復(fù)變函數(shù)第8講學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)(hnsh)第第8講講第一頁，共30頁。2重點重點(zhngdin)：難點難點(ndin)：函數(shù)展開成泰勒級數(shù)與洛朗級數(shù)函數(shù)展開成泰勒級數(shù)與洛朗級數(shù)函數(shù)展開成洛朗級數(shù)函數(shù)展開成洛朗級數(shù)第1頁/共29頁第二頁，共30頁。3復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)(fsh)項級數(shù)項級數(shù)函數(shù)函數(shù)(hnsh)項級數(shù)項級數(shù)充充要要條條件件必必要要條條件件冪級數(shù)冪級數(shù)收斂收斂(shulin)(shulin)半徑半徑R R復(fù)復(fù) 變變 函函 數(shù)數(shù)絕絕對對收收斂斂運算與性質(zhì)運算與性質(zhì)解解析析在在0)(zzf為復(fù)常數(shù)為復(fù)常數(shù) 收斂條件收斂條件條條件件收收斂斂復(fù)數(shù)列復(fù)數(shù)列收斂半徑的計算收斂半徑的計算泰勒級數(shù)泰勒級數(shù)洛朗級數(shù)

2、洛朗級數(shù))(zfann為函數(shù)為函數(shù)第2頁/共29頁第三頁，共30頁。4 , 0 數(shù)數(shù)相應(yīng)地都能找到一個正相應(yīng)地都能找到一個正如果任意給定如果任意給定 , ),(時成立時成立在在使使NnNn 記作記作NoImage , 為為一一確確定定的的復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)又又設(shè)設(shè)iba設(shè)設(shè)an(n=1,2,.)an(n=1,2,.)為一復(fù)數(shù)為一復(fù)數(shù)(fsh)(fsh)列列, ,則則a稱為復(fù)數(shù)稱為復(fù)數(shù)(fsh)列列an當(dāng)當(dāng)n時的時的極限極限,此時也稱復(fù)數(shù)列此時也稱復(fù)數(shù)列 n收斂收斂于于 .nnlim第3頁/共29頁第四頁，共30頁。5 nnn 211表達式表達式稱為復(fù)數(shù)稱為復(fù)數(shù)(fsh)項無窮級數(shù)項無窮級數(shù).其最前面其最

3、前面 項的和項的和NoImagenns 21稱為稱為(chn wi)級數(shù)的部分和級數(shù)的部分和.部分部分(b fen)和和1) 定義定義an=an+ibn(n=1,2,.)為一復(fù)數(shù)列為一復(fù)數(shù)列,第4頁/共29頁第五頁，共30頁。60lim1 nnnn 收斂收斂都收斂都收斂與與收斂收斂 111nnnnnnba 充要條件充要條件必要條件必要條件 ,1收斂收斂那末級數(shù)那末級數(shù) nn 如果部分如果部分(b fen)和數(shù)列和數(shù)列sn收斂收斂,.,.lim,11發(fā)散稱為則級數(shù)不收斂如果數(shù)列為級數(shù)的和稱并且極限收斂稱為則級數(shù)nnnnnnnsss第5頁/共29頁第六頁，共30頁。73)復(fù)級數(shù)復(fù)級數(shù)(j sh)的

4、絕對收斂與條件收斂的絕對收斂與條件收斂如果如果 收斂收斂, 那末稱級數(shù)那末稱級數(shù) 為為絕對收斂絕對收斂. 1nn 1nn .111絕對收斂絕對收斂與與絕對收斂絕對收斂 nnnnnnba 絕對絕對(judu)收斂收斂 條件收斂條件收斂第6頁/共29頁第七頁，共30頁。811)1;2)cosinnneninn第7頁/共29頁第八頁，共30頁。91111cossin111cos,1sin.lim1,lim011lim1.innnnnnnninnneinnnnabnnnnaben數(shù)列收斂,且有第8頁/共29頁第九頁，共30頁。10第9頁/共29頁第十頁，共30頁。1110111)1;(8 )2);!(

5、 1)13)2nnnnnninninin第10頁/共29頁第十一頁，共30頁。12解解 1) 因因故原級數(shù)發(fā)散故原級數(shù)發(fā)散.111nnnan2111nnnbn第11頁/共29頁第十二頁，共30頁。13因因 , 由由絕對收斂絕對收斂.(8 )8!nninn18!nnn第12頁/共29頁第十三頁，共30頁。14因因收斂收斂原級數(shù)原級數(shù)(j sh)非絕對收斂非絕對收斂.1( 1)nnn112nn1( 1)nnn第13頁/共29頁第十四頁，共30頁。15)()()()(21zfzfzfzsnn 稱為稱為(chn wi)(chn wi)這級數(shù)的部分和這級數(shù)的部分和. . 級數(shù)最前面級數(shù)最前面項的和項的和

6、n , ), 2 , 1()( 為一復(fù)變函數(shù)序列為一復(fù)變函數(shù)序列設(shè)設(shè) nzfn )()()()(211zfzfzfzfnnn其中其中(qzhng)(qzhng)各項在區(qū)域各項在區(qū)域 D D內(nèi)有定義內(nèi)有定義. .表達表達式式稱為復(fù)變函數(shù)項級數(shù)稱為復(fù)變函數(shù)項級數(shù), 記作記作 . )(1 nnzf第14頁/共29頁第十五頁，共30頁。16 1) 在復(fù)變函數(shù)在復(fù)變函數(shù)(hnsh)項級數(shù)中項級數(shù)中, 形如形如.zczczcczcnnnnn 22101的級數(shù)的級數(shù)(j sh)稱為冪級數(shù)稱為冪級數(shù)(j sh).,0時時當(dāng)當(dāng) a 22100)()()(azcazccazcnnn nnazc)(第15頁/共29

7、頁第十六頁，共30頁。17-阿貝爾阿貝爾Abel定理定理如果級數(shù)如果級數(shù) 0nnnzc)0(0 zz0zz 0zz 0zz , z在在收斂收斂, z那末對那末對的的級數(shù)必絕對收斂級數(shù)必絕對收斂, 如果如果在在級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散, 那末對滿足那末對滿足的的級數(shù)必發(fā)散級數(shù)必發(fā)散.滿足滿足2)收斂定理第16頁/共29頁第十七頁，共30頁。18(3) 既存在使級數(shù)發(fā)散的正實數(shù)既存在使級數(shù)發(fā)散的正實數(shù), 也存在使級數(shù)收也存在使級數(shù)收斂的正實數(shù)斂的正實數(shù).3)3)收斂收斂(shulin)(shulin)圓與收斂圓與收斂(shulin)(shulin)半徑半徑對于一個冪級數(shù)對于一個冪級數(shù), 其收斂半徑的情況其

8、收斂半徑的情況(qngkung)有三種有三種:對所有的正實數(shù)都收斂對所有的正實數(shù)都收斂.即級數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處即級數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處收斂處收斂.(2) 對所有的正實數(shù)除對所有的正實數(shù)除0 z外都發(fā)散外都發(fā)散.第17頁/共29頁第十八頁，共30頁。19在收斂圓周上是收斂還是發(fā)散在收斂圓周上是收斂還是發(fā)散, 不能作出不能作出一般的結(jié)論一般的結(jié)論, 要對具體級數(shù)進行具體分析要對具體級數(shù)進行具體分析.注意注意xyo. .R收斂圓收斂圓收斂半徑收斂半徑第18頁/共29頁第十九頁，共30頁。20nnnzzzz201)1( ,1112zzzzzzsnnn第19頁/共29頁第二十頁，共30頁。nnnnnnnnnnn

9、zzzzzznzzzzzszzzzzzzzs212111, 1|.,1|,11,1|,11lim, 0lim,1|) 1( ,111并有在此范圍內(nèi)絕對收斂收斂范圍為級數(shù)發(fā)散不趨于零時由于時當(dāng)和函數(shù)為收斂時級數(shù)即從而有由于時當(dāng)?shù)?0頁/共29頁第二十一頁，共30頁。22方法方法(fngf)1: (fngf)1: 比值法比值法方法方法(fngf)2: 根值法根值法NoImage那末收斂半徑那末收斂半徑NoImage ., 0; 0,;0,1 R即即, 0lim nnnc如果如果那末收斂半徑那末收斂半徑.1 R第21頁/共29頁第二十二頁，共30頁。231) 31nnzn(并討論在收斂圓周上的情形)

10、; 2) 1(1)nnzn(并討論 z=0,2 時的情形); 3) 0(cos)nnin z 第22頁/共29頁第二十三頁，共30頁。24解 1) 因為31limlim12nnnncncn, 或 3311lim |limlim1nnnnnnncnn 所以收斂半徑 R=1, 也就是原級數(shù)在圓|z|=1內(nèi)收斂, 在圓周外發(fā)散. 在圓周|z|=1 上, 級數(shù)33111nnnznn是收斂的, 因為這是一個 p級數(shù), p=31, 所以原級數(shù)在收斂圓上是處處收斂的. 第23頁/共29頁第二十四頁，共30頁。252) 1limlim11nnnncncn, 即 R=1. 在收斂圓|z1|=1 上, 當(dāng) z=0

11、 時, 原級數(shù)成為11( 1)nnn, 級數(shù)收斂; 當(dāng) z=2 時, 原級數(shù)成為11nn, 發(fā)散. 這個例子表明, 在收斂圓周上即有級數(shù)的收斂點,也有級數(shù)的發(fā)散點. 第24頁/共29頁第二十五頁，共30頁。263) 因為1cosch()2nnncinnee, 所以 111limlimnnnnnnnnceeecee 故收斂半徑1Re 第25頁/共29頁第二十六頁，共30頁。27.,)(,)()1(2010rRzbzgrRzazfnnnnnn 設(shè)設(shè),)()()(000nnnnnnnnnnzbazbzazgzf ),()()()(00 nnnnnnzbzazgzf 00110,)(nnnnnzbab

12、abaRz ),min(21rrR 第26頁/共29頁第二十七頁，共30頁。28如果當(dāng)如果當(dāng)rz 時時,)(0 nnnzazf又設(shè)在又設(shè)在Rz 內(nèi)內(nèi))(zg解析且滿足解析且滿足,)(rzg 那末當(dāng)那末當(dāng)Rz 時時, 0.)()(nnnzgazgf復(fù)變冪級數(shù)在收斂復(fù)變冪級數(shù)在收斂(shulin)(shulin)圓內(nèi)的解析性圓內(nèi)的解析性 00)(nnnzzc（定理（定理(dngl)四）設(shè)冪四）設(shè)冪級數(shù)級數(shù)的收斂半徑的收斂半徑為為,R那末那末是收斂圓是收斂圓Raz 內(nèi)的解析函數(shù)內(nèi)的解析函數(shù) .它的和函數(shù)它的和函數(shù) 00)()(nnnzzczf, )(zf即即(1)第27頁/共29頁第二十八頁，共30頁。29(2)(zf在收斂圓在收斂圓Raz 內(nèi)的導(dǎo)數(shù)可將其冪內(nèi)的導(dǎo)數(shù)可將其冪級數(shù)逐項求導(dǎo)得到級數(shù)逐項求導(dǎo)得到, 即即.)()(110 nnnzznczf(3)(zf在收斂圓內(nèi)可以在收斂圓內(nèi)可以(ky)逐項積分逐項積分, 即即 0.,d)(d )(ncnncRazczazczzf或或NoImage第28頁/共29頁