A. Mie米散射理論基礎(chǔ)

1、米散射(Miescattering);又稱(chēng)“粗粒散射”。粒子尺度接近或大于入射光波長(zhǎng)的粒子散射現(xiàn)象。德國(guó)物理學(xué)家米(GustavMie,18681957)指出，其散射光強(qiáng)在各方向是不對(duì)稱(chēng)的,順入射方向上的前向散射最強(qiáng)。粒子愈大,前向散射愈強(qiáng)。米散射當(dāng)球形粒子的尺度與波長(zhǎng)可比擬時(shí)，必須考慮散射粒子體內(nèi)電荷的三維分布。此散射情況下，散射粒子應(yīng)考慮為由許多聚集在一起的復(fù)雜分子構(gòu)成，它們?cè)谌肷潆姶艌?chǎng)的作用下,形成振蕩的多極子,多極子輻射的電磁波相疊加，就構(gòu)成散射波。又因?yàn)榱Ｗ映叨瓤膳c波長(zhǎng)相比擬，所以入射波的相位在粒子上是不均勻的，造成了各子波在空間和時(shí)間上的相位差。在子波組合產(chǎn)生散射波的地方，將出現(xiàn)相

2、位差造成的干涉。這些干涉取決于入射光的波長(zhǎng)、粒子的大小、折射率及散射角。當(dāng)粒子增大時(shí)，造成散射強(qiáng)度變化的干涉也增大。因此，散射光強(qiáng)與這些參數(shù)的關(guān)系,不象瑞利散射那樣簡(jiǎn)單,而用復(fù)雜的級(jí)數(shù)表達(dá)，該級(jí)數(shù)的收斂相當(dāng)緩慢。這個(gè)關(guān)系首先由德國(guó)科學(xué)家G.米得出，故稱(chēng)這類(lèi)散射為米散射。它具有如下特點(diǎn)：散射強(qiáng)度比瑞利散射大得多，散射強(qiáng)度隨波長(zhǎng)的變化不如瑞利散射那樣劇烈。隨著尺度參數(shù)增大，散射的總能量很快增加，并最后以振動(dòng)的形式趨于一定值。散射光強(qiáng)隨角度變化出現(xiàn)許多極大值和極小值，當(dāng)尺度參數(shù)增大時(shí)，極值的個(gè)數(shù)也增加。當(dāng)尺度參數(shù)增大時(shí)，前向散射與后向散射之比增大，使粒子前半球散射增大。當(dāng)尺度參數(shù)很小時(shí)，米散射結(jié)果可

3、以簡(jiǎn)化為瑞利散射；當(dāng)尺度參數(shù)很大時(shí)，它的結(jié)果又與幾何光學(xué)結(jié)果一致；而在尺度參數(shù)比較適中的范圍內(nèi)，只有用米散射才能得到唯一正確的結(jié)果。所以米散射計(jì)算模式能廣泛地描述任何尺度參數(shù)均勻球狀粒子的散射特點(diǎn)。19 世紀(jì)末，英國(guó)科學(xué)家瑞利首先解釋了天空的藍(lán)色：在清潔大氣中，起主要散射作用的是大氣氣體分子的密度漲落。分子散射的光強(qiáng)度和入射波長(zhǎng)四次方成反比，因此在發(fā)生大氣分子散射的日光中，紫、藍(lán)和青色彩光比綠、黃、橙和紅色彩光為強(qiáng)，最后綜合效果使天穹呈現(xiàn)藍(lán)色。從而建立了瑞利散射理論。20 世紀(jì)初，德國(guó)科學(xué)家米從電磁理論出發(fā)，又稱(chēng)粗進(jìn)一步解決了均勻球形粒子的散射問(wèn)題，建立了米散射理論，粒散射理論。質(zhì)點(diǎn)半徑與波長(zhǎng)

4、接近時(shí)的散射，特點(diǎn)：粗粒散射與波長(zhǎng)無(wú)關(guān)，對(duì)各波長(zhǎng)的散射能力相同，大氣較混濁時(shí)，大氣中懸浮較多的的塵粒與水滴時(shí)，天空呈灰白色。米散射理論是由麥克斯韋方程組推導(dǎo)出來(lái)的均質(zhì)球形粒子在電磁場(chǎng)中對(duì)平面波散射的精確解。一般把粒子直徑與入射光波長(zhǎng)相當(dāng)?shù)奈⒘Ｗ铀斐傻纳⑸浞Q(chēng)為米散射。米散射適合于任何粒子尺度,只是當(dāng)粒子直徑相對(duì)于波長(zhǎng)而言很小時(shí)利用瑞利散射、很大時(shí)利用夫瑯和費(fèi)衍射理論就可以很方便的近似解決問(wèn)題。米散射理論最早是由G1Mie在研究膠體金屬粒子的散射時(shí)建立的。1908年，米氏通過(guò)電磁波的麥克斯韋方程，解出了一個(gè)關(guān)于光散射的嚴(yán)格解,得出了任意直徑、任意成分的均勻粒子的散射規(guī)律，這就是著名的米氏理論4-

5、6。根據(jù)米散射理論,當(dāng)入射光強(qiáng)為10,粒子周?chē)橘|(zhì)中波長(zhǎng)為入的自然光平行入射到直徑為D的各向同性真球形粒子上時(shí)，在散射角為9,距離粒子r處的散射光和散射系數(shù)分別為:從上式中可以看到，因?yàn)槭歉飨蛲缘牧Ｗ?，散射光?qiáng)的分布和©角無(wú)關(guān)。同時(shí),上式中：珂=（771,&,鹽化丿72=炎瑞$門(mén)丿Xf那*&訂、i2為散射光的強(qiáng)度函數(shù);si、s2稱(chēng)為散射光的振幅函數(shù);a為粒子的尺寸參數(shù)（a=nD/入）;m=mi+im2為粒子相對(duì)周?chē)橘|(zhì)的折射率,當(dāng)虛部不為零時(shí)，表示粒子有吸收。對(duì)于散射光的振幅函數(shù)，有：WQ_1J1=.Xi）（55+SJi=Ljj'V打醪“-k1X=£

6、;1I心+嘰心丿J1=L了打斗一L丿式中an、bn為米散射系數(shù)，其表達(dá)式為：譏f門(mén)$；1川口丿-胡用門(mén)丿匚：（訂丿0；用皿-胡】;*仇）0訂用亦肥札f口丿$:f燒口丿-$；f盲丿0“f粧口丿氓1訂吋欖門(mén)-H（吋羸江瑠W其中:鼻=廳廣詁脊,L?iN代口詢(xún)4=爲(wèi)尸；何05旳7=-'是半奇階的第一類(lèi)貝塞爾函數(shù)；三：='丄是第二類(lèi)漢克爾函數(shù)；Pn(cos9)是第一類(lèi)勒讓德函數(shù);P(l)n(cos9)是第一類(lèi)締合勒讓德函數(shù)。Mie散射理論Mie散射理論是麥克斯韋方程對(duì)處在均勻介質(zhì)中的均勻顆粒在平面單色波照射下的嚴(yán)格數(shù)學(xué)解。由Mie散射知道，距離散射體r處p點(diǎn)的散射光強(qiáng)為/(Qq?=卜“0

7、f站®卜佝fco旳式中：九為光波波長(zhǎng);I0為入射光強(qiáng);Isca為散射光強(qiáng)；°為散射角；9為偏振光的偏振角。oosi(Q)=刀.伽兀+瓦石n=：幵屮一1IL8式中:S©)和S2(0)是振幅函數(shù);an和bn是與貝塞爾函數(shù)和漢克爾函數(shù)有關(guān)的函數(shù)；沢n和工n是連帶勒讓得函數(shù)的函數(shù)，僅與散射角°有關(guān)。其中_g丿/觀對(duì)額w;siq?亦氏)處&(a)®；(maj-m；(k)q?伽a)用m&(a)Q)；(nioC-石；(oOa)式中:申(a)和8(a)分別是貝塞爾函數(shù)和第一類(lèi)漢克爾函數(shù)；9(a)和nnnf8(a)是申(a)和8(a)的導(dǎo)數(shù)；a為

8、無(wú)因次直徑，Sk,D為顆粒的nnn/實(shí)際直徑；九是入射光的波長(zhǎng);m是散射顆粒相對(duì)于周?chē)橘|(zhì)的折射率，它是一個(gè)復(fù)數(shù)，虛部是顆粒對(duì)光的吸收的量化。由以上公式可見(jiàn),Mie散射計(jì)算的關(guān)鍵是振幅函數(shù)S'。)和S2(e),它們是一個(gè)無(wú)窮求和的過(guò)程，理論上無(wú)法計(jì)算。求解振幅函數(shù)的關(guān)鍵是計(jì)算an和bn,所以Mie散射的計(jì)算難點(diǎn)是求解an和bn。Mie散射理論的數(shù)值計(jì)算通過(guò)以上分析可知,Mie散射計(jì)算的核心是求解an和bn,我們編制程序也ff是圍繞它進(jìn)行編寫(xiě)。在an和bn的表達(dá)式中申(a),9(a),8(a)和8(a)nnnn滿(mǎn)足下列遞推關(guān)系：甲；®=-青宙呦+-I(DC)WGCft)=

9、9;-Gj-1()-G?-2La；(閒=-羔心(曲+6-這些函數(shù)的初始值為；I#I(特=00血9?(x)=sumCi-0Ci-(0()=sillCTlcostt與散射角有關(guān)的9(a)和8(a)滿(mǎn)足下列遞推公式：nn7T：；=(2ji-1)應(yīng)一71；?T&=07Tj=Q7T；=f=0有了這些遞推公式可以很方便地通過(guò)計(jì)算機(jī)程序求解。但是對(duì)于n的大小，因?yàn)橛?jì)算機(jī)不可能計(jì)算無(wú)窮個(gè)數(shù)據(jù)，所以n在計(jì)算之前就要被確定。散射理論基礎(chǔ)與Matlab實(shí)現(xiàn)若散射體為均勻球體，如圖1所示，照射光為線偏振平面波,振幅為E,光強(qiáng)10,沿z軸傳播，其電場(chǎng)矢量沿x軸振動(dòng)。散射體位于坐標(biāo)原點(diǎn)O,P為觀測(cè)點(diǎn)。散射光方向（

10、OP方向）與照射光方向（z軸）所組成的平面稱(chēng)為散射面，照射光方向至散射光方向之間的夾角。稱(chēng)為散射角，而x軸至OP在xy平面上投影線（OP'）之間的夾角©稱(chēng)為極化角。觀測(cè)點(diǎn)與散射體相距r。根據(jù)經(jīng)典的Mie散射理論，散射粒子的尺度參數(shù)為a=2na/入，其中a為球形粒子的半徑，散射粒子相對(duì)周?chē)橘|(zhì)的折射率為m=ml+i*m2。則散射光垂直于散射面和平行于散射面的兩個(gè)分量的振幅函數(shù)為:S2oo莘；J心皿+45遲:f旳爭(zhēng)斑旳一Z卩；f血町(說(shuō)耳丿a"=Eh(陽(yáng)爭(zhēng)：(血諂-()WfrnmJ_叭3甲；5心-'P'jm1玖二血nrnn(a)W.(tna)-F；f剛n

11、(ma)Pfcos8)©=辿&J=需Wfcos砂以上式中：口一3-X爲(wèi)-心*；二丿=-A-1二丿-4屛f-/£；f二丿=霽一()-亠霽f-)_Jn+1/2(z)和Yn+1/2(z)分別為半整數(shù)階的第一類(lèi),第二類(lèi)貝塞爾函數(shù)。P(i)n(cos9)為一階n次第一類(lèi)締合勒讓德函數(shù);Pn(cos9)為第一類(lèi)勒讓德函數(shù)。在數(shù)值模擬過(guò)程中選取初始下：微粒子對(duì)光的散射和吸收是電磁波與微粒子相互作用的重要特征,而微粒對(duì)電磁輻射的吸收與散射與粒子的線度有密切關(guān)系,對(duì)于不同線度的粒子必須應(yīng)用不同的散射理論。Mie散射理論主要用于從亞微米至微米的尺寸段;在微米以下至納米的光散射則近似為形

12、式更明晰簡(jiǎn)單的瑞利散射定律,散射光強(qiáng)烈依賴(lài)于光波長(zhǎng)入(I入-4);而對(duì)大于微米至毫米的大粒子則近似為意義明確的夫朗和費(fèi)衍射規(guī)律了。內(nèi)部電磁場(chǎng)振幅cn、dn的計(jì)算表達(dá)式，通常稱(chēng)為Mie散射系數(shù)_*山瑠小工九(口_并f工丿用；V：f.即工丿J弘=r旳h攀(x)耕對(duì)H(mx)Mie散射理論給出了球型粒子在遠(yuǎn)場(chǎng)條件下的散射場(chǎng)振幅an、bn以及粒子Jn(mx)xh(x)沖？工丿工弗if工丿r-&f工丿f打工丿gX,(工)mo,(艾丿瑙兀4f用;Ur工丿-女i槪譏丫feg點(diǎn)幻I2?Ml幾(THX)fxhJfX.)gm芒-Ujn(xh(n(X)-女1甘仏f工丿工譏'V仃工丿J-/r1-(x)

13、r(mx)J式中m表示微粒子外部介質(zhì)的相對(duì)折射率,x=Ka,a為球的半徑,k=2n/入稱(chēng)為波數(shù)，口為相對(duì)磁導(dǎo)率，即球的磁導(dǎo)率與介質(zhì)磁導(dǎo)率的比值,jn(x)和h(i)n(x)分別為第一類(lèi)虛宗量球Bessel函數(shù)和Hankell函數(shù)。散射系數(shù),消光系數(shù)及偏振狀態(tài)下散射相位函數(shù)：oo=二刀2耳+1；Refg+b心哎n=:丨sM砂I也r8口2n+1丿（atl|2+|M2；x=i散射截面osca（散射率Qsca）、吸收截面oabs（吸收率Qabs）、消光截面oext（消光率Qext）、后向散射截面。b（后向散射率Qb）以及輻射壓力。pr（輻射壓力效率Qpr）。其表達(dá)式如下：618其中i為sca、abs、

14、ext、pr分別表示散射、吸收、消光、輻射壓力。按照能量守恒定律有：0辭f=+。摂?或口ftr=匹"+Qpr（輻射壓力效率的計(jì)算公式）：Qm=g-Qy<>Qb（后向散射系數(shù)）：。占=七IYj-川+1八nJ-zyj；r這些都是無(wú)窮級(jí)數(shù)求和，在實(shí)際計(jì)算過(guò)程中必須取有限項(xiàng),Bohren和Huffman給出了級(jí)數(shù)項(xiàng)最大值取舍的標(biāo)準(zhǔn)：心晌=H+4A1J-2對(duì)于單位振幅入射波經(jīng)微粒散射后，其散射場(chǎng)振幅的大小與散射角有關(guān)，在球坐標(biāo)系下，遠(yuǎn)場(chǎng)散射振幅的大小為：£；r?=ikr_COSi?4-詆廠ikfSlll-Si(cosff)ikr其中SI和S2為散射輻射電場(chǎng)在垂直及平行于散

15、射面的兩個(gè)偏振分量。微球內(nèi)部場(chǎng)振幅計(jì)算公式顆粒內(nèi)部電場(chǎng)強(qiáng)度為：oo(/I+1)T71小化-冰用出J其中M(1)1和N,為矢量波球諧函數(shù)，在球坐標(biāo)系中定義如下:(1)o1n(1)e10cosT?i(co0)j7i(aJsin0rn(cos6)jn(tmx)+ig申皿品亠兇吸收截面Qabs具有損耗介質(zhì)顆粒的吸收截面為:其中左fJk.：-&i£是粒子相對(duì)介電常數(shù)的虛部,經(jīng)整理可得:：斤亞壬=七F,T*iu式中叫、nn為:叫=2(2u+1丿“f打丨'g=1)1(2-S+1八(rl-1/實(shí)際上由Mie散射理論可知，上式中的積分項(xiàng)為電場(chǎng)強(qiáng)度的平方對(duì)角度e、d全空間積分的平均值，即

16、:<1于是吸收效率為:式中x，=rk=z/m。當(dāng)xn1時(shí)即瑞利散射情況,顆粒的內(nèi)部平均場(chǎng)強(qiáng)為常數(shù)，其值為:ImprovedMiescatteringalgorithmsW.J.WiscombeMie計(jì)算存在的問(wèn)題就是如何最有效地構(gòu)造Mie計(jì)算，同時(shí)保證準(zhǔn)確性和避免數(shù)值的不穩(wěn)定性和病態(tài)°Mie計(jì)算以耗時(shí)著稱(chēng)，首先無(wú)窮項(xiàng)級(jí)數(shù)N的求和，例如:100回的水滴在0.5的可見(jiàn)光散射情況下，大約需1260項(xiàng)求和。其次，典型的計(jì)算都希望能對(duì)一系列半徑（如對(duì)尺寸分布求積分）、一系列波長(zhǎng)（如對(duì)太陽(yáng)光譜求積分）及一系列折射率求和（如通過(guò)散射參量反推折射率）。2NOtxL-H(2ji+L)Betan+

17、2JVx2R=1空比+1+n(n+1疏S=M:"4/£rr(n-P2)-.一Y皿曬歸+如丁環(huán)3虬n»l/t伉+1J屁3=E當(dāng)折射率虛部mI很大時(shí)，用向后循環(huán)法求An很不穩(wěn)定。而向前遞推總是穩(wěn)定的（但向后遞推Im安全時(shí)，總是優(yōu)先選擇，因?yàn)槠溆?jì)算速度很快）。得出允許向后遞推的經(jīng)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)：用正確的向前地推與相對(duì)應(yīng)的向后地推做比較，當(dāng)發(fā)現(xiàn)對(duì)d"和g的相對(duì)誤差超過(guò)10-6時(shí)，認(rèn)為計(jì)算失敗。對(duì)于一對(duì)確定的（x,mRe）,我們采用向后遞推尋找第一個(gè)循環(huán)失敗的恥：膽研究表明：對(duì)于確定的"吃穌弘"的值隨著x的增加很快趨向于一個(gè)確定值。，XFn?m王min

18、（xm:all工壬一£+26,22m一0.4474m+EK找D4砒歸-0.000175如果在任意角度下S、S2的實(shí)部和虛部的相對(duì)誤差超過(guò)10-5時(shí)，認(rèn)為對(duì)S和S2的向后遞推失敗。（而此時(shí)，0代并不受影響，因?yàn)楫?dāng)S，S?的相對(duì)誤差達(dá)到10一5時(shí)，紜的相對(duì)誤差總維持在10一10以下。）對(duì)S和S2血戚渤=13.78mL-10.8mRe+3.9Zn-八心莊”-廠加"-對(duì)散射強(qiáng)度度|UW和偏正度連分式算法總結(jié)：Mie散射計(jì)算的核心是計(jì)算an和bn嘰（"丿仏J用及丿-用嘰f力機(jī)fH2jan霽（加認(rèn)ma）-用爲(wèi)（a）嘰（mcfj-ff科訕，砒仇f瞅及丿-取3叭f(wàn)同“b11=&#

19、165;*,*用匕if制嘰fuia）-霽fa）ci?（其中W”（a）=aJn（a）,En（a）=aJn（a）+iaYn（a）,J”和Yn分別是第一和二類(lèi)貝塞耳函數(shù),a稱(chēng)為當(dāng)量直徑,a=2nr/X,r是球形顆粒的真實(shí)半徑，入是入射光的波長(zhǎng)m為折射率即后）-価/2）咗J”怖M=（彩/2戶(hù)庇初4-（-imn*iA（3）DM八/仏八仇3式中p為函數(shù)任一自變量。貝塞耳函數(shù)遞推關(guān)系式：叭f(wàn)血=叭-1f的疔；二8丿=弘-1仏丿.疔id-VT-_D"砌血5一皿心嘰)氐一”購(gòu)DVi*臥儀丿/切一打/久J二f卿e_1厲丿?nD“f耕空+鬥/心kf口丿-Ct_1厲丿JyHmDnf諛丿?/屛3-爲(wèi)一1f久丿

20、Mie散射計(jì)算中Jn、Yn、Dn的計(jì)算是關(guān)鍵和難點(diǎn)。對(duì)于Dn,我們采用的是Lentz的連分式的算法:Dn(ma)=Lentz證明有如下關(guān)系:J1f川曲_"亡口打f仇口11J(ma)a2蘇心丿其中，心=1廠一匚，-/r-'J。我們注意到當(dāng)上s時(shí),'W'l"化所以可以利用上式累積相乘直到滿(mǎn)足精度要求。何根據(jù)精度要求例如10-來(lái)確定所要達(dá)到的k值)對(duì)于j、y的生成本文也采用連分式的算法。具體方案如下：nn令Cn=j”-1(a)/Jn(a),根據(jù)貝塞耳差積公式：J屏剜Y?_1心丿J-1f劉Y昇創(chuàng)=久由以上二式整理得:Y.(lf酬=仃15"G刎U3J

21、H-1上式中Cn的計(jì)算是采用類(lèi)似于Dn的連分式的形式，計(jì)算中可調(diào)用同一函數(shù)計(jì)算。若已知初值：丁d=sin劉耳：T1f耳丿=Sill旳'耳-2曲冊(cè)；2Yc-=-CO5耳/口；Yi(砒=cos£</'礦-sin£</；這樣就可計(jì)算出各級(jí)Jn和Yn。WilliamJ.Lentz關(guān)于連分式的文章:叫（刃二（帖/刃”幾襯盤(pán)的=伽/劉叫幾曲+H）n-iAU）其中擰丨也=兒二=仆。以幾,J為基礎(chǔ)，采用貝塞爾函數(shù)比值的連分式表示法：上上'人W,利用此法可產(chǎn)生所有的h'f,盡管耗時(shí)，但能減少存儲(chǔ)需求。同時(shí)可通過(guò)計(jì)算高階值，使用下面的遞推公式，從后往

22、前算出其他值。也=跨二1九（刃遼j打巧3）不像一般的函數(shù)，貝塞爾函數(shù)的比值一旦超過(guò)可控制的邊界，就不再增長(zhǎng)，初始的高階值決定了所有低階值的準(zhǔn)確性，因此，采用新方法計(jì)算準(zhǔn)確的初始比值是必要的。_"F>""L|11_>一2&+g)ET十處于分母位置的+號(hào)表示分母上加上一個(gè)特殊的連分式。類(lèi)似于上式丿中的表示形式。定義一種新的符號(hào)：知-31衛(wèi)昭Lentz給出了n階部分收斂值為:-4-1+叫旳!aM-1i1土礙一-%-*-!ff1&2T-LJ，叫.am，旳Zrrfc)=也"計(jì)算過(guò)程:例如：實(shí)變量=門(mén)，虛數(shù)a=(T嚴(yán)唸®卜nl)

23、"1n=i是,3,19叫=21隔嗎二旳十*=20*94736842(19)(-20.04736842)(22.95220131)(-24.95643131)(26.95993017)J(-21)2+9523B095)(-24?9564?154)(26.95993017J=18.95228138.米散射學(xué)習(xí)目前所遇到的困難：到底怎樣的計(jì)算結(jié)果才算正確，如何能找到一個(gè)米散射計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確又有效的數(shù)據(jù)庫(kù)，來(lái)驗(yàn)證自己算法及程序的正確性。倒退式算法的總結(jié):山于恤級(jí)教的牧敏連度隨特征值X的增尢而減懂兒因此環(huán)同的X俏即使在相同的計(jì)算宿度妾求下所需級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)他也不一樣一19陽(yáng)年美II學(xué)Ww.J.Wimb

24、e-在大還計(jì)笄的基礎(chǔ)上，參垮前人的工作總結(jié)出個(gè)您的經(jīng)驗(yàn)計(jì)算公式.利用該公式蛤出的項(xiàng)數(shù)可以便整個(gè)計(jì)算誤差小于10!，.Wiscomt）e公式是JC+4113+1攸=X44-051+It工+2b<x<42004200三工蘭20000當(dāng)龍小于0血時(shí)，可且和用Rayleigh公式計(jì)算而當(dāng)X比20000更大時(shí)，幾何光學(xué)即可適用一Dn的計(jì)算采用Dave的倒推式:1皿映Drf陶氏丿丿由于Dn函數(shù)有很強(qiáng)的收斂性，對(duì)于Dn的倒推計(jì)算的初值的選取有很強(qiáng)的隨意性。因?yàn)楫?dāng)n-g時(shí)Dn(ma)-0,所以可以取0作為初值。倒推起點(diǎn)選取大一些，可以保證Dn函數(shù)的收斂完全,但是同時(shí)卻增加了計(jì)算時(shí)間。所以必須選取一個(gè)最佳的選擇標(biāo)準(zhǔn)。