(完整版)無(wú)窮級(jí)數(shù)總結(jié)

1、無(wú)窮級(jí)數(shù)總結(jié)n=1、概念與性質(zhì)1.定義：對(duì)數(shù)列u,u，,u，藝u稱為無(wú)窮級(jí)數(shù)，u稱為一般項(xiàng)；若部分和12nnnn=1數(shù)列S有極限S,即limS=S，稱級(jí)數(shù)收斂，否則稱為發(fā)散.nnthn2. 性質(zhì) 設(shè)常數(shù)c豐0，則工u與工cu有相同的斂散性；nnn=1n=1 設(shè)有兩個(gè)級(jí)數(shù)另u與另v，若另u=s，另v=o，則另(u土v)=s±a;nnnnnnn=1n=1n=1n=1n=1（u土v）發(fā)散;nnn=1若另u收斂，另v發(fā)散，則另nnn=1n=1若另u，另v均發(fā)散，則另(u±v)斂散性不確定；nnnnn=1n=1n=1 添加或去掉有限項(xiàng)不影響一個(gè)級(jí)數(shù)的斂散性； 設(shè)級(jí)數(shù)藝u收斂，則對(duì)其各

2、項(xiàng)任意加括號(hào)后所得新級(jí)數(shù)仍收斂于原級(jí)數(shù)的和.nn=1注：一個(gè)級(jí)數(shù)加括號(hào)后所得新級(jí)數(shù)發(fā)散，則原級(jí)數(shù)發(fā)散; 一個(gè)級(jí)數(shù)加括號(hào)后收斂，原級(jí)數(shù)斂散性不確定.級(jí)數(shù)另u收斂的必要條件：limu=0；nn.nsn=1注：級(jí)數(shù)收斂的必要條件，常用判別級(jí)數(shù)發(fā)散；u=0nns若limu=0，則另u未必收斂;nn=1若另u發(fā)散，則limu=0未必成立nnnthn=1二、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法1. 正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法 定義：若u>0，則另u稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù).nnn=1 審斂法：(i)充要條件：正項(xiàng)級(jí)數(shù)另u收斂的充分必要條件是其部分和數(shù)列有界.(ii)比較審斂法：設(shè)另u與另v都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且u<v(n=12)，nnnn

3、n=1n=1則若收斂則收斂；若發(fā)散則發(fā)散.A. 若收斂，且存在自然數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)有u<kv(k>0)成立，則收nn斂；若發(fā)散，且存在自然數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)有u>kv(k>0)成立，則nn 發(fā)散；B. 設(shè)藝u為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若有p>1使得u<丄(n=1,2,)，則另u收斂；若nnnpnn=1n=1u>丄(n=1,2,)，則另u發(fā)散.nnnC.極限形式：設(shè)另u與另vnnn=1n=1n=1都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若lim=l(0<l<+s)，則nfgvn另u與另v有相同的斂散性.nnn=1n=1注：常用的比較級(jí)數(shù)：幾何級(jí)數(shù)：a£a

4、rnt=v1rn=1發(fā)散Ir|<1Ir|>1級(jí)數(shù)：藝丄收斂npn=1發(fā)散p>1時(shí)p<1時(shí)調(diào)和級(jí)數(shù)：另1=1+1+1+發(fā)散.n2nn=1(iii)比值判別法(達(dá)郎貝爾判別法)設(shè)藝a是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若nn=1liman+1=r<1，則藝a收斂；lim°n門(mén)=r>1，則藝a發(fā)散.anannT+gnT+gnn=1nn=1=1，推不出級(jí)數(shù)的斂散.例藝1與藝丄，雖然nn2n=1n=1注：若liman+1=1，或lim；：anT+gnf+ganalimn+1=1，nf+gan但藝1發(fā)散，而藝丄收斂.nn2n=1n=1(iv)根值判別法(柯西判別法)設(shè)藝a是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，

5、lim；：a=p，若p<1，n甲nnT+g=l>0且p<1，則級(jí)級(jí)數(shù)收斂，若P1則級(jí)數(shù)發(fā)散.(v)極限審斂法：設(shè)u>0，且limnpu=l，則limnpunnnsns=l(0<l<+x),則其收數(shù)藝u發(fā)散；如果p>1，而limnpunnsn=1斂.(書(shū)上P317-2-(1)注：凡涉及證明的命題，一般不用比值法與根值法，一般會(huì)使用比較判別法.正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比(根)值判別法不能當(dāng)作收斂與發(fā)散的充要條件，是充分非必要條件.2. 交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法定義：設(shè)u>0(n=1,2,)，則區(qū)(-1)n-1u稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù).nnn=1審斂法：n+1nns萊布尼茲定理：對(duì)

6、交錯(cuò)級(jí)數(shù)藝(-1)n-iu，若u>u且limu=0,n=1注：比較u比值法，差值法，則藝(1)n-1unn=1與u的大小的方法有三種：n+1即考察匚是否小于1；un收斂.即考察uu是否大于0；nn+1 由u找出一個(gè)連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)f(x)，使un3. 一般項(xiàng)級(jí)數(shù)的判別法：=f(n),(n=1,2,)考察廣(x)是否小于0.若藝u絕對(duì)收斂，則藝u收斂.nnn=1n=1 若用比值法或根值法判定藝|uI發(fā)散,nn=1則另u必發(fā)散.nn=1三、冪級(jí)數(shù)1. 定義：£axn稱為冪級(jí)數(shù).nn=02. 收斂性阿貝爾定理：設(shè)冪級(jí)數(shù)芳axn在x0豐0處收斂，則其在滿足Ix|<|x|的所n00n=

7、0有x處絕對(duì)收斂反之，若冪級(jí)數(shù)藝axnnn=0在X處發(fā)散，則其在滿足|x卜|xj的所有x處發(fā)散.收斂半徑(i)定義：若冪級(jí)數(shù)在x=x°點(diǎn)收斂，但不是在整個(gè)實(shí)軸上收斂，則必存在一個(gè)正數(shù)R,使得當(dāng)|時(shí)，冪級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)|>R時(shí)，冪級(jí)數(shù)發(fā)散；R稱為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.(ii)求法：設(shè)冪級(jí)數(shù)藝axn的收斂半徑為R，其系數(shù)滿足條件lim汕nnT+8aR=；當(dāng)l=0時(shí)'R=+g，n=0n或limnIa'=l，則當(dāng)0<l<+a時(shí),nnT+g當(dāng)l=+g時(shí)，R=0注：求收斂半徑的方法卻有很大的差異前一個(gè)可直接用公式，后一個(gè)則須分奇、偶項(xiàng)(有時(shí)會(huì)出現(xiàn)更復(fù)雜的情況)分別來(lái)求在

8、分成奇偶項(xiàng)之后，由于通項(xiàng)中出現(xiàn)缺項(xiàng)，由此仍不能用求半徑的公式直接求，須用求函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的方法(iii)收斂半徑的類(lèi)型A.R=0，此時(shí)收斂域僅為一點(diǎn);B. R=+g，此時(shí)收斂域?yàn)?g,+g);C. R=某定常數(shù)，此時(shí)收斂域?yàn)橐粋€(gè)有限區(qū)間3. 冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算(略)4. 冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑R>0，則和函數(shù)S(x)=藝axn在收斂區(qū)間(R,R)內(nèi)連續(xù).nn=0若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑R>0，則和函數(shù)S(x)=藝1axn在收斂區(qū)間(R,R)內(nèi)可導(dǎo),nn=0且可逐項(xiàng)求導(dǎo)，即S，(x)=(另axn)，=藝(axn)，=藝naxn1，收斂半徑不變nnnn=0n=0n=1 若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑

9、R>0，則和函數(shù)S(x)=藝axn在收斂區(qū)間(R,R)內(nèi)可積,nn=0且可逐項(xiàng)積分，即JxS(t)dt=0Jx(藝0n=0atn)dt=n刃xn=00atndt(xe(R,R)n收斂半徑不變5. 函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù) 若f(x)在含有點(diǎn)x0的某個(gè)區(qū)間I內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)，f(x)在x0點(diǎn)的n階泰勒公式為f(x)=f(x0)+f，(x0)(x-x0)+_2F(x_x0)2+"；0)(x_x0)+-堂(x-x)(n+1)，記R(x)=-Q(x-x)(n+l)，g介于x,x0之間，則f(x)在(n+1)!0n(n+1)!00I內(nèi)能展開(kāi)成為泰勒級(jí)數(shù)的充要條件為limR(x)=0,VxeI-nn

10、T+g 初等函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)(x0=0)n!n=0ii)iii)+g(-1)n-1x2n-1smx=,(2n-1)!n=1¥(-1)nx2ncosx=(2n)!n=0,xe(_g,+g)；,xe(-g,+g)；iv)v)ln(1+x)=藝(1)",xe(-1,1；n+1n=0(1+x)«=1+2©-1)©-n+1)n=1n!xn,xe(_l,l),QeR)；(i)ex=藝,xe(_g,+g)；-=藝(-1)nxnJxI<1.1+xn=0vi)-=藝xn,|x|<1；1-xn=06. 級(jí)數(shù)求和冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)解題程序(i)求出給定級(jí)數(shù)的收

11、斂域；(ii)通過(guò)逐項(xiàng)積分或微分將給定的冪級(jí)數(shù)化為常見(jiàn)函數(shù)展開(kāi)式的形式(或易看出其假設(shè)和函數(shù)s(x)與其導(dǎo)數(shù)s，(x)的關(guān)系)，從而得到新級(jí)數(shù)的和函數(shù)；注：系數(shù)為若干項(xiàng)代數(shù)和的冪級(jí)數(shù)，求和函數(shù)時(shí)應(yīng)先將級(jí)數(shù)寫(xiě)成各個(gè)冪級(jí)數(shù)的代數(shù)和，然后分別求出它們的和函數(shù)，最后對(duì)和函數(shù)求代數(shù)和，即得所求級(jí)數(shù)的和函數(shù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和(i)利用級(jí)數(shù)和的定義求和，即limS=s，則另u=s，其中nnnTgn=1s=u+u+u=¥u根據(jù)s的求法又可分為：直接法、拆項(xiàng)法、遞n12nknk=1推法.A. 直接法：適用于蘭u為等差或等比數(shù)列或通過(guò)簡(jiǎn)單變換易化為這兩種數(shù)列；kk=1B. 拆項(xiàng)法：把通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)差的形式，在求

12、n項(xiàng)和時(shí)，除首尾兩項(xiàng)外其余各項(xiàng)對(duì)消掉(ii)阿貝爾法(構(gòu)造冪級(jí)數(shù)法)藝aIn=0=limaxn，xt1-nn=0其中冪級(jí)數(shù)yaxn，可通nn=0過(guò)逐項(xiàng)微分或積分求得和函數(shù)S(x).因此藝an=0=lims(x)x1四、傅里葉級(jí)數(shù)1.定義定義1：設(shè)f(x)是以2為周期的函數(shù)，a=卜f(x)cosnxdx=J2Kn兀-冗兀0b=卜f(x)sinnxdx=J2Kn兀-冗兀0稱為函數(shù)f(x)的傅立葉系數(shù).且在-兀,?；?,2兀上可積，則f(x)cosnxdx,(n=0,1,2),f(x)sinnxdx,(n=1,2,),定義2：nn=1以f(x)的傅立葉系數(shù)為系數(shù)的二角級(jí)數(shù)a+另(acosnx+bsi

13、nnx)-20nn稱為函數(shù)f(x)的傅立葉級(jí)數(shù)，表示為y+(acosnx+bsinnx)nnn=定義3:設(shè)f(x)是以2l為周期的函數(shù)，且在-l,l上可積，則以a=-Jlf(x)cosxdx,(n=0,1,2)，nlllb=-J另n兀n兀f(x尸a+(acosx+bsinx).0nlnln=12收斂定理(狄里赫萊的充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間-冗,冗上滿足條件除有限個(gè)第一類(lèi)間斷點(diǎn)外都是連續(xù)的；只有有限個(gè)極值點(diǎn),f(x)sin竺xdx,(n=1,2)為系數(shù)的三角級(jí)數(shù)nlll1 a+y(acosnx+bsin匹x)稱為f(x)的傅立葉級(jí)數(shù)，表示為2 0nlnln=1則f(x)的傅立葉級(jí)數(shù)在-兀,

14、兀上收斂，且有0+另(acosnx+bsinnx)=2nnn=1f(x),x是f(x)的連續(xù)點(diǎn)；2f(x0-0)+f(x0+0),x0是f(x)的第一類(lèi)間斷點(diǎn)；f(兀+0)+f(兀一0),x=±兀3. 函數(shù)展開(kāi)成傅氏級(jí)數(shù)周期函數(shù)(i)以2“為周期的函數(shù)f(x):f(x)弘+無(wú)acosnx+bsinnx2nnn=1_兀a=丄卜f(x)cosnxdx(n=0,1,2,)，b=J"f(x)sinnxdx(n=1,2,)；n“-“n“注：右f(x)為奇函數(shù)，則f(x)另bsinnx(正弦級(jí)數(shù))，a=0(n=0,1,2,)nnn=12"b=J"f(x)sinnxd

15、x(n=1,2,);n"0若f(x)為偶函數(shù)，則f(x)亠+另acosnx(余弦級(jí)數(shù)),2nn=12"a=f(x)cosnxdx(n=0,1,2,)，b=0(n=1,2,).n"0n(ii)以21為周期的函數(shù)f(x):f(x)作+藝a2n=1a=-J'f(x)cosxdx(n=0,1,2,)，nl-ll注：若f(x)為奇函數(shù)，則f(x)£bsin巴xInn=1n兀n兀、cosx+bsinx)nb=Af(x)sinxdx(n=1,2,)；n-(正弦級(jí)數(shù)),an=0(n=0,1,2,)b=1f(x)sinxdx(n=1,2,)；n101若f(x)為偶

16、函數(shù)，則f(x)+a2n=12in兀a=f(x)cosxdx(n=0,1,2,)，nl0l非周期函數(shù)(i)奇延拓：n兀cosx，1(余弦級(jí)數(shù))b=0(n=1,2,).nA.f(x)為0,兀上的非周期函數(shù)，令F(x)=f(x),°<x<K，則F(x)除x=0外在I-f(-x),兀<x<0-","上為奇函數(shù)，f(x)bsinnx(正弦級(jí)數(shù))，b=f(x)sinnxdxnn"0n=1(n=1,2,)；B.f(x)為0,1上的非周期函數(shù)，則令F(x)=f(X),°-X-1，則F(x)除x=0外I-f(-x),-1<x<°在-K,冗上為奇函數(shù)，f(x)蘭bsin匹x(正弦級(jí)數(shù))，bnlnn=1=j1f(x)sin蘭-xdXlol(n=1,2,).(ii)偶延拓:A.f(x)為0,兀上的非周期函數(shù)，令F(x)=f(x),0<x<K，f(-x),兀&l