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文檔簡介
1、流體力學(xué)引言一、流體力學(xué)的研究對象流體:氣體、液體的總稱流體力學(xué):研究流體的運動規(guī)律及流體與固體相互作用的一門學(xué)科二、流體力學(xué)的研究方法1、理論分析方法建立模型f推導(dǎo)過程f求解方程f解釋結(jié)果2、實驗方法理論分析f模型試驗f測量f數(shù)據(jù)分析3、數(shù)值方法數(shù)學(xué)模型f離散化f編程計算f檢驗結(jié)果1第一章流體力學(xué)的基礎(chǔ)概念1.流體的物理性質(zhì)與宏觀模型一、流體的物理性質(zhì)1、易形變性:流體靜止時,不能承受任何微小的切應(yīng)力。原因:分子平均間距和相互作用力的不同。2、黏性:當流體層之間存在相對運動或者切形變時,流體就會反抗這種相對運動或切形變,使流體漸漸失去相對運動。流體這種阻礙流體層相對運動的特性稱為黏性。庫倫實
2、驗表面不滑移假設(shè)內(nèi)摩擦:宏觀:相對快速流層對慢速流層有一個拖帶作用力,使慢速流層變快起來;相應(yīng)地慢速流層將拽住快速流層讓其減速,最終使流層間的相對運動消失。流體層間這種單位面積的作用力稱為黏性應(yīng)力。微觀:流體的黏性是分子輸送的統(tǒng)計平均,是由于分子不規(guī)則運動,在不同流層間進行宏觀的動量交換。理想流體:當流體的黏性很小,其相對速度也不大時,其黏性應(yīng)力對流動作用就不甚重要并可予以略去,這種不計黏性的流體稱為理想流體。3、壓縮性:壓強變化引起流體體積或密度變化的性質(zhì)液體:一般認為不可壓縮(除水中爆炸等壓力驟變問題)氣體:壓強變化引起流體體積變化1%氣壓差相當于85m高度上氣壓的改變量,所以一般認為大氣
3、不可壓縮(除非有強烈上升、下沉氣流)即p不變。速度變化也可以影響流體壓強的變化C2v2211當速度增加時,壓強會減小。-PV2動力氣壓2在常溫常壓下,氣體作低速流動(v100m/s),氣體密度變化小于5%,可按不可壓縮流體處理。二、流體的連續(xù)介質(zhì)假設(shè)宏觀理論模型把由離散分子構(gòu)成的實際流體看作是由無數(shù)流體質(zhì)點沒有間隙連續(xù)分布構(gòu)成的。流體質(zhì)點(流點、流體微團、流體微元):大量流體分子的集合微觀“足夠大”:能保持大量分子,具有確定地統(tǒng)計平均效應(yīng)宏觀“充分小”:可以把流體近似看成在幾何上沒有維度的“點”2.流體運動的速度與加速度一、兩種表述流動的方法1、Lagrange法(隨體法):跟隨流點運動,記錄
4、該流點在運動過程中物理量隨時間變化的規(guī)律。(以流點為著眼點)設(shè)該質(zhì)點標記為(a,b,c),該質(zhì)點的物理量B的Lagrangge表達式B=B(a,b,c,t)不同的(a,b,c)表示不同流點(a,b,c)稱為Lagrangge變量位置矢的Lagrange表達式:r=r(a,b,c,t)Lagrange變量速度的Lagrange表達式:v=v(a,b,c,t)=r(a,b,c,t)St不同時刻同一流點的速度加速度a的Lagrange表達式:St22、Euler法:將其瞬時占據(jù)某空間點的流點的物理量作為該空間點的物理量(以空間點為著眼點)設(shè)空間點坐標為(x,y,z)物理量B的Euler表達式B=B(
5、x,y,z,t)不同(x,y,z)代表不同的空間點速度V的Euler表達式:v=v(x,y,z,t)Euler變量同一時刻不同空間點速度物理量的Euler表達式代表了該物理量的空間分布,稱為該物理力場,如速度場、氣壓場等(a) 若場內(nèi)函數(shù)不依賴于矢徑即與(x,y,z)無關(guān),稱作空間均勻場。(b) 若場內(nèi)函數(shù)不依賴于時間即與t無關(guān),稱作定常場。二、描述流體運動兩種方法的聯(lián)系1、L變量nE變量已知r=r(a,b,c,t)x=x(a,b,c,t)y=y(a,b,c,t)z=z(a,b,c,t)牛u(a,b,c,t)fu=u(x,y,z,t)消去a,b,cv=v(x,y,z,t)St=w(a,b,c,
6、t).w=w(x,y,z,t)262、E變量nL變量u=u(x,y,z,t)w=w(x,y,z,t)u=u(x(t),y(t)z(t),t)=dxdtv=v(x(t),yQzQt)=空dtw=w(x(t),y(t)z(t),t)=dzdt對時間t積分x=x(a,b,c,t)x=x(C,C,C,t)123y=y(a,b,c,t)jz=z(a,b,c,t)Vy=y(q,JJJ利用初始條件vijdrxv=dxdyuvwdy=vdz77dxdydzd=wdxnu(x,y,z,t)=v(x,y,z,t)=w(x,y,z,t)流線方程vdx=udy注:一般情況下,流線和跡線不重合。當流動定常時,兩者重合,
7、但反之不成立。4.速度的分解二維:以xy平面流場為例,設(shè)M0(x,y)點速度為v(M0)二v(x0,y0,鄰近點M(x+氐,y+5y)速度為v(M)=v(x0+5x,y0+y,J可以用Tailor展開來表示U(M)=U(Mo壯&+善5y已略去二階以上的高階小量v(M)=v(Mo)蹲&+|5y對上式進行適當整理,可得:(”)(”)udu1dv1dvQuM)-uM丿+ox+oy+oy一oy0dxdy2dx2dx()()dvdv1du1duvkM丿-vM+一ox+oy+ox-ox0dxdy2dy2dyu(M)=u(M)+duSx+0dx:1 (dudv-+2 (dydx丿父1(dudvSy+k2(d
8、ydx丿5yV(M)=V(M0)+善I1 (dvdu-一+一2 (dxdy丿父1(dvduSx+_一-一2(dxdy丿Sx1(dvdudu2(dxdy丿8xxdxdv8xy1 (dudv-+2 (dydx丿這些項都為流體的形變u(M)=u(M)-3Sy+8Sx+8Sy0xxxyv(M)=v(M)+3Sx+8Sx+8Syyx0得到:0、+SxSyyyz0v(M)=v(M)+3xSr+A-Sro物理意義:M的流速可以分為三部分隨M0點一起運動的平移速度(Mo)1)2)亥姆霍茲速度分解定理8xyu(M)u(M)v(M)v(M0)+w(Mw(M丿03)三維:=8yx=1(dwdv2(dydz丿du8二
9、xx1 (dvdu-+2 (dxdy丿dxijk8888xxxyxzx333+8888xyzyxyyyzySxSy&8888zxzyzzz繞Mo點旋轉(zhuǎn)引起的轉(zhuǎn)動線速度vR=3xSr0R由M0點形變引起的線速度A,Sr=8yzzy1 (dudw2 (dzdx丿dv8=-yydy1 (dw=+2 (dydz8zz3zdw=aZ1 (dv2 (dxdy丿dv+丿8=8zxxz1 (dwdu=+2 (dxdz丿5渦度、散度與形變率一、法形變率以xy平面流場為例,u沿y方向不變,v沿x方向不變,51時間后,x方向上增加的長度為舟5x5t單位長度,單位時間的伸長為dudvdw二xxdx=-yydy=_zz
10、dz面積的相對擴張率-A(5A)lim5at0SASt5x+dudx5x5ty5y+dvdy5y5t丿-5x5y5x5y5tdudvdudvSt當51T0時A(5A)dudv一lim二+=V-v5At05A5tdxdyStt0體積的相對膨脹率速度散度limStt0Stt0dud/dwA(Su)Sx+SxStSy+.SyStSz+-SzSt-SxSySzdwdz丿dudvdw=+_dxdydz八uy八SxSy&StA(St)體積的相對膨脹率lim-二+m+二V-v體脹速度att0St-StdxdydzAtt0St-St二、切形變率(角形變率)考察xy平面流場中過任意點M的一對正交線元MA,MB分
11、別長為Sx,Sy,存Sa,SBdvSx-StdvSa-dxStSxdxduSy-StduSBdyStSydy在速度梯度色,色dxdySt時間后,MA,MB分別轉(zhuǎn)過角度定義切形變率為該面元正交于該點兩線元夾角的瞬間變化率uxySa+SBdvdu二+-Stdxdydudwu二+-zxdzdxdvdwu=+-三、流體的旋轉(zhuǎn)1(dvdu+2(dxdy丿1dudw、+2【、dzdx丿1(dvdw、3+20q=JBvdln=kx卷Andldl=idx+jdy一一(一)n=kxdx+jdy丿/dl=(jdxidydl=(idy+jdxdlCi+vj)n=(-udy+vdx)/dlv=v-n=nq=JBvdl
12、=JBudy+vdx=JB-dy+dx=AnAAdydxdxJBd屮二屮一屮aBA三、二維流動一般的二維流動,既不是無旋也不是無輻散空色主0dxdydudv+-dxdyv=v+v屮0v:無輻散渦旋流屮v:無旋輻散流0其中D上+竺=-V20dxdyd0dxd0dydvdxu屮35v屮d屮dyd屮dxu=35d0dxd0dxv=第二章基本方程流體運動同其他運動一樣,同樣遵循質(zhì)量守恒、動量守恒和能量守恒等基本物理定律。本章將導(dǎo)出描述流體運動的連續(xù)方程、運動方程和能量方程。1.連續(xù)方程流體的連續(xù)方程是說明流體運動和其質(zhì)量分布的關(guān)系式,它是按質(zhì)量守恒定律建立起來的。一、Lagrange觀點下的流體連續(xù)方
13、程流體塊在運動過程中,盡管其體積和形狀可以發(fā)生變化,但其質(zhì)量是守恒不變的。St=SxSySzSm=pSi(5m)=0dt(p5i)=0nStdp+pdSl=0dtdtdtdp1dSi1dSi一dudvdwn+p=0其中=v=+體脹速度dtStdtStdtdxdydzn也l+pVV=0Lagrange連續(xù)方程dt(1) V-v0n流體體積增大n空0n流體局地密度減小dt(2-v0n有流體流出n空0n流體局地密度減小dt(2)?-pv0n流體局地密度增大dt(3)V-pv=0n流體無出入n空=0n流體局地密度不變dt二、自由表面的流體連續(xù)方程通常把自然界中水面與空氣面的交界面稱為水面或水表面水當水
14、面向某處匯集,該處水面將被擁擠而升高。反之,當該處有水向四周散開,該處水面將降低。因流動而伴隨出現(xiàn)的可以升降的水面,稱為自由表面。假設(shè)流團密度為p=p(x,y,z,t),考慮流體運動為二維,即滿足w沁0,g=0并dz選取適當?shù)淖鴺讼?,取流向方向為x軸正方向,設(shè)流體自由表面高度h,且h=h(x,y,t),即h在各處高低不同且可以隨時間變化。在流體中選取一個以&x5y為底的方形柱體,該柱體是一個固定不動的空間區(qū)域,稱為控制區(qū)一一Euler觀點考慮柱體內(nèi)流體的質(zhì)量為8m=Jh(p8x8y)z0經(jīng)流體柱后側(cè)流入的流體質(zhì)量應(yīng)為:Jh(pu8ybz0經(jīng)流體柱前側(cè)流出的質(zhì)量為:Jh(pu8yz+Jh(pu8
15、y&8x0dxL0流出質(zhì)量減去流入質(zhì)量,可以得到柱體內(nèi)的凈流出量,等于柱體內(nèi)質(zhì)量的減少量,即:-Jh(p8x8y&=LJh(pu8y&dt0dx0由于上式積分中的上限h為x,y,t的函數(shù),根據(jù)可變上限的積分規(guī)則:蘭Ja()f(x,t)dx=Ja()f(x,t)dx+fa(t)t也-f%)t耐dtb(t)b(t)tdtdt對上式兩邊展開,左邊為:-Jh(pSxSy&二-Jh込zSxSy-p竺dt00dtdt右邊為:hSxSy=-Jh空SzSxSy-p竺SxSyodthdtoh(pu5ybz5x二5x5yJ0dh+pudxhhu%+dhpu0dx0dxdxhdu+dXphu+J:知+卩:pdz用=
16、0消去SxSy:理p+Jhdth0dhdh+u+dtdx1fhpdufpdz=0(p0丿dxhdudxdxhSz=0由連續(xù)方程,得J彳+udPoIdtdx丿1fh=h(勻勻流體)0Pth(自由面附近或淺層流體)hX:竺+u竺+h色二0dtdxdx自由表面連續(xù)方程:葺+VCL02.作用于流體的力應(yīng)力張量牛頓第二定律:物體宏觀運動(加速度)作用于物體的力一、作用于流體的力分析對象:流體中以界面&包圍的體積為t的流體塊f質(zhì)量力流體的作用力質(zhì)量力表面力 質(zhì)量力(體力):是指作用于所有流體質(zhì)點的力,如重力、萬有引力和電磁力等。(1)質(zhì)量力是長程力:它隨著相互作用的元素之間的距離的增加而減小,對于一般流體
17、的特征運動距離而言,均能顯示出來。(2)它是一種分布力,分布于流體塊的整個體積內(nèi),流體塊所受的質(zhì)量力與其周圍其他流體的存在并無關(guān)系。如果F表示單位質(zhì)量的流體的質(zhì)量力,規(guī)定其為:F=lim遼Smobm式中是作用在質(zhì)量6m的流體塊上的質(zhì)量力,不難看出,F(xiàn)可以看做是質(zhì)量力的分布密度。通過體積分,作用于體積是袖勺流體塊上的質(zhì)量力是出pFdiT 表面力:是指流體內(nèi)部之間或流體與其他物質(zhì)之間的接觸面上所受到的相互作用力,如流體內(nèi)部的黏性應(yīng)力和壓力,流體與固體接觸面上的摩擦力和壓力等。(1)表面力是一種短程力:源于分子間的相互作用。表面力隨相互作用元素之間距離增加而迅速減弱,只有在相互作用元素之間的距離與分
18、子距離同量級時,表面力才顯現(xiàn)出來。(2)根據(jù)作用力與反作用力原理,流體塊內(nèi)各部分之間的表面力都是互相作用而互相抵消,只有處于界面上的流體質(zhì)點所受的、由界面外側(cè)流體所施加的表面力存在。(3)表面力也是一種分布力。定義單位面積上的表面力為:p=lim看其中sp是作用于某個流體面積So上的表面力,通過面積分,某流體塊與周圍流體接觸面Q上所受到的表面力為口pdoo 質(zhì)量力與表面力的比較質(zhì)量力與表面力有著本質(zhì)差別。本質(zhì)上,矢量F是質(zhì)量力的分布密度,它是時間點和空間點的函數(shù),因而構(gòu)成一個矢量場。而矢量p為流體的應(yīng)力矢量,它不但是時間點和空間點的函數(shù),并且在空間的每一點還隨著受力面元的取向不同而變化,所以要
19、確定應(yīng)力矢P,必須考慮點的矢徑r,該點受力面元的方向(或者說面元的法向單位矢n)以及時間t。確切地說應(yīng)力矢量是兩個矢量6,n)和一個標量t的函數(shù),即p6,r,J。二、應(yīng)力張量取流體四面體體元M-ABC,三角形ABC為其底面,這個四面體是由一個斜面和三個坐標面相交而成的,其底面積為50,跟坐標面平行的三個側(cè)面面積n分別為站,站和站,首先分析四面體元M-ABC所受到的力,其受到質(zhì)量力xyzFm,四個側(cè)面受到的表面力分別為p刃,p5,p刃,p5。nn-xx-yy-zz按照牛頓第二定律,可得:說明:應(yīng)力矢量的下標取其受力面元的外法向,并規(guī)定為外法線方向流體對另一部分流體的作用應(yīng)力。應(yīng)力分量p.的物理j
20、dV5m=F5m+pdtnn含義:第一個下標表示面元的外法線方向(且規(guī)定應(yīng)力為外法線方向流體對另一部分流體的作用;第二個下標表示應(yīng)力所投影的方向。+ppSa+p5n-xx-yy-zz根據(jù)作用力與反作用力原理:dV5m=FSm+p5ap5ap5ap5adtnnxxyyzz當四面體元向內(nèi)收縮時,即5mT0時,p5a二p5a+p5a+p5annxxyyzz上式為作用于小四面體元的應(yīng)力矢量之間的相互關(guān)系??紤]到面元間的關(guān)系:5a=5acos(n,x)=n5axxxyxzP=pppyxyyyzIppp丿、zxzyZZ丿利用應(yīng)力張量,可將p二np+np+np改寫成:nxxyyzzp=n-Pn另外,應(yīng)力矢量
21、p也可以表示為:n、p=ip+jp+kpnnxnynz以上分析表明:對于以n為外法線方向面元上的應(yīng)力矢量p,可以用三個n坐標面平行的應(yīng)力矢量p,p和p進行線性表示,也可以將其表示為沿三個坐xyZ標軸的分量形式p,卩,p的組合。nxnynz通常應(yīng)力矢量也可以表示為:p=pn+p廠nnnnT法應(yīng)力為p=p-n,p為切應(yīng)力。nnnnT三、應(yīng)力張量與流體運動間的關(guān)系流體中的應(yīng)力與流體的運動狀態(tài)(主要是形變率)之間有著非常密切的對應(yīng)關(guān)系。設(shè)有兩無界平行平板間的黏性流體運動,保持下板不動,使上板以速度U作勻速直線運動。實驗表明,兩平板上的流體質(zhì)點黏附在平板上,隨平板一起運動。因此,下平板的流體處于靜止,上
22、平板的流體速度為U,且流體的流速隨距上板距離的增加而減小。經(jīng)過實踐測定此流動中黏性應(yīng)力處處相同,與速度梯度成正比:T0-zxh牛頓歸納上述實驗,提出牛頓黏性定律:T=卩一zxdz式中稱為動力學(xué)黏性系數(shù),簡稱黏性系數(shù)。一般情況下,需以流體的切形變率代替上式的速度梯度。對確定地流體,切應(yīng)力與切形變率成正比,不論流體的黏性如何,只要流體無切形變就無黏性應(yīng)力存在。當流體作任意形式流動時,廣義牛頓黏性假設(shè)為:(100、-(2JP=2pA一p+pdivVI,其中I=010k3丿k001丿3運動方程一、流體的運動方程在運動流體中選取一小六面體體元,其邊長Sx,Sy,5z小體元運動時,周圍流體通過6個表面有表
23、面力的作用。通過六個側(cè)面作用于小體元沿x向的表面力分別為:f(dp、前后側(cè)面:p+xxSxSySz和pSySzdx丿+嚴SysxSz和pSxSzdy丿-yxdprr&SxSy和pSxSy-zxxx(UpyxJ(上下側(cè)面:p+右左側(cè)面:dp-xx因此,周圍流體通過側(cè)面作用于小體元的x向表面力合力為:dpdpdp、xx+zxjdxdydz丿小六面體體元運動時,還受到質(zhì)量力的作用,并且小體元所受x向質(zhì)量力為FpSxSySzx考慮小體元沿x方向的運動加速度為du,根據(jù)牛頓第二定律,則dtSxSySzdUpSxSySz=FpSxSySz+dtx可以化簡為:dU二F+丄(dpdtxpdpOpOp、xx+z
24、xdxdydz丿dpdp、-xx+yx+zxdxdydz丿SxSySz這就是單位質(zhì)量流體塊x向運動方程。同理,可以得到y(tǒng)和z方向的運動方程為:dv廠1(dpdtypJdxdw_1(dpdtzpJdxdpdp壬+yy+zydydzdpdp+yz+zzdydz將其寫成矢量的形式:dtdVf+1(op,,筋p(Oxx+y+zdz或者dVdtF+-v-Pp其中,V-P二dpppdQxxxydxQyQz_ppxz_yxyyp_yz_pppzxzyzz這就是流體運動方程的一般形式。二、納維-斯托克斯方程將廣義牛頓黏性假設(shè)條件下的應(yīng)力張量P的具體形式P=2應(yīng)p+2pV.pI3丿代入流體運動的一般形式,有納維-斯托克斯方程:dV二F-Vp+1-vv-vL上v2Vdtp3pp這就是適合牛頓黏性假設(shè)的流體運動方程,是牛頓第二定律在流體力
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