流體力學(xué)理想不可壓縮流體有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng)

1、工程流體力學(xué)第七章理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng)本章內(nèi)容：在許多工程實(shí)際問(wèn)題中，流動(dòng)參數(shù)不僅在流動(dòng)方向上發(fā)生變化，而且在垂直于流動(dòng)方向的橫截面上也要發(fā)生變化。要研究此類問(wèn)題，就要用多維流的分析方法。本章主要討論理想流體多維流動(dòng)的基本規(guī)律，為解決工程實(shí)際中類似的問(wèn)題提供理論依據(jù)，也為進(jìn)一步研究粘性流體多維流動(dòng)奠定必要的基礎(chǔ)。 當(dāng)把流體的流動(dòng)看作是連續(xù)介質(zhì)的流動(dòng)，它必然遵守質(zhì)量守恒定律。對(duì)于一定的控制體，必須滿足式（322）。它表示在控制體內(nèi)由于流體密度變化所引起的流體質(zhì)量隨時(shí)間的變化率等于單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)控制體的流體質(zhì)量的凈通量。 首先推導(dǎo)在笛卡兒坐標(biāo)系中微分形式的連續(xù)性方程。 圖7-1 微

2、元六面體 設(shè)該微元六面體中心點(diǎn)O（x, y, z）上流體質(zhì)點(diǎn)的速度為 、 、 ， 密度為 ，于是和 軸垂直的兩個(gè)平面上的質(zhì)量流量如圖所示。 xvyvzv在 方向上，單位時(shí)間通過(guò)EFGH面流入的流體質(zhì)量為： x（a）dydzdxvxvxx2單位時(shí)間通過(guò)ABCD面流出的流體質(zhì)量 ：（b）dydzdxvxvxx2 則在 方向單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)微元體表面的凈通量為（b）-（a），即 dxdydzvxx（c1）xx同理可得 和 方向單位時(shí)間通過(guò)微元體表面的凈通量分別為: yzdxdydzvyydxdydzvzz（c2） （c3） 因此，單位時(shí)間流過(guò)微元體控制面的總凈通量為:dxdydzvzvyvxdAvzy

3、xnCS（c） 微元六面體內(nèi)由于密度隨時(shí)間的變化而引起的質(zhì)量的變化率為： dxdydztdxdydztdVtCVCV 將式（c），（d）代入式（7-1），取 0， 則可得到流場(chǎng)中任一點(diǎn)的連續(xù)性方程的一般表達(dá)式為: dxdydz0tvzvyvxzyx0)(tv或（7-1a） 連續(xù)性方程表示了單位時(shí)間內(nèi)控制體內(nèi)流體質(zhì)量的增量等于流體在控制體表面上的凈通量。它適用于理想流體和粘性流體、定常流動(dòng)和非定常流動(dòng)。 在定常流動(dòng)中，由于0t0zyxvzvyvx（0zvyvxvzyx0 v或（7-3a）對(duì)于不可壓縮流體（ =常數(shù)）在其它正交坐標(biāo)系中流場(chǎng)中任一點(diǎn)的連續(xù)性方程和柱坐標(biāo)系中的表示式為 ： 0)()(1

4、)(1zrvzvrvrrrt(7-4) 對(duì)于不可壓縮流體 01rvzvvrrvrzr(7-4a) 式中 為極徑； 為極角。r球坐標(biāo)系中的表示式為:)sin(sin1)(122vrrrvrtr0)(sin1vr(7-5)0cot2sin11rvrvvrvrrvrr（7-5a）式中 為徑矩； 為緯度； 為徑度。r【例7-1】 0zvyvxvzyx044zvyxzyxzvz44),()(4yxfzyxvz0),(yxfzyxvz)(4vxyyxvx22zyvy220z0zvzzvxy0z0zv 流體與剛體的主要不同在于它具有流動(dòng)性，極易變形。因此，流體微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不但象剛體那樣可以有移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，

5、而且還會(huì)發(fā)生變形運(yùn)動(dòng)。一般情況下，流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)可以分解為移動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)和變形運(yùn)動(dòng)。 圖7-2 流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)速度分量 222zzzzEvvvdxdydzvxyz222yyyyEvvvdxdydzvxyz222xxxxEvvvdxdydzvxyz 如圖7-2所示，在流場(chǎng)中任取一微元平行六面體，其邊長(zhǎng)分別為 dx、dy、dz，微元體中心點(diǎn)沿三個(gè)坐標(biāo)軸的速度分量為 、 、 。頂點(diǎn)E的速度分量可按照泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，略去二階以上無(wú)窮小項(xiàng)求得，如圖。xvyvzv 為了簡(jiǎn)化討論，先分析流體微團(tuán)的平面運(yùn)動(dòng)，如圖7-3。該平面經(jīng)過(guò)微元平行六面體的中心點(diǎn)且平行于xoy面。由于流體微團(tuán)各個(gè)點(diǎn)的速度不一樣，在dt時(shí)間間隔中

6、經(jīng)過(guò)移動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)和變形運(yùn)動(dòng)（包括角變形運(yùn)動(dòng)和線變形運(yùn)動(dòng)），流體微團(tuán)的位置和形狀都發(fā)生了變化。具體分析如下：22yyyvvdxdyvxy22yyyvvdxdyvxy22xxxvvdxdyvxy22yyyvvdxdyvxy22xxxvvdxdyvxy22xxxvvdxdyvxy22yyyvvdxdyvxy22xxxvvdxdyvxy圖7-3 流體微團(tuán)的平面運(yùn)動(dòng)（1）移動(dòng) ：由圖7-3看出，A、B、C、D各點(diǎn)速度分量中都含有 、 項(xiàng)，如果只考慮這兩項(xiàng)，則經(jīng)過(guò)時(shí)間dt，矩形ABCD向右移動(dòng) 的距離，向上移動(dòng) 的距離。移動(dòng)到新位置后，形狀保持不變，如圖7-4 (a)所示。（2）線變形運(yùn)動(dòng)：如果只考慮AB邊

7、和CD邊在x軸方向上的速度差 ，則經(jīng)過(guò)時(shí)間dt，AD邊和BC邊在x軸方向上伸長(zhǎng)了 的距離；如果只考慮AD邊和BC邊在y軸方向上的速度差 ，則經(jīng)過(guò)時(shí)間dt，根據(jù)連續(xù)性條件，AB邊和CD邊在y軸方向上縮短了 的距離，這就是流體微團(tuán)的線變形，如圖7-4(b)。每秒鐘單位長(zhǎng)度的伸長(zhǎng)或縮短量稱為線應(yīng)變速度，在x軸方向的線應(yīng)變速度分量為：同樣可得在y軸方向和z軸方向的分量分別為 、 。xvyvdtvxdtvy22dxxvxdtdxxvx2222dyyvydtdyyvy22xvdtdxdtdxxvxx2222yvyzvz圖7-4 流體微團(tuán)平面運(yùn)動(dòng)的分析 （3）角變形運(yùn)動(dòng)和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)：如圖7-4（c）、（d）所

8、示，取圖7-3中的 來(lái)分析。如果只考慮B點(diǎn)和A在y軸方向上的速度差 ，則經(jīng)過(guò)時(shí)間dt，B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)距離為 ，使AB邊產(chǎn)生了角變形運(yùn)動(dòng)，變形角度為 ；如果只考慮D點(diǎn)和A點(diǎn)在x軸方向上的速度差 ，則經(jīng)過(guò)時(shí)間dt，D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)距離為 ,使AD邊產(chǎn)生了角變形運(yùn)動(dòng)，變形角度為 。變形角可按下列公式求得。412dxxvydtdxxvy2d2dyyvxdtdyyvx2ddtxvdxdtdxxvtgddyy22dtyvdydtdyyvtgddxx22 變形角速度為： xvdtdtxvdtdyyyvdtdtyvdtdxxv 上面只考慮了角變形運(yùn)動(dòng)，實(shí)際上流體微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)中變形和旋轉(zhuǎn)是同時(shí)完成的。設(shè)

9、流體微團(tuán)旋轉(zhuǎn)角度為 ，變形角度為 ，如圖7-4(d)所示dddddddd 由 、 式可得：ddd21ddd21 如果 ，則 ， ，也就是只發(fā)生了角變形運(yùn)動(dòng)，矩形變成了平行四邊形。如果 ，則 ，矩形ABCD各邊都向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了同一微元角度 ，矩形只發(fā)生旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，形狀不變。一般情況是 ，即 ，矩形ABCD在發(fā)生旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，還要發(fā)生角變形運(yùn)動(dòng)，結(jié)果也變成了平行四邊形。xvyvyxdd0dxvyvyx0ddxvyvyxddv 在旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)中，流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度定義為每秒內(nèi)繞同一轉(zhuǎn)軸的兩條互相垂直的微元線段旋轉(zhuǎn)角度的平均值。于是流體微團(tuán)沿z軸的旋轉(zhuǎn)角速度分量：yvxvdtddtddtdxyz2121

10、 同理，可求得流體微團(tuán)沿x軸和y軸的旋轉(zhuǎn)角速度分量和 。于是，流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度分量為：yvxvxvzvzvyvxyzzxyyzx212121222zyx寫成矢量形式為：zyxzyxvvvzyxkjiVkji2121xy(7-6) （7-8） v 在角變形運(yùn)動(dòng)中，流體微團(tuán)的角變形速度定義為每秒內(nèi)一個(gè)直角的角度變化量，則在xoy面內(nèi)的角變形是 。于是流體微團(tuán)在垂直于z軸的平面上的角變形速度分量 ，即v v同樣可求得在垂直于x軸和y軸的平面上的角變形速度分量之半 和 。于是，流體微團(tuán)的角變形速度之半的分量是:ddd2dtddtdz2yvxvdtddtdxyz2121xyyvxvxvzvzvyvx

11、yzzxyyzx212121 (7-9) 如果在式（7-10）的第一式右端加入兩組等于零的項(xiàng)和，其v值不變。經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單組合，可將該式寫成:2)(212)(212)(212)(212dyyvxvdzxvzvdzxvzvdyyvxvdxxvvvxyzxzxxyxxxE同理，有:2)(212)(212)(212)(2122)(212)(212)(212)(212dxxvzvdyzvyvdyzvyvdxxvzvdzzvvvdzzvyvdxyvxvdxyvxvdzzvyvdyyvvvzxyzyzzxzzzEyzxyxyyzyyyE將式（7-6），（7-9）代入以上三式，得 )22()22(2)22()22

12、(2)22()22(2dxdydydxdzzvvvdzdxdxdzdyyvvvdydzdzdydxxvvvyxxyzzzExzzxyyyEzyyzxxxEv上式中，各速度分量的第一項(xiàng)是移動(dòng)速度分量，第二、三、四項(xiàng)分別是由線變形運(yùn)動(dòng)、角變形運(yùn)動(dòng)和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)所引起的線速度分量。此關(guān)系也稱為亥姆霍茲(Helmholtz)速度分解定理，該定理可簡(jiǎn)述為：在某流場(chǎng)O點(diǎn)鄰近的任意點(diǎn)A上的速度可以分成三個(gè)部分，與O點(diǎn)相同的平移速度（移運(yùn)）；繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)在A點(diǎn)引起的速度（旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)）；由于變形（包括線變形和角變形）在A點(diǎn)引起的速度（變形運(yùn)動(dòng)）。v亥姆霍茲速度分解定理對(duì)于流體力學(xué)的發(fā)展有深遠(yuǎn)的影響。由于把旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)從一般

13、運(yùn)動(dòng)中分離出來(lái)，才使我們有可能把運(yùn)動(dòng)分成無(wú)旋運(yùn)動(dòng)和有旋運(yùn)動(dòng)。正是由于把流體的變形運(yùn)動(dòng)從一般運(yùn)動(dòng)中分離出來(lái)，才使我們有可能將流體變形速度與流體應(yīng)力聯(lián)系起來(lái)，這對(duì)于粘性流體運(yùn)動(dòng)規(guī)律的研究有重大的影響。 根據(jù)流體微團(tuán)在流動(dòng)中是否旋轉(zhuǎn)，可將流體的流動(dòng)分為兩類：有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng)。 數(shù)學(xué)條件： 當(dāng) 021V021V當(dāng) 無(wú)旋流動(dòng) 有旋流動(dòng) 通常以 是否等于零作為判別流動(dòng)是否有旋或無(wú)旋的判別條件。 V 在笛卡兒坐標(biāo)系中： kyvxvjxvzvizvyvVxyzxyz（7-11） 即當(dāng)流場(chǎng)速度同時(shí)滿足： zvyvyzxvzvzxyvxvxy時(shí)流動(dòng)無(wú)旋 需要指出的是，有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng)僅由流體微團(tuán)本身是否發(fā)生旋

14、轉(zhuǎn)來(lái)決定，而與流體微團(tuán)本身的運(yùn)動(dòng)軌跡無(wú)關(guān)。 如圖7-5（a），流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)為旋轉(zhuǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)，其微團(tuán)自身不旋轉(zhuǎn)，流場(chǎng)為無(wú)旋流動(dòng)；圖7-5（b）流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)盡管為直線運(yùn)動(dòng)，但流體微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中自身在旋轉(zhuǎn)，所以，該流動(dòng)為有旋流動(dòng)。（a） （b） 圖7-5 流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)軌跡 【例7-2】 某一流動(dòng)速度場(chǎng)為 ， ，其中 是不為零的常數(shù)，流線是平行于 軸的直線。試判別該流動(dòng)是有旋流動(dòng)還是無(wú)旋流動(dòng)。 【解】 由于 021zvyvyzx02121ayvxvxyz所以該流動(dòng)是有旋運(yùn)動(dòng)。 ayvx0zyvvaxx021xvzvzxy一、運(yùn)動(dòng)微分方程 理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程式是研究流體運(yùn)動(dòng)學(xué)的重要理論基礎(chǔ)?？梢?/p>

15、用牛頓第二定律加以推導(dǎo)。 在流場(chǎng)中取一平行六面體，如圖76所示。其邊長(zhǎng)分別為dx，dy，dz，中心點(diǎn)為A(x,y,z) 。中心點(diǎn)的壓強(qiáng)為p=p(x,y,z)，密度為=(x,y,z) 。因?yàn)檠芯康膶?duì)象為理想流體，作用于六個(gè)面上的表面力只有壓力，作用于微元體上的單位質(zhì)量力 沿三個(gè)坐標(biāo)軸的分量分別為 。 fzyxfff,zyxA(x,y,z)2dxxpp2dxxppf圖76 理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程用圖 微元體在質(zhì)量力和表面力的作用下產(chǎn)生的加速度 ，根據(jù)牛頓第二定律 ：adtdvmFxxdtdvdxdydzdydzdxxppdydzdxxppdxdydzfxx)2()2(兩端同除以微元體的質(zhì)量 ,并整理

16、有： dxdydzdtdvzpfdtdvypfdtdvxpfzzyyxx111 (7-12) 寫成矢量式： dtvdpfgrad1 (7-13) 將加速度的表達(dá)式代入（712）有： zvvyvvxvvtvzpfzvvyvvyvvtvypfzvvyvvxvvtvxpfzzzyzxzzyzyyyxyyxzxyxxxx111（714） 其矢量式為 ：vvtvpf)(1grad（715） 公式（714）為理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程式，物理上表示了作用在單位質(zhì)量流體上的質(zhì)量力、表面力和慣性力相平衡。該式推導(dǎo)過(guò)程中對(duì)流體的壓縮性沒(méi)加限制，故可適用于理想的可壓流體和不可壓縮流體，適用于有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng)。 將（7

17、14）作恒等變形，便可以直接由運(yùn)動(dòng)微分方程判定流動(dòng)是有旋還是無(wú)旋流動(dòng)，在式（7-14）的第一式右端同時(shí)加減 、 ，得: xvvyyxvvzz 1xpfxvzvvxvyvvxvvxvvxvvtvxzxzyxyzzyyxxx由式（7-8）得: 122 122 122222zpfvvvztvypfvvvytvxpfvvvxtvzxyyxzyzxxzyxyzzyx（7-16） 寫成矢量形式 pvt1fv22v2（7-17） 如果流體是在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下，流場(chǎng)是正壓性的，則： xfxyfyzfz此時(shí)存在一壓強(qiáng)函數(shù): pPFd（718） 將壓強(qiáng)函數(shù)對(duì)坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)有: xpxPF 1ypyPF1zpzPF

18、1將上述關(guān)系代入式（7-16），得: 22 22 22222xyyxzFzxxzyFyzzyxFvvtvPvzvvtvPvyvvtvPvx（7-19） 寫成矢量形關(guān)系式 vv222tPvF（7-20） 二、歐拉積分 當(dāng)理想正壓性流體在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下作定常無(wú)旋流動(dòng)時(shí)，式（7-19）右端為零。若在流場(chǎng)中任取一有向微元線段 ，其在三個(gè)坐標(biāo)軸的投影分別為dx、dy、dz，將它們分別依次乘式（7-19）并相加，得: dl0d2d2d2222zPvzyPvyxPvxFFF02d2FPv積分 CPvF22（7-21） 上式為歐拉積分的結(jié)果，表明理想正壓性流體在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下作定常無(wú)旋流動(dòng)時(shí)，單位質(zhì)量

19、流體的總機(jī)械能在流場(chǎng)中保持不變。三、伯努里積分 當(dāng)理想正壓性流體在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下作定常有旋流動(dòng)時(shí)，式（7-19）右端第一項(xiàng)等于零。由流線的特性知，此時(shí)流線與跡線重合，在流場(chǎng)中沿流線取一有向微元線段 ，其在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影分別為 ， ， ，將它們的左、右端分別依次乘式（7-19）的左、右端，相加有 l d02d2FPv積分有 CPvF22（7-22） 該積分為伯努里積分。表明理想正壓性流體在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下作定常有旋流動(dòng)時(shí)，單位質(zhì)量流體的總機(jī)械能沿流線保持不變。通常沿不同流線積分常數(shù)值有所不同。 dxvxdtdy vydtdz vzdt 本節(jié)主要講述理想流體有旋運(yùn)動(dòng)的理論基礎(chǔ)，重點(diǎn)是速度

20、環(huán)量及其表征環(huán)量和旋渦強(qiáng)度間關(guān)系的斯托克斯定理。 一、渦線、渦管、渦束和旋渦強(qiáng)度 渦量用來(lái)描述流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。渦量的定義為： V2(7-23) 渦量是點(diǎn)的坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)。它在直角坐標(biāo)系中的投影為 ：zvyvyzxxvzvzxyyvxvxyz(7-24) 在流場(chǎng)的全部或部分存在角速度的場(chǎng)，稱為渦量場(chǎng)。如同在速度場(chǎng)中引入了流線、流管、流束和流量一樣。在渦量場(chǎng)中同樣也引入渦線、渦管、渦束和旋渦強(qiáng)度的概念。 1渦線:渦線是在給定瞬時(shí)和渦量矢量相切的曲線。如圖7-7所示。 圖7-7 渦線 圖7-8 渦管根據(jù)渦通量矢量與渦線相切的條件，渦線的微分方程為: ),(),(),(tzyxdztzyxdyt

21、zyxdxzyx(7-25) 2渦管、渦束：在渦量場(chǎng)中任取一不是渦線的封閉曲線，在同一時(shí)刻過(guò)該曲線每一點(diǎn)的渦線形成的管狀曲面稱作渦管。如圖7-8所示。截面無(wú)限小的渦管稱為微元渦管。渦管中充滿著的作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的流體稱為渦束，微元渦管中的渦束稱為微元渦束或渦絲。3旋渦強(qiáng)度（渦通量） 在渦量場(chǎng)中取一微元面積dA，見(jiàn)圖7-9（a），其上流體微團(tuán)的渦通量為 ， 為dA的外法線方向，定義 2ndAdAnAddJn2)cos(2（7-26） 為任意微元面積dA上的旋渦強(qiáng)度，也稱渦通量。 任意面積A上的旋渦強(qiáng)度為： dAdAJnAA2（7-27） 如果面積A是渦束的某一橫截面積，就稱為渦束旋渦強(qiáng)度，它也是旋轉(zhuǎn)角

22、速度矢量的通量。旋渦強(qiáng)度不僅取決于，而且取決于面積A。 1速度環(huán)量:在流場(chǎng)的某封閉周線上，如圖7-9（b），流體速度矢量沿周線的線積分，定義為速度環(huán)量，用符號(hào) 表示，即: )(dzvdyvdxvldvzyx(7-28)速度環(huán)量是一代數(shù)量，它的正負(fù)與速度的方向和線積分的繞行方向有關(guān)。對(duì)非定常流動(dòng)，速度環(huán)量是一個(gè)瞬時(shí)的概念，應(yīng)根據(jù)同一瞬時(shí)曲線上各點(diǎn)的速度計(jì)算，積分時(shí)為參變量。圖7-9微元面積、微元有向線段 2斯托克斯（Stokes）定理:在渦量場(chǎng)中，沿任意封閉周線的速度環(huán)量等于通過(guò)該周線所包圍曲面面積的旋渦強(qiáng)度，即:JdAAdldvnAA2（7-29） 這一定理將旋渦強(qiáng)度與速度環(huán)量聯(lián)系起來(lái)，給出了

23、通過(guò)速度環(huán)量計(jì)算旋渦強(qiáng)度的方法。 【例7-3】已知二維流場(chǎng)的速度分布為 ， ，試求繞圓 的速度環(huán)量。 yvx3xvy4222Ryx【解】 此題用極坐標(biāo)求解比較方便，坐標(biāo)變換為: cosrx sinry 速度變換為 sincosyxrvvv,sincosxyvvv22sin3cos4rrv2022)sin3cos4(rdrr dr)sin3cos4(20222 2202227cos6rdrr【例7-4】 一二維元渦量場(chǎng)，在一圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)、半徑 的圓區(qū)域內(nèi)，流體的渦通量 。若流體微團(tuán)在半徑 處的速度分量 為常數(shù)，它的值是多少？ mr1 . 0smJ/4 . 02rv【解】由斯托克斯定理得 ：Jr

24、vrdv202smrJv/21 . 024 . 021湯姆孫（Thomson）定理 v理想正壓性流體在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下，沿任何封閉流體周線的速度環(huán)量不隨時(shí)間變化，即：v證明 ：在流場(chǎng)中任取一由流體質(zhì)點(diǎn)組成的封閉周線K，它隨流體的運(yùn)動(dòng)而移動(dòng)變形，但組成該線的流體質(zhì)點(diǎn)不變。沿該線的速度環(huán)量可表示為式（7-28），它隨時(shí)間的變化率為： 0dtd（7-30）)(dzvdyvdxvdtddtdzyx)()()()(dzdtdvdydtdvdxdtdvdzdtdvdydtdvdxdtdvzyxzyx（7-30a） 由于質(zhì)點(diǎn)線K始終由同樣的流體質(zhì)點(diǎn)組成， xdvdxdtd)(ydvdydtd)(zdvdz

25、dtd)(將其代入式（7-30a）等號(hào)右端第一項(xiàng)積分式：)2()2()()()(2222vdvvvddvvdvvdvvdzdtdvdydtdvdxdtdvzyxzzyyxxzyx 由理想流體的歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程，式（7-30a）等號(hào)右端第二項(xiàng)積分式可表示為: FzyxzyxzyxdPddzzpdyypdxxpdzfdyfdxfdzzpfdyypfdxxpfdzdtdvdydtdvdxdtdv)(1)()1()1()1()( 將上面的結(jié)果代入式（7-30a），并考慮到 都是單值連續(xù)函數(shù)，得: FPv .0)2(2FdPdvddtd（7-30b） 或常數(shù) 斯托克斯定理和湯姆孫定理表明，理想正壓性流體

26、在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下，渦旋不會(huì)自行產(chǎn)生，也不會(huì)自行消失。 2亥姆霍茲（Helmholtz）定理 亥姆霍茲關(guān)于旋渦的三個(gè)定理，解釋了渦旋的基本性質(zhì)，是研究理想流體有旋流動(dòng)的基本定理。（1）亥姆霍茲第一定理：在理想正壓性流體的有旋流場(chǎng)中，同一渦管各截面上的旋渦強(qiáng)度相同。 如圖710所示，在同一渦管上任取兩截面A1、A2，在A1、A2之間的渦管表面上取兩條無(wú)限靠近的線段a1a2和b1b2。由于1a2a2b1b1A2A圖710 同一渦管上的兩截面 K圖711 渦管上的封閉軸線 封閉周線a1a2b1b2a1所圍成的渦管表面無(wú)渦線通過(guò)，旋渦強(qiáng)度為零。根據(jù)斯托克斯定理，沿封閉周線的速度環(huán)量等于零，即： 由于

27、 而 ，故得 該定理說(shuō)明，在理想正壓性流體中，渦管既不能開(kāi)始，也不能終止。但可以自成封閉的環(huán)形渦管，或開(kāi)始于邊界、終止于邊界。01112222112121abbbbaaaabbaa01221bbaa2211abab2222abba（2）亥姆霍茲第二定理（渦管守恒定理） 理想正壓性流體在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下，流場(chǎng)中的渦管始終由相同的流體質(zhì)點(diǎn)組成。 如圖711所示，K為渦管表面上的封閉周線，其包圍的面積內(nèi)渦通量等于零。由斯托克斯定理知，周線K上的速度環(huán)量應(yīng)等于零；又由湯姆孫定理，K上的速度環(huán)量將永遠(yuǎn)為零，即周線K上的流體質(zhì)點(diǎn)將永遠(yuǎn)在渦管表面上。換言之，渦管上流體質(zhì)點(diǎn)將永遠(yuǎn)在渦管上，即渦管是由相同的流

28、體質(zhì)點(diǎn)組成的，但其形狀可能隨時(shí)變化。 （3）亥姆霍茲第三定理（渦管強(qiáng)度守恒定理）v 理想正壓性流體在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下，任一渦管強(qiáng)度不隨時(shí)間變化。v 若周線K為包圍渦管任意的截面A的邊界線。由湯姆孫定理知，該周線上的速度環(huán)量為常數(shù)。根據(jù)斯托克斯定理截面A上的旋渦強(qiáng)度為常數(shù)。因?yàn)锳為任意截面，所以整個(gè)渦管各個(gè)截面旋渦強(qiáng)度都不瞬時(shí)間發(fā)生變化，即渦管的旋渦強(qiáng)度不隨時(shí)間變化。v 由亥姆霍茲三定理可知，粘性流體的剪切應(yīng)力將消耗能量，使渦管強(qiáng)度逐漸減弱。 第六節(jié) 二維旋渦的速度和壓強(qiáng)分布v假設(shè)在理想不可壓縮的重力流體中，有一象剛體一樣以等角速度 繞自身軸旋轉(zhuǎn)的無(wú)限長(zhǎng)鉛垂直渦束，其渦通量為J。渦束周圍的流體

29、在渦束的誘導(dǎo)下繞渦束軸等速圓周運(yùn)動(dòng)，由斯托克斯定理知 。由于直線渦束無(wú)限長(zhǎng)，該問(wèn)題可作一個(gè)平面問(wèn)題研究?？梢宰C明渦束內(nèi)的流動(dòng)為有旋流動(dòng)，稱為渦核區(qū)，其半徑為 ；渦束外的流動(dòng)區(qū)域?yàn)闊o(wú)旋流動(dòng)，稱為環(huán)流區(qū)。v在環(huán)流區(qū)內(nèi)，速度分布為: v在環(huán)流區(qū)內(nèi)，壓強(qiáng)分布由伯努里方程式導(dǎo)出。環(huán)流區(qū)內(nèi)半徑為 的點(diǎn)和無(wú)窮遠(yuǎn)處的伯努里方程: Jbrrvv2brr （7-31） 0rvpvp22rv式中的 即為 ， 為無(wú)窮遠(yuǎn)處的壓強(qiáng)。將 代入上式得:v由上式可知，在渦束外部的勢(shì)流區(qū)內(nèi)，隨著環(huán)流半徑的減小，流速上升而壓強(qiáng)降低；在渦束邊緣上，流速達(dá)該區(qū)的最高值，而壓強(qiáng)則是該區(qū)的最低值，即：v渦束內(nèi)部的速度分布為: vv2222

30、82rpvpppv（7-32） bbrv2222282bbbrpvpp0rvrvv)(brr （7-33） 由于渦束內(nèi)部為有旋流動(dòng)，伯努利積分常數(shù)隨流線變化，故其壓強(qiáng)分布可由歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程導(dǎo)出。對(duì)于平面定常流動(dòng)，歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程為: ypyvvxvvxpyvvxvvyyyxxyxx11將渦核內(nèi)任意點(diǎn)的速度投影到直角坐標(biāo)上，則有，代入上式得:將 和 分別乘以以上二式，相加后得: xpx12ypy12dxdy)(1)(2dyypdxxpydyxdx或 )2(222yxddp積分得: CvCrCyxp2222222121)(21在與環(huán)流區(qū)交界處， ，代入上式，得積分常數(shù)： bbbbrvvpprr,

31、222bbbvpvpC得渦核區(qū)的壓強(qiáng)分布為 ：2222222121bbrrpvvpp（7-30） 由上式可知渦管中心的壓強(qiáng)最低，其大小為 ，渦核區(qū)邊緣至渦核中心的壓強(qiáng)差為 由以上討論可知，渦核區(qū)和環(huán)流區(qū)的壓強(qiáng)差相等，其數(shù)值均為 。渦核區(qū)的壓強(qiáng)比環(huán)流區(qū)的的低。在渦束內(nèi)部,半徑愈小,壓強(qiáng)愈低，沿徑向存在較大的壓強(qiáng)梯度，所以產(chǎn)生向渦核中心的抽吸作用，渦旋越強(qiáng)，抽吸作用越大。自然界中的龍卷風(fēng)和深水旋渦就具有這種流動(dòng)特征，具有很大的破壞力。在工程實(shí)際中有許多利用渦流流動(dòng)特性裝置，如鍋爐中的旋風(fēng)燃燒室、離心式除塵器、離心式超聲波發(fā)生器、離心式泵和風(fēng)機(jī)、離心式分選機(jī)等。2bcvppbbcbppvpp2212

32、21bv一 速度勢(shì)函數(shù)v對(duì)于無(wú)旋流場(chǎng)，處處滿足： ，由矢量分析知，任一標(biāo)量函數(shù)梯度的旋度恒為零，所以速度 一定是某個(gè)標(biāo)量函數(shù) 的梯度，即:v因 v則有: v v v即流場(chǎng)的速度等于勢(shì)函數(shù) 的梯度。因此，稱 為速度勢(shì)函數(shù)，簡(jiǎn)稱速度勢(shì)；稱無(wú)旋流動(dòng)為有勢(shì)流動(dòng)，簡(jiǎn)稱勢(shì)流。這與單位質(zhì)量有勢(shì)力和有勢(shì)力場(chǎng)的勢(shì)函數(shù)的關(guān)系相類似。0 VVkvjvivtzyxVzyx),(kzjyixtzyx),(ztzyxtzyxvytzyxtzyxvxtzyxtzyxvzyx),(),(),(),(),(),(v（735）（736）證明：結(jié)論： 無(wú)旋條件是速度有勢(shì)的充要條件。無(wú)旋必然有勢(shì)，有勢(shì)必須無(wú)旋。所以無(wú)旋流場(chǎng)又稱為有勢(shì)

33、流場(chǎng)。速度勢(shì)的存在與流體是否可壓縮、流動(dòng)是否定常無(wú)關(guān)。 在笛卡兒坐標(biāo)系中： ，由 則 ， ， 代入 或 ， ， 有所以 得證),(tzyxVxvxyvyzvz0 Vzvyvyzxvzvzxyvxvxyyzzy22zxxz22xyyx2202v以上給出了在直角坐標(biāo)系中速度勢(shì)函數(shù)和速度的關(guān)系，在柱坐標(biāo)系中v ， ， ，v 有勢(shì)流動(dòng)的速度勢(shì)函數(shù)與速度的線積分有密切關(guān)系。若勢(shì)流中有一曲線AB，速度沿該曲線積分為v v上式表明，有勢(shì)流動(dòng)中沿AB曲線的速度線積分等于終點(diǎn)B和起點(diǎn)A的速度勢(shì)之差。由于速度勢(shì)是單值的，則該線積分與積分路徑無(wú)關(guān)。這與力做的功和位勢(shì)的關(guān)系相類似。當(dāng)速度沿封閉軸線積分時(shí)v即，周線上的

34、速度環(huán)量等于零。rvrrv1zvztzr,ABBAzyBAxABdzzdyydxxdzvdyvdxv)()(0)ddzvdyvdxvzyx（7-33）（7-34）（7-35）v 根據(jù)無(wú)旋條件，速度有勢(shì)： 代入不可壓縮連續(xù)性條件可得： v 或v上述方程稱作不可壓無(wú)旋流動(dòng)的基本方程。v在笛卡兒坐標(biāo)系中： v v在柱坐標(biāo)系中：v v式中 為拉普拉斯算子。滿足拉普拉斯方程的函數(shù)為調(diào)和函數(shù)，故速度勢(shì)是調(diào)和函數(shù)。 V0 V00202222222zyx22222222110rrrrz2（7-36）（7-37）（7-38）二二 流函數(shù)流函數(shù)v在笛卡兒坐標(biāo)系中，平面、不可壓縮流體的連續(xù)性方程可寫成:v若定義某一

35、個(gè)函數(shù)（流函數(shù)） 令:v v平面不可壓縮流體流函數(shù)的基本性質(zhì)v1、等流函數(shù)線為流線v當(dāng) 常數(shù)時(shí)v即：0dyvdxvdyydxxdxy0yvxvVyx),(yxyvxxvyxyvvyxdxdy（7-39）,2、流體通過(guò)兩流線間單位高度的體積流量等于兩條流線、流體通過(guò)兩流線間單位高度的體積流量等于兩條流線的流函數(shù)之差的流函數(shù)之差v在xy平面上任取A和B點(diǎn)，AB連線如圖7-12所示，則v（AB為使 與 同號(hào)） v不論是理想流體還是粘性流體，不論是有旋的還是無(wú)旋的流動(dòng)，只要是不可壓縮（或定?？蓧嚎s）流體的平面（或軸對(duì)稱）流動(dòng)，就存在流函數(shù)。 dBAvl dVqdlyvvxvvBAyx,cos,cosd

36、ldldxxdldyyBAABBAd圖7-12 流量與流函數(shù)的關(guān)系 vdqv由不可壓縮流體、平面、無(wú)旋流動(dòng)條件有：v v將速度和流函數(shù)的關(guān)系代入上式得v v v在極坐標(biāo)系中：v v故不可壓縮流體的平面無(wú)旋流動(dòng)流函數(shù)也滿足拉普拉斯方程，也是調(diào)和函數(shù)。0yvxvxy022222yx011222222rrrr（7-40）（7-41）三 速度勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)的關(guān)系 v 對(duì)于不可壓縮流體的平面無(wú)旋流動(dòng)，速度勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)都是調(diào)和函數(shù)，且具有以下關(guān)系：v該數(shù)學(xué)關(guān)系式稱為柯西黎曼（CauchyRiemen）條件 。由它可得：v兩族曲線的正交條件。在平面上它們構(gòu)成處處正交的網(wǎng)絡(luò)，稱為流網(wǎng) 。yxvxxyvy0y

37、yxxv【例7-6】已知不可壓縮流體平面勢(shì)流，其速度勢(shì) ，試求速度投影和流函數(shù)。v【解】由速度勢(shì)可求得速度分量 ，v由速度和流函數(shù)的關(guān)系 ，v將速度代入流函數(shù)的關(guān)系式積分得 v將上式對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)，并考慮速度和流函數(shù)的關(guān)系則有：v上式對(duì)積分，得：v代入原式有：yxvxxyvyyyvxxxvy)(212xfy xxfxx)(Cxxf221)(Cxy)(2122第八節(jié)第八節(jié) 幾種簡(jiǎn)單的平面勢(shì)流幾種簡(jiǎn)單的平面勢(shì)流 一一 均勻等速流均勻等速流v流速的大小和方向沿流線不變的流動(dòng)為均勻流；若流線平行且流速相等，則稱均勻等速流。v例如 ，其中 為常數(shù)，便是這樣的流動(dòng)。v由于v積分得 : （7-43a）v由于 v

38、積分得 （7-43b）v在以上二式中均取積分常數(shù)為零（下同），這對(duì)流動(dòng)的計(jì)算并無(wú)影響。jvivvyx0000,yxvvdyvdxvdyydxxdyx00yvxvyx00dyvdxvdyydxxdxyo0yvxvxy00v顯然，等勢(shì)線 與流線 是相互垂直的兩族直線，如圖7-13所示。若已知來(lái)v流速度 與x 軸的夾角 ，則有:v v v由于流場(chǎng)中各點(diǎn)的速度相同，流動(dòng)無(wú)旋，v故處處有 常數(shù) ，即在流場(chǎng)中各點(diǎn)的總勢(shì)能保持不變。若是水平面上的均勻等勢(shì)流，或者不計(jì)重力的影響（例如大氣），則p =常數(shù)，即壓強(qiáng)在流場(chǎng)中處處相等。Cyvxvyx00Cyvxvxy00cos0 vvxsin0 vvyv圖圖7-13

39、 均勻等速流均勻等速流cossinsincosxvyvxvyv xvyvyvxv,90,0gzp（7-43d）（7-43c）二 點(diǎn)源和點(diǎn)匯 無(wú)限大平面上，流體從一點(diǎn)沿徑向直線均勻地向外流出的流動(dòng)，稱為點(diǎn)源，這個(gè)點(diǎn)稱為源點(diǎn)；如果流體沿徑向均勻的流向一點(diǎn)，稱為點(diǎn)匯，這個(gè)點(diǎn)稱為匯點(diǎn)。不論是點(diǎn)源還是點(diǎn)匯，流場(chǎng)中只有徑向速度，即圖7-14 源流和匯流01rvrvvrv根據(jù)流體的連續(xù)性原理，在極坐標(biāo)中流體流過(guò)任意單位高度圓柱面的體積流量 （也稱為源流或匯流的強(qiáng)度）都相等，即 v v上式中點(diǎn)源取正號(hào)，點(diǎn)匯取負(fù)號(hào)。根據(jù)上式， 只是 的函數(shù)，所以 v積分得v以上討論表明，當(dāng) 時(shí)， ，源點(diǎn)和匯點(diǎn)是奇點(diǎn)，以上 和

40、只有在 0時(shí)才有意義。流函數(shù)和速度的關(guān)系為:vqrqvvvr2drrqvdrdv2（7-44a）22ln2ln2yxqrqvv0rrvrrrvvr10rvrv，v因此， 只是 的函數(shù)，故有 v v上式積分得v根據(jù)以上得到的流函數(shù)和勢(shì)函數(shù)可知，等勢(shì)線為不同半徑的同心圓，即 =常數(shù)；流線為不同極角的徑線，即 =常數(shù)。 v在水平面 面上，對(duì)半徑 處和無(wú)窮遠(yuǎn)處列伯努利方程v v代入速度值后v由上式可知，壓強(qiáng)隨著半徑的減小而降低。零壓強(qiáng)處的半徑為 。以上各式僅適用于 的區(qū)域。（7-44b）（7-44c）dqvrddv2xyqqvv1tan22rpvp222228rqppv2/12208pqrv0rr r

41、三三 點(diǎn)渦點(diǎn)渦v若直線渦束的半徑 ，則垂直于該渦束的平面內(nèi)的流動(dòng)稱為點(diǎn)渦或自由渦流，渦流中心稱為渦點(diǎn)。渦點(diǎn)以外勢(shì)流區(qū)的速度分布仍為 v由以上關(guān)系式知， 時(shí)， ，所以渦點(diǎn)為奇點(diǎn)，該式僅適用于 區(qū)域。由此式可見(jiàn)， 只是 的函數(shù)。v故有 v積分得v速度和流函數(shù)的關(guān)系為v上式表明 只是 的函數(shù)，所以（7-45a）0brrrvvrvr2,00rv0rdvrdd2201rvrrvvdrrdrvd2圖圖7-15 7-15 點(diǎn)渦點(diǎn)渦rv 上式積分得v 由上可知，點(diǎn)渦流場(chǎng)的等勢(shì)線為不同極角的徑線，即 =常數(shù)；流線為不同半徑的同心圓，即 =常數(shù)。與點(diǎn)源（或點(diǎn)匯）相反。點(diǎn)渦的強(qiáng)度即沿圍繞點(diǎn)渦軸線上的環(huán)量v 0時(shí)，環(huán)

42、流為逆時(shí)針?lè)较颍?0，環(huán)流為順時(shí)針?lè)较?。由斯托克斯定理知，點(diǎn)渦的強(qiáng)度 取決于旋渦的強(qiáng)度。v 渦點(diǎn)以外勢(shì)流區(qū)的壓強(qiáng)和前述二維渦流流場(chǎng)壓強(qiáng)分布相同，其分布關(guān)系仍為式（7-32）。零壓強(qiáng)處的半徑為v v 上述各式的實(shí)際適用范圍為 的區(qū)域。v 以上幾種簡(jiǎn)單的平面勢(shì)流實(shí)際中很少應(yīng)用，但它們是勢(shì)流的基本單元，若把幾種基本單元疊加在一起，可以形成許多有實(shí)際意義的復(fù)雜流動(dòng)。（7-45b）rln2r2/12208pr0rr 第九節(jié) 簡(jiǎn)單平面勢(shì)流的疊加 幾個(gè)簡(jiǎn)單有勢(shì)流動(dòng)疊加得到的新的有勢(shì)流動(dòng)，其速度勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)分別等于原有幾個(gè)有勢(shì)流動(dòng)的速度勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)的代數(shù)和，速度分量為原有速度分量的代數(shù)和。 研究勢(shì)流疊加原

43、理的意義：將簡(jiǎn)單的勢(shì)流疊加起來(lái)，得到新的復(fù)雜流動(dòng)的流函數(shù)和勢(shì)函數(shù)，可以用來(lái)求解復(fù)雜流動(dòng)。一一 匯流和點(diǎn)渦疊加的流動(dòng)匯流和點(diǎn)渦疊加的流動(dòng)螺旋流螺旋流v若點(diǎn)源和點(diǎn)渦均位于坐標(biāo)原點(diǎn)，組成一新的流場(chǎng)，其速度勢(shì)和流函數(shù)為（7-48）（7-49）（7-50）（7-51）)ln(2121rqv)ln(2121rqv1vqrC evqeCr2rqrvvr2rrv2122228)(rqppv2/122208)(pqrrv圖圖7-16 螺旋流網(wǎng)螺旋流網(wǎng) 令以上的速度勢(shì)和流函數(shù)為常數(shù)，得到的等勢(shì)線和流線方 程分別為：v其圖像為圖71 6所示，等勢(shì)線和流線是兩組相v互正交的對(duì)數(shù)螺旋線，故稱匯流和點(diǎn)渦疊加的流動(dòng)v為螺旋

44、流。其速度分布為:v其適用范圍應(yīng)為：v壓強(qiáng)分布可用前述方法導(dǎo)出，表達(dá)式為二二 源流和匯流疊加的流動(dòng)源流和匯流疊加的流動(dòng)偶極子流偶極子流 （7-52）（7-53）vq2222)/()/(1)/()/(tantan1tantan)tan(ayxayaxyaxyaxyaxyBABABA2222)()(ln4ln2)ln(ln2yaxyaxqrrqrrqvBAvBAv2222arctan22)(2ayxayqqqvpvBAvpp圖圖7-17 7-17 點(diǎn)源和點(diǎn)匯疊加點(diǎn)源和點(diǎn)匯疊加圖圖7-18 7-18 偶極流偶極流v組合流動(dòng)的速度勢(shì)和流函數(shù)為v兩個(gè)強(qiáng)度 相等的位于點(diǎn)A(-a,0)的點(diǎn)源和位于點(diǎn)B(a,

45、0)的點(diǎn)匯疊加，如圖717所示。由于 是AP 、BP之間的夾角，在流線上 =常數(shù)， =常數(shù)。其圖像為經(jīng)過(guò)源點(diǎn)和匯點(diǎn)的圓線族v 當(dāng) 時(shí)，源點(diǎn)和匯點(diǎn)無(wú)限接近，流量為無(wú)限增大，使得v 取有限值，稱這種流動(dòng)為偶極流。M為偶極子矩，其方向由源點(diǎn)指向匯點(diǎn)。當(dāng) 為微量時(shí)，v v故由式（7-52）（7-53）可得偶極流的速度勢(shì)和流函數(shù)分別為v v即v v即 （7-54）0aMaqvqav2lim0.3/2/)1ln(32)(44lim)(41ln4lim220220yaxxaqyaxxaqvqavqavVrMyxxMcos2)(222)22(lim)2arctan2(lim22202220ayxayqayxa

46、yqvqavqavvrMyxyMsin2222（7-55） v 若令式（7-54）等于常數(shù) ，則得等勢(shì)線方程v即等勢(shì)線的圖像為圓心在（ ）點(diǎn)上，半徑為 并與y軸在原點(diǎn)相切的圓族，如圖7-18中虛線所示。令式（7-55）式等于常數(shù) 時(shí)，可得流線方程：v即流線的圖像是圓心為（ ）.半徑為 并與x軸在原點(diǎn)相切的圓族，如圖7-18中實(shí)線所示。v 對(duì)速度勢(shì)函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)，得出的偶極流的速度分布為（7-56）1C21221)4()4(CMyCMx0 ,41CM14 CM2C22222)4()4(CMCMyx24, 0CM24 CM2cos2rMrvr2sin2rMrv，第十節(jié) 平行流繞過(guò)圓柱體無(wú)環(huán)流的平面流

47、動(dòng)v 平行流（均勻等速流）和偶極流疊加,可用來(lái)描述流體繞過(guò)圓柱體無(wú)環(huán)流的流動(dòng).若均勻等速流的速度為 ,沿x軸正向流動(dòng),偶極流的偶極矩為M。v一、平行流與偶極流的疊加v1.流網(wǎng) v平行流：vxvv0yv 1v x1v y2222Mxxy2222Myxy 偶極流：疊加：122222211() () cos222MxMMvxvvrxyxyr 122222211() () sin222MyMMv yyvvrxyxyr （757）（758） 流線方程為：() sin2MvrC當(dāng)常數(shù)C取不同的數(shù)值時(shí)，可得如圖719所示的流普。當(dāng)C0時(shí)對(duì)應(yīng)的流線，稱為零流線。圖719流體對(duì)圓柱體的無(wú)環(huán)量繞流 2、零流線 當(dāng)

48、常數(shù)C0時(shí)，即零流線的流線方程：() sin02Mvr 由 ，得 。sin00,02Mv rr02Mrrrv 或 即：0y 0rr 可見(jiàn)，零流線為以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心， 為半徑的圓和x軸。02Mrrv二、平行繞流圓柱體無(wú)環(huán)流的流動(dòng)1、流函數(shù)和速度勢(shì)：2、流場(chǎng)中的速度分析（1）直角坐標(biāo)系：因?yàn)椋核裕?2Mrr20221() cos(1) cos2rMvrvrrr20221() sin(1) sin2rMvrvrrr（759a）（759b）（ ）0rr0rr（ ）2220222()(1)()xryxvvxyx202222()yxyvv rxyy xvx0yv 0 xyvvb:在（r0，0）和（r0，0）處a:當(dāng)討論：時(shí)，即為平行流。為駐點(diǎn)，即A，0 xyB為駐點(diǎn)。（2）對(duì)于極坐標(biāo)：討論：202202(1)cos1(1)sinrrvvrrrvvrr （760）a:半徑為r的圓形曲線上的速度環(huán)量b：當(dāng) 時(shí)，故平行流繞圓柱體的流動(dòng)為勢(shì)流。22002222002(1)sin(1) sin(1)cos0rrv dsvrdv rdrrrv rr 0rr02sinrvvv ；時(shí)0 00,0,0B rAr當(dāng) 時(shí)，22min0vmax2vv即C、D點(diǎn)