第四章格林函數(shù)法2

1、4.3 格林函數(shù)格林函數(shù)一、格林函數(shù)的引出一、格林函數(shù)的引出000111() ()()4MMMMuu Mu MdSn rrn 調(diào)和函數(shù)的積分表達(dá)式 ,uun，而在狄氏問題或牛曼問題中二者不能同時得到 因因為公式中既含有又含有不能直接提供狄氏問題或此牛曼問題的解。uunuunun比如對狄氏問題而言，但不知道。由解的唯一性，當(dāng)給定了所以要想求得狄氏問題的解，就必須想法消去已知值，就不能再任意給的積分表達(dá)式中的。這就需要引入值。格林函數(shù)。, u v取為 內(nèi)的調(diào)和在第函數(shù)，且在 上有一階連續(xù)二格林公式中偏導(dǎo)數(shù)，則 dSnuvnvudVuvvu)()(22 0()vuuvdSnn與調(diào)和函數(shù)的積分表達(dá)式相

2、加000111()() 4MMMMuu MudSn rrn 000111() ()() 44MMMMvuu Mu MvdSnn rrn014MMunvrv顯然，要想消去只需選取調(diào)和函數(shù) 滿足 項，001()()()4MMu Mu Mv dSnr 則001(,),4MMG M Mvr令 0()()().GGu Mu MdSf MdSnn 則 0(,)G M M其中稱為Laplace方程的格林函數(shù)。u把求解 的問題：2 in ;()0,.uuf Mv轉(zhuǎn)化為求 滿足：02 in 401.,;MMvvr格林函數(shù)注1.法的優(yōu)點:10(),)G M MC格林函數(shù)僅依賴于區(qū)域，而與原問題的邊界條件無關(guān)，因此

3、，只要求得某個區(qū)域的格林函數(shù)，就能一勞永逸的解決這個區(qū)域上的一切邊界條件(的狄氏問題。格林函數(shù)注2.法的缺點:002001(,),144MMMMvG M Mvvrvr，in其中 滿足，這是一個特殊狄氏問題，對于一般的區(qū)域，上問題的求解也不容易，但對于某些特殊區(qū)域，如球，半空間等，格林函數(shù)可以用的初等方法求。2;uFuf，泊松方程第i一邊值問注3.題n 的解:0()()Gu Mf MdSGFdVn 二、格林函數(shù)的物理意義0M在閉曲面 內(nèi)處感應(yīng)有一定分布密度的放一單位正電荷，則它在 內(nèi)側(cè)負(fù)電荷外側(cè)分布有同等，數(shù)量的正電荷。0M M是導(dǎo)體并接地則外側(cè)正電荷就消失，且電若邊界，位為零。M內(nèi)任意一點處的

4、電位由兩這時部分產(chǎn)生：00021,4014,MMMMMrvvrv一是由處單位正電荷產(chǎn)生的電位二是在 內(nèi)側(cè)由感應(yīng)負(fù)電荷產(chǎn)生的電位 它是狄氏問題的解。001(,),4MMG M Mvr格林函數(shù)從而 0MM處的單位正電荷在導(dǎo)電曲面 內(nèi)任一點處產(chǎn)生它表示位于的電位。00()(),(,)4.3Gu Mu MdSnG M M 由知，要得到狄氏問題的解 需要先求格林函數(shù)，對于某些特殊區(qū)域可用電象法求得。000001(,)MxyzMM在 區(qū)域內(nèi)點處放一單位正電荷,找出關(guān)于邊界 的象點。要求：4.4 兩種特殊區(qū)域的格林函數(shù)及狄氏問題的解兩種特殊區(qū)域的格林函數(shù)及狄氏問題的解一、電象法一、電象法0 M1M M10M

5、M(1).在放適當(dāng)?shù)呢?fù)電荷，使它產(chǎn)生的負(fù)電位與點單位正電荷產(chǎn)生的電位在 上正好相互抵消；14MMqvr011.4MMMvvr(2).因在 外，此點電荷產(chǎn)生的電位 在 內(nèi)是調(diào)和的，它在邊界上滿足01MMM故和形成的電場在 內(nèi)任一點的電位總和即所求處的電荷所處格林函數(shù)。0101(,)44MMMMqG M Mrr二、舉例二、舉例1.半空間的格林函數(shù)半空間的格林函數(shù)22222200,0,0,( , ),zzuuuzxyzuf x yx y 求解Laplace方程在上半空間第一內(nèi)的就歸結(jié)邊值問題狄氏問題： 求解 為0()( , )Gu Mf x ydSn (解：首先確定格林函數(shù) 電像法)0000010(

6、,)4MMzMxyzr在半空間的點放一單位正電荷,它產(chǎn)生電位。10100010(,)1,4MMMzM xyzMr并找出關(guān)于平面的對稱點，在放一單位負(fù)電荷 它產(chǎn)生電位-（如下圖）),(0000zyxM1000(,)Mxyz),(zyxM101001040011(,).44MMMMMMMzrzzG M Mrr它與點正電荷所產(chǎn)生的電位在平面上相互抵消。由于在上半空間為調(diào)和函數(shù)，在上有一內(nèi)閉域階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，因此 oxyz0zGn,注意上半空間在邊界z=0上的外法線方向是z下面計算軸的負(fù)向00zzGGnz 003/23/2222222000000014()()()()()()zzzzzxxyyzzxxy

7、yzz0222 3/20002 ()()zxxyyz 00222 3/20000()( , )2 ()()zzu Mf x ydxdyxxyyz從而 0222 3/2000( , )2()()zf x ydxdyxxyyz 22:1K xy的邊界上保持定常溫度，在圓內(nèi)等于1，而在其外等于0，求在半空例：設(shè)在均勻間內(nèi)溫度分布的上半空間。 22222222220,0,11,( , ,0)0,1.uuuzxyzxyu x yxy半空間內(nèi)溫度分布可歸結(jié)解：問題： 為求解如下的狄氏, 00222 3/200001()( , )2()()zzu Mf x ydxdyxxyyz代入公式 0222 3/200

8、012()()Kzdxdyxxyyz00222 3/201(0,0,)2Kzzuzdxdyxyz特別在 軸的正半軸上，有21022 3/20002zrdrdrz02011zz 0()()()GGu Mu MdSf MdSnn 解的積分表達(dá)式： 001(,),4MMG M Mvr格林函數(shù)： 02 in ;1.40,MMvvvr其中 滿足 22222200,0,( , ),zuuuzxyzuf x yx y 1.上半空間狄氏問題： 00222 3/2000( , )()2()()zf x yu Mdxdyxxyyz 222220DLaplaceuuuinDxyuf類似可得到二維方程邊值問題(狄氏問

9、題):， 0()()DDGGu Mu Mdsfdsnn 解的積分表達(dá)式： 0011(,)ln,2MMG M Mvr格林函數(shù)： 02012 lnDMMDvinDvvr，其中 滿足：222200,0,( ),yuuyxyuf xx 上半平面內(nèi)的狄氏問題： 0002200( )(,)()yf xu xydxxxy 2. 球域上的格林函數(shù)222222222222220, ; ( , , )( , , ), .uuuxyzRxyzu x y zf x y zxyzR考慮如下的狄氏問題：00100021(),OMOMOMMrOMMrRrR設(shè)有一球心在原點，半徑為 的球面 ，在球內(nèi)任取一點連接并延長至使得（

10、如圖）解：先求格林函數(shù)（電像法解：先求格林函數(shù)（電像法）O0M1MPR1101 OMMMr點稱為關(guān)于球面 的反演點(像點)。記，則201.R 0101,MMqqMM在處放單位正電荷，處放 單位負(fù)電荷，適當(dāng)選取使得處電荷產(chǎn)生的電位在 上相互抵消，即10101,44M PM PM PM PrqqrrrP 其中 是球面 上任一點.200110110011,=,= ROM POPMM OPRROMOPOM POPMOPOM 在有公共角且，即也即，故與相似。從而O0M1MPR100M POPM POM 100M PM PrRr0=Rq10MR即只要在點處放置的負(fù)電荷，由它所形成電場的電位11044MMM

11、MqRvrr不僅在球域內(nèi)部是調(diào)和函數(shù)，在整個區(qū)域上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且在邊界上滿足1001,44MMMMRrr 011PP01(444MMM PqRPrrr為球面上任即 一點).01001(,)44MMMMRG M Mrr所以，球域上的格林函數(shù)為: 0()().RGu Mf MdSnGGGnn 為求球域內(nèi)狄氏問題的解，由知注，需先求在球面上有意到 011222200110101111,2cos2cos,M MM MOMOMOMrrrrrOMOM 其中，是與夾角。則010011(,)()4MMMMRG M MrrO0M1MM22220001111()42cos2cosR222224000011(

12、)42cos2cosRRR RGGn2200033222224220000cos(cos )1()4(2cos )(2cos)RRRRR 22032220014(2cos )RRRR 2200223/2001()()4(2cos )Ru Mf MdSRRR故，球內(nèi)狄氏問題的解為 2220000223/20000(,)( , , )sin4(2cos )RRufd dRR 或 稱上兩公式為球的泊松公式。 格林函數(shù)法總結(jié) 本章通過引入，引進了Laplace方程的，然后通過格林函數(shù)把Laplace方程第一邊值問題，即狄氏問題的解以積分的形式統(tǒng)一的表示出來。最后利用，給出了上半空間及球域上的狄氏格林公

13、式問題完整格林的求函數(shù)電像法解過程。用求解具體問題的一格林函數(shù)法般步驟：00Possio()()n)()Gu Mu MdSnGu Mu MdSFGdVn step1. 從出發(fā)，推導(dǎo)出Laplace方程和方程第一 邊值問題解的積分表達(dá)式 或 格林 公式 step2. 求出相應(yīng)的格林函數(shù)（電像法）；step3. 將求出的代入解的積分表達(dá)式即得到原格林函數(shù)問題的解一、內(nèi)容要點：(一)、三維情形222()()vuvdVudSuvdVnvuuvvu dVuvdSnn 1.格林公式：0011()4MMMMrr2.Laplace方程的基本解： 或3.調(diào)和函數(shù)的基本性質(zhì)：(1). 積分表達(dá)式：000111()

14、 ()()4MMMMuu Mu MdSn rrn =00ufnudSfdSn（）有解的必要條件是 ( 牛曼內(nèi)問題2).0201()4aKau MudSaKMa是以為中心，以 為半平徑(且3).球完全落在均值公式:其面中內(nèi)部的球面0()()Gu Mf MdSn 4.格林函數(shù)及狄氏問題的解: 001(,),4MMG M Mvr02 in0, ;1.4MMvvrv：5. 特殊區(qū)域的格林函數(shù)及狄氏問題的解特殊區(qū)域的格林函數(shù)及狄氏問題的解(1).上半空間的狄氏問題上半空間的狄氏問題22222200,0,( , ),zuuuzxyzuf x yx y 0100000100011(,)(,)(,).44MM

15、MMG M MMxyzMxyzrr ， ， 00222 3/2000( , )()2()()zf x yu Mdxdyxxyyz 222222222222220, ;( , , )( , , ), (2 .).uuuxyzRxyzu x y zf x y zxyzR 球域上的狄氏問題010011(,)()4MMMMRG M Mrr 2200223/2001()()4(2cos )Ru Mf MdSRRR (二)、二維情形222()()DDDDDvuvdudsuvdnvuuvvu duvdsnn 1 .格林公式：00111ln(ln)2MMMMrr或2.Laplace方程的基本解： 3.調(diào)和函數(shù)

16、的基本性質(zhì)：(1). 積分表達(dá)式：000111() ()lnln)2MMMMDuu Mu Mdsnrrn =0DDDufnudsfdsn（）有解的必要條件是 ( 牛曼內(nèi)問 題2).001()2aKau MudsaKMDa是以為中心(3)，以 為半徑且.完平均值公式全落在:其中圓上內(nèi)部的圓0()()DGu Mf Mdsn 4.格林函數(shù)及狄氏問題 的解:0011(,)ln,2MMG M Mvr02 in ;11ln,.20DMMDDvrvv滿足：5. 特殊區(qū)域的格林函數(shù)及狄氏問題的解特殊區(qū)域的格林函數(shù)及狄氏問題的解(1).上半平面的狄氏問題上半平面的狄氏問題222200,0,( ),yuuyxyuf xx 0100001001111(,)lnln(,)(,).22MMMMG M MMxyMxy