e-x),對(duì)稱Sigmoid函數(shù)f(X)=(

11、1-e-x)/(1+e-x);而不采用式(113)的階躍函數(shù)。對(duì)于給定的樣本集Xi(i=1,2,n),梯度法的目的是尋找權(quán)系數(shù)W*,使得fW*Xi與期望輸出Yi盡可能接近。設(shè)誤差e采用下式表示：其中，Y=fw*Xi是對(duì)應(yīng)第i個(gè)樣本Xi的實(shí)時(shí)輸出Yi是對(duì)應(yīng)第i個(gè)樣本Xi的期望輸出。要使誤差e最小，可先求取e的梯度：(對(duì)每一個(gè)樣本的期望與輸出值求導(dǎo))需4爵(1-26)令Uk=WXk，則有:泡匹叫血受kV泊西麗二支無產(chǎn)(1-28)即有:11m-江巴qQ-29)最后有按負(fù)梯度方向修改權(quán)系數(shù)W的修改規(guī)則：(Wk+i=Wk+AW)Wil=Wki/di-(1-30)i=?L-也可寫成：Wk+Wk(一券)|小

12、巴(1-31)在上式（130）,式（131）中，心是權(quán)重變化率，它視情況不同而取值不同，一般取0-1之間的小數(shù)。很明顯，梯度法比原來感知器的學(xué)習(xí)算法進(jìn)了一大步。其關(guān)鍵在于兩點(diǎn)：1 .神經(jīng)元的傳遞函數(shù)采用連續(xù)的s型函數(shù)，而不是階躍函數(shù)；2 .對(duì)權(quán)系數(shù)的修改采用誤差的梯度去控制，而不是采用誤差去控制。故而有更好的動(dòng)態(tài)特能，即加強(qiáng)了收斂進(jìn)程。但是梯度法對(duì)于實(shí)際學(xué)習(xí)來說，仍然是感覺太慢；所以，這種算法仍然是不理想的。1.2.3反向傳播學(xué)習(xí)的BP算法反向傳播算法也稱BP算法。由于這種算法在本質(zhì)上是一種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)模型，所以，有時(shí)也稱為BP模型。BP算法是為了解決多層前向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)系數(shù)優(yōu)化而提出來

13、的；所以，BP算法也通常暗示著神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是一種無反饋的多層前向網(wǎng)絡(luò)。故而.有時(shí)也稱無反饋多層前向網(wǎng)絡(luò)為BP模型。在這里，并不要求過于嚴(yán)格去爭論和區(qū)分算法和模型兩者的有關(guān)異同。感知機(jī)學(xué)習(xí)算法是一種單層網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)算法。在多層網(wǎng)絡(luò)中.它只能改變最后權(quán)系數(shù)。因此，感知機(jī)學(xué)習(xí)算法不能用于多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)。1986年，Rumelhart提出了反向傳播學(xué)習(xí)算法，即BP（backpropagation）算法。這種算法可以對(duì)網(wǎng)絡(luò)中各層的權(quán)系數(shù)進(jìn)行修正，故適用于多層網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)。BP算法是目前最廣泛用的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)算法之一，在自動(dòng)控制中是最有用的學(xué)習(xí)算法。一、BP算法的原理112所示BP算法是用于前饋多層

14、網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)算法，前饋多層網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)一般如圖圖1-12網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)它含有輸人層、輸出層以及處于輸入輸出層之間的中間層。中間層有單層或多層，由于它們和外界沒有直接的聯(lián)系，故也稱為隱層。在隱層中的神經(jīng)元也稱隱單元。隱層雖然和外界不連接.但是，它們的狀態(tài)則影響輸入輸出之間的關(guān)系。這也是說，改變隱層的權(quán)系數(shù)，可以改變整個(gè)多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的性能。設(shè)有一個(gè)m層的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，并在輸入層加有樣本X；設(shè)第k層的i神經(jīng)元的輸入總和表示為Uik,輸出Xik；從第k1層的第j個(gè)神經(jīng)元到第k層的第i個(gè)神經(jīng)元的權(quán)系數(shù)為Wij各個(gè)神經(jīng)元的激發(fā)函數(shù)為f,則各個(gè)變量的關(guān)系可用下面有關(guān)數(shù)學(xué)式表示：Xk=f(Uik)(1-32)U晨/聲I

15、(1-33)反向傳播算法分二步進(jìn)行，即正向傳播和反向傳播。這兩個(gè)過程的工作簡述如下。1 .正向傳播輸入的樣本從輸入層經(jīng)過隱單元一層一層進(jìn)行處理，通過所有的隱層之后，則傳向輸出層；在逐層處理的過程中，每一層神經(jīng)元的狀態(tài)只對(duì)下一層神經(jīng)元的狀態(tài)產(chǎn)生影響。在輸出層把現(xiàn)行輸出和期望輸出進(jìn)行比較，如果現(xiàn)行輸出不等于期望輸出，則進(jìn)入反向傳播過程。2 .反向傳播反向傳播時(shí)，把誤差信號(hào)按原來正向傳播的通路反向傳回，并對(duì)每個(gè)隱層的各個(gè)神經(jīng)元的權(quán)系數(shù)進(jìn)行修改，以望誤差信號(hào)趨向最小。二、BP算法的數(shù)學(xué)表達(dá)BP算法實(shí)質(zhì)是求取誤差函數(shù)的最小值問題。這種算法采用非線性規(guī)劃中的最速下降方法，按誤差函數(shù)的負(fù)梯度方向修改權(quán)系數(shù)。

16、為了說明BP算法，首先定義誤差函數(shù)e。取期望輸出和實(shí)際輸出之差的平方和為誤差函數(shù)，則有：(監(jiān)督類學(xué)習(xí)一般對(duì)損失函數(shù)求最小)e=J2(XT-Y尸(1-34)其中：Yi是輸出單元的期望值；它也在這里用作教師信號(hào)；Xim是實(shí)際輸出；因?yàn)榈趍層是輸出層。由于BP算法按誤差函數(shù)e的負(fù)梯度方向修改權(quán)系數(shù)，故權(quán)系數(shù)Wj的修改量Awij,和e也可寫成(1-36)其中：刀為學(xué)習(xí)速率，即步長。很明顯，根據(jù)BP算法原則，求ae/aWj最關(guān)鍵的。下面求ae/aWij；有(1-37)戒。一甌一(1-38)故而3e3叫一叫卜從而有W-可X?7(1-39)(1-40)=一可k-1(1-41)則有學(xué)習(xí)公式:Wj=-Td&Xj

17、kT(1-42)其中：刀為學(xué)習(xí)速率，即步長，一般取0-1間的數(shù)。從上面可知，dik實(shí)際仍末給出明顯的算法公式，下面求dik的計(jì)算公式。3U/de*一陪河)(1-43)從式(1-32)可知在式(1-43)中，有(1-44)為了方便進(jìn)行求導(dǎo)，取f為連續(xù)函數(shù)。一般取非線性連續(xù)函數(shù)，例如Sigmoid函數(shù)。當(dāng)取f為非對(duì)稱Sigmoid函數(shù)時(shí)，有：KUi，止則有：f(Uik)=f(Uik)(1-f(Uik)=Xik(1-Xik)(1-45)再考慮式(143)中的偏微分項(xiàng)ae/aXik,有兩種情況需考慮的：如果k=m,則是輸出層，這時(shí)有Yi是輸出期望值，它是常數(shù)。從式(1-34)有ax”I=(xr-w)(

18、1-46)從?1有di=X(1-Xi)(Xi-Yi)(1-47)2.如果kni則該層是隱層.這時(shí)應(yīng)考慮上一層對(duì)它的作用,故有：叫k+l從式(141)中，可知有:-dik+1au尸d(1-48)(1-49)從式(133)中，可知有:(m為輸出層)心對(duì)(1-X/)斗%d產(chǎn)1上面公式中，求取本層dj時(shí)，要用到高一層的dik+1；可見，誤差函數(shù)的求取是從輸出層開始，到輸入層的反向傳播過程。在這個(gè)過程中不斷進(jìn)行遞歸求誤差。通過多個(gè)樣本的反復(fù)訓(xùn)練，同時(shí)向誤差漸漸減小的方向?qū)?quán)系數(shù)進(jìn)行修正，以達(dá)最終消除誤差。從上面公式也可以知道，如果網(wǎng)絡(luò)的層數(shù)較多時(shí)，所用的計(jì)算量就相當(dāng)可觀，故而收斂速度不快。為了加快收斂速度，一般考慮上一次的權(quán)系數(shù)，并以它作為本次修正的依據(jù)之一，故而有修正公式：W4+D=串卜號(hào)i+sAWijk)(1-54)其中：刀為學(xué)習(xí)速率，即步長，刀=0.10.4左右a為權(quán)系數(shù)修正常數(shù)，取0.70.9左右。在上面，式(153)也稱為一月化的De代a法則。對(duì)于沒有隱層的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，可取園二式丫廣為)*(1-55)其中：，Yi為期望輸出；Xj為輸出層的實(shí)際輸出；Xi為輸入層的輸入。這顯然是一種十分簡單的情況，式(155)也稱為簡單De代a法則。在實(shí)際應(yīng)用中，只有一般化的De代a法則式(153)或式(154)才有意義。簡單De代a法則式(155)只在理論推導(dǎo)上有