第三章求和運算

1、第三章第三章 求和運算求和運算n3.1 3.1 求和公式的性質(zhì)求和公式的性質(zhì)n3.2 3.2 和式求界和式求界3.1 3.1 求和公式的性質(zhì)求和公式的性質(zhì)n有限和：有限和：（求和序數(shù)為非整數(shù)時默認為其底函數(shù)）（求和序數(shù)為非整數(shù)時默認為其底函數(shù)）n無窮和：無窮和： 即即n發(fā)散、收斂、絕對收斂發(fā)散、收斂、絕對收斂3.1 3.1 求和公式的性質(zhì)求和公式的性質(zhì)n線性性質(zhì)線性性質(zhì)（對無窮收斂級數(shù)也成立）（對無窮收斂級數(shù)也成立）3.1 3.1 求和公式的性質(zhì)求和公式的性質(zhì)n算術(shù)級數(shù)算術(shù)級數(shù)n幾何級數(shù)幾何級數(shù)無窮下降幾何級數(shù)：無窮下降幾何級數(shù)： （| |x x| 1 | 1 ）n積分級數(shù)與微分級數(shù)積分級數(shù)與

2、微分級數(shù)3.1 3.1 求和公式的性質(zhì)求和公式的性質(zhì)n調(diào)和級數(shù)調(diào)和級數(shù)n套疊級數(shù)套疊級數(shù) 和和例：例：3.1 3.1 求和公式的性質(zhì)求和公式的性質(zhì)n積積3.2 3.2 和式求界和式求界n數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法例：證明例：證明 的界是的界是0 0(3(3n n). ). 即證明存在常數(shù)即證明存在常數(shù)c c滿足：滿足：n=0 n=0 時時 c1c1即可。即可。假設界對假設界對n n成立，則成立，則n+1n+1時：時：只需只需(1/3 + 1/c) 1 (1/3 + 1/c) 1 即即 c 3/2 c 3/2 即可。即可。3.2 3.2 和式求界和式求界n數(shù)學歸納法（續(xù)）數(shù)學歸納法（續(xù)）反例：證明反例

3、：證明n=1 n=1 時時 顯然成立。顯然成立。假設界對假設界對n n成立，則成立，則n+1n+1時：時：原因：被O隱藏的常數(shù)隨n增長，不再是是常數(shù)。3.2 3.2 和式求界和式求界n對項限界對項限界n最大項限界最大項限界對級數(shù)對級數(shù) 設設則：則：3.2 3.2 和式求界和式求界n對項限界（續(xù)）對項限界（續(xù)）n幾何級數(shù)限界幾何級數(shù)限界給定級數(shù)給定級數(shù) ，設對所有，設對所有k 0k 0，有，有a ak+1k+1/a/ak k r r (r1(r00，滿足：，滿足：（即可忽略初始的幾項）（即可忽略初始的幾項）3.2 3.2 和式求界和式求界n分解和式（續(xù)）分解和式（續(xù)）例：求例：求 的界的界當當n

4、 3n 3時有：時有：故：故：3.2 3.2 和式求界和式求界n分解和式（續(xù)）分解和式（續(xù)）例（更復雜）：求例（更復雜）：求 的界的界思路：把域思路：把域1 1到到n n分解成分解成 lg nlg n 段，每段上界為段，每段上界為1 13.2 3.2 和式求界和式求界n積分近似公式（續(xù)）積分近似公式（續(xù)）對單調(diào)增函數(shù)：對單調(diào)增函數(shù)：3.2 3.2 和式求界和式求界n積分近似公式（續(xù)）積分近似公式（續(xù)）3.2 3.2 和式求界和式求界n積分近似公式（續(xù)）積分近似公式（續(xù)）可看出對單調(diào)增函數(shù)：可看出對單調(diào)增函數(shù)：同理對單調(diào)減函數(shù)：同理對單調(diào)減函數(shù)：3.2 3.2 和式求界和式求界n積分近似公式（續(xù)）積分近似公式（續(xù)）例：調(diào)和函數(shù)的緊確界：例：調(diào)和函數(shù)的緊確界：作業(yè)作