第3章 【隨機(jī)過程】

1、CH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程1CH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程2本章內(nèi)容結(jié)構(gòu)n3.1 隨機(jī)過程的基本概念n3.2平穩(wěn)隨機(jī)過程n3.3 高斯隨機(jī)過程n3.4 平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)n3.5 窄帶隨機(jī)過程n3.6 正弦波加窄帶高斯噪聲n3.7 高斯白噪聲和帶限白噪聲n3.8 小結(jié)CH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程33.0 概率論基礎(chǔ)復(fù)習(xí)n1、隨機(jī)變量的概念n（1）樣本空間的概念：在隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中，所有可能的結(jié)果的集合（例如拋1次硬幣，其樣本空間為正面,反面）n（2）隨機(jī)變量的概念：對于一個(gè)樣本空間，若每一個(gè)元素有一個(gè)隨機(jī)的單值與之對應(yīng)，則稱之為隨機(jī)變量（例如，拋硬幣如果是正面我們用+1表示，反面用-1表示，+1或-1就是這個(gè)實(shí)

2、驗(yàn)的隨機(jī)變量，通常記為）CH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程42、隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特性（即概率分布）n（1）離散型隨機(jī)變量n常用分布律來表示，如拋硬幣的分布律為n（2）連續(xù)型隨機(jī)變量n只能用分布函數(shù)和概率密度函數(shù)來描述+1 -10.5 0.5)( xPxF分布函數(shù))()( xFxf概率密度函數(shù)CH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程53、隨機(jī)變量的數(shù)字特征n（1）數(shù)學(xué)期望E(即平均值)n對于離散隨機(jī)變量：n對于連續(xù)隨機(jī)變量：n（2）方差Dn對于離散隨機(jī)變量：n對于連續(xù)隨機(jī)變量：)()(1是常數(shù)記為axPxEniiidxxxfE)(niiixPaxD12)(dxxfaxD)()(2CH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程63、隨機(jī)變量的數(shù)字特征(

3、續(xù))n（3）相關(guān)函數(shù)n無論是離散的還是連續(xù)的隨機(jī)變量，兩個(gè)隨機(jī)變量的相關(guān)函數(shù)統(tǒng)一定義為),(2121 ERCH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程7第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程n3.1 隨機(jī)過程的基本概念n什么是隨機(jī)過程？n隨機(jī)過程是一類隨時(shí)間作隨機(jī)變化的過程，它不能用確切的時(shí)間函數(shù)描述。可從兩種不同角度看：n角度1：對應(yīng)不同隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的時(shí)間過程的集合。CH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程8第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程【例】n臺(tái)示波器同時(shí)觀測并記錄這n臺(tái)接收機(jī)的輸出噪聲波形 n樣本函數(shù)i (t)：隨機(jī)過程的一次實(shí)現(xiàn)，是確定的時(shí)間函數(shù)。n隨機(jī)過程： (t) =1 (t), 2 (t), , n (t) 是全部樣本函數(shù)的集合。

4、CH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程9設(shè)有設(shè)有n臺(tái)性能完全相間同的通信機(jī)，工作條件也都相同。臺(tái)性能完全相間同的通信機(jī)，工作條件也都相同。用用n部記錄儀同時(shí)記錄各部通信機(jī)的輸出部記錄儀同時(shí)記錄各部通信機(jī)的輸出噪聲波形噪聲波形。 測試結(jié)果為：即使測試結(jié)果為：即使n足夠的大，找不到兩個(gè)完全相同的波形。足夠的大，找不到兩個(gè)完全相同的波形。 通信機(jī)輸出的噪聲隨時(shí)間的變化是通信機(jī)輸出的噪聲隨時(shí)間的變化是不可預(yù)知不可預(yù)知的，是一個(gè)的，是一個(gè)隨隨機(jī)過程機(jī)過程。 CH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程10 x1(t)x2(t)xn(t)ttt樣本空間S1S2Sn(t)tk圖圖3-2 樣本函數(shù)的總體樣本函數(shù)的總體CH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程11通過

5、熱噪聲的例子來理解隨機(jī)過程這是在一個(gè)電阻上測量到的熱噪聲，它也屬于一種這是在一個(gè)電阻上測量到的熱噪聲，它也屬于一種“隨機(jī)過程隨機(jī)過程”。圖中畫出了其。圖中畫出了其3個(gè)樣本，這種隨機(jī)過個(gè)樣本，這種隨機(jī)過程的樣本空間有無窮多個(gè)。程的樣本空間有無窮多個(gè)。注意：每一個(gè)樣本都是一個(gè)關(guān)于時(shí)間的函數(shù)注意：每一個(gè)樣本都是一個(gè)關(guān)于時(shí)間的函數(shù)CH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程123.1隨機(jī)過程的基本概念 通信過程是有用信號(hào)通過通信系統(tǒng)的過程，且在通通信過程是有用信號(hào)通過通信系統(tǒng)的過程，且在通信系統(tǒng)各點(diǎn)常伴隨有信系統(tǒng)各點(diǎn)常伴隨有噪聲噪聲的加入及此加入噪聲在系統(tǒng)的加入及此加入噪聲在系統(tǒng)中的傳輸。中的傳輸。凡是凡是不能預(yù)測不能預(yù)測

6、的噪聲就統(tǒng)稱為的噪聲就統(tǒng)稱為隨機(jī)噪聲隨機(jī)噪聲(噪聲噪聲)。 通信系統(tǒng)中遇到的信號(hào)，通?？値в心撤N通信系統(tǒng)中遇到的信號(hào)，通常總帶有某種隨機(jī)性隨機(jī)性(它它們的某個(gè)或幾個(gè)參數(shù)不能預(yù)知或不能完全預(yù)知們的某個(gè)或幾個(gè)參數(shù)不能預(yù)知或不能完全預(yù)知),把這把這種具有種具有隨機(jī)性隨機(jī)性的信號(hào)稱為的信號(hào)稱為隨機(jī)信號(hào)隨機(jī)信號(hào)。 隨機(jī)信號(hào)和噪聲統(tǒng)稱為隨機(jī)信號(hào)和噪聲統(tǒng)稱為隨機(jī)過程隨機(jī)過程。CH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程13第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程n角度角度2：隨機(jī)過程是隨機(jī)變量概念的延伸。：隨機(jī)過程是隨機(jī)變量概念的延伸。n在任一給定時(shí)刻在任一給定時(shí)刻t1上，每一個(gè)樣本函數(shù)上，每一個(gè)樣本函數(shù) i (t)都是一個(gè)確定的都是一個(gè)確

7、定的數(shù)值數(shù)值 i (t1)，但是每個(gè)但是每個(gè) i (t1)都是不可預(yù)知的。都是不可預(yù)知的。n在一個(gè)固定時(shí)刻在一個(gè)固定時(shí)刻t1上，不同樣本的取值上，不同樣本的取值 i (t1), i = 1, 2, , n是一個(gè)隨機(jī)變量，記為是一個(gè)隨機(jī)變量，記為 (t1)。n換句話說，隨機(jī)過程在任意時(shí)刻的值是一個(gè)隨機(jī)變量。換句話說，隨機(jī)過程在任意時(shí)刻的值是一個(gè)隨機(jī)變量。n因此，我們又可以把因此，我們又可以把隨機(jī)過程隨機(jī)過程看作看作是是在時(shí)間進(jìn)程中處于不同在時(shí)間進(jìn)程中處于不同時(shí)刻的時(shí)刻的隨機(jī)變量的集合隨機(jī)變量的集合。n這個(gè)角度更適合對隨機(jī)過程理論進(jìn)行精確的數(shù)學(xué)描述。這個(gè)角度更適合對隨機(jī)過程理論進(jìn)行精確的數(shù)學(xué)描述。

8、CH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程143.1 隨機(jī)過程的基本概念n隨機(jī)過程是時(shí)間t的函數(shù)n在任意時(shí)刻觀察，它是一個(gè)隨機(jī)變量n隨機(jī)過程是全部可能實(shí)現(xiàn)的總體 CH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程15隨機(jī)變量和隨機(jī)過程的區(qū)別與關(guān)系n區(qū)別：n隨機(jī)變量與隨機(jī)過程的樣本空間是不同的n這中區(qū)別體現(xiàn)在樣本空間的數(shù)量上和性質(zhì)上n關(guān)系：n隨機(jī)過程在某一固定時(shí)刻的取值是一個(gè)隨機(jī)變量CH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程163.1.1 隨機(jī)過程的分布函數(shù)n由于隨機(jī)過程由一系列隨機(jī)變量組成n所以無法用某一隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特征來描述整個(gè)隨機(jī)的統(tǒng)計(jì)特性n于是人們定義了n一維概率分布函數(shù)和概率密度函數(shù)n二維概率分布函數(shù)和概率密度函數(shù)n。nN維概率分布函數(shù)和概率密度函數(shù)

9、CH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程17第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程n3.1.1隨機(jī)過程的分布函數(shù)隨機(jī)過程的分布函數(shù)n設(shè) (t)表示一個(gè)隨機(jī)過程，則它在任意時(shí)刻t1的值 (t1)是一個(gè)隨機(jī)變量，其統(tǒng)計(jì)特性可以用分布函數(shù)或概率密度函數(shù)來描述。n隨機(jī)過程 (t)的一維分布函數(shù)：n隨機(jī)過程 (t)的一維概率密度函數(shù)：若上式中的偏導(dǎo)存在的話。 )(),(11111xtPtxF1111111),(),(xtxFtxfCH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程18第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程n隨機(jī)過程 (t) 的二維分布函數(shù)：n隨機(jī)過程 (t)的二維概率密度函數(shù)：若上式中的偏導(dǎo)存在的話。 n隨機(jī)過程 (t) 的n維分布函數(shù)：n隨機(jī)過程 (

10、t) 的n維概率密度函數(shù)：221121212)(,)() ,;,(xtxtPttxxF2121212221212),;,(),;,(xxttxxFttxxfnnnnnxtxtxtPtttxxxF)(,)(,)(),;,(22112121n21n21n21nnn21n21nx)tx()tx(xxttxxFttxxf，；，；，CH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程19我國的降雨量分布圖就是典型的二維密度函數(shù)的例子CH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程20第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程n3.1.2 隨機(jī)過程的數(shù)字特征隨機(jī)過程的數(shù)字特征n均值（數(shù)學(xué)期望）：在任意給定時(shí)刻t1的取值 (t1)是一個(gè)隨機(jī)變量，其均值式中 f (x1, t1

11、) (t1)的概率密度函數(shù)由于t1是任取的，所以可以把 t1 直接寫為t， x1改為x，這樣上式就變?yōu)閐xtxxftE),()(1111111),()(dxtxfxtECH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程21第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程 (t)的均值是時(shí)間的確定函數(shù)，常記作a ( t )，它表示隨機(jī)過程的n個(gè)樣本函數(shù)曲線的擺動(dòng)中心 :dxtxxftE),()(1a (t )CH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程22第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程n方差方差常記為 2( t )。這里也把任意時(shí)刻t1直接寫成了t 。因?yàn)樗裕讲畹扔诰街蹬c均值平方之差，它表示隨機(jī)過程在時(shí)刻 t 對于均值a ( t )的偏離程度。2)()()(t

12、atEtD )()()(2)(2222222tatEtatEtatEtattatEtD212)(),(tadxtxfx均方值均值平方CH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程23第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程n相關(guān)函數(shù)式中， (t1)和 (t2)分別是在t1和t2時(shí)刻觀測得到的隨機(jī)變量?？梢钥闯觯琑(t1, t2)是兩個(gè)變量t1和t2的確定函數(shù)。n協(xié)方差函數(shù)式中 a ( t1 ) a ( t2 ) 在t1和t2時(shí)刻得到的 (t)的均值 f2 (x1, x2; t1, t2) (t)的二維概率密度函數(shù)。 2121212212121),;,()()(),(dxdxttxxfxxttEttR 21212122211221

13、121),;,()()( )()()()(),(dxdxttxxftaxtaxtattatEttB CH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程24第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程n相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)之間的關(guān)系相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)之間的關(guān)系若若a(t1) = a(t2)，則，則B(t1, t2) = R(t1, t2)n互相關(guān)函數(shù)互相關(guān)函數(shù)式中式中 (t)和和 (t)分別表示兩個(gè)隨機(jī)過程。分別表示兩個(gè)隨機(jī)過程。因此，因此，R(t1, t2)又稱為自相關(guān)函數(shù)。又稱為自相關(guān)函數(shù)。 )()(),(),(212121tatattRttB)()(),(2121ttEttRCH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程25n例3.1 設(shè)隨機(jī)過程 可表示

14、成n ，式中 是一個(gè)離散隨機(jī)變量， 且 n ，試求 及 。( ) t( )2cos(2)tt(0)1/ 2P(/2)1/2P(1)E(0,1)ECH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程26n解：在t=1時(shí)， 的數(shù)學(xué)期望n在 ， 時(shí) 的自相關(guān)函數(shù)( ) t10t 21t( ) t10/2(1)2cos(2)|(0) 2cos(2)|(/2) 2cos(2)|1tEEtPP 12120,1(0,1)2cos(2) 2cos(2)|ttREtt2cos2cos(2)E220/2(0) 4cos|(/2) 4cos|PP 2CH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程27n例3.2 設(shè)隨機(jī)過程n其中A為高斯隨機(jī)變量，b為常數(shù)，且A的一維概率

15、密度函數(shù)n求X(t)的均值和方差。n解：由( ),0X tAt bt2(1) /21( )2xAfxe2(1) /21( )2xAfxeCH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程28n得出隨機(jī)變量A的均值為1，方差為1，即E(A)=1，D(A)=1。n因?yàn)?，所以n同理，( )X tAtb( )E X tE Atbtb 2( )D X tD AtbtCH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程29第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程n3.2 平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程n3.2.1 平穩(wěn)隨機(jī)過程的定義平穩(wěn)隨機(jī)過程的定義n定義：定義：若一個(gè)隨機(jī)過程若一個(gè)隨機(jī)過程 (t)的任意有限維分布函數(shù)與時(shí)間起的任意有限維分布函數(shù)與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)，也就是說，對于任

16、意的正整數(shù)點(diǎn)無關(guān)，也就是說，對于任意的正整數(shù)n和所有實(shí)數(shù)和所有實(shí)數(shù) ，有有則稱該隨機(jī)過程是在嚴(yán)格意義下的平穩(wěn)隨機(jī)過程，簡稱則稱該隨機(jī)過程是在嚴(yán)格意義下的平穩(wěn)隨機(jī)過程，簡稱 嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程。),(),(21212121nnnnnntttxxxftttxxxf；CH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程30第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程n性質(zhì)：性質(zhì)：該定義表明，平穩(wěn)隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間該定義表明，平穩(wěn)隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的推移而改變，即它的一維分布函數(shù)與時(shí)間的推移而改變，即它的一維分布函數(shù)與時(shí)間t無關(guān)：無關(guān)：而二維分布函數(shù)只與時(shí)間間隔而二維分布函數(shù)只與時(shí)間間隔 = t2 t1有關(guān)：有關(guān)：數(shù)字特

17、征：數(shù)字特征：可見，（可見，（1）其均值與）其均值與t無關(guān)，為常數(shù)無關(guān)，為常數(shù)a； （2）自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔）自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔 有關(guān)。有關(guān)。)(),(11111xftxf);,(),;,(21221212xxfttxxfadxxfxtE1111)()()();,()()(),(21212211121RdxdxxxfxxttEttR CH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程31第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程n數(shù)字特征：數(shù)字特征：n可見，（可見，（1）其均值與）其均值與t 無關(guān)，為常數(shù)無關(guān)，為常數(shù)a ； （2）自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔）自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔 有關(guān)。有關(guān)。把同時(shí)滿足（把同時(shí)滿足（1）和（）和（

18、2）的過程定義為）的過程定義為 廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。顯然，嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程必定。顯然，嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程必定是廣義平穩(wěn)的，反之不一定成立。是廣義平穩(wěn)的，反之不一定成立。 在通信系統(tǒng)中所遇到的信號(hào)及噪聲，大多數(shù)在通信系統(tǒng)中所遇到的信號(hào)及噪聲，大多數(shù)可視為平穩(wěn)的隨機(jī)過程。因此，研究平穩(wěn)隨機(jī)過可視為平穩(wěn)的隨機(jī)過程。因此，研究平穩(wěn)隨機(jī)過程有著很大的實(shí)際意義。程有著很大的實(shí)際意義。 adxxfxtE1111)()()();,()()(),(21212211121RdxdxxxfxxttEttR CH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程32第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程n3.2.2 各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性n問題的提出：

19、我們知道，隨機(jī)過程的數(shù)字特征（均問題的提出：我們知道，隨機(jī)過程的數(shù)字特征（均值、相關(guān)函數(shù)）是對隨機(jī)過程的所有樣本函數(shù)的統(tǒng)值、相關(guān)函數(shù)）是對隨機(jī)過程的所有樣本函數(shù)的統(tǒng)計(jì)平均，但在實(shí)際中常常很難測得大量的樣本，這計(jì)平均，但在實(shí)際中常常很難測得大量的樣本，這樣，我們自然會(huì)提出這樣一個(gè)問題：能否從一次試樣，我們自然會(huì)提出這樣一個(gè)問題：能否從一次試驗(yàn)而得到的一個(gè)樣本函數(shù)驗(yàn)而得到的一個(gè)樣本函數(shù)x(t)來決定平穩(wěn)過程的數(shù)來決定平穩(wěn)過程的數(shù)字特征呢字特征呢?n回答是肯定的。平穩(wěn)過程在滿足一定的條件下具有回答是肯定的。平穩(wěn)過程在滿足一定的條件下具有一個(gè)有趣而又非常有用的特性，稱為一個(gè)有趣而又非常有用的特性，稱為

20、“各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性”（又稱（又稱“遍歷性遍歷性”）。具有各態(tài)歷經(jīng)性的過程，其）。具有各態(tài)歷經(jīng)性的過程，其數(shù)字特征（均為統(tǒng)計(jì)平均）完全可由隨機(jī)過程中的數(shù)字特征（均為統(tǒng)計(jì)平均）完全可由隨機(jī)過程中的任一實(shí)現(xiàn)的時(shí)間平均值來代替。任一實(shí)現(xiàn)的時(shí)間平均值來代替。 n下面，我們來討論各態(tài)歷經(jīng)性的條件。下面，我們來討論各態(tài)歷經(jīng)性的條件。CH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程33第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程n各態(tài)歷經(jīng)性條件各態(tài)歷經(jīng)性條件設(shè)：設(shè)：x(t)是平穩(wěn)過程是平穩(wěn)過程 (t)的任意一次實(shí)現(xiàn)（樣本），的任意一次實(shí)現(xiàn)（樣本），則其時(shí)間均值和時(shí)間相關(guān)函數(shù)分別定義為：則其時(shí)間均值和時(shí)間相關(guān)函數(shù)分別定義為： 如果平穩(wěn)過程使下式成立

21、如果平穩(wěn)過程使下式成立則稱該平穩(wěn)過程具有各態(tài)歷經(jīng)性。則稱該平穩(wěn)過程具有各態(tài)歷經(jīng)性。2/2/2/2/)()(1lim)()()()(1lim)(TTTTTTdttxtxTtxtxRdttxTtxa)()(RRaaCH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程34第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程n“各態(tài)歷經(jīng)各態(tài)歷經(jīng)”的含義是：隨機(jī)過程中的任一次實(shí)現(xiàn)都的含義是：隨機(jī)過程中的任一次實(shí)現(xiàn)都經(jīng)歷了隨機(jī)過程的所有可能狀態(tài)。因此，在求解各經(jīng)歷了隨機(jī)過程的所有可能狀態(tài)。因此，在求解各種統(tǒng)計(jì)平均（均值或自相關(guān)函數(shù)等）時(shí)，無需作無種統(tǒng)計(jì)平均（均值或自相關(guān)函數(shù)等）時(shí)，無需作無限多次的考察，只要獲得一次考察，用一次實(shí)現(xiàn)的限多次的考察，只要獲得一次

22、考察，用一次實(shí)現(xiàn)的“時(shí)間平均時(shí)間平均”值代替過程的值代替過程的“統(tǒng)計(jì)平均統(tǒng)計(jì)平均”值即可，值即可，從而使測量和計(jì)算的問題大為簡化。從而使測量和計(jì)算的問題大為簡化。n具有各態(tài)歷經(jīng)的隨機(jī)過程一定是平穩(wěn)過程，反之不具有各態(tài)歷經(jīng)的隨機(jī)過程一定是平穩(wěn)過程，反之不一定成立。在通信系統(tǒng)中所遇到的隨機(jī)信號(hào)和噪聲，一定成立。在通信系統(tǒng)中所遇到的隨機(jī)信號(hào)和噪聲，一般均能滿足各態(tài)歷經(jīng)條件。一般均能滿足各態(tài)歷經(jīng)條件。CH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程35第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程n 例例3-3 設(shè)一個(gè)隨機(jī)相位的正弦波為設(shè)一個(gè)隨機(jī)相位的正弦波為其中，其中，A和和 c均為常數(shù)；均為常數(shù)； 是在是在(0, 2)內(nèi)均勻分布內(nèi)均勻分布的

23、隨機(jī)變量。試討論的隨機(jī)變量。試討論 (t)是否具有各態(tài)歷經(jīng)性。是否具有各態(tài)歷經(jīng)性?！窘狻俊窘狻?1)先求先求 (t)的統(tǒng)計(jì)平均值：的統(tǒng)計(jì)平均值：數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望)cos()(tAtc2021)cos()()(dtAtEtac20)sinsincos(cos2dttAcc0sinsincoscos22020dtdtAccCH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程36第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)令令t2 t1 = ，得到，得到可見，可見， (t)的數(shù)學(xué)期望為常數(shù)，而自相關(guān)函數(shù)與的數(shù)學(xué)期望為常數(shù)，而自相關(guān)函數(shù)與t 無關(guān)，只與時(shí)間間隔無關(guān)，只與時(shí)間間隔 有關(guān)，所以有關(guān)，所以 (t)是廣義是廣義平穩(wěn)過程

24、。平穩(wěn)過程。0)(cos2212)(cos2)(cos22)(cos)(cos2)cos()cos()()(),(1222012212212122212121ttAdttAttAttttEAtAtAEttEttRccccccc)(cos2),(221RAttRcCH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程37第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程 (2) 求求 (t)的時(shí)間平均值的時(shí)間平均值比較統(tǒng)計(jì)平均與時(shí)間平均，有比較統(tǒng)計(jì)平均與時(shí)間平均，有因此，隨機(jī)相位余弦波是各態(tài)歷經(jīng)的。因此，隨機(jī)相位余弦波是各態(tài)歷經(jīng)的。220)cos(1limTTcTdttATa22)(cos)cos(1lim)(TTccTdttAtATR22222)

25、22cos(cos2limTTTTcccTdttdtTAcAcos22)()(,RRaaCH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程38第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程n3.2.3 平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)n平穩(wěn)過程自相關(guān)函數(shù)的定義：同前平穩(wěn)過程自相關(guān)函數(shù)的定義：同前n平穩(wěn)過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)平穩(wěn)過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)n (t)的平均功率的平均功率n 的偶函數(shù)的偶函數(shù)n R( )的上界的上界即自相關(guān)函數(shù)即自相關(guān)函數(shù)R( )在在 = 0有最大值。有最大值。n (t)的直流功率的直流功率n表示平穩(wěn)過程表示平穩(wěn)過程 (t)的交流功率。當(dāng)均值為的交流功率。當(dāng)均值為0時(shí)，時(shí)，n有有 R(0) = 2 。 )()0(

26、2tER)()( RR)0()(RR22a)()(tER2)()0( RRCH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程39第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程n3.2.4 平穩(wěn)過程的功率譜密度平穩(wěn)過程的功率譜密度n定義：定義：n對于任意的確定功率信號(hào)對于任意的確定功率信號(hào)f (t)，它的功率譜密度定義為，它的功率譜密度定義為式中，式中，F(xiàn)T ( f )是是f (t)的截短函數(shù)的截短函數(shù)fT (t) 所對應(yīng)的頻譜函數(shù)所對應(yīng)的頻譜函數(shù)TfFmi lfPTTf2)()(CH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程40第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程n對于平穩(wěn)隨機(jī)過程對于平穩(wěn)隨機(jī)過程 (t) ，可以把，可以把f (t)當(dāng)作是當(dāng)作是 (t)的的一個(gè)樣本；某一

27、樣本的功率譜密度不能作為過程的一個(gè)樣本；某一樣本的功率譜密度不能作為過程的功率譜密度。過程的功率譜密度應(yīng)看作是對所有樣功率譜密度。過程的功率譜密度應(yīng)看作是對所有樣本的功率譜的統(tǒng)計(jì)平均，故本的功率譜的統(tǒng)計(jì)平均，故 (t)的功率譜密度可以的功率譜密度可以定義為定義為TfFEmi lfPEfPTTf2)()()(CH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程41第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程n功率譜密度的計(jì)算功率譜密度的計(jì)算n維納維納-辛欽關(guān)系辛欽關(guān)系 非周期的功率型確知信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)與其功非周期的功率型確知信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)與其功率譜密度是一對傅里葉變換。這種關(guān)系對平穩(wěn)隨機(jī)率譜密度是一對傅里葉變換。這種關(guān)系對平穩(wěn)隨機(jī)過程同

28、樣成立，即有過程同樣成立，即有簡記為簡記為以上關(guān)系稱為維納以上關(guān)系稱為維納-辛欽關(guān)系。它在平穩(wěn)隨機(jī)過程的辛欽關(guān)系。它在平穩(wěn)隨機(jī)過程的理論和應(yīng)用中是一個(gè)非常重要的工具，它是聯(lián)系頻理論和應(yīng)用中是一個(gè)非常重要的工具，它是聯(lián)系頻域和時(shí)域兩種分析方法的基本關(guān)系式。域和時(shí)域兩種分析方法的基本關(guān)系式。dePRdeRPjj)(21)()()()()(fPRCH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程42第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程n在維納在維納-辛欽關(guān)系的基礎(chǔ)上，我們可以得到以下結(jié)論：辛欽關(guān)系的基礎(chǔ)上，我們可以得到以下結(jié)論：n對功率譜密度進(jìn)行積分，可得平穩(wěn)過程的總功率：對功率譜密度進(jìn)行積分，可得平穩(wěn)過程的總功率：上式從頻域的角度給

29、出了過程平均功率的計(jì)算法。上式從頻域的角度給出了過程平均功率的計(jì)算法。n各態(tài)歷經(jīng)過程的任一樣本函數(shù)的功率譜密度等于過程各態(tài)歷經(jīng)過程的任一樣本函數(shù)的功率譜密度等于過程的功率譜密度。也就是說，每一樣本函數(shù)的譜特性都的功率譜密度。也就是說，每一樣本函數(shù)的譜特性都能很好地表現(xiàn)整個(gè)過程的的譜特性。能很好地表現(xiàn)整個(gè)過程的的譜特性?！咀C】因?yàn)楦鲬B(tài)歷經(jīng)過程的自相關(guān)函數(shù)等于任一樣本【證】因?yàn)楦鲬B(tài)歷經(jīng)過程的自相關(guān)函數(shù)等于任一樣本的自相關(guān)函數(shù)，即的自相關(guān)函數(shù)，即 兩邊取傅里葉變換：兩邊取傅里葉變換：即即式中式中 dffPR)()0()()(RR )()(RRFF)()(fPfPf)()(fPR )(RfPfCH3隨

30、機(jī)過程隨機(jī)過程43第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程n功率譜密度功率譜密度P ( f )具有非負(fù)性和實(shí)偶性，具有非負(fù)性和實(shí)偶性，即有即有和和這與這與R( )的實(shí)偶性相對應(yīng)。的實(shí)偶性相對應(yīng)。 0)(fP)()(fPfPCH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程44第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程n例例3-4 求隨機(jī)相位余弦波求隨機(jī)相位余弦波 (t) = Acos( ct + )的自相關(guān)函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度。和功率譜密度?！窘狻吭凇窘狻吭诶?-3中，我們已經(jīng)考察隨機(jī)相位余弦波是一個(gè)平穩(wěn)中，我們已經(jīng)考察隨機(jī)相位余弦波是一個(gè)平穩(wěn)過程，并且求出其相關(guān)函數(shù)為過程，并且求出其相關(guān)函數(shù)為因?yàn)槠椒€(wěn)隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)與功率譜密度是一

31、對傅里葉變換，因?yàn)槠椒€(wěn)隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)與功率譜密度是一對傅里葉變換，即有即有 以及由于有以及由于有所以，功率譜密度為所以，功率譜密度為平均功率為平均功率為 cARcos2)(2)()(PR)()(cosccc)()(2)(2ccAP2)(21)0(2AdPRSCH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程45n例3-5：某平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程自相關(guān)函數(shù)為R（ ），求功率譜密度。n解：dteRptj)()(tsR其它,02,2)(222dtetj2212tjejjeejj242228 SaCH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程46CH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程47n例3.6 設(shè)一平穩(wěn)隨機(jī)過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)為 ，求其均值和方差。n解

32、：由自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)可得：n n 所以均值為：n 方差為：24( )251XR24(0)( )252910RE Xt2( )t)25REX （(t)5E X 2(0)( )29524RR CH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程48第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程n 3.3 高斯隨機(jī)過程（正態(tài)隨機(jī)過程）高斯隨機(jī)過程（正態(tài)隨機(jī)過程）n3.3.1 定義定義n如果隨機(jī)過程如果隨機(jī)過程 (t)的任意的任意n維（維（n =1,2,.）分布均服從正）分布均服從正態(tài)分布，則稱它為正態(tài)過程或高斯過程。態(tài)分布，則稱它為正態(tài)過程或高斯過程。n n維正態(tài)概率密度函數(shù)表示式為：維正態(tài)概率密度函數(shù)表示式為：式中式中 njnkkkkjjjjk

33、nnnnnaxaxBBBtttxxxf112/1212/2121)(21exp.)2(1),.,.,(；22)(),(kkkkkatEtEaCH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程49第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程式中 |B| 歸一化協(xié)方差矩陣的行列式，即 |B|jk 行列式|B|中元素bjk的代數(shù)余因子 bjk 為歸一化協(xié)方差函數(shù)，即 11121221112nnnnbbbbbbB kjkkjjjkatatEb)()(CH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程50第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程n 3.3.2 重要性質(zhì)重要性質(zhì)n由高斯過程的定義式可以看出由高斯過程的定義式可以看出,高斯過程的高斯過程的n維分布只依賴維分布只依賴各個(gè)隨機(jī)變

34、量的均值、方差和歸一化協(xié)方差。因此，對于各個(gè)隨機(jī)變量的均值、方差和歸一化協(xié)方差。因此，對于高斯過程，只需要研究它的數(shù)字特征就可以了。高斯過程，只需要研究它的數(shù)字特征就可以了。n廣義平穩(wěn)的高斯過程也是嚴(yán)平穩(wěn)的。因?yàn)?，若高斯過程是廣義平穩(wěn)的高斯過程也是嚴(yán)平穩(wěn)的。因?yàn)?，若高斯過程是廣義平穩(wěn)的，即其均值與時(shí)間無關(guān)，協(xié)方差函數(shù)只與時(shí)間廣義平穩(wěn)的，即其均值與時(shí)間無關(guān)，協(xié)方差函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)，而與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)，則它的間隔有關(guān)，而與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)，則它的n維分布也與時(shí)間維分布也與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)，故它也是嚴(yán)平穩(wěn)的。所以，高斯過程若是廣義起點(diǎn)無關(guān)，故它也是嚴(yán)平穩(wěn)的。所以，高斯過程若是廣義平穩(wěn)的，則也嚴(yán)平穩(wěn)。平穩(wěn)的

35、，則也嚴(yán)平穩(wěn)。CH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程51第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程n如果高斯過程在不同時(shí)刻的取值是不相關(guān)的，如果高斯過程在不同時(shí)刻的取值是不相關(guān)的，即對所有即對所有j k，有，有bjk =0，則其概率密度可以簡化為，則其概率密度可以簡化為這表明，如果高斯過程在不同時(shí)刻的取值是不相關(guān)這表明，如果高斯過程在不同時(shí)刻的取值是不相關(guān)的，那么它們也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。的，那么它們也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。n高斯過程經(jīng)過線性變換后生成的過程仍是高斯過程。也高斯過程經(jīng)過線性變換后生成的過程仍是高斯過程。也可以說，若線性系統(tǒng)的輸入為高斯過程，則系統(tǒng)輸出也可以說，若線性系統(tǒng)的輸入為高斯過程，則系統(tǒng)輸出也是高斯過程。是高斯過程

36、。),.,;,.,(2121nnntttxxxfnax1k2k2kkk2)(exp21),(),(),(2211nntxftxftxfCH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程52第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程n 3.3.3 高斯隨機(jī)變量高斯隨機(jī)變量n定義：高斯過程在任一時(shí)刻上的取值是一個(gè)正態(tài)分布的定義：高斯過程在任一時(shí)刻上的取值是一個(gè)正態(tài)分布的隨機(jī)變量，也稱高斯隨機(jī)變量，其一維概率密度函數(shù)為隨機(jī)變量，也稱高斯隨機(jī)變量，其一維概率密度函數(shù)為式中式中a 均值均值 2 方差方差曲線如右圖：曲線如右圖：221()( )exp22xaf xCH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程53第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程n性質(zhì)nf (x)對稱于直線對

37、稱于直線 x = a，即，即n na表示分布中心，表示分布中心， 稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差，表示集中程度，圖形稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差，表示集中程度，圖形將隨著將隨著 的減小而變高和變窄。當(dāng)?shù)臏p小而變高和變窄。當(dāng)a = 0和和 = 1時(shí)，稱為時(shí)，稱為標(biāo)準(zhǔn)化的正態(tài)分布：標(biāo)準(zhǔn)化的正態(tài)分布：xafxaf1)(dxxfaadxxfdxxf21)()(21( )exp22xf xCH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程54第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程n正態(tài)分布函數(shù)正態(tài)分布函數(shù)這個(gè)積分的值無法用閉合形式計(jì)算，通常利用其他特殊函數(shù)，這個(gè)積分的值無法用閉合形式計(jì)算，通常利用其他特殊函數(shù)，用查表的方法求出：用查表的方法求出：n用誤差函數(shù)表示正態(tài)分布函數(shù)

38、：令用誤差函數(shù)表示正態(tài)分布函數(shù)：令 則有則有 及及 式中式中 誤差函數(shù)，可以查表求出其值。誤差函數(shù)，可以查表求出其值。221()( )()exp22xzaF xPxdz2/ )(aztdtdz22() /2( )22121122xatF xedtxaerf202( )xterf xedtCH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程55第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程n用互補(bǔ)誤差函數(shù)用互補(bǔ)誤差函數(shù)erfc(x)表示正態(tài)分布函數(shù)：表示正態(tài)分布函數(shù)：式中式中當(dāng)當(dāng)x 2時(shí)，時(shí)，2211)(axerfcxF22( )1( )txerfc xerf xedt21()xerfc xexCH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程56第第3章章 隨機(jī)過程隨

39、機(jī)過程n用用Q函數(shù)表示正態(tài)分布函數(shù)：函數(shù)表示正態(tài)分布函數(shù)：nQ函數(shù)定義：函數(shù)定義：nQ函數(shù)和函數(shù)和erfc函數(shù)的關(guān)系：函數(shù)的關(guān)系：nQ函數(shù)和分布函數(shù)函數(shù)和分布函數(shù)F(x)的關(guān)系：的關(guān)系：nQn函數(shù)值也可以從查表得到。函數(shù)值也可以從查表得到。2/ 21( )2txQ xedt221)(xerfcxQ)2(2)(xQxerfcaxQaxerfcxF12211)(CH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程57第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程n3.4 平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)n確知信號(hào)通過線性系統(tǒng)（復(fù)習(xí)） ：式中 vi 輸入信號(hào)， vo 輸出信號(hào)對應(yīng)的傅里葉變換關(guān)系：n隨機(jī)信號(hào)通過線性系統(tǒng)：n假設(shè)：i

40、(t) 是平穩(wěn)的輸入隨機(jī)過程， a 均值， Ri() 自相關(guān)函數(shù)， Pi() 功率譜密度；求輸出過程o(t)的統(tǒng)計(jì)特性，即它的均值、自相關(guān)函數(shù)、功率譜以及概率分布。dtvhtvthtvii)()()()()(0)f ()f ()f (0iVHVdthti)()()(0CH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程58第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程n輸出過程輸出過程 o(t)的均值的均值 對下式兩邊取統(tǒng)計(jì)平均：對下式兩邊取統(tǒng)計(jì)平均：得到得到設(shè)輸入過程是平穩(wěn)的設(shè)輸入過程是平穩(wěn)的 ，則有，則有 式中，式中，H(0)是線性系統(tǒng)在是線性系統(tǒng)在 f = 0處的頻率響應(yīng)，因此處的頻率響應(yīng)，因此輸出過程的均值是一個(gè)常數(shù)。輸出過程的均值

41、是一個(gè)常數(shù)。dthti)()()(0dtEhdthEtEii)()()()()(0atEtEii)()()0()()(0HadhatECH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程59第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程n輸出過程輸出過程 o(t)的自相關(guān)函數(shù)：的自相關(guān)函數(shù)：根據(jù)自相關(guān)函數(shù)的定義根據(jù)自相關(guān)函數(shù)的定義根據(jù)輸入過程的平穩(wěn)性，有根據(jù)輸入過程的平穩(wěn)性，有于是于是 上式表明上式表明,輸出過程的自相關(guān)函數(shù)僅是時(shí)間間隔輸出過程的自相關(guān)函數(shù)僅是時(shí)間間隔 的函數(shù)。的函數(shù)。 由上兩式可知，若線性系統(tǒng)的輸入是平穩(wěn)的，則輸出也是由上兩式可知，若線性系統(tǒng)的輸入是平穩(wěn)的，則輸出也是平穩(wěn)的。平穩(wěn)的。 ddttEhhdthdthEttEtt

42、Riiii)()()()()()()()()()(),(11111010110 )()()(11iiiRttE)()()()(),(0110RddRhhttRi CH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程60第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程n輸出過程輸出過程 o(t)的功率譜密度的功率譜密度對下式進(jìn)行傅里葉變換：對下式進(jìn)行傅里葉變換：得出得出令令 = + - ，代入上式，得到，代入上式，得到即即結(jié)論：輸出過程的功率譜密度是輸入過程的功率譜密結(jié)論：輸出過程的功率譜密度是輸入過程的功率譜密度乘以系統(tǒng)頻率響應(yīng)模值的平方。度乘以系統(tǒng)頻率響應(yīng)模值的平方。應(yīng)用：由應(yīng)用：由Po( f )的反傅里葉變換求的反傅里葉變換求Ro( )

43、)()()()(),(0110RddRhhttRi deRfPj)()(00deddRhhji)()()( 0)()()()(deRdehdehfPjijj)()()()()()(20fPfHfPfHfHfPiiCH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程61第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程n輸出過程o(t)的概率分布n如果線性系統(tǒng)的輸入過程是高斯型的，則系統(tǒng)的輸出過程也是如果線性系統(tǒng)的輸入過程是高斯型的，則系統(tǒng)的輸出過程也是高斯型的。高斯型的。 因?yàn)閺姆e分原理看，因?yàn)閺姆e分原理看， 可以表示為：可以表示為： 由于已假設(shè)由于已假設(shè) i(t)是高斯型的，所以上式右端的每一項(xiàng)在任是高斯型的，所以上式右端的每一項(xiàng)在任一時(shí)刻上

44、都是一個(gè)高斯隨機(jī)變量。因此，輸出過程在任一時(shí)刻一時(shí)刻上都是一個(gè)高斯隨機(jī)變量。因此，輸出過程在任一時(shí)刻上得到的隨機(jī)變量就是無限多個(gè)高斯隨機(jī)變量之和。由概率論上得到的隨機(jī)變量就是無限多個(gè)高斯隨機(jī)變量之和。由概率論理論得知，這個(gè)理論得知，這個(gè)“和和” 也是高斯隨機(jī)變量，因而輸出過程也也是高斯隨機(jī)變量，因而輸出過程也為高斯過程。為高斯過程。注意，與輸入高斯過程相比，輸出過程的數(shù)字特征已經(jīng)改變注意，與輸入高斯過程相比，輸出過程的數(shù)字特征已經(jīng)改變了。了。kkkkihttk)()(lim)(000dthti)()()(0CH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程62n 例例3.7 3.7 均值為均值為0 0，自相關(guān)函數(shù)為，自相

45、關(guān)函數(shù)為 的高的高斯噪聲斯噪聲X(t)X(t)，通過傳輸特性為，通過傳輸特性為 （A A、B B為常數(shù)）的線性網(wǎng)絡(luò)，試求：為常數(shù)）的線性網(wǎng)絡(luò)，試求：n（1 1）輸入噪聲的一維概率密度函數(shù)；）輸入噪聲的一維概率密度函數(shù)；n（2 2）輸出噪聲的一維概率密度函數(shù)；）輸出噪聲的一維概率密度函數(shù)；n（3 3）輸出噪聲功率；）輸出噪聲功率；e( )( )Y tABX tCH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程63n解：n（1）輸入過程X(t)均值為0，n所以是寬平穩(wěn)隨機(jī)過程，它的總平均功率，即方差 ，所以可以直接寫出輸入噪聲的一維概率密度函數(shù)為:( )xRe22( )(0)( )1xD X tRE Xt2/ 21( )2x

46、xfxeCH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程64n（2）經(jīng)過 的線性網(wǎng)絡(luò)，由于高斯過程通過線性系統(tǒng)后的過程仍然是高斯過程。則n n其中，均值 n n方差( )( )Y tABX t22()/ 21()2yyyayyfye ( )( )yaE Y tE BX tAA222 ( )( )( )yD Y tD ABX tB D X tBCH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程65n這樣 n n（3）輸出功率為 n 22() /21( )2yAByfyeB2222( ) ( )YySE YtD Y taABCH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程66隨機(jī)過程通過乘法器 n在通信系統(tǒng)中，經(jīng)常進(jìn)行乘法運(yùn)算，所以乘法器在通信系統(tǒng)中應(yīng)用非常廣泛，下面我們計(jì)算

47、平穩(wěn)隨機(jī)過程通過乘法器后，輸出過程的功率譜密度。n 思考：平穩(wěn)隨機(jī)過程通過思考：平穩(wěn)隨機(jī)過程通過乘法器后，輸出過程是否乘法器后，輸出過程是否仍是平穩(wěn)隨機(jī)過程呢？仍是平穩(wěn)隨機(jī)過程呢？CH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程67圖圖3-103-10平穩(wěn)隨機(jī)過程通過乘法器平穩(wěn)隨機(jī)過程通過乘法器CH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程68n設(shè)一平穩(wěn)隨機(jī)過程 和正弦波信號(hào) 同時(shí)通過乘法器，則其輸出響應(yīng)為n n首先計(jì)算輸出過程的自相關(guān)函數(shù)。由自相關(guān)函數(shù)的定義得n n ( )it0cost00( )( ) co sitttCH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程6900000000000000( ,)( )()( ) ()coscos( ) ()cos()co

48、s(2)2( )cos()cos(2)2( )( )cos()cos(2)22iiiiiiiR t tEttEttttEtttRtRRt CH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程70n上式中，上式中， 是輸入平是輸入平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)，它只與時(shí)間間穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)，它只與時(shí)間間隔隔 有關(guān)。而有關(guān)。而 是時(shí)間是時(shí)間t t的函數(shù)，的函數(shù)，故乘法器的輸出過程不是平穩(wěn)隨機(jī)過程。故乘法器的輸出過程不是平穩(wěn)隨機(jī)過程。( )( ) ()iiiREtt0( ,)R t t00( )( )cositttCH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程71第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程n3.5 窄帶隨機(jī)過程窄帶隨機(jī)過程 n什么是窄帶隨機(jī)過程？ 若

49、隨機(jī)過程(t)的譜密度集中在中心頻率fc附近相對窄的頻帶范圍f 內(nèi)，即滿足f fc的條件，且 fc 遠(yuǎn)離零頻率，則稱該(t)為窄帶隨機(jī)過程。 CH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程72第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程n典型的窄帶隨機(jī)過程的譜密度和樣本函數(shù) CH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程73第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程n窄帶隨機(jī)過程的表示式窄帶隨機(jī)過程的表示式式中，式中，a (t) 隨機(jī)包絡(luò)，隨機(jī)包絡(luò)， (t) 隨機(jī)相位隨機(jī)相位 c 中心角頻率中心角頻率顯然，顯然， a (t)和和 (t)的變化相對于載波的變化相對于載波cos ct的的變化要緩慢得多。變化要緩慢得多。0)(,)(cos)()(tatttatcCH3隨機(jī)過程

50、隨機(jī)過程74第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程n窄帶隨機(jī)過程表示式展開窄帶隨機(jī)過程表示式展開可以展開為可以展開為式中式中 (t)的的同相分量同相分量 (t)的的正交分量正交分量可以看出：可以看出： (t)的統(tǒng)計(jì)特性由的統(tǒng)計(jì)特性由a (t)和和 (t)或或 c(t)和和 s(t)的統(tǒng)計(jì)特的統(tǒng)計(jì)特性確定。若性確定。若 (t)的統(tǒng)計(jì)特性已知，則的統(tǒng)計(jì)特性已知，則a (t)和和 (t)或或 c(t)和和 s(t)的統(tǒng)計(jì)特性也隨之確定。的統(tǒng)計(jì)特性也隨之確定。 0)(,)(cos)()(tatttatctttttcsccsin)(cos)()()(cos)()(ttatc)(sin)()(ttatsCH3隨機(jī)過

51、程隨機(jī)過程75第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程n3.5.1 c(t)和和 s(t)的統(tǒng)計(jì)特性的統(tǒng)計(jì)特性n數(shù)學(xué)期望：對下式求數(shù)學(xué)期望：數(shù)學(xué)期望：對下式求數(shù)學(xué)期望：得到得到 因?yàn)橐驗(yàn)?(t)平穩(wěn)且均值為零，故對于任意的平穩(wěn)且均值為零，故對于任意的時(shí)間時(shí)間t，都有，都有E (t) = 0 ，所以，所以 tttttcsccsin)(cos)()(ttEttEtcsccsin)(cos)()(E0)(0)(tEtEsc，CH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程76第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程n(t)的自相關(guān)函數(shù)：的自相關(guān)函數(shù)：由自相關(guān)函數(shù)的定義式由自相關(guān)函數(shù)的定義式式中式中因?yàn)橐驗(yàn)?(t)是平穩(wěn)的，故有是平穩(wěn)的，故有這就要求

52、上式的右端與時(shí)間這就要求上式的右端與時(shí)間t無關(guān)，而僅與無關(guān)，而僅與 有關(guān)。有關(guān)。 因此，若令因此，若令 t = 0，上式仍應(yīng)成立，它變?yōu)?，上式仍?yīng)成立，它變?yōu)?()(),(ttEttR)(sinsin),()(cossin),()(sincos),()(coscos),(ttttRttttRttttRttttRccsccsccccsccc)()(),()()(),()()(),()()(),(ttEttRttEttRttEttRttEttRssscsscsccsccc)(),(RttRccsccttRttRRsin),(cos),()(CH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程77第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程因與

53、時(shí)間因與時(shí)間t無關(guān)，以下二式自然成立無關(guān)，以下二式自然成立所以，上式變?yōu)樗?，上式變?yōu)樵倭钤倭?t = /2 c，同理可以求得，同理可以求得由以上分析可知，由以上分析可知，若窄帶過程若窄帶過程 (t)是平穩(wěn)的，則是平穩(wěn)的，則 c(t)和和 s(t)也必然是平穩(wěn)的。也必然是平穩(wěn)的。ccsccttRttRRsin),(cos),()()(),()(),(cscsccRttRRttRccsccRRRsin)(cos)()(csccsRRRsin)(cos)()(CH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程78第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程n進(jìn)一步分析，下兩式進(jìn)一步分析，下兩式應(yīng)同時(shí)成立，故有應(yīng)同時(shí)成立，故有上式表明，上式表

54、明，同相分量同相分量 c(t) 和正交分量和正交分量 s(t)具有相同的自相具有相同的自相關(guān)函數(shù)。關(guān)函數(shù)。根據(jù)互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)有根據(jù)互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)有代入上式，得到代入上式，得到上式表明上式表明Rsc( )是是 的奇函數(shù)，所以的奇函數(shù)，所以同理可證同理可證 ccsccRRRsin)(cos)()(csccsRRRsin)(cos)()()()(scRR)()(sccsRR)()(sccsRR)()(scscRR0)0(scR0)0(csRCH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程79第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程將將代入下兩式代入下兩式得到得到即即上式表明上式表明 (t) 、 c(t)和和 s(t)具有相同

55、的平均功率或具有相同的平均功率或方差。方差。 csccsRRRsin)(cos)()(ccsccRRRsin)(cos)()(0)0(scR0)0(csR)0()0()0(scRRR222scCH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程80第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程n根據(jù)平穩(wěn)性，過程的特性與變量根據(jù)平穩(wěn)性，過程的特性與變量t無關(guān)，故由式無關(guān)，故由式 得到得到因?yàn)橐驗(yàn)?(t)是高斯過程是高斯過程，所以，所以， c(t1)， s(t2)一定是一定是高斯隨機(jī)變量，從而高斯隨機(jī)變量，從而 c(t) 、 s(t)也是高斯過程也是高斯過程。n根據(jù)根據(jù)可知，可知， c(t) 與與 s(t)在在 = 0處互不相關(guān)，又由于它處互不

56、相關(guān)，又由于它們是高斯型的，因此們是高斯型的，因此 c(t) 與與 s(t)也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。 tttttcsccsin)(cos)()()()(,0111ttttc時(shí))()(,2222ttttsc時(shí)0)0(csRCH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程81第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程n結(jié)論：一個(gè)均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯過程結(jié)論：一個(gè)均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯過程 (t) ，它的同相分量它的同相分量 c(t)和正交分量和正交分量 s(t)同樣是平穩(wěn)高同樣是平穩(wěn)高斯過程，而且均值為零，方差也相同。此外，在斯過程，而且均值為零，方差也相同。此外，在同一時(shí)刻上得到的同一時(shí)刻上得到的 c和和 s是互不相關(guān)的或統(tǒng)計(jì)

57、獨(dú)是互不相關(guān)的或統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。立的。CH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程82第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程n3.5.2 a (t)和和 (t)的統(tǒng)計(jì)特性的統(tǒng)計(jì)特性n聯(lián)合概率密度函數(shù) f (a , )根據(jù)概率論知識(shí)有由可以求得),()(),(),(,afafscscsincosaasc),()(,ascscscaaaaacossinsincos2exp21)()(),(2222scscscfffCH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程83第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程于是有于是有式中式中a 0, = (0 2)2)sin()cos(exp2),(),(222aaafaafsc2222exp2aaCH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程84第第3章章

58、隨機(jī)過程隨機(jī)過程na的一維概率密度函數(shù)可見， a服從瑞利(Rayleigh)分布。202222exp2),()(daadafaf02exp222aaaCH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程85第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程 n的一維概率密度函數(shù)可見， 服從均勻分布。20212exp21),()(02220daaadaaffCH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程86第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程n結(jié)論結(jié)論一個(gè)均值為零，方差為一個(gè)均值為零，方差為 2的窄帶平穩(wěn)高斯過程的窄帶平穩(wěn)高斯過程 (t)，其包絡(luò)，其包絡(luò)a (t)的一維分布是瑞利分布，相的一維分布是瑞利分布，相位位 (t)的一維分布是均勻分布，并且就一維分的一維分布是均勻分布，

59、并且就一維分布而言，布而言， a (t)與與 (t)是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的 ，即有，即有 )()(),(fafafCH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程87第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程 n3.6 正弦波加窄帶高斯噪聲正弦波加窄帶高斯噪聲n正弦波加窄帶高斯噪聲的表示式正弦波加窄帶高斯噪聲的表示式式中式中 窄帶高斯噪聲窄帶高斯噪聲 正弦波的隨機(jī)相位，均勻分布在正弦波的隨機(jī)相位，均勻分布在0 2 間間 A和和 c 確知振幅和角頻率確知振幅和角頻率于是有于是有式中式中)()cos()(tntAtrcttnttntncsccsin)(cos)()()(cos)(sin)(cos)(sin)(sincos)(cos)(

60、tttzttzttzttnAttnAtrccScccscc)(cos)(tnAtzcc)(sin)(tnAtzssCH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程88第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程n正弦波加窄帶高斯噪聲的包絡(luò)和相位表示式包絡(luò)：相位：0,)()()(22ztztztzsc)20(,)()()(1tztztgtcsCH3隨機(jī)過程隨機(jī)過程89第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程n正弦波加窄帶高斯噪聲的包絡(luò)的統(tǒng)計(jì)特性正弦波加窄帶高斯噪聲的包絡(luò)的統(tǒng)計(jì)特性n包絡(luò)的概率密度函數(shù)包絡(luò)的概率密度函數(shù) f (z)利用上一節(jié)的結(jié)果，如果利用上一節(jié)的結(jié)果，如果 值已給定，則值已給定，則zc、zs是相互獨(dú)立的是相互獨(dú)立的高斯隨機(jī)變量，且有