結構動力學課件5

1、1/86結構動力學結構動力學第第5 5章章動力反應數(shù)值分析方法動力反應數(shù)值分析方法2/86主要內容主要內容：q 數(shù)值算法中的基本問題數(shù)值算法中的基本問題q 分段解析法分段解析法q 中心差分法中心差分法q 一般時域逐步積分法的構造一般時域逐步積分法的構造q Newmark 法法q Wilson 法法q 時域逐步積分算法的新發(fā)展時域逐步積分算法的新發(fā)展q 結構非線性反應分析結構非線性反應分析3/865.1 數(shù)值算法中的基本問題數(shù)值算法中的基本問題4/865.1 數(shù)值算法中的基本問題前面介紹了二種結構動力反應分析方法： 時域分析方法Duhamel積分法， 頻域分析方法Fourier變換法。這兩種方法

2、適用于處理線彈性結構的動力反應問題。當外荷載p(t)為解析函數(shù)時，采用這兩種方法一般可以得到體系動力反應的解析解，當荷載變化復雜時無法得到解析解，通過數(shù)值計算可以得到動力反應的數(shù)值解。這兩種分析方法的特點是均基于疊加原理，要求結構體系是線彈性的，當外荷載較大時，結構反應可能進入物理非線性物理非線性(彈塑性)，或結構位移較大時，結構可能進入幾何非線性幾何非線性，這時疊加原理將不再適用。此時可以采用時域逐步積分法求解運動微分方程。 5/865.1 數(shù)值算法中的基本問題時域逐步積分法Step-by-step methods結構動力反應分析的時域直接數(shù)值計算方法： （1）分段解析法；（2）中心差分法；

3、（3）平均常加速度法；（4）線性加速度法；（5）Newmark 法；（6）Wilson 法； 時域逐步積分法是結構動力分析問題中一個得到廣泛研究的課題，也是得到廣泛應用的計算方法。 6/865.1 數(shù)值算法中的基本問題采用疊加原理的時域和頻域分析方法（Duhamel積分，F(xiàn)ourier變換），假設結構在全部反應過程中都是線性的，而時域逐步積分法，只假設在一個時間步距內是線性的，相當于用分段直線來逼近實際的曲線。時域逐步積分法研究的是離散時間點上的值，例如位移和速度為：而這種離散化正符合計算機存貯的特點。與運動變量的離散化相對應，體系的運動微分方程也不一定要求在全部時間上都滿足，而僅要求在離散時

4、間點上滿足，這相當于放松了對運動變量的約束。( ) ,( ) ,1, 2,iiiiuu tuu ti7/865.1 數(shù)值算法中的基本問題采用等時間步長離散時，ti=it，i=1, 2, 3,。體系的運動微分方程僅要求在離散時間點上滿足。t離散時間步長離散時間步長8/865.1 數(shù)值算法中的基本問題 一種逐步積分法的優(yōu)劣，主要由以下四個方面判斷：收 斂 性：當：當t0時，數(shù)值解是否收斂于精確解；時，數(shù)值解是否收斂于精確解；計算精度：截斷誤差與時間步長截斷誤差與時間步長t 的關系，若誤差的關系，若誤差 O(tn)，則稱方法具有，則稱方法具有n階精度；階精度；穩(wěn) 定 性：隨時間步數(shù)：隨時間步數(shù)i的增

5、大，數(shù)值解是否變得無窮的增大，數(shù)值解是否變得無窮 大（遠離精確解）；大（遠離精確解）；計算效率：數(shù)值計算中所花費的計算時間的多少數(shù)值計算中所花費的計算時間的多少。一個好的方法首先必須是收斂的、有足夠的精度(例如2階，滿足工程要求)、良好的穩(wěn)定性、較高的計算效率。在發(fā)展逐步積分法中，也的確發(fā)展了一些高精度但很費時的方法，在實際中得不到應用和推廣。 9/865.1 數(shù)值算法中的基本問題根據(jù)是否需要聯(lián)立求解耦聯(lián)方程組，逐步積分法可分為兩大類：隱式方法：逐步積分計算公式是耦聯(lián)的方程組，需聯(lián)立求解，計算工作量大，通常增加的工作量與自由度的平方成正比，例如Newmark法、Wilson法。顯式方法：逐步積

6、分計算公式是解耦的方程組，無需聯(lián)立求解，計算工作量小，增加的工作量與自由度成線性關系，如中心差分方法(無阻尼時)。下面重點介紹兩種常用的時域逐步積分法中心差分法和Newmark法，同時也介紹Wilson法，最后介紹非線性問題分析方法。10/865.3中心差分法中心差分法(Central Difference Method) 11/865.3 中心差分法 中心差分方法用有限差分代替位移對時間的求導(即速度和加速度)。如果采用等步長，ti=t，則i時刻速度和加速度的中心差分近似為：tuuuiii2112112tuuuuiiii iiiiiiipkutuuctuuum2211211)()()()(i

7、iiitptkutuctum )()()()(iiiiiiiitpptuutuutuu 11222222iiiimcmmcupkuuttttt12/865.3 中心差分法多自由度體系的中心差分法逐步計算公式為：11222222iiiimcmmcupkuuttttt ( )( )( )( )iiiiiiiiuu tuu tuu tpp t 112111212iiiiiiiuuutuuuut 212211122112iiiiMCuttpKMuMCuttt13/865.3 中心差分法 單步法和多步法的概念單步法單步法：采用時域逐步積分法計算某一時刻的運動時，僅需已知前一時刻的運動。多步法多步法：需要

8、前兩個或兩個以上時刻的運動。中心差分法在計算ti+1時刻的運動ui+1時，需要已知ti和ti-1兩個時刻的運動ui和ui-1，因此，中心差分法屬于兩步法；而分段解析法僅需要已知ti時刻的運動，因此為單步法。11222222iiiimcmmcupkuuttttt1111iiiiiiiiiipDpCuBuAuDpCpuBAuu14/865.3 中心差分法 時域逐步積分法計算中起步的概念用兩步法進行計算時存在起步問題，因為僅根據(jù)已知的初始位移和速度，并不能自動進行運算，而必需給出兩個相鄰時刻的位移值，方可開始逐步計算。在初始時刻需要建立兩個起步時刻（即i0, -1）的位移值，這即是逐步積分的起步問題

9、。 11222222iiiimcmmcupkuuttttt15/86中心差分方法計算中的起步處理方法初始條件為 ：)0(),0(00uuuu tuuu2110210102tuuuu 020012utu tuu )(10000kuucpmu 11222222iiiimcmmcupkuuttttt16/86 中心差分法計算步驟：(1). 基本數(shù)據(jù)準備和初始計算 (2). 計算等效剛度和中心差分計算公式中的系數(shù) (3). 根據(jù)i及i以前時刻的運動，計算i+1時刻的運動 (4). 下一步計算用i+1代替i，重復(2)至(3)中的計算步驟。已知和00uu)(20002001kuucpmtu tuu111

10、1222iiiiiiiuuutuuuut2222,22mcmmckakbttttt11 /iiiiiippaubuupk11222222iiiimcmmcupkuuttttt17/865.3 中心差分法 中心差分法的精度和數(shù)值穩(wěn)定性以上給出的中心差分逐步積分公式具有如下特點： 是收斂的； 具有2階精度，即誤差 O(t2) ； 是有條件穩(wěn)定，穩(wěn)定條件tTn/； 具有較高的計算效率。18/86中心差分法的數(shù)值穩(wěn)定性 (tTn/)穩(wěn)定性的含義：當滿足穩(wěn)定性條件時，計算值穩(wěn)定性的含義：當滿足穩(wěn)定性條件時，計算值u為有限值；為有限值；當不滿足穩(wěn)定性條件時，隨著當不滿足穩(wěn)定性條件時，隨著t，u。 19/8

11、6中心差分法的數(shù)值穩(wěn)定性證明設體系為無阻尼，并設外荷載p=0 (算法的穩(wěn)定性與外荷載無關),則中心差逐步積分法的遞推公式可以寫成如下形式： 令i時刻位移為：代入運動方程：得到：從ui=Ai 可直觀看出，為保證 i（即t）時，ui有界，要求|1。僅當24時，|=1，其余情況均有|1。則穩(wěn)定性條件要求：niiituuu,)2(121iiAu01)2(22)4(2212222iitstsiistAeAAetiuuAetu)()()(11222222iiiimcmmcupkuuttttt20/86中心差分法的數(shù)值穩(wěn)定性證明中心差分法的數(shù)值穩(wěn)定性證明 穩(wěn)定性表達式為: 雖然中心差分逐步積分法是有條件穩(wěn)定

12、的，但由于其所具有計算效率高的優(yōu)點，在很多情況下得到廣泛的應用。例如，大壩在地震作用下的動力反應分析，核電站和人防結構在沖擊荷載下的動力反應問題計算等等。nt2nnTt221/86為構造有阻尼體系動力分析的顯式中心差分法， Clough給出了如下形式的逐步積分計算格式，并不加證明地給出其穩(wěn)定性條件為：Clough格式的實際穩(wěn)定性條件如右圖所示 2111()()22()iiiiiiiiiituutupcukumuuuutnnTt2 222111121122iiiiMCupKMuMCuttttt22/86中心差分法的數(shù)值穩(wěn)定性證明中心差分法的數(shù)值穩(wěn)定性證明一般情況下，逐步積分格式的穩(wěn)定性分析采用如

13、下方法，將逐步積分格式寫成下式： 則穩(wěn)定性條件為 = (A) 1， 稱為傳遞矩陣A的譜半徑，即傳遞矩陣的最大特征值 。目前對顯式中心差分逐步積分法格式的研究取得了進展，已發(fā)展了幾種有阻尼體系的差分格式，可以在近幾年的文獻中找到。但普遍存在的問題是穩(wěn)定條件要比一般的中心差分法的穩(wěn)定條件 tTn/ 更嚴格。 iiiiipBuuAuu1123/86一般時域逐步積分法的構造一般時域逐步積分法的構造 24/86一般時域逐步積分法的構造 從前面介紹的中心差分法給出的逐步積分公式可以發(fā)現(xiàn)，所謂的時域逐步積分方法就是構造出根據(jù)某一時刻及其以前時刻的運動，推算下一時刻運動的遞推計算公式。具體情況可表述為，設體系

14、在ti及ti以前時刻的運動已知，求ti1時刻的運動。 （tiit）體系在ti1時刻的運動包括：位移、速度和加速度，需要有三個方程(條件)求這三個量。因此，除體系的運動方程外，還需補充兩個方程（條件） 。)()()()(tptkutuctum 25/86一般時域逐步積分法的構造 兩個補充方程可以通過對運動狀態(tài)的假設得到。例如可以假設在ti和ti1時刻，即t時間段內，體系的加速度為常數(shù)a，則積分(不定積分)得到體系的速度和位移為：其中, 為由ti時刻起算的局部時間坐標, c1和c2為積分常數(shù)。1212( )1( )2uacuacc26/86一般時域逐步積分法的構造 積分常數(shù)c1和c2可由0時的初值

15、條件確定，最后得：當t，即tti1時刻，體系得運動狀態(tài)為：1212( )1( )2uacuacc(0)|,(0)it tiiuuuuu2( )1( )2iiiuauuauu12112iiiiiua tuua tutu 27/86一般時域逐步積分法的構造 如果假設：ti 和ti1時間段內的常加速度a=(i+1+i)/2，則得到：再加上ti1時刻的運動方程：可以求得ti1時刻的位移、速度和加速度。12112iiiiiua tuua tutu 11211()2()4iiiiiiiiituuuutuuuutu 1111iiiimucukup28/86一般時域逐步積分法的構造 以上方法也稱為平均加速度法

16、。 即假設加速度為ti和ti1時間段內的平均值：也可以假設加速度a為其它形式的變化規(guī)律，例如為線性變化：則采用同樣的分析步驟可以得到線性加速度法的時域逐步積分公式。11()2iiauu1()iiiauuut29/86平均加速度法和線性加速度法的基本假設和補充公式 平均加速度法 線性加速度法30/865.4Newmark 法法31/865.4 Newmark 法 Newmark 同樣將時間離散化，運動方程僅要求在離散的時間點上滿足。假設在ti時刻的運動均已求得, 然后計算 ti+1時刻的運動。 與中心差分法不同的是，它不是用差分對ti時刻的運動方程展開，得到外推計算ui+1的公式，而是通過對加速

17、度的假設，以ti時刻的運動量為初始值，通過積分得到計算ti+1時刻的運動公式。 與平均加速度法和線性加速度法不同的是，它用不同的加速度假設條件給出速度和位移的計算公式。32/865.4 Newmark 法tauuii1atu tuuiii2121Newmark 法假設在時間段ti，ti+1內，加速度為一常量，記為a 。經過簡單積分計算可以得到速度、位移與a之間的關系式：2( )1( )2iiiuauuauu33/865.4 Newmark 法10,)1 (1iiuua 2/10,2)21 (1iiuua tauuii1atu tuuiii212111)1 (iiiiu tu tuu 1221)

18、21(iiiiiututu tuu 分別代入速度和位移中34/865.4 Newmark 法tuuuutuuutuutuiiiiiiiiii )21 ()1 ()() 121(1)(1111211111iiiipkuucum 11iipuk122111)21()1 (iiiiiiiiiututu tuuu tu tuu 35/865.4 Newmark 法tuuuutuuutuutuiiiiiiiiii )21 ()1 ()() 121(1)(11112111iipukctmtkk21cutuutmuututppiiiiiiii)2(2) 1() 121(11211 36/865.4 Newm

19、ark 法多自由度體系Newmark 法的逐步積分公式 111121111211112iiiiiiiiiiiiKupuuuututuuuuutt 2211111112122iiiiiiiiKKMCttppMuuutttCuuut 37/865.4 Newmark 法在Newmark 法中，控制參數(shù) 和 的取值影響著算法的精度和穩(wěn)定性，可以證明，只有當 取1/2時，這個方法才具有二階精度。因此一般均?。?=1/2, 0 1/4Newmark 法的穩(wěn)定性條件：當=1/2, =1/4時，t，即成為無條件穩(wěn)定的。nTt212138/865.4 Newmark 法通過對Newmark 法中控制參數(shù) 取不

20、同的值也可以得到其它時域逐步積分方法。下表給出了 取不同值時Newmark 法所對應的逐步積分法。參數(shù)取值 對應的逐步積分法 穩(wěn)定性條件 41,21 平均常加速度法 無條件穩(wěn)定 61,21 線性加速度法 nnTTt551. 03 0,21 中心差分法 nTt1 39/865.4 Newmark 法在動力問題研究中，常采用=1/2， =1/4的所謂無條件穩(wěn)定的Newmark法，實際上就是平均(常)加速度方法。Newmark法為單步法不需要格外處理計算的“起步”問題，屬于自起步方法。 40/865.5Wilson 法法41/865.5 Wilson 法 Wilson 法是基于線性加速度法的基礎之上

21、發(fā)展的。 42/865.5 Wilson 法 當參數(shù) 1.37時， Wilson 法是無條件穩(wěn)定的。初略分析，采用了線性加速度假設比平均常加速度法更精確，而且算法是無條件穩(wěn)定的，應是一種優(yōu)秀的逐步積分法。在時域逐步積分法發(fā)展的早期，Wilson 法曾得到廣泛的推捧和應用。但隨著對數(shù)值算法特性研究的深入，發(fā)現(xiàn)Wilson 法存在一系列弊病，特別是無條件穩(wěn)定的Wilson 法。對于一些強沖擊問題，Wilson 法可能無法完成計算。 43/86 不同方法的振幅衰減AD(Amplitued decay)和周期延長PE(Period elongation) 44/86不同方法的計算精度(單自由度體系無阻

22、尼自由振動, t/Tn=0.1)45/86Newmark 法，特別是=1/4的無條件穩(wěn)定格式得到廣泛應用。中心差分法，雖然穩(wěn)定性略差，但因其所具有的簡單、高效的特點也得到一系列的應用。Wilson 法，由于過高的算法阻尼，在實際中的使用越來越少。對于一些特殊的問題，計算精度的要求有時嚴于或等于穩(wěn)定性條件，此時，中心差分法將具有更大的優(yōu)勢。46/865.6結構非線性反應分析結構非線性反應分析47/865.6 結構非線性反應分析非線性： 幾何非線性 材料非線性 (物理非線性)恢復力： 非線性位移和抗力關系ukfS0)(uffSS 48/865.6 結構非線性反應分析采用中心差分法求解非線性反應 當

23、采用中心差分法進行時域逐步積分計算時，無需對計算格式和軟件做大的變化，僅是對計算抗力的公式進行改動，其余的與線性反應分析的相同。)(0uffukfssS12212222iiiiutctmutmkputctm1221222)(2iiisiiutctmutmufputctm49/865.6 結構非線性反應分析采用中心差分法求解非線性反應 穩(wěn)定性條件穩(wěn)定性條件：在用中心差分逐步積分法計算時，由于結構一般都是軟化結構，即隨變形的增加而變軟，剛度k降低，但質量m不變，則結構的自振周期Tn變長，計算的穩(wěn)定性變好。1221222)(2iiisiiutctmutmufputctm2nmTknnTt250/86

24、5.6 結構非線性反應分析采用Newmark求解非線性反應 全量型逐步積分計算公式：11iipukcutuutmuututppctmtkkiiiiiiii)2(2) 1() 121(1112112 51/865.6 結構非線性反應分析采用Newmark求解非線性反應 用Newmark法進行結構非線性動力計算，采用增量平衡方程較合適。分別給出ti和ti+1時刻運動方程：由ti+1減去ti時刻的運動方程得運動的增量平衡方程：1111iiiiiiiimucukupmucukupiiSiipfucum)( iiiiSiSiSiiiiiiiiipppfffuuuuuuuuu11111)()()(, 52

25、/865.6 結構非線性反應分析采用Newmark求解非線性反應 增量運動平衡方程：當時間步長t取得足夠小，可以認為在titi+1區(qū)間內結構的本構關系是線性的，則：kis ti, ti+1點之間的割線剛度。 iiSiipfucum)( iiiiSiSiSiiiiiiiiipppfffuuuuuuuuu11111)()()(, isiiSukf)( 53/865.6 結構非線性反應分析采用Newmark求解非線性反應 增量運動平衡方程：但由于ui+1未知，因此kis不能預先準確估計，這是可以采用切線剛度ki代替割線剛度kis iisiiipukucum iiiiipukucum 54/865.6

26、 結構非線性反應分析采用Newmark求解非線性反應 增量運動平衡方程：是一個線性運動方程，系數(shù)m、c、ki和外荷載pi均為已知。增量形式的Newmark法逐步積分方程為： iiiiipukucum cutumuutppctmtkkpukiiiiiiiiiii)2(221112 55/865.6 結構非線性反應分析采用Newmark求解非線性反應 增量形式的Newmark法逐步積分方程： 求得ui后，則可以計算ti+1時刻的總位移，再利用Newmark 法中的兩個基本公式 ：得到ti+1時刻體系的全部運動量。 iiipukiiiuuu1121111(1)2(1)(1)2iiiiiiiiuuuu

27、ttuuuutt1iiiuuu56/86采用采用Newmark求解非線性反應求解非線性反應 在用以上步驟計算時的主要誤差，是用切線剛度代替割線剛度引起的，這是非線性分析中的共性。注意到方程從形式上看與靜力問題的方程完全一樣?？梢杂渺o力問題中的非線性分析方法進行迭代求解，例如采用NewtonRaphson或修正的NewtonRaphson法求解。NewtonRaphson方法在每一迭代步中，剛度是變化的，而修正的NewtonRaphson法，在不同迭代步中的剛度不變，因此，也常稱： NewtonRaphson法為變剛度迭代法變剛度迭代法； 修正的NewtonRaphson方法為常剛度迭代法常剛度

28、迭代法。57/865.6 結構非線性反應分析NewtonRaphson法（變剛度迭代法）iiipukpuu(1)u(2)u(3)f (1)f (2)f (3)R(2)R(3)R(4)kT(1)p123(b)kT(2)kT(3)58/865.6 結構非線性反應分析修正的NewtonRaphson方法（常剛度迭代法）puu(1)u(2)u(3)f (1)f (2)f (3)R(2)R(3)R(4)kTp123(a)59/865.6 結構非線性反應分析采用Newmark求解非線性反應 用以上迭代方法求得ui(1), ui(2)，以后，疊加得， 收斂條件：當進行了l 次迭代計算后，令： 如果，則認為迭

29、代收斂，達到要求的精度，停止迭代計算。 為一個給定的小量，例0.001等。一般情況下，經過有限次的迭代計算都可以收斂。 (1)(2)iiiuuu ljjiuu1)(uuli)(puu(1)u(2)u(3)f (1)f (2)f (3)R(2)R(3)R(4)kT(1)p123(b)kT(2)kT(3)60/865.7時域逐步積分算法的新發(fā)展時域逐步積分算法的新發(fā)展61/865.7 時域逐步積分算法的新發(fā)展1、差分方法的發(fā)展1李算法李算法 2杜算法杜算法222111111111222222iiiiiiiiiitttum pm k utm c utttuumppkc ukc u 222111121

30、122iiiiMCupKMuMCuttttt22111121111111111(1)()22221111()()2222iiiiiiiiittttum pm km c um cutt m c uttum pm c um km c utt 62/865.7 時域逐步積分算法的新發(fā)展3張算法張算法4克拉夫克拉夫(Clough)算法算法 231211111111111112612()()iiiiiiiiiiiiiiiiiuutut ut uuutut uumpcukuumpcuku 22211111112222iiiiiiiitttum pm k utm c uuuuut 63/865.7 時域逐步

31、積分算法的新發(fā)展 算法的精度和穩(wěn)定性010nnuuTTADPEuT：振幅衰率周期延率減長-u0 tuTnT數(shù)值解數(shù)值解精確解精確解ADu0064/8600.050.10.150.20.250.3-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5AD(振振幅幅衰衰減減率率)文獻文獻1算法算法文獻文獻2算法算法 中心差分法中心差分法 線性加速度法線性加速度法 Newmark- 法法文獻文獻3算法算法文獻文獻4算法算法 t/TnWilson- 法法( =1.4) 65/8600.050.10.150.20.250.3-0.2-0.15-0.1-0.0500.050.10.150

32、.20.250.3 t/TnPE(周周期期延延長長率率)Wilson- 法法( =1.4) 文獻文獻4算法算法 Newmark- 法法 線性加速度法線性加速度法文獻文獻1算法算法文獻文獻2算法算法 中心差分法中心差分法文獻文獻3算法算法 66/86幾種算法的穩(wěn)定性0.00.20.40.60.81.00.00.51.01.52.02.53.03.54.0 = n t 文獻 文獻1算法算法 文獻 文獻2算法算法 文獻 文獻3算法算法 文獻 文獻4算法算法 中心差分法中心差分法 線性加速度法線性加速度法67/8605101520-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.0 解析解解析解 文獻文獻1算法算法 文獻文獻2算法算法 文獻文獻3算法算法 文獻文獻4算法算法 中心差分法 中心差分法 線性加速度法線性加速度法 Newmark- - 法 法 Wilson- - 法 法 ( ( =1.4) )ut(s)幾種算法的精度u(0)=1，u (0)=0，=0，t=0.1Tn 68/8605