多自由系統(tǒng)的自由振動2

1、會計(jì)學(xué)1多自由系統(tǒng)的自由振動多自由系統(tǒng)的自由振動2多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的模態(tài)（主振型）正定系統(tǒng)：主振動：特征值問題: 特征值（固有頻率） 特征向量（模態(tài)）n 自由度系統(tǒng)：多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的自由振動主振動僅取決于系統(tǒng)的M陣，K陣等物理參

2、數(shù)。這一重要概念是單自由度系統(tǒng)所沒有的多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的自由振動模態(tài)的正交性，主質(zhì)量和主剛度設(shè)對應(yīng) 、 的模態(tài)分別為 、ij)(i)( j對應(yīng)于不同固有頻率的主振型之間，既關(guān)于質(zhì)量矩陣相

3、互正交，又關(guān)于剛度矩陣相互正交，這就是主振型（模態(tài)）的正交性。多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的自由振動質(zhì)量m由三個彈簧支承，并處于靜平衡位置，質(zhì)量只在x-y平面內(nèi)作微振動，已知kkkk2321求系統(tǒng)的主振型，并證明對此特殊情況，主振型也是幾何正交。多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的自由振動模態(tài)疊加法模態(tài) 相互正交).1(

4、)(nii表明它們是線性獨(dú)立的，可用于構(gòu)成n微空間的基系統(tǒng)的任意n維自由振動可唯一地表示為各階模態(tài)的線性組合nininpiiRRXxX11)()( 即系統(tǒng)的振動是n階主振動的疊加模態(tài)疊加法ppTKKMMT 多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的自由振動求解無阻尼系統(tǒng)對初始條件的響應(yīng)可分別采用兩類模態(tài)坐標(biāo)進(jìn)行求解首先采用主模態(tài)坐標(biāo)多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的自由振動采用正則模態(tài)坐標(biāo)多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)振動/多

5、自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的自由振動模態(tài)截?cái)喾ǘ嘧杂啥认到y(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的自由振動中組成的截?cái)嗄B(tài)矩陣記為多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的自由振動頻率方程的零根和重根情形0000000000032121221111321321xxxkkkkkkkkxxxmmm0000212121kkkkII多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的自由振動

6、多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的自由振動頻率方程的重根情形在前面引入振型矩陣（或模態(tài)矩陣）的概念時，曾假設(shè)所有的特征值都是特征方程的單根。復(fù)雜的系統(tǒng)中會出現(xiàn)某些特征根彼此很接近甚至相等的情況下面討論如何求出系統(tǒng)固有頻率出現(xiàn)重根時的相互正交的主振型問題多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)

7、的自由振動多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的自由振動求：系統(tǒng)模態(tài)矩陣多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的自由振動1. 兩質(zhì)量均為m的質(zhì)點(diǎn)系于具有張力F的弦上，如圖1所示。忽略振動過程中弦張力的變化寫出柔度矩陣，建立頻率方程。求系統(tǒng)的固有頻率和模態(tài)，并計(jì)算主質(zhì)量、主剛度、簡正模態(tài)，確定主坐標(biāo)和簡正坐標(biāo)。 圖12. 圖2所示的均勻剛性桿質(zhì)量為m1，求系統(tǒng)的頻率方程。 圖23. 多自由度振動系統(tǒng)質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣和剛度矩陣K均為正定。對于模態(tài)均為正定。對于模態(tài) 和和 及自然數(shù)及自然數(shù)n證證明：明：ixjx0)( , 0)(11jTijTiKxKMxMxMKx多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)