初中數(shù)學(xué)問題解決的案例

1、最短距離問題摘要：最值問題是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是一類綜合性較強(qiáng)的問題，它貫穿初中數(shù)學(xué)的始終，是中考的熱點問題，它主要考察學(xué)生對平時所學(xué)的內(nèi)容綜合運(yùn)用，無論是代數(shù)問題還是幾何問題都有最值問題。幾何中的最短路線問題是中考熱點之一，往往與兩點之間線段最短、垂線段最短、軸對稱、勾股定理息息相關(guān)。案例問題：(1)如圖：一輛汽車在直線公路AB上由A向B行駛，M、N分別表示位于公路AB兩側(cè)的村莊，當(dāng)汽車行駛到什么位置時，到村莊M、N的距離之和最短？理由是？(2)如圖：一輛汽車在直線公路AB上由A向B行駛，若村莊M、N在公路AB的同側(cè)，當(dāng)汽車行駛到什么位置時，到村莊M、N的距離之和最短？請簡單證明。p5N

2、解決問題：一建立幾何模型：案例問題（2）可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題：如圖（1）,在直線a同側(cè)有A,B兩點，在直線a上找一點M,可使MA+MB的值最?。慷缀文Ｐ偷慕鉀Q你可以在a上找?guī)讉€點試一試，能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？思路分析：如圖2,問題就是要在a上找一點M,使AM與BM的和最小。設(shè)A'是A的對稱點，本問題也就是要使AM與BM的和最小。在連接AB的線中，線段A'B最短。因此，線段AB與直線a的交點C的位置即為所求。如圖3,為了證明點C的位置即為所求，我們不妨在直線a上另外任取一點N,連接AN、BN、A'N。因為直線a是A,A'的對稱軸，點M,N在a上，所以AM=A'M

3、,AN=A'N。，AM+BM=A'M+BM=A'B在BN中，ABvA'N+BN，AM+BMvAN+BN即AM+BM最小。三幾何模型應(yīng)用：兩條直線間的對稱題目1如圖，在曠野上，一個人騎馬從A由發(fā)，他欲將馬引到河al飲水后再到a2飲水，然后返回A地，問他應(yīng)該怎樣走才能使總路程最短。點評：這道題學(xué)生拿到時往往無從下手。但只要把握軸對稱的性質(zhì)就能迎刃而解了。作法：過點A作al的對稱點A',作a2的對稱點A，連接A'A交al、a2于B、C連接BC.所經(jīng)過路線如圖5:A-B-C-A,所走的總路程為A'A。第i題圖第2題圖三角形中的對稱題目2如圖，在A

4、BC中,AC=BC=2/ACB=90,D是BC邊上的中點正是AB邊上的一動點，則EC+ED的最小值是點評：本題只要把點C、D看成基本題中的A、B兩鎮(zhèn)，把線段AB看成燃?xì)夤艿繿,問題就可以迎刃而解了，本題只是改變了題目背景，所考察的知識點并沒有改變。四邊形中的對稱題目3如圖，正方形ABCD的邊長為8,M在DC上，且DM=2,N是AC上的動點，則DN+MN的最小值為多少？點評：此題也是運(yùn)用到正方形是軸對稱圖形這一特殊性質(zhì)，點D關(guān)于直線AC的對稱點正好是點B,最小值為MB=10。圓中的對稱題目4已知：如圖，已知點A是。O上的一個六等分點，點B是弧AN的中點，點P是半徑ON上的動點，若。O的半徑長為1

5、,求AP+BP的最小值。點評：這道題也運(yùn)用了圓的對稱性這一特殊性質(zhì)。點B的對稱點B'在圓上，AB'交ON于點p',由/AON=60°,/B'ON=30,/AOB'=90,半徑長為1可得AB'=<2O當(dāng)點P運(yùn)動到點p'時，此時AP+BP有最小值為標(biāo)r-H/B-BCG第5題圖2B，第5題圖1F立體圖形中的對稱題目5如圖1是一個沒有上蓋的圓柱形食品盒，一只螞蟻在盒外表面的A處，它想吃到盒內(nèi)表面對側(cè)中點B處的食物，已知盒高h(yuǎn)=10cm,底面圓的周長為32cm,A距離下底面3cm.請你幫小螞蟻算一算，為了吃到食物，它爬行的最短路程為

6、cm.點評：如圖2,此題是一道立體圖形問題需要轉(zhuǎn)化成平面問題來解決，將圓柱的側(cè)面展開得矩形EFGH作由點B關(guān)于EH的對稱點B',作AC,GH于點C連接AB'。在RtAB'C中，AC=16,B'C=12,求得AB'=20,則螞蟻爬行的最短路程為20cm。題目6長方體問題如圖，一只螞蟻從實心長方體的頂點A由發(fā)，沿長方體的表面爬到對角頂點G處（三條棱長如圖所示），問怎樣走路線最短？最短路線長為多少？析：展開圖如圖所示，.25.29.37路線1即為所求。AC1=V42+3=v25；Aq=1平=37；D口GA1A4BAq=v+2=v29長、寬、高中，較短的兩條邊的

7、和作為一條直角邊，最長的邊作為另一條直角邊，斜邊長即為最短路線長。通過變式訓(xùn)練既解決了一類問題，又歸納生了最本質(zhì)的東西，以后學(xué)生再碰到類似問題時學(xué)生就不會不知所措。同時變式訓(xùn)練培養(yǎng)了學(xué)生思維的積極性和深刻性，發(fā)展了學(xué)生的應(yīng)變能力。綜上所述，引導(dǎo)學(xué)生在熟練掌握書本例題、習(xí)題的基礎(chǔ)上，進(jìn)行科學(xué)的變式訓(xùn)練，對鞏固基礎(chǔ)、提高能力有著至關(guān)重要的作用。更重要的是，變式訓(xùn)練能培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的求異思維、發(fā)散思維、逆向思維，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生全方位、多角度思考問題的能力，有助于提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力。四幾何模型的引申問題1、已知：如圖，A、B兩點在直線1的同側(cè)，點A與A關(guān)于直線I對稱，連結(jié)AB交I于P點，若

8、AB=a,(1)求AP+PE證：AM(2)若點M是直線1上異于P點的任意一點，求MBAPPB2、已知：A、B兩點在直線1的同側(cè)，試分別畫由符合條件的點Mo(1)在1上求作一點M,使得AMBM最??；.BA、(2)在1上求作一點M,使得1AMBM最大;(3)在1上求作一點M,使得AM+BM最小。3、如圖，AD為/BAC的平分線，DE，AB于E,DF，AC于F,那么點E、F是否關(guān)于AD對稱？若對稱，請說明理由。4、已知：如圖，點php2分別是P點關(guān)于/ABC的兩邊BA、BC的對稱點，連接R"分別交BA、BC邊于E、D點，若PlP2=m,(1)求4PDE的周長；(2)若M是BA邊上異于E的一

9、點，N是BC邊上異于D的一點，求證：PMN的周長PDE的周長。CNDPEMAB軸對稱在本題中的主要作用是將線段在保證長度不變的情況下改變位置，要注意體會軸對稱在這方面的應(yīng)用。以此作為模型我們可以解決下列求最小值的問題。5.如圖，菱形ABCD中，AB=2,/BAD=60,E是AB的中點，P是對角線AC上的一個動點，則PE+PB的最小值E分析：首先分解此圖形，構(gòu)建如圖5模型，因為E、Bc圖6在直線AC的同側(cè)，要在AC上找一點P,使PE+PB最小，關(guān)鍵是找由點B或E關(guān)于AC的對稱點。如圖6,由菱形的對稱性可知點B和D關(guān)于AC對稱，連結(jié)DE,此時DE即為PE+PB的最小值，B圖5由/BAD=60,AB=AD,AE=BE知，DE2.32故PE+PB的最小值為Mo數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)告訴我們：