曲線積分與曲面積分習題及答案

1、第十章曲線積分與曲面積分A1 .計算Lxydx,其中L為連接1,0及0,1兩點的連直線段.2 .計算l?Xds,其中L為圓周x2y2ax.3 .計算x2y2ds,其中L為曲線xacosttsint,yasinttcost,L0t2.L2.24 .計算leyds,其中L為圓周xya,直線yx及x軸在第一角限內所圍成的扇形的整個邊界.4 45 .計算x3y3ds,其中L為內擺線xacos31,yasin310t一l2在第一象限內的一段弧.26.計算1一2-ds,其中L為螺線xacost,yasint,Lxyzat0t2o7 .計算lxydx,其中L為拋物線y2x上從點A1,1到點B1,1的一段弧.

2、8 .計算Lx3dx3zy2dyx2ydz,其中L是從點A3,2,1到點B0,0,0的直線段AB.9 .計算lxdxydyxy1dz,其中L是從點1,1,1到點2,3,4的一段直線.10 .計算L2aydxaydy,其中L為擺線xatsint,ya1cost的一拱對應于由t從0變到2的一段?。?1 .計算Lxydxyxdy,其中L是：1拋物線y2x上從點1,1到點4,2的一段弧；2曲線x2t2t1,yt21從點1,1到4,2的一段弧.12 .把對坐標的曲線積分lPx,ydxQx,ydy化成對弧和的曲經積分,其中L為：1在xoy平面內沿直線從點0,0到3,4;2沿拋物線yx2從點0,0到點4,2

3、;3沿上半圓周x2y2x從點0,0到點1,1.13 .計算Lexsinymydxexcosymxdy其中L為xatsint,ya1cost,0t,且t從大的方向為積分路徑的方向.14 .確定的值,使曲線積分x44xydx6x1y25y4dy與積分路徑無關,并求A0,0,B1,2時的積分值.15 .計算積分CL2xyx2dxxy2dy,其中L是由拋物線yx2和y2x所圍成區(qū)域的正向邊界曲線,并驗證格林公式的正確性.16 .利用曲線積分求星形線xacos3t,yasin3t所圍成的圖形的面積.3,4cccC17 .證實曲線積分126xyydx6xy3xydx在整個xoy平面內與路徑無關,并計算積分

4、值.18 .利用格林公式計算曲線積分口lxy2cosx2xysinxy2exdxx2sinx2yexdy,其中L為正向星形222線x3y3a3a0.19 .利用格林公式,計算曲線積分2xy4dx5y3x6dy,其中L為三頂點分別為0,0、3,0和3,2的三角形正向邊界.20 .驗證以下Px,ydxQx,ydy在整個xoy平面內是某函數(shù)ux,y的全微分,并求這樣的一個ux,y,3x2y8xy2dxx38x2y12yeydy.21 .計算曲面積分x2y2dx,其中為拋物面z2x2y2在xoy平面上方的局部.22 .計算面面積分2xy2x2xzds,其中為平面和三坐標閏面所圍立體的整個外表.124

5、.求拋物面冗z-xy0z1的質重,冗的度為tzo225 .求平面zx介于平面xy1,y0和x0之間局部的重心坐標.26 .當為xoy平面內的一個閉區(qū)域時,曲面積分Rx,y,zdxdy與二重積分有什么關系27 .計算曲面積分zdxdyxdydzydzdx其中為柱面x2y21被平面z0及z3所截的在第一卦限局部的前側.28 .計算x2dydzy2dxdzz2dxdy式中為球殼xa2yb2zc2R2的外外表.29 .反對坐標的曲面積分化成對面積的曲面積Px,y,zdydzQx,y,zdzdxRx,y,zdxdy化成對面積的曲面積分,其中是平面3x2y23z6在第一卦限的局部的上側.30 .利用高斯公

6、式計算曲面積：1) x2dydzy2dzdxz2dxdy,其中為平面x0,y0,z0,xa,ya,za所圍成的立體的外表和外側.2) xydxdyyzxdydz,其中為柱面x2y21與平面z0,z3所圍立體的外外表.31 .計算向理穿過曲面流向指定側的通量：1)2xzix2yjxz2k,為立體0xa,0ya,0za,流向外側；2)xyziyzxjzxyk,為橢球面22221,流向外側.abc32 .求向理場axyicosxyjcosxz2k的散度.33 .利用斯托克斯公式計算曲經積分.ydxzdyxdz其中為圓周,x2y2z2a2,xyz0,假設從x軸正向看去,這圓周取逆時針方向.34 .證實

7、.y2dxxydyxzdz0,其中為圓柱面x2y22y與yz的交線.35 .求向量場axyix3yzj3xy2k,其中為圓周z2xy2,z0o36 .求向量場zsinyizxcosyj的旋度.37 .計算.y2z2dxz2x2dyx2y2dz,其中為用平面3,xyz3切立方體0xa,0ya,0xa的外表所得切痕,右從ox軸的下向看去與逆時針方向.(8)1 .計算Lyds,其中L為拋物線y22Px由0,0到x,y0的一段.2 .計算_y2ds,其中L為擺線xatsint,yarcost一拱3 .求半徑為a,中央角為24的均勻圓弧線心度1的重心.4 .計算lzds,其中L為螺線xtcost,yts

8、int,zt0t2.5 .計算-122ds,其中L為空間曲線xtcost,ytsint,Lxyzzt上相應于t從0變到2的這段弧.6 .設螺旋線彈簧一圈的方程為xacost,yasint,zkt0t2,它的線心度為x,y,yzx2y2z2,求：1它關于z軸的轉動慣量Iz；2它的垂心.7 .設L為曲線xt,yt2,zt3上相應于t從0變到1的曲線弧,把對坐標的曲線積分PdxQdyRdz化成對弧長的曲線積分.8 .計算.xy-：ydy,其中L為圓周x2y2a2按逆時針方向繞Lxy行.9 .計算Lydxzdyxdz,其中L為曲線xacost,yasint,zbt,從t0到t2的一段.10 .計算lx

9、2y2dxx2y2dy,其中L為y1|x|0x2方向為x增大的方向.2,1011 .驗證曲線積分102xeyydxxeyx2ydy與路徑無關并計算積分值.12 .證實當路徑不過原點時,曲線積分：2xdxydy與路徑無并,并計算11221,1xy積分值.2213 .利用曲線積分求橢圓與當1的面積.ab14 .利用格林公式計算曲線積分lx2ydxxsin2ydy,其中L是圓周y,2xx2上由點0,0到點1,1的一段弧.15 .利用曲線積分,求笛卡爾葉形線x3y33axya0的面積.16 .計算曲線積分口華x?,其中L圓周x12y22,L的方向為L2x2y2逆時針方向.17 .計算曲面積分3zds,

10、其中為拋物面z2x2y2在xoy平面上的局部.18 .計算xyyzzxds,其中是錐面zJx2y2被柱面x2y22ax所截得的有限局部.19 .求面心度為的均勻半球殼x2y2z2a2z0對于z軸的轉動慣量.20 .求均勻的曲面zdx2y2被曲面x2y2ax所割下局部的重心的坐標.21 .計算曲面積分Ifx,y,zds,其中2222xyzafx,y,z0,22.計算xzdxdyxydydzyzdzdx,其中是平面x0,yyz1所圍成的空間區(qū)域的整個邊界邊界曲面的外例.23.計算1dydz1dxdz1dxdy,其中為橢球面xy2yb22z2c24.計算zdydzzxdxdyxydxdy,式圓錐面的

11、外外表.25.設ux,y,zvx,y,z是兩個定義在閉區(qū)域上的具有二階連續(xù)偏導數(shù)的函數(shù),、依次表示ux,y,z,vx,y,z沿外法線方向的方向導數(shù).證n明:,一vuvvudxdydz:-unds,其中是空間閉區(qū)域的整個邊界曲面,這個公式叫做格林第二公式o26.利用斯托克斯公式計算曲線積分2,2,2,xyzdxyxzdyzxydzt,從A0,0,0到Ba,0,h的一段.其中L是螺旋線xacost,yasint,27.設uux,y,z是有兩階連續(xù)偏導數(shù),求證：rotgradu0.(C)xaax.1.求曲線的弧長yaarcsin-,z-In從O0,0到Ax0,y0,z0.a4ax、一12 .計算,=

12、ds,Ly其中L為懸鏈線yach.a3 .求均勻的弧xetcost,yetsint,zett0的重心坐標.24 .計算,ydx4x2ylnxR2x2dy,其中e是沿x2y2R2LR2x2由點AR,0逆時針方向到BR,0的半圓周.5 .設fx在,內有連續(xù)的導函數(shù),求2ydx與y2fxy1dy,其中L是從點A3,-至U點B1,2的直線段.Lyy32,26 .計算1cosdxsincosdy,沿著不與oy軸相交的路1 xxxxx徑.fx7 .曲線積分xxysinxdxdy與路徑無關,fx是可微函數(shù),Lx且f0,求fxo28.設在平面上有Fx-yj構成內場,求將單位質點從點1,1移到2,42232xy

13、場力所作的功.9 .曲線積分Iy3dx3xx3dy,其中L為x2y2R2R0逆時針方向曲線：1當R為何值時,使I0?2當R為何值時,使I取的最大值并求最大值.10 .計算Ix1x2zdydzy1x2zdzdxz1x2zdxdy其中為曲面zvx2y20z1的下側.11 .計算|xyz|ds,其中的方程為|x|y|z|1.12 .計算曲面積分I21xdydz,其中是曲線y60x1繞x軸旋轉一周所得曲面的外側.13 .計算Lx2xydxx22xy2dy,其中L為由點A4,0到點O0,0的上半圓周x2y24x14 .證實3yxdxy3xdy與路徑無關,其中L不經過直線xy0,Lxy3且求2,33yxd

14、xy3xdy的值.1,03xy15 .求圓錐z&y20zh的側面關于oz軸的轉動慣量.2c222.16.選擇a,b值使y2xyaxx22xybydy為某個函數(shù)ux,y的222xy全微分,并求原函數(shù)ux,y.x17 .計算曲面積分口：亍dxdy,其中為曲面zx2y2,平面z1,x2y2z2所圍立體外面的外側.18 .證實1) uvuvvu2uv;2) xx2第十章曲線積分與曲面積分(A)1.解：兩點間直線段的方程為：y1x,0x1故ds,1y2dx.112dx.2dx所以lxydx01x1xJ2dx正.2.x解：L的參數(shù)方程為1-acos21.一asin21-a2,03.4.那么,x2ds所以解

15、：ds,x2解：如圖Li:L2:L3dx,11acos,2ds21.asin2212cos21|a|22a.一sin2cos一d21-|a|.21coscos-2a一cos22i|a|cos-d22cos-d2y2dty2dsx2y2eLacostasintt3dtdsa,2sin2L12sin一22a2atcostatsint2dtatdtcosttsintsint2.tcostatdtdst2t4a31x2y2dtx2v2exydsy2dsx2y2eds,1ds02dxdx.112dx一2dx2.2asintacostdtadt2ydsaexdx02afe0adtxaeIoaae一4ea2

16、-a2445.解:x34y34a34.cost.4.sintdsx2y2dt22223acostsint3asintcost一9a2sin2tcos2tdt3asintcostdt4x3L4y3dscos4t4,sintsintcostdt73a31cos6t61.6.-sint674a36.解：dsz2dt2.2asintacosta2dt、.2adt2z-2Xdsa2t2_22、2adtacostasintt2dt7.解：lxydx8.解：直線段故lx3dx21yyydyAB的方程為3|214151ydy2-y52t,zt,t從1變到0c2,2,3xydyxydz03t1333t2t2-2

17、_23t2tdt0387t3dt1879.解：直線的參數(shù)方程為x1t,y12t,z13t(0t1)Lxdxydyxy1dz11t212t31t12t1dt01614tdt13010.解：l2aydx9ydy22aa1costa1costaa1costasintdt02.costcostsintdtcos2t1sin2tdt22dt11.解:1原式y(tǒng)2ydy2原式2y3*5ydy342tt24tt212t22tdt110t05t29t2dt10,45,2tt439-t2dt210,45,29,2ttt43212t013112LPx,ydxQx,ydy34Px,yQx,ydsL552)ds12x2

18、dx,cosdx1dx14x2cossin114x2Px,y2xQx,y.故lPx,ydxQx,ydyj2ds.14x3)ds：1xrdx,cos曲V2xx22xxdscossin12xx21x故lPx,ydxQx,ydyl.2xx2Px,y1xQx,yds13.解：由于excosyyx故原積分與路徑無關,于是原式OBBAa0dxaaecosym14.解:4xy故當1,20,0sin2a2ma.4x4xy1x2y2,解得3時,所給積分與路徑無關,324xydx6xx44x0dx取ACCB計算,其中15.解:L22x324y5ydyA0,024y5ydy012y2y2x52x3x5/42y4yP

19、一dxdyyPdxdyy16.解取adyyx5y795,C1,0,B1,2dx2y22xdxdyy2dy1302xdxLPdxQdyyy2M)xO12xdx301,1可得面積xA1.1,dxdyxdyydxd2L設A為在第I象限局部的面積,由圖形的對稱性所求面積A4A14-xdyydx32,.2,2,ba2acost3asintcostasint3acostsintdt2.222sintcostdt0注：還可利用dxdyD口lxdylydx17.解:P6xy2,Q6x2y3xy212xy3y2Q212xy3yx由于所以積分與路徑無關取路徑1,23,23,4原式324x18dx4254y9y2d

20、y23618.解:2xsinx2xcosy2yex,xcosx2xsinx2ye原式P一dxdyy3,19.解:原式Ddxdydxdy4dxdyD3dx02x034dy8一xdx31220.解：1)2xP.一,故2xydxx2dy是某個ux,y的全微分.ux,yx,40,02xydxx2dyxy00dx0xdy2)-Qx3x216xx,y2,ux,y0,03xy8xy2dxx38x2y12yeydy21.解:故原式xy0dx00y4xDxy：Dxy20208x2y12yeydy12yeyey1220202,dx媳,14x24y2dxdyrcos29rsin22,r.14rrdr20U14UdU

21、22.解：原式|x|y|x2Dxy這里Dxyl42d0z2zydxdyv-14x22,4ydxdy,14rcos24rsin2rdr2一4rdrh214930.1ZxZydxdy4xyx2y2.14DxyI為Dxy在第一象限局部42,rsincos14rrdr0214r2t1r一325t4123.解：z62x2y,ds2ydxdy21sin202_222t1tdt122dxdy1714rrdr0125.514203dxdy原式2xy2x2Dxy62x2y3dxdy24.25.33dx027T解：M解：平面2Zx近0dx因而x3x2x22xy2ydyzdsDxyy21x22122r1r7dr2x

22、這局部的面積zy2dxdyxdyxdsydszds故重心坐標為.2dxdyD.223,3,326.解：由于曲面積分1xdx01dx01xds一3、2dy13dxdy有向曲面,所以Rx,y,zdxdyRx,y,0dxdyDxy當積分曲面取在的上側時為正號,取在下側時為負號27,解：DxyAB,面積為0,zdxdy0Dyz0,y,z|x0,0y1,0z3,Dzxx,0,z|0x1,y0,0z3原式1y2dydz.1x2dzdxDyzDzx3120dz01ydy3120dz01xdx11-arcsiny28.解：根據輪換對稱,只要計算z2dxdy2,22Dxy:xaybR22汪息到：zeRxayb,

23、再利用極坐標可得222,2zdxdyc.RxaybdxdyDxycDxyR2xa2yb2dxdy-22.24eRxaybdxdyDxy,2.Rr22.4ed.Rrrdr00/3R-122p838eRr2-Re303于是原式-R3abc329.解：原式PcosQcosRcosds,這里cos,cos,cos是的法向理n的方向余弦而是平面3x2y23z6在第一卦限局部的上側cos0,取n3,2,28.33cosJ一,cos232222352,cos故原式3R52Q530.解：1)2x2y2z原式QR-dxdydz2yzxyzdxdydz20Paaa20dx0dy0xa22ax0aayzdz2dxa

24、xay003a.dx23a4yzx,Q0,RxyPQRyzxyz故原式213y,zdxdydzdrdrxsin000zdz31.解:PdydzQdzdxRdxdydxdydz-22x2xzdxdydzaa2a02ax2)dyaaa2dxdy2x000a2xdxa322xzdz:ds:xyzdydzSyzxdzdxzxydxdy111dxdydzbc4abco32.解：Pxy2e,Qcosxy,Rcosxzyexyxsinxy,2xzsinxz2故divP_Q_Rxyzyexyxsinxy2xzsinxz233.解：取為平面xyz0,被所圍成的局部的上側,的面積為a2,的單位法向量為ncos,c

25、os原式1.31.3ds111ds,3.3,33,3ds,3a34.證：平面yz的單位法向理ncos,cos,cos由斯托克斯公式得coscoscos左邊dsyxyzxzzds1一y2Dxyzdxdy35.解：閉曲線是xoy平面上的圓周y24逆時針方向,它的參數(shù)方程為x2cos,y2sin,z00,故環(huán)流量為；RdxQdyRdzyzdyc2,3xydz22cos02sin8cos32cos24sin0cosd16cos1236.解：rotxsinyyxcosy37.解：證平面xy3z2a合科立萬體內的局部為,它在oxy平面上的射影為Dxy,面積為3a2,取平面的上側,4單位法向量斯托克斯公式得

26、1113,336adsxyz222222yzzxxy1.3dx1ds3326adxdy6a-aDxy4-3.2(B)x1.解：L的參數(shù)萬程t2pt2dt21t12dtPdt所以Lydsy.1t0Pt2p2dtp31t2yo13P2y.2.解：ds2.22.2.a1costasintdta.21cost12112sin2t22asin-2所以Ly2ds22a1cost02asin-dt28a320sin4-sin-dt228a3210cos2-sin-dt2216a3tcos-22cos315t-cos一522563a153.解：取坐標系如圖,設重心坐標為Gx,y,由扇形的對稱性可知y0,Lds

27、24a4acos4adasin24|44asin4.解:222dsxyzcosttsintsinttcost21dt2t2dt所以zdst0t2t0t2222t5.解xyzecostetsint2t2eds,x2y2z2dt_t.ecostesintt,esintcostet2dt.3e2tdt3et所以L.x2ds2ztdt二126.解:x,y,zds2costa2sin2tk2t222222i-.asintacostkdt1)Izy2x,y,zds2222yxyzds22,222aktakdt222.222a.ak3a4k2)Lxx,y,zdsacosta2k2t2.a2k2dt6ak23

28、a242k27.dxds解:dt故coscoscos1人yx,y,zdsML6ak23r_42k2zx,y,zdsmL,y3ka222kh2227-23a4kasinta2k2t2,a2k2dtkta2k2t2a2k2dt,dy2tdt2xdt,dz3t2dt3ydt4x2dxdsdydsdzds29y2dt14x29y22x22,14x9y3y14x29y2故LPdxQdyRdzlP2xQ3yRds14x29y28.解：圓周的參數(shù)方程為xacost,yasint0txydxxydy22xy12a12aacostasintasintacostasintacostdt9.解:10.解:a2dtL

29、ydx如圖zdyxdz2asintasintbtacost02.22asintabtcostabcostdtaCOAOB,OA:yx,AB:yzx取折線1,01 2-c故原式xxdxx2xdx012 224x2xd2x-1311.解：由于P2xeyy,Qx2yx2y又上2xey1,故曲線積分與路徑無關,yx212,02,1,那么原式2xdx4ey22ydy4e12.解：由于P222,Qxy2,yc52.3xyx2yh25故當路徑不過原點時,該曲線積分與路徑無關,取折線1,12,12,2,得盾12xdx2ydy2原式ono912321232x14y413.解：取參數(shù)方程xacost,ysint0

30、t21面積Axdy2Lydx122022abcostsintdtab14.解:L不是閉曲線,要用格林公式,先得補添路徑,使其封閉,如圖ABBOPdxdy,y由于ABBO所以原式LABBOsin2ydy1x2dx0；sin215.解：作代換ytx,得曲線的參數(shù)方程3atx3,1t3網：,由于dx1t33a12t3321t3dy3at2t321t3從而xdyydx2.29at32t3dt,故面積16.解:1lxdy由于xydx2.29at2dt201t3y0時,被積函數(shù)無意義,3a22故L所包圍的區(qū)域不滿足格林公式的條件,作一小圓挖去原點0,0,作逆時針方向的圓周l:xrcos,yrsin,02使

31、l全部補L所包圍,在L和l為邊界的區(qū)域D內,根據格要公式,有Qdi*xifdxdyyydxxdyydxxdyQOL2x221c22yl2xy,ydxxdyL2x217.解：Dxy：2y_22ydxl2x故上式為零xdyyh22,ds原式32Dxy2.222rsinrcos2r21z：zydxdy,2,2,4x4ydxdy,14x24yh2dxdyr原式2xyDxy14r2rdr1111618.解：Dxy：2ax,zx2y222.ds.1ZxZydxdy、.2dxdy21y,x2y22y,2ydxdy2acosr2sincosr2sincosrd.22sincossincos12acos4d64

32、2.a40241519.解：半球殼的方程為z商一,一y222Dxv：xyah2xy22,ads1ZxZyds-222dxdyaxy.221Izxy0ds22axy222Dxy.axydxdyrdr0a4.20.解：質量為M20ds20dxdy20一x2y2ax2.2a204從而垂心的坐標為x0xdxdyx2y2ax4a.faxx20xdxdya0,axx一2.xaxxdxa2a2x2dt0t2dt12Macoszdxdyx2y2ax2.rdr8a3cos16a9即重心坐標為一,0,16一2921.解：由于曲面zxx2y2得x2y2z2a2分成上下兩局部,記成S上,Sr,又由2222xyzaz.

33、x2yh2解得:a.2,x12*y2卡,所以ds0ds%2xDxya2adxdy22xy3ar-22.ardr2_4N_._2a4sin0485.2622.解：證z在xoy,yoz,zox平面上的局部分別為面上的局部為4xzdxdyxydydz1xzdxdyxydydz2xzdxdyxydydz3故原式xzdxdy43xzdxdy4yzdzdxxzdxdy1yzdzdxxydydz2yzdzdxyzdzdx2xydydzyzdzdx；x1xydxdy3Dxy另解：可求得二3xzdxdyx0dxdy0Dxy0ydydz0Dyz0zdzdx0Dzx11x1dx1xydy-00,由對稱性可得原式24

34、1也可用高斯公式822xy23.解：Dxy:=11a2b2x-dxdy再利用廣義極坐標可得v2一,c】：1-7三由輪換對稱,只要計算積分ab-dxdy12x2adxdyy2b2122Dxyc1xyCJa2b2dxdycDxy12x2a2yb2dxdy空4ab,1ab于是原式bcacbababc24.解：證外法線的方向余弦dr2r2分別為錐面的底面和側面而xyh2,2,2abcos,cos為錐面zdydzxdxdydxdyDxy又對cosxydxdy2上的任一點coscos2cossindrx,y,z故ds在各坐標平面上射影分別為cosds.xdxdy,cosdx一cosds于是zdydzzxd

35、xdyx-dxdy,cosdsdxdyy,y,cosdsdxdyzcosxcosycosdsS2Dxyydxdy故原式2Dxyydxdy25.證：由格林第一公式得uvdxdydz:udxn同理uvdxdydzzzvudxdydzuvuvuv.dxdydzxxyyzz兩式相減得:uvvudxdydzvv,ouvdsonn26.解：設cBA,其中BA為從B到A的直線段,那么c為封閉曲線,由斯托克斯公式得dydzdzdxdxdy.PdxQdyRdzc,其中是以c為邊界且xyz222xyzyxzzxy與c構成右手系的任曲面BAcABAB0z2ak0dz27.證:graduuk2rotgraduu.一j

36、xz(C)24221.解：ds1-a-a2dx-a-x-dx,|x0|0:axh24a2x22ax0時,有x3a202a22x.-dxxa,ax0In4ax0x0|4|x0|當x00時,有S03a22x2x02a2x2dx2nax0x0IZ0IIxIX0故當Ix0|a時,有SIZ0|2.解：ds2xsindxa,x,ch-dx,于是a4dsLychadxch2-axdsha2x1sha1arctanasha3.解：ds%：e2tcostsint2e2tsintcost2e2tdt.3etdt質量為M0,3etdt.3于是垂心坐標為xetcost3etdt0ecostdt2costsint52t

37、ey.0ttecost3edt0e2tsintdt2sintcost2teZ04.解：.ABBAPdxetet3etdtCBAR0dxRQdydxdy2R22tedtBABAAB0,又dxdy2y_R2x22yR2x2dxdy42R22R25.解：P1y2fxy,Qyx2fyfxyyy2yf2xyyfxyx1y2fxy23yfxyxyfxy12yxy彳2xy2f1xyfxyy-3xyxyfxy12y故當y0時,因此只要路徑不過x軸,點A到點B的曲線積分與路徑無關,取路徑原式1dx36.解:2A33f2xdx123ydxB1,2,有y2fy1dyydy2dyyydy22fydy30時,2y2x2y2x.ysinx衛(wèi)cos)cos-x%sin-x-cosxx改右半平面P,y故在ux,yycosxsin一x2y2xycosx2yiysin-xxx,y是單連通區(qū)域,且在其上上的是某函數(shù)ux,y的全微分,且可取