導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的恒成立問題論文：例探導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的恒成立問題

1、中國學(xué)木論文網(wǎng)vww.59168,net導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的恒成立問題論文:例探導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的恒成立問題摘要：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值以及解決生活中的優(yōu)化問題有著非常重要的作用，為我們解決函數(shù)問題提供了有力的工具。用導(dǎo)數(shù)可以解決函數(shù)中的最值問題，不等式問題，還可以在知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計(jì)問題，在高考中占有很重要的地位。因此，在教學(xué)中，要突出導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)；應(yīng)用；函數(shù)；恒成立導(dǎo)數(shù)是近代數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)，是聯(lián)系初、高等數(shù)學(xué)的紐帶，它的引入為解決中學(xué)數(shù)學(xué)問題提供了新的視野，是研究函數(shù)性質(zhì)、證明不等式、探求函數(shù)的極值、最值、求曲線的斜率和解決一些物理問題等等的有力工具，對(duì)于應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)踐問題

2、，關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型。本文擬就導(dǎo)數(shù)在解決函數(shù)應(yīng)用中的恒成立問題，談一點(diǎn)個(gè)人的感悟和體會(huì)。解題規(guī)律一：要使得f(x)>c(或f(x)<c)(c為常數(shù))在某個(gè)區(qū)間a,b恒成立，先求出f(x)在該區(qū)間上的最小值f(x)min(或最大值f(x)max)并且令f(x)min>c(或f(x)max<c)即可解決問題，【例1】已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2-c(其中a,b,c均為常數(shù)，x£r).當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f(x)的極植為-3-c.中國學(xué)木論文網(wǎng)vww.59168,net(1)試確定a,b的值;(2)若對(duì)于任意x>0，不等式f(x)>-2c2恒成立，

3、求c的取值范圍.解：(1)由f(x)=ax3+bx2-c，得f'(x)=3ax2+2bx,得，二，二f(x)=6x3-9x2-c.(2)Tf(x)=6x3-9x2-c,f(x)=18x2-18x=19x(x-1),令f'(x)=0，得x=0或x=1.當(dāng)x1時(shí)，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)00恒成立，-6x3-9x2-c>-2c2對(duì)任意x>0恒成立，-3-c>-2c2.c<-1或.c的取值范圍是(-a,-1U,+a).【例2】已知函數(shù)f(x)=ax3+cx+d(a工0)是r上的奇函數(shù)，當(dāng)x=1時(shí)f(x)取得極值-2.(1) 求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極大值；(2) 證

4、明對(duì)任意x1,x2£(-1,1)，不等式|f(x1)-f(x2)|0,故f(x)在單調(diào)區(qū)間(-a,-1)上是增函數(shù).當(dāng)x8(-1,1)時(shí)，f'(x)0,故f(x)在單調(diào)區(qū)間(1,+a)上是增函數(shù).所以，f(x)在x=-1處取得極大值，極大值為f(-1)=2.(2)由(1)知，f(x)=x3-3x(x8-1,1)是減函數(shù)，且f(x)在-1,1上的最大值為m=f(-1)=2，最小值為m=f(1)=-2.所以，對(duì)任意x1,x28(-1,1)，恒有|f(x1)-f(x2)|1論文發(fā)表專家中國學(xué)木論文網(wǎng)68,net時(shí)，gf(x)=1-a+lnx>1-a>0,故g(x)在(1

5、,)上為增函數(shù)，所以，x>1時(shí)，g(x)>g(1)=1-a>0,即卩f(x)>ax-1若a>1,方程g(x)=0的根為x0=ea-1，此時(shí)，若x£(1,x0)，則g(x)綜上，滿足條件的a的取值范圍是(-°°,1.解法二：依題意得f(x)>ax-1在1,+°)上恒成立，即a<lnx+對(duì)于X£1,+°)恒成立。令g(x)=lnx+,則(x)=-=(1-).當(dāng)x>1時(shí)，因?yàn)間(x)=(l-)>0,故g(x)是(1,+°)上的增函數(shù)，所以g(x)的最小值是g(x)=1，所以a的取值范圍是(-°,1.【例4】設(shè)函數(shù)f(x)=alnx,若不等式f(x)>m+x對(duì)所有的a£0,x£(1,e2都成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。解：若不等式f(x)>m+x對(duì)所有的a£0,x£(1,e2都成立，則alnx>m+x對(duì)所有的a£0,X£(1,e2都成立，即m<alnx-x,對(duì)所有的a£0,X£(1,e2都成立，令h(a)=alnx-x,貝Uh(a)為一次函數(shù),m&l