高一向量知識(shí)點(diǎn)加例題(含答案)

1、向量復(fù)習(xí)題知識(shí)點(diǎn)歸納一. 向量的基本概念與基本運(yùn)算1、向量的概念： 向量：既有大小又有方向的量向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小.pP 零向量：長度為0的向量，記為0，其方向是任意的，0與任意向量平行 單位向量：模為1個(gè)單位長度的向量平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量相等向量：長度相等且方向相同的向量uuurruuurrpruuuruuuruuur2、向量加法：設(shè)AB=a,BC=b，則a+b=AB+BC=AC（1）0+a=a+0=a；（2）向量加法滿足交換律與結(jié)合律；uuuruuuruuuruuuruuuruuurAB+BC+CD+L+PQ+QR二AR，但這時(shí)必須“首尾相連”

2、pp3、向量的減法：相反向量：與a長度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量pppp 向量減法：向量a加上b的相反向量叫做a與b的差。pppppp 作圖法：a-b可以表示為從b的終點(diǎn)指向a的終點(diǎn)的向量（a、b有共同起點(diǎn)）pp4、實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)入與向量a的積是一個(gè)向量，記作入a，它的長度與方向規(guī)定如下：（I）閹=|九|p|；（II）當(dāng)九0時(shí)，入p的方向與£的方向相同；當(dāng)九0時(shí)，入£的方向與£的方向相反;當(dāng)x=0時(shí)，九a=0，方向是任意的使得b=XP5、兩個(gè)向量共線定理：向量b與非零向量£共線o有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)X,ppp6、平面向量基本定理：如果ei,

3、e2是一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)九，九使：p=Xp+九e，其中不共線的向量e,e叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底12112212二.平面向量的坐標(biāo)表示i，j分別為與x軸，y軸正方向相同的單位向量rrrrr1平面向量的坐標(biāo)表示：平面內(nèi)的任一向量a可表示成a=xi+yj，記作a=（x,y）。2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：若a=(x,y),b=(x,y)，則a土b=(x土x,y土y)11221212若A(x,y),B(x,y)，則AB=(x11222r«r-1)2)3)121-x,y-y)121若a=(x,y)，則九a=(九x,九y)(4)若a=

4、(x,y),b=(x，y_)，r若a=-1122三平面向量的數(shù)量積4)(x,y),b=(x,y)，則：-b22rr，若a丄b，rr則a/boxy-xy=01221rIIb|cos°rrri兩個(gè)向量的數(shù)量積：已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為e,則ab=i5乘法公(ar+b立：-/)=$2-b=|raI2-b2rrrrrrra土b丿=a2土2a-b+b2=|a|rrrI2土2ab+brrrr叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積）規(guī)定0-a=0rrrabrr2向量的投影：丨bIcosO=古GR,稱為向量b在a方向上的投影投影的絕對(duì)值稱為射影|a|rrrrr3數(shù)量積的幾何意義：ab等于a的長度與b

5、在a方向上的投影的乘積rrrr4向量的模與平方的關(guān)系:a-a=a2=aI2rrcos。=cos<a,b>=rrabrlbx12+人<X22+y22不能得到b=c-<1800）叫做向量a與b的夾當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)非零向量r與b同方向時(shí),rre=00,當(dāng)且僅當(dāng)a與b反方向時(shí)0=1800，同時(shí)0與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題rrrrr9垂直：如果a與b的夾角為900則稱a與b垂直，記作a丄bpPpP10兩個(gè)非零向量垂直的充要條件：a丄bO&b=0oxx+yy=0平面向量數(shù)量積的性質(zhì)121211、向量的三角不等關(guān)系卜9-1-a-b<a土b<a+b注意取等條

6、件（共線）rrrr6平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律：交換律成立：a-b=b-a 對(duì)實(shí)數(shù)的結(jié)合律成立：（九）b=X（a-b）=aCib）（九eR）（rr）rrrrrr（rr） 分配律成立：Q土bc=ac土bc=cu土b7特別注意：結(jié)合律不成立烏Cr）蟲Ar；消去律不成立:-b=arrrrrrr(3)a-b=0不能得到a=0或b=07兩個(gè)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算：rrrr已知兩個(gè)向量a=（x,y）,b=（x,y），則ab=xx+yy11221212rruuurruurur8向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量a與b，作OA=a,OB=b，則ZAOB=e（00一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）uuu

7、r1uuuur1.已知兩點(diǎn)M（3,2）,N（-5,-5）,MP=-MN，則P點(diǎn)坐標(biāo)是（）厶/3（3A.（-8,1）B.-1,-C.1,一D.（8,-1）I2丿k2丿r2. 下列向量中，與向量a=(1,-1)平行的向量是()rrurirA.b=(0,2)B.c=(2,0)C.d=(2,2)D.f=(-2,2)3. a=(2,1),b=(3,4)，則向量a在向量b方向上的投影長度為()A.25B.2C.丫5D.104. 在三角形ABC中，C=45o,a=5,b=4,則BC-CA=()A.1oV2B.20/2C.-10巨D(zhuǎn).-2025. 已知a=(,3),b=(-2,5),a,b的夾角為鈍角，則九的

8、范圍是()A九15B.九15C.九6D.九-22556. 只鷹正以水平方向向下30o角飛行直撲獵物，太陽光從頭上直射下來，鷹在地面上影子的速度為40m/s,則鷹飛行的速度為()A.20m/s80朽B.m/sC.20m/sD.80m/s7.0為平面中一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在A、B、C三點(diǎn)確定的平面內(nèi)且滿足(OP-OA)(AB-AC)=0，則點(diǎn)P的軌跡一定過AABC的A.外心uuurruurr&已知OA=a,OB=b，C.重心B.內(nèi)心uarC為AB上距A較近的一個(gè)三等分點(diǎn),D.垂心uuurrrD為CB上據(jù)C較近的一個(gè)三等分點(diǎn)，用a,b表示0D的表達(dá)式為rrrrrrrr4a+5b9a+7b2a+b3

9、a+ba.B.C.D.916349. 已知AABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C及平面內(nèi)一點(diǎn)P,且PA+PB+PC=AB，則點(diǎn)P與AABC的位置關(guān)系是()A.P在AABC內(nèi)部B.p在AABC外部C.P在AB邊上或其延長線上D.P在AC邊上或其延長線上10. 若：=(1,0),j=(0,1),則與2i+3j垂直的向量是()A.3i+2jB.2i+3jC.3i+2jD.2i3j11對(duì)于菱形abcd，給出下列各式：uuiruuiruutruuiruutruuuruuiruuiruuiruutruutrAB=BC；©lAB1=1BCI飛1AB一CD1=1AD+BCIIACb+|BDI2=41AB12其

10、中正確的個(gè)數(shù)為()A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)12. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)A(cos80o,sin80o),B(cos20°,sin20。)，則丨AB丨的值是()A.B.立C.衛(wèi)D.1222二、填空題13. 已知A(2,1),B(3,2),C(-1,5),則厶ABC的形狀是.rr14.已知實(shí)數(shù)x,y,向量a,b不共線，若(x+y-1)ra+(x-y)rrb=0則x=,y=15若三點(diǎn)P(1,2),A(2,4),B(x,9)共線，則x=uuuruuuruuurAB+BC+CA=0;uuuruuuruuur16.在AABC中，有命題：AB-AC=BC；uuuruuuruuuru

11、uur若(AB+AC)(ABAC)=0，則AABCuuuruuur為等腰三角形；若AC-AB>0，則AABC為銳角三角形其中正確的命題序號(hào).(把你認(rèn)為正確的命題序號(hào)都填上)三、解答題uruur17.(滿分12分)設(shè)兩個(gè)非零向量e和e不共線.12(1)如果AB=2e+ke,CB=e+3e,CD=2e1212trure與e的夾角為60o,212已知向量方=3e廠2e2,b=4e1+(2)18.若|e|=2，|e|=3，112分)e，若A、B、D三點(diǎn)共線，求k的值.12uruururuur是否存在實(shí)數(shù)m，使得me+e與ee垂直？并說明理由.1212e2,其中乙=(1,0),乙2=(0);(2)

12、2與b的夾角的正弦值.19.求uuurruuurruuurr(本小題滿分12分)在AABC中，設(shè)AB=a,BC=b,AC=c，AB=4,BC=3,ZABC=600,rr(1)2ab3)cos<a,a+b>20.(本小題滿分12分)已知a、b、c是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中a=(1,2).(1) 若|c|=2、：5，且c/a，求c的坐標(biāo)；(2) 若b=(1,m)(m<0)且a+2b與a-2b垂直，求a與b的夾角9.uuuruuuruuuruuuruuur21.(本小題滿分12分)已知向量OP=(2,1),OA=(17),OB=(5,1),設(shè)X是直線OP上的一點(diǎn)(0為坐標(biāo)原點(diǎn))，

13、求XA-XB的最小值.兀3兀22.(本小題滿分14分)已知點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為A(3,0)、B(0,3)、C(cosa,sina),aW(_,).222sin2a+sin2(I)若|AC|=|BC|，求角a的值；(II)若ACBC=-1，求-的值.1+tanaBDBCABDADCCD4.CBC-CA=BC-CA-cos<BC,CA>=5x4xcos1350=10“5. A<a,b>為鈍角oa-b<0,且a,b不反向.6BfLI11設(shè)鷹飛行的速度為v，其在地面上的影子的速度為V，由已知VI-cos30o=V=40,.填空13.銳角三角形14.0.5，0.515.

14、17616三.解答17.證明：（1）Quuru?urAD=AB+BC+CD=（e+e）+trur=6（e+euur12-ADAB12ur（2e+8e）1uuruur=6ABuuur.且AD與AB有共同起點(diǎn)-A、B、D三點(diǎn)共線（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)m，使得muruururuur（me+e）-（ee）=0ur12uruur1uur2me2+（1m）e-ee2=0112tr2urQIeI=2，IeI=3，e與e的夾角為60。truu2=9，e-e12m=6u1ir2ur1ure2=e2=4,e2=e1122.4m+3（1m）9=0ur故存在實(shí)數(shù)m=6，使得me1uur+e與2ure1ure1uururu

15、ur+e與ee21tr垂直，則uruure垂直.218.解：顯然a=3（1，0）2（0，1）=（3,2）,易得：ur3e3e）12（2分）3分）（4分）6分）cos0=2x3xcos60o=3b=4（1，0）+（0，1）=（4，1）；ab=3X4+（2）X1=10；a+b=（3，2）+（4，1）=（7，1），a+b=、：72+（1）2=52。cosa,b>=Tabab101221芒x、.：17=221r1K221sin<a'b>=PT19.（1）2abA7A72/l/l快厶7-4厶y2-z/vu2a一4ab=164+9一4x4x3xcos12Oo=、.97<a22b2a-b=16-18-4x3xcos1200二4；+ab-16+4x3xcosl20o-10,13*丄J91分3分6分8分cos<a,a+b>=20.(1)(2,4)或(2，4)/兀一104.135269分1221uuuruuur填一8設(shè)X(2x,x)則XA-XB(12x,7x)-(52x,1x)5x220x+125(x2)2822本小題滿分14分）解：(I)°.°AC=(cosa-3,sina),BC=(cosa,sina-3),2分.*.|AC|=(cosa3)2+s