山東省濰坊高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)開發(fā)區(qū)東明學(xué)校九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)圓的對(duì)稱性課件（新版）青島版

1、3.1 3.1 圓的對(duì)稱性圓的對(duì)稱性(1)(1) - -垂徑垂徑定理及其逆定理定理及其逆定理學(xué)習(xí)目標(biāo)： 理解圓的軸對(duì)稱性及其相關(guān)性質(zhì)； 理解垂徑定理； 會(huì)運(yùn)用垂徑定理解決有關(guān)問題。 重點(diǎn)、難點(diǎn)：重點(diǎn)、難點(diǎn)： 垂徑定理及其應(yīng)用。預(yù)習(xí)案的交流與展示：預(yù)習(xí)案的交流與展示：知識(shí)準(zhǔn)備：知識(shí)準(zhǔn)備：什么是軸對(duì)稱圖形？我們?cè)?jīng)學(xué)過哪些軸什么是軸對(duì)稱圖形？我們?cè)?jīng)學(xué)過哪些軸對(duì)稱圖形？對(duì)稱圖形？ 如果一個(gè)圖形沿一條直線對(duì)折，直線兩如果一個(gè)圖形沿一條直線對(duì)折，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫軸旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫軸對(duì)稱圖形。如線段、角、等腰三角形、矩形、對(duì)稱圖形。如線段、角、等腰三角形、矩

2、形、菱形、等腰梯形、正方形等。菱形、等腰梯形、正方形等。1 1、圓是軸對(duì)稱圖形嗎？、圓是軸對(duì)稱圖形嗎？ 如果是如果是, ,它的對(duì)稱軸是什么它的對(duì)稱軸是什么? ?你能找到多你能找到多少條對(duì)稱軸？少條對(duì)稱軸？你是用什么方法解決上述問題的你是用什么方法解決上述問題的? ?自主學(xué)習(xí)：自主學(xué)習(xí)： 圓是軸對(duì)稱圖圓是軸對(duì)稱圖形形. . 圓的對(duì)稱軸是任意一條經(jīng)過圓的對(duì)稱軸是任意一條經(jīng)過圓心的直線圓心的直線, ,它有無數(shù)條對(duì)稱軸它有無數(shù)條對(duì)稱軸. .可利用折疊的方法即可解決上述問題可利用折疊的方法即可解決上述問題. .O2、按下面的步驟做一做：1）拿出一張圓形紙片，把這個(gè)圓對(duì)折，使圓的兩半部分重合2）得到一條折

3、痕CD3）在O上任取一點(diǎn)A，過點(diǎn)A作CD折痕的垂線，得到新的折痕，其中，點(diǎn)M是兩條折痕的交點(diǎn)，即垂足4）將紙打開，新的折痕與圓交于另一點(diǎn)B，如上圖在上述的操作過程中，你發(fā)現(xiàn)了哪些相等的線段和相等的?。克鼈?yōu)槭裁聪嗟饶?？自主學(xué)習(xí)：自主學(xué)習(xí)： 如圖如圖,小明的理由是小明的理由是: 連接連接OA,OB,OA,OB,OABCDM則則OA=OB.在在RtOAM和和RtOBM中中,OA=OB，OM=OM，RtOAM RtOBM.AM=BM.點(diǎn)點(diǎn)A和點(diǎn)和點(diǎn)B關(guān)于關(guān)于CD對(duì)稱對(duì)稱. O關(guān)于直徑關(guān)于直徑CD對(duì)稱對(duì)稱,當(dāng)圓沿著直徑當(dāng)圓沿著直徑CD對(duì)折時(shí)對(duì)折時(shí),點(diǎn)點(diǎn)A與點(diǎn)與點(diǎn)B重合重合, AC AC和和BCBC重合

4、重合, ,ADAD和和BDBD重合重合. . AC = BC,AC = BC, AD = BD.AD = BD.自主學(xué)習(xí)：自主學(xué)習(xí)：能不能試著利用構(gòu)造等腰三角形得能不能試著利用構(gòu)造等腰三角形得出上面的等量關(guān)系？出上面的等量關(guān)系？連接連接OA,OB,OA,OB,OABCDM則則OA=OB.AM=BM.點(diǎn)點(diǎn)A和點(diǎn)和點(diǎn)B關(guān)于關(guān)于CD對(duì)稱對(duì)稱. O關(guān)于直徑關(guān)于直徑CD對(duì)稱對(duì)稱,當(dāng)圓沿著直徑當(dāng)圓沿著直徑CD對(duì)折時(shí)對(duì)折時(shí),點(diǎn)點(diǎn)A與點(diǎn)與點(diǎn)B重合重合,ACAC和和BCBC重合重合,ADAD和和BDBD重合重合. AC = BCAC = BC, AD = BDAD = BD.CDAB于M證明：證明：自主學(xué)習(xí)：自

5、主學(xué)習(xí)：能不能試著利用構(gòu)造等腰三角形得出上面的等量關(guān)系？能不能試著利用構(gòu)造等腰三角形得出上面的等量關(guān)系？探究一：對(duì)垂徑定理的理解探究一：對(duì)垂徑定理的理解定理定理 垂直于弦的直徑平分弦以及弦垂直于弦的直徑平分弦以及弦所對(duì)的兩條弧所對(duì)的兩條弧.OABCDMCDAB, CD是直徑是直徑, AM=BM, AC = BC, AD = BD.條件條件一條直徑一條直徑垂直于弦垂直于弦直徑平分弦直徑平分弦平分弦所對(duì)的劣弧平分弦所對(duì)的劣弧結(jié)論結(jié)論平分弦所對(duì)的優(yōu)弧平分弦所對(duì)的優(yōu)弧E EO OA AB BD DC CE EA AB BC CD DE EO OA AB BD DC CO OB BA AE EE EO

6、OA AB BC CE EO OC CD DA AB B在下列圖形中，你能否利用垂徑定理找到相等的線段在下列圖形中，你能否利用垂徑定理找到相等的線段或相等的圓??？或相等的圓弧？同步訓(xùn)練：同步訓(xùn)練：探究二：垂徑定理的應(yīng)用例：如圖，以O(shè)AB的頂點(diǎn)O為圓心的O交AB于點(diǎn)C、D，且AC=BD。求證：OAOB。 例例2：如圖，已知在如圖，已知在 O中，弦中，弦AB的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為8厘米，厘米，圓心圓心O到到AB的距離為的距離為3厘厘米，求米，求 O的半徑。的半徑。E.ABO解：連結(jié)解：連結(jié)OA。過。過O作作OEAB，垂足為，垂足為E21則則AEBE AB 84厘米厘米在在RtAOE中，中，OE=3厘米，根據(jù)

7、勾股定理厘米，根據(jù)勾股定理OA21 O的半徑為的半徑為5厘米。厘米。543OEAE2222 厘米厘米若若E為弦為弦AB上一動(dòng)點(diǎn)，則上一動(dòng)點(diǎn)，則OE取值范圍是取值范圍是_。探究二：垂徑定理的應(yīng)用探究二：垂徑定理的應(yīng)用如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧(即圖中即圖中 ，點(diǎn)，點(diǎn)o是是 的圓的圓 心心)，其，其中中CD=600m,E為為 上一點(diǎn)，且上一點(diǎn)，且OECD ，垂足為，垂足為F，EF=90m,求這段求這段彎路的半徑。彎路的半徑。CDE FOCDCDCD實(shí)際應(yīng)用挑戰(zhàn)自我：如圖，P為O內(nèi)一點(diǎn)，你能用尺規(guī)作O的一 條弦AB，使點(diǎn)P恰為AB的中點(diǎn)嗎？ 說明你的理由。你說、

8、我說、大家說： A、AC=AD B、BC=BD C、AM=OM D、CM=DM1.在在 O中，若中，若CD AB于于M，AB為直徑，為直徑，則下列結(jié)論不正確的是（則下列結(jié)論不正確的是（ ）2.已知已知 O的直徑的直徑AB=10，弦，弦CD AB，垂足為垂足為M，OM=3，則，則CD= .3.在在 O中，中，CD AB于于M，AB為直徑，為直徑，若若CD=10，AM=1，則，則 O的半徑是的半徑是 . C813OCDABM當(dāng)堂達(dá)標(biāo)：趙州石拱橋趙州石拱橋 14001400多年前多年前, ,我國(guó)隋朝建造的趙州石拱橋我國(guó)隋朝建造的趙州石拱橋( (如圖如圖) )的橋拱是圓弧的橋拱是圓弧形形, ,它的跨度

9、它的跨度( (弧所對(duì)是弦的長(zhǎng)弧所對(duì)是弦的長(zhǎng)) )為為37.02m,37.02m,拱高拱高( (弧的中點(diǎn)到弦弧的中點(diǎn)到弦的距離的距離, ,也叫弓形高也叫弓形高) )為為7.23m,7.23m,求橋拱的半徑求橋拱的半徑( (精確到精確到0.1m).0.1m).船能過拱橋嗎船能過拱橋嗎 如圖如圖,某地有一圓弧形拱橋某地有一圓弧形拱橋,橋下水面寬橋下水面寬為為7.2米米,拱頂高出水面拱頂高出水面2.4米米.現(xiàn)有一艘現(xiàn)有一艘寬寬3米、船艙頂部為長(zhǎng)方形并高出水米、船艙頂部為長(zhǎng)方形并高出水面面2米的貨船要經(jīng)過這里米的貨船要經(jīng)過這里,此貨船能順此貨船能順利通過這座拱橋嗎？利通過這座拱橋嗎？課后提升：課后提升：

10、n你可以寫出相應(yīng)的命題嗎你可以寫出相應(yīng)的命題嗎? 如圖如圖,在下列五個(gè)條件中在下列五個(gè)條件中:只要具備其中兩個(gè)條件只要具備其中兩個(gè)條件,就可推出其余三個(gè)結(jié)論就可推出其余三個(gè)結(jié)論.OABCDM CD是直徑是直徑, AM=BM, CDAB,AC = BC, AD = BD.垂徑定理逆定理垂徑定理逆定理垂徑定理及逆定理OABCDM條件條件結(jié)論結(jié)論命命 題題垂直于弦的直徑平分弦垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所的兩條弧并且平分弦所的兩條弧.平分弦平分弦(不是直徑不是直徑)的直徑垂直于弦的直徑垂直于弦,并且平并且平 分弦所對(duì)的兩條弧分弦所對(duì)的兩條弧.平分弦所對(duì)的一條弧的直徑平分弦所對(duì)的一條弧的直徑,垂直

11、平分弦垂直平分弦,并且平分弦所對(duì)的另一條弧并且平分弦所對(duì)的另一條弧.弦的垂直平分線經(jīng)過圓心弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,并且平分這條弦所對(duì)的兩條弧并且平分這條弦所對(duì)的兩條弧. 垂直于弦并且平分弦所對(duì)的一條弧的直線經(jīng)過圓心垂直于弦并且平分弦所對(duì)的一條弧的直線經(jīng)過圓心,并且平分弦和所對(duì)的并且平分弦和所對(duì)的另一條弧另一條弧.平分弦并且平分弦所對(duì)的一條弧的直線經(jīng)過圓心平分弦并且平分弦所對(duì)的一條弧的直線經(jīng)過圓心,垂直于弦垂直于弦,并且平分弦所并且平分弦所對(duì)的另一條弧對(duì)的另一條弧.平分弦所對(duì)的兩條弧的直線經(jīng)過圓心平分弦所對(duì)的兩條弧的直線經(jīng)過圓心,并且垂直平分弦并且垂直平分弦. CD是直徑是直徑, AM=BM,

12、CDAB,AC=BC,AD=BD.CDABE例：例：已知：弧已知：弧AB作法：作法： 連結(jié)連結(jié)AB.作作AB的垂直平分線的垂直平分線 CD，交弧，交弧AB于點(diǎn)于點(diǎn)E.點(diǎn)點(diǎn)E E就是所求弧就是所求弧ABAB的中點(diǎn)。的中點(diǎn)。求作：弧求作：弧AB的中點(diǎn)的中點(diǎn)挑戰(zhàn)自我畫一畫CDABEFG變式一變式一： 求弧求弧ABAB的四等分點(diǎn)。的四等分點(diǎn)。 mnCABE變式二變式二：你能確定你能確定 弧弧ABAB的圓心嗎？的圓心嗎？mnDCABEmnO你能你能破鏡重破鏡重圓圓嗎？嗎？ABACmnO 作弦作弦ABABACAC及它們的垂直平分及它們的垂直平分線線m mn n，交于，交于O O點(diǎn)；以點(diǎn)；以O(shè) O為圓心，為

13、圓心，OAOA為半徑作圓。為半徑作圓。破鏡重破鏡重圓圓ABCmnO 弦的垂直平分線經(jīng)過圓心弦的垂直平分線經(jīng)過圓心, ,并且平分弦所對(duì)的兩條弧。并且平分弦所對(duì)的兩條弧。 作圖依據(jù)：判斷判斷垂直于弦的直線平分弦，并且平分弦所對(duì)的弧垂直于弦的直線平分弦，并且平分弦所對(duì)的弧( )弦所對(duì)的兩弧中點(diǎn)的連線弦所對(duì)的兩弧中點(diǎn)的連線,垂直于弦垂直于弦,并且經(jīng)過圓心并且經(jīng)過圓心 ( )圓的不與直徑垂直的弦必不被這條直徑平分圓的不與直徑垂直的弦必不被這條直徑平分 ( )平分弦的直徑垂直于弦平分弦的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧并且平分弦所對(duì)的兩條弧 ( )圓內(nèi)兩條非直徑的弦不能互相平分（圓內(nèi)兩條非直徑的弦不能

14、互相平分（ ）挑戰(zhàn)自我挑戰(zhàn)自我 填一填填一填（6）平分弦的直徑，平分這條弦所對(duì)的弧。）平分弦的直徑，平分這條弦所對(duì)的弧。（7）平分弦的直線，必定過圓心。）平分弦的直線，必定過圓心。（8）一條直線平分弦（這條弦不是直徑），那么這）一條直線平分弦（這條弦不是直徑），那么這 條直線垂直這條弦。條直線垂直這條弦。ABCDO(1)ABCDO(2)ABCDO(3)挑戰(zhàn)自我挑戰(zhàn)自我 填一填填一填(9)弦的垂直平分線一定是圓的直徑弦的垂直平分線一定是圓的直徑.平分弧的直線，平分這條弧所對(duì)的弦平分弧的直線，平分這條弧所對(duì)的弦. 弦垂直于直徑，這條直徑就被弦平分弦垂直于直徑，這條直徑就被弦平分.ABCO(4)AB

15、CDO(5)ABCDO(6)E挑戰(zhàn)自我挑戰(zhàn)自我 填一填填一填已知：如圖已知：如圖, O 中中,弦弦ABCD,ABCD,直徑直徑MNAB,垂足為垂足為E,交弦交弦CD于點(diǎn)于點(diǎn)F.圖中相等的線段有圖中相等的線段有 : .圖中相等的劣弧有圖中相等的劣弧有: .FEOMNABCD挑戰(zhàn)自我挑戰(zhàn)自我 填一填填一填已知：如圖，已知：如圖， O 中，中， AB為為 弦，弦，C 為為 弧弧AB 的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，OC交交AB 于于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求求 O 的半徑的半徑OA.DOABC挑戰(zhàn)自我挑戰(zhàn)自我 做一做做一做解：（解：（1） OAB+ AOC=90 AC=CB，OC 是半徑（已知

16、）是半徑（已知）OC AB(如果圓的直徑平分弧，那么這如果圓的直徑平分弧，那么這條直徑垂直這條弧所對(duì)的弦）條直徑垂直這條弧所對(duì)的弦） ADO=90 OAB=90 -35 =55 ABCDO如圖，在扇形如圖，在扇形OAB中，中，C是是AB的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，OC交交AB于點(diǎn)于點(diǎn)D AOC=35 ,AD=16cm求（求（1） OAB的度數(shù)（的度數(shù)（2）AB的長(zhǎng)的長(zhǎng)挑戰(zhàn)自我挑戰(zhàn)自我 做一做做一做AB解：（解：（2）(如果圓的直徑平分弧，那么這條直徑如果圓的直徑平分弧，那么這條直徑平分這條弧所對(duì)的弦平分這條弧所對(duì)的弦)AC=CB，CD經(jīng)過圓心經(jīng)過圓心O（已知）（已知）DB=AD=16cmAB=2AD=32cmABCDO如圖，在扇形如圖，在扇形OAB中，中，C是是AB的中點(diǎn)，的