(已整理)中考數(shù)學(xué)必刷壓軸題專題：拋物線之等邊三角形(含解析)

1、中考數(shù)學(xué)拋物線壓軸題之等邊三角形(1)過點(1,0)作垂直于x軸的直線l,判斷點A與直線l的位置關(guān)系，并說明理由.(2)當(dāng)AC兩點是二次函數(shù)yi=x2+bx+c圖象上的對稱點時，求b的值.(3)當(dāng)ABC是等邊三角形時，求點B的坐標(biāo).2.如圖，已知拋物線0:y=ax2+bx+g經(jīng)過點A(-1,0)和B(3,0).(1)求拋物線Ci的解析式，并寫出其頂點C的坐標(biāo)；(2)如圖，把拋物線C1沿直線AC方向平移到某處時得到拋物線G,此時點A,C分別平移到A',C'處.在拋物線。上是否存在點P,使得PA'C'是等邊三角形，如果存在，求出點P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.3

2、 .二次函數(shù)圖象的頂點在原點O,且經(jīng)過點A(1,-k)；點F(0,1)在y軸上.直線y=-1與y軸交于4點H.(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)點P是(1)中圖象上的點，過點P作x軸的垂線與直線y=-1交于點M求證：點M到/OFP兩邊距離相等；(3)在(2)的條件下，當(dāng)FPM是等邊三角形時，求P點的坐標(biāo).4 .已知拋物線經(jīng)過A(-2,0),B(0,2),C(3,0)三點，一動點P從原點出發(fā)以1個單位/秒的速度12沿x軸正方向運動，連接BP,過點A作直線BP的垂線交y軸于點Q設(shè)點P的運動時間為t秒.(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)BQ=工AP時，求t的值；2(3)隨著點P的運動，拋物線上是否存在一

3、點M使MPQ/等邊三角形？若存在，請直接寫t的值及相應(yīng)點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.5 .已知拋物線的頂點坐標(biāo)為鳥,系)，且經(jīng)過點C(1,0),若此拋物線與x軸的另一交點為點B,與y軸的交點為點A,設(shè)P、Q分別為AROB邊上的動點，它們同時分別從點A、O向B點勻速運動，速度均為每秒1個單位，設(shè)P、Q移動時間為t(0WtW4)(1)求此拋物線的解析式并求出P點的坐標(biāo)(用t表示)；(2)當(dāng)OPQ!積最大時求OBP的面積；(3)當(dāng)t為何值時，OPQ直角三角形？(4)OPH否可能為等邊三角形？若可能請求出t的值；若不可能請說明理由，并改變點Q的運動速度，使OPM等邊三角形，求出此時Q點運動的速度和

4、此時t的值.6 .已知拋物線L：y=x2-(k-2)x+(k+1)2(1)證明：不論k取何值，拋物線L的頂點C總在拋物線y=3x2+12x+9上；(2)已知-4vk<0時，拋物線L和x軸有兩個不同的交點A、B,求A、B間距取得最大值時k的值；(3)在(2)A、B間距取得最大值條件下(點A在點B的右側(cè))，直線y=ax+b是經(jīng)過點A,且與拋物線L相交于點D的直線.問是否存在點D,使ABD為等邊三角形？如果存在，請寫出此時直線AD的解析式；如果不存在，請說明理由.7 .如圖，已知拋物線y=-lx2+1,直線y=kx+b經(jīng)過點B(0,2)4(1)求b的值；(2)將直線y=kx+b繞著點B旋轉(zhuǎn)到與

5、x軸平行的位置時(如圖1),直線與拋物線y=：x2+1相交，其中一個交點為P,求出P的坐標(biāo)；(3)將直線y=kx+b繼續(xù)繞著點B旋轉(zhuǎn)，與拋物線相交，其中一個交點為P'(如圖)，過點P'作x軸的垂線P'M,點M為垂足.是否存在這樣的點P',使P'BM為等邊三角形？若存在，請求出點P'的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.8 .已知二次函數(shù)y=x2+ax+a-2(1)證明：不論a取何值，拋物線y=x2+ax+a-2的頂點Q總在x軸的下方；(2)設(shè)拋物線y=x2+ax+a-2與y軸交于點C,如果過點C且平彳T于x軸的直線與該拋物線有兩個不同的交點，并設(shè)另一個交

6、點為點D,問：QCD!歸否是等邊三角形？若能，請求出相應(yīng)的二次函數(shù)解析式；若不能，請說明理由.9 .如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，ABC是直角三角形，且/BAC=90°,/ACB=30°,A(0,3).(1)求經(jīng)過A,B,C三點的拋物線表達式；(2)H為拋物線對稱軸上的任意一點，若ABH為等腰三角形，求點H的坐標(biāo)；(3)直線AC上是否存在點N,使NBC為等腰三角形，若存在，請求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.(4)設(shè)點M是拋物線頂點，P,Q是拋物線上兩點，要使MPQ等邊三角形，求點P,Q的坐標(biāo).1.【解答】解：(1)聯(lián)立y1、y2并解彳導(dǎo):x=1,故點A(1,1+b+c),

7、故直線l過點A;(2)由題意得：點B、C的坐標(biāo)分別為(0,b)、(0,c),.A、C兩點是二次函數(shù)y1=x2+bx+c圖象上的對稱點，故點A、C的縱坐標(biāo)相同，即：1+b+c=c,解得：b=-1;(3)如下圖所示，過等邊三角形的點則點H(0,)，點A(1,1+b+c),則AH=1,則HB=AHtanZHAB=1xtan30°b七則HB=b=±l,而故3a=故拋物線的表達式為：y=)；華,解得:設(shè)點P(1+3my),點P在A'、C'的中垂線上,由中點公式得:Fm+y,解得:y3m-等故點p(1+3ml<m-2V3將點p的坐標(biāo)代入拋物線表達式并整理得:一29

8、m+6m-8=0,解得：m=(舍去)或一2.【解答】解：(1)拋物線的表達式為：y=a(x+1)(x-3)=a(x2-2x-3),函數(shù)的對稱軸為：x=1,故點C(1,弓2(2)直線AC表達式中的k值為:即直線AC的傾斜角為30。，則直線向右平移3m個單位則向上平移dmm個單位，故點A'、C'的坐標(biāo)為：(-1+3mV3m)>(1+3m213+Jm),PA'C'是等邊三角形，而直線AC的傾斜角為30°,則點P和點C'橫坐標(biāo)相同,故點P的坐標(biāo)為：(-5,-2點).3【解答】(1)解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為將點A(1,)代入，得a=-7,4所以二次

9、函數(shù)的解析式為y=Ax2;4(2)證明：設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,Ax2),4過點P作PBJ_y軸于點B,則BF=|Ax2-1|,PB=x,/BPF中，pfr” .PIVL直線y=-1, .PM-x2+1,4.PF=PM ./PFMk/PMF又PM/y軸， ./MFhk/PMF ./PFM=/MFH FM平分/OFP 點M到/OFP兩邊距離相等；(3)解：當(dāng)FPM等邊三角形時，/PMF=60°, ./FMhk30°,在RtAMFI-,MF=2Fk2X2=4, .PF=PM=FM x2+1=4,解彳導(dǎo):x=±2Z"§,."x2=x12=3,4

10、4.滿足條件的點P的坐標(biāo)為(2s后，3)或(-2后，3).4.【解答】解：(1)設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,;拋物線經(jīng)過A(-2,0),B(0,2),C(1，0)三點，4a-2b+c-0丁國十:2十c-0,42',<=2f2a=解得v1b=T不二2,y=-2x2-Ax+2.33(2)AQLPB,BOLAP,/AOQ=/BOP=90°,/PAO/PBQ .AO=BO=2,.AO隼BOP.OQ=OP=t.如圖1,當(dāng)tW2時，點BQ=-AP,2,-2-t=(2+t),2 t嚕如圖2,當(dāng)t>2時，點 BQ=-AP,2 ,.t-2=(2+t),-1-t=6.2,

11、、.綜上所述，t=w或6時,j當(dāng)t=g31時，挽Q在點B下方，此時Q在點B上方，此時力線上存在點M(1,BQ=2-t,AP=2+t.BQ=t2,AP=2+t.1);當(dāng)t=3+3時,拋物線上存在點M(-3,-3).分析如下: .AQ!BP, /QAO廿BPO=90°, /QAO廿AQO=90°,/AQO=/BPO在AOQBOP中，NAQO=N即口ZAOQ=ZBOP=90iA0=B0.AO隼BOP.OP=OQ.OPM等腰直角三角形，MPQ等邊三角形，則M點必在PQ的垂直平分線上,.直線y=x垂直平分PQ，M在y=x上，設(shè)M(x,y),3),5）2K，代入點110），得：a=-j

12、-;，M點可能為（1,1）或（-3,-3）.如圖3,當(dāng)M的坐標(biāo)為（1,1）時，作MDLx軸于D,則有PD=|1-t|,MP=1+|1-t|2=t2-2t+2,pQ=2t：.MPQ等邊三角形， .MP=PQ .t2+2t-2=0, -t=-1+V3,t=-1-l3(負值舍去).如圖4,當(dāng)M的坐標(biāo)為(-3,-3)時，作M曰x軸于E,則有PE=3+t,ME=3,.,.mP=32+(3+t)2=t2+6t+18,PC2=2t2,.MPQ等邊三角形，1 .MP=PQ2 .t2-6t-18=0,.t=3+3VS,t=3-3（負值舍去）.綜上所述，當(dāng)t=-1+V3時，拋物線上存在點M（1,1）,或當(dāng)t=3+

13、3E時，拋物線上存在點M（-3,使得MPQ等邊三角形.5.【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x令y=0得：xi=4,x2=1,B(4,0).令x=0得：y=3,A(0,3),AB=5.如右圖，過點P作PMLy軸，垂足為點M則:A0更=處，得：迪=史=主OBAB345PM=二t5（2）如圖，過點P作PNiLx軸，垂足為點N,此時OP為AB邊上的中線“Ik>(t4Saobf'Saaob=X-X3X4=3.囪2回(3)若/OQP=90°,則里=幽，ABBO殳主=-生主,得t=0(舍去).54若/OPQ90°,則Oh+pQnOd,(3一看t)2+(a)2+

14、(3,t)2+(t)2=t2解得：ti=3,t2=15(舍去).當(dāng)t=3時，OPQ直角三角形.(4)OP2=(31>t)2+(-1t)2,PQ=(3-t)2+(t)2O氏PQ.OPQ可能是等邊三角形.OPQ等邊三角形設(shè)Q點的速度為每秒k個單位時，k-P3k*12k6.【解答】解：（1）拋物線L的頂點坐標(biāo)C是（-，1），將頂點坐標(biāo)C代入y=3x2+12x+9,左邊=2kT3右邊=3(+12(3k+12kT故可得：左邊=右邊，所以無論k取何值，拋物線L的頂點C總在拋物線y=3x2+12x+9上;(2)已知-4vk<0時，拋物線L和x軸有兩個不同的交點A、B,設(shè)A(xi,0),B(X2,

15、0),xi>X2,依題意xi,2=|AB|=|xi-x2|=|魚W(k一口/匕-也露J=V(k-2)2-4tk+li2=Qk%2k=g(kZ"2'由此可知，當(dāng)k=-2時，AB達到最大值J五即2區(qū),而k=-2恰好在-4vkv0內(nèi)，所以A、B間距取得最大值時k的值為-2.(3)存在.因為若AB皿等邊三角形，則點D應(yīng)在線段AB的垂直平分線上，即在此拋物線的對稱軸上,又丁點D在拋物線上，.若滿足條件的D存在，點D應(yīng)是此拋物線的頂點，當(dāng)k=-2時，拋物線L:y=x2+4x+1,頂點D(-2,-3),解方程x2+4x+1=0,得xi=-2+V,x2=-2-Vs,所以A(-2+43,

16、0),B(-2-0),如圖，在ABD中，DB=DAE為AB中點，AB=|(2+虛)(2-V3)|=2/3,.AE=V3,tan/BAD=GL=/,Vs/BAD=60°,.ABD為等邊三角形，因為直線y=ax+b經(jīng)過點A(-2+近，0)、D(-2,-3),所以依題意把k=2代入”口，b-2a+b=-3解得：,尸2y所以所求為y=Jjx-3+2點.7.【解答】解：(1).直線y=kx+b過點B(0,2),b=2.(2) y=kx+b繞點B旋轉(zhuǎn)到與x軸平行，即y=2,.P(2,2)或P(2,2),依題意有：-x2+1=2,4x=±2,.P(2,2)或P(-2,2).(3)假設(shè)存在

17、點P'(x。，y。)，使P'BM為等邊三角形,如圖，則/BP'M=60°P'M=yoP'B=2(P'M2)=2(y。2)且P'M=P'B即y0=2(y。2)y0=4又點P'在拋物線y=x2+1上4.丁+1=4x=±273或P'(-2/3,，當(dāng)直線y=kx+b繞點B旋轉(zhuǎn)時與拋物線y=x2+1相交，存在一個交點P'（20&,4）4a4(a2)=(a2)+4>0,a2+a-2.44)使P'BM為等邊三角形.8【解答】證明：（1）:二.判別式4=，拋物線與x軸總有兩個不同的

18、交點.又.拋物線開口向上，拋物線的頂點在x軸下方.或由二次函數(shù)解析式得：y=（x+年）.拋物線的頂點坐標(biāo)-Aa2+a-2=-1(a-2)2+1<0,44當(dāng)a取任何實數(shù)時總成立.，不論a取任何值，拋物線的頂點總在x軸下方.(2)由條件得：拋物線頂點Q(-包，-比a2+a-2),點C(0,a-2),當(dāng)aw0時，過點C存在平行于x24軸的直線與拋物線交于另一個點D,此時CD=|-a|,點Q到CD的距離為|(a-2)-(-La2+a-2)|=A44a2,自Q作Q弘CD,垂足為P,要使QCM等邊三角形，則需QP=CD,2即>La2=上當(dāng)-a|,42.aw0,解得a=±2、/5，(或由CD=CQ或由CP=-L,CQ等求得a的值)，.Qcm以是等邊,此時對應(yīng)的二次函數(shù)解析式為y=x2+2rfx+2j-322或y=x?-2f-3x_2/三-2.9.【解答】解：(1)ABC是直角三角形，./BAC=90°,/ACB=30°,./OAB=30°,OB=OA?tan30=V3,OC=口山，=3,tan30即：點B、C的坐標(biāo)分別為(一V3,0)、(4,0),設(shè)：