stewart運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

1、Stewart型并聯(lián)支撐機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式推導(dǎo)一、構(gòu)型分析及坐標(biāo)系建立靜基座自動(dòng)調(diào)平系統(tǒng)Stewart平臺(tái)型并聯(lián)支撐機(jī)構(gòu)為雙三角形機(jī)構(gòu)，由一個(gè)活動(dòng)上平臺(tái)和一個(gè)固定的下平臺(tái)所組成。上平臺(tái)鉸鏈點(diǎn)和基座平臺(tái)鉸鏈點(diǎn)的分布形式相同，但鉸接點(diǎn)相互交錯(cuò)，六根支鏈分別用移動(dòng)副和兩個(gè)球鉸鏈與上下平臺(tái)連接。并聯(lián)機(jī)構(gòu)示意圖如圖1所示。圖1Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)示意圖支鏈與動(dòng)平臺(tái)鉸接點(diǎn)為A1,A2,碼，支鏈與基座鉸接點(diǎn)標(biāo)記為片，B2,B3。坐標(biāo)系選在平臺(tái)的三角幾何中心，由右手螺旋法則確定。動(dòng)平臺(tái)三角邊長(zhǎng)為a,定平臺(tái)三角邊長(zhǎng)為b，動(dòng)平臺(tái)起始高度為h。根據(jù)設(shè)定的初始值，各支鏈與定平臺(tái)、動(dòng)平臺(tái)鉸接點(diǎn)的坐標(biāo)如表一所示。支鏈編號(hào)與

2、定平臺(tái)鉸接點(diǎn)坐標(biāo)與動(dòng)平臺(tái)鉸接點(diǎn)坐標(biāo)1B(b,一1b,0)162A(3a,1a,h)1622B(b,一1b,0)162A(乜a,0,h)233B(b,1b,0)262A(Aa,0,h)234B(b,1b,0)262A(3a,1a,h)3625B(b,0,0)33A(-a,1a,h)1626B(b,0,0)33A(3a,1a,h)362表一鉸接點(diǎn)坐標(biāo)二、并聯(lián)支撐機(jī)構(gòu)正反解兩個(gè)坐標(biāo)系，0和o',其中，O為固定坐標(biāo)系。（1）將坐標(biāo)系O繞自身的x軸旋轉(zhuǎn)Y;（2）將旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)系繞固定坐標(biāo)系的y軸旋轉(zhuǎn)0；（3）將第二步的坐標(biāo)系繞固定坐標(biāo)系的z軸旋轉(zhuǎn)a；旋轉(zhuǎn)矩陣分別為R=0cy-syX0sycyca

3、sa0R=saca0Z001按上述方式得到的總旋轉(zhuǎn)變換矩陣為：Ro=RRR=o'zyxcac仔sacBsBcassysacysassy+cacycsycascysasRcYeasyc0cy繞基坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)左乘，繞自身坐標(biāo)系右乘設(shè)動(dòng)平臺(tái)的平移參數(shù)為（4,dy,d7），則坐標(biāo)的齊次變換矩陣為:yzTo=o'cacBsacBsB0cassysacysasRsY+cacycsy0cascy+sasysascyeasycficy00001對(duì)于與動(dòng)平臺(tái)鉸接的各點(diǎn)芻（i=l,2,3）,點(diǎn)的齊次坐標(biāo)為pA,經(jīng)過(guò)變換后的點(diǎn)對(duì)應(yīng)標(biāo)記為A',變換后的齊次坐標(biāo)為pA,則，IA,pA'=T

4、oo'pA+dX+dy帶入初始坐標(biāo)后，得出變換后與動(dòng)平臺(tái)鉸接的各點(diǎn)坐標(biāo)值為：A'1xA'1yA'1zacacp+1asacycassy+hcascy+sasy6_2asacB1asassy+cacy+hsascyeasy62_asp1acsy+hccy+d+dX+dy62zA'2xA'2yA'2zacacB+hcascy+sasy3_=AasacB+hsascyeasy3_Aasp+hccy+dzXAf3xA,3yAf3zacacp+1acassysacy+hcascy+sasy6_2=asacp+1asassy+cacy+hsascye

5、asy62_asp+1acsy+hccy+d62z設(shè)六個(gè)驅(qū)動(dòng)器的伸展長(zhǎng)度為叫(i=l-6),則與之相應(yīng)的六個(gè)方程式表示為:B1X)2+3；y-Biy)2+(A1Z-B1Z)2-JA/=ABABa11111“2=碼氣-學(xué)1=(短見(jiàn))2+(A2y-B1y)2+(A2Z-Sz)212(心巧丿2+(鴛B2y)2+(A2Z-B2Z)213(短B2X)2+(-B2y)2+(A3Z-B2Z)2l4(短B3X)2+(-B3y)2+(A3Z-B3Z)2l5(化竹丿2+(氣B3y)2+%-B3Z)216由a、B、丫、d、d、d經(jīng)過(guò)上式推導(dǎo)得出AL的過(guò)程，稱為Stewart平臺(tái)的xyzi反解過(guò)程。Stewart平臺(tái)

6、的輸入是六個(gè)驅(qū)動(dòng)器的長(zhǎng)度量，正解就是有輸入的驅(qū)動(dòng)器長(zhǎng)度，得出末端，即運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的姿態(tài)。相反，反解就是已知所要的最終姿態(tài)參數(shù)，得出驅(qū)動(dòng)器的伸長(zhǎng)量。在Stewart平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)分析中，反解好求，而正解難。與串聯(lián)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析相反。三、并聯(lián)支撐機(jī)構(gòu)速度/加速度分析設(shè)S,為沿驅(qū)動(dòng)器i的單位矢量，1°為驅(qū)動(dòng)器i的長(zhǎng)度,ro，B運(yùn)動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心o'到B.點(diǎn)的位置矢量。叫,和鷺?lè)謩e是運(yùn)動(dòng)平臺(tái)在慣性參考系中的角速度和線速度矢量，則運(yùn)動(dòng)平臺(tái)上場(chǎng)點(diǎn)處的速度矢量為：乜=叫Xro'B+Vo'矩陣形式為：妝=Iro'B1vO式中八表示矢量的反對(duì)稱矩陣。對(duì)一個(gè)矢量X，有°%

7、3無(wú)2X=%3°一叫x2叫°通過(guò)將運(yùn)動(dòng)平臺(tái)上坊點(diǎn)處的速度矢量乙向驅(qū)動(dòng)器方向投影（即用單位矢量Sj1Bi1點(diǎn)乘場(chǎng)點(diǎn)的速度矢量坯可以得到驅(qū)動(dòng)器i的上下兩部分沿驅(qū)動(dòng)器方向的相對(duì)移動(dòng)速度：1.=s.億=S.m,xr.+v,=r.xS.m,+S.-v,iiiooBooBioio上式推導(dǎo)過(guò)程(右手定則)s廠叫"強(qiáng)=Sjro'Bx叫=Sy”=(ro'BxS)叫將上式寫(xiě)為矩陣形式為：=(r,xS.)TST綱，i=l,2,6LoBIIo'用一個(gè)廣義速度矢量V來(lái)表示運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的角速度和線速度，即末端直角坐標(biāo)速度：V=叫寫(xiě)T=3川,%臥，T用六維矢量g來(lái)表示六個(gè)驅(qū)

8、動(dòng)器的上下兩部分沿驅(qū)動(dòng)器方向的相對(duì)移動(dòng)速度,即關(guān)節(jié)速度。聯(lián)立成統(tǒng)一矩陣形式為：（5xSi）S1St6o=J*yV,oI式中6x6維矩陣丿*稱為末端直角坐標(biāo)速度對(duì)關(guān)節(jié)速度的影響矩陣。上式給出了Stewart平臺(tái)直角坐標(biāo)速度對(duì)關(guān)節(jié)速度的變換關(guān)系。當(dāng)給定某一時(shí)刻平臺(tái)的位移參數(shù)以及在這個(gè)時(shí)刻平臺(tái)的角速度及線速度，則可利用該式求得六個(gè)驅(qū)動(dòng)器的運(yùn)動(dòng)速度，即Stewart平臺(tái)機(jī)構(gòu)的速度反解方程。相反，機(jī)構(gòu)的速度正解就是根據(jù)某一時(shí)刻的位移參數(shù)以及6個(gè)驅(qū)動(dòng)器的運(yùn)動(dòng)速度求解該時(shí)刻平臺(tái)的角速度及線速度，有：V=(J*)Tq=Jq矩陣J就是Stewart平臺(tái)的雅克比矩陣。運(yùn)動(dòng)平臺(tái)處的加速度可通過(guò)平臺(tái)質(zhì)心的角加速度&#

9、163;，和線加速度5，得到:IOO%=卞"。再+5+叫x(叫"。再)對(duì)-求導(dǎo)，得出:=»怯+(寫(xiě)B(tài)j匕B2)/J上式中，.為運(yùn)動(dòng)平臺(tái)上場(chǎng)點(diǎn)處的加速度，將此項(xiàng)中的部分項(xiàng)展開(kāi)，有:rMo'T吩皆ro”=VTr,r,r,OBiOBiOBiVr,IoBjr,S.-o'BISTr,S：°ioBiIr,S.SJr,r,S.S.T=ypoiioBjoiiS.S.TrS.S.TiioBtii將上述兩式相減，有：rfsSrvV12=VToBioBio，Bto，Btir,SSToBtiir.S.S.ToiiyS.S.TII上式推導(dǎo)過(guò)程:r,r,r,V,V,

10、12=VToBioBi°rBiVVToBtoBirI11oBirS.SJroiioS.S.Tr.iioBjr.S.S.ToiiyS.S.TIIrfrfrf=VT(oBioBioBivr,IoBjro'Bi(_S")r。號(hào)r(IS.S.T)oiiyrS.SJr,二yr°Bi11°Bir.S.SJoBtii=VTr,DS.SJroBtiioBtSSJr.iioBjr.(IS.S.T)oiiyIS.S.TIIr"S.S.ToBi11)VS.SJIIr.S.SJoBtiiyS.SJII用單位矢量st點(diǎn)乘方程右邊最后一項(xiàng)，有:ol=M,Tr,S.M,=VTooBtio化簡(jiǎn)得到驅(qū)動(dòng)器-的上下兩部分沿驅(qū)動(dòng)器方向的相對(duì)移動(dòng)加速度，即關(guān)節(jié)加速度為：-=jy+VTH.V式中，厶為雅克比矩陣的第i行。SiSiTrS.SJr,oBtiioBjr.S.S.ToBtiiStewart平