高考數(shù)學圓錐曲線重難點專題訓練專題16圓錐曲線與重心問題（含答案）

1、專題16 圓錐曲線與重心問題一、單選題1已知點是橢圓上的三點，坐標原點是的重心，若點，直線的斜率恒為，則橢圓的離心率為（ ）ABCD2已知橢圓的右焦點和上頂點分別為點和點，直線交橢圓于兩點，若恰好為的重心，則橢圓的離心率為（ ）ABCD3設(shè)點為橢圓上一點，、分別是橢圓的左、右焦點，且的重心為點，如果，那么的面積為（ ）ABCD4已知A是雙曲線的左頂點，分別為左、右焦點，P為雙曲線上一點，G是的重心，若，則為（ ）ABCD與的取值有關(guān)5設(shè)，是雙曲線的左、右焦點，點是雙曲線右支上一點，若的內(nèi)切圓的半徑為，且的重心滿足，則雙曲線的離心率為（ ）ABC2D6已知的三個頂點都在拋物線：，且，拋物線的焦點

2、為的重心，則（ ）A40B38C36D347已知、是拋物線上三個不同的點，且拋物線的焦點是的重心，若直線、的斜率存在且分別為、，則（ ）A3BC1D08已知拋物線：的焦點為，過點的直線交于，兩點，的重心為點，則點到直線的距離的最小值為（ ）A2BCD二、多選題9橢圓的左、右焦點分別是，是橢圓第一象限上的一點（不包括軸上的點），的重心是，的角平分線交x軸于點（m，0），下列說法正確的有（ ）AG的軌跡是橢圓的一部分B的長度范圍是C取值范圍是D10若雙曲線， 分別為左、右焦點，設(shè)點在雙曲線上且在第一象限的動點，點為的內(nèi)心，點為的重心，則下列說法正確的是（ ）A雙曲線的離心率為B點的運動軌跡為雙曲線

3、的一部分C若，則.D存在點，使得11瑞士著名數(shù)學家歐拉在1765年證明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半”，后人稱這條直線為“歐拉線”.直線與軸及雙曲線的兩條漸近線的三個不同交點構(gòu)成集合，且恰為某三角形的外心，重心，垂心所成集合.若的斜率為1，則該雙曲線的離心率可以是（ ）ABCD12瑞士著名數(shù)學家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”在平面直角坐標系中作，點，點，且其“歐拉線”與圓相切，則下列結(jié)論正確的是（ ）A圓上點到直線的最大距離為B圓上點到直線的最小距離為C若點在圓

4、上，則的最小值是D圓與圓有公共點，則的取值范圍是三、填空題13已知，分別是雙曲線：（，）的左、右焦點，過的直線與雙曲線的右支交于第一象限內(nèi)的一點，若為的重心，則該雙曲線的離心率為_.14已知橢圓C：的左、右焦點分別為F1(c，0)，F(xiàn)2(c，0)，斜率為的直線l與橢圓C交于A，B兩點若ABF1的重心為G，則橢圓C的離心率為_15已知，是拋物線上三個不同的點，且拋物線的焦點是的重心，若直線，的斜率存在且分別為，則_16已知拋物線E：y24x，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）為拋物線上的三個動點，其中x1x2x3且y20，若ABC的重心恰為拋物線E的焦點，且AB、AC、BC三邊

5、中點到拋物線E的準線的距離成等差數(shù)列，則直線AC的斜率為_.四、解答題17在雙曲線C：中，分別為雙曲線C的左右兩個焦點，P為雙曲線上且在第一象限內(nèi)的點，的重心為G，內(nèi)心為I.（1）求內(nèi)心I的橫坐標；（2）已知A為雙曲線C的左頂點，直線l過右焦點與雙曲線C交于M、N兩點，若、的斜率、滿足，求直線l的方程；（3）若，求點P的坐標.18已知橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合.（1）求橢圓的方程；（2）已知橢圓的右焦點與點關(guān)于直線對稱，問：是否存在過右焦點的直線與橢圓交于兩點，使的重心恰好在直線上？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.19若橢圓：的右焦點為，過且斜率為的直線與交于，兩點，設(shè)為坐標

6、原點，點滿足，設(shè)直線的斜率為，且.（1）求橢圓的方程；（2）若為橢圓上一點，且點為的重心，證明：.20已知為橢圓與拋物線的交點，設(shè)橢圓的左右焦點為，拋物線的焦點為，直線將的面積分為9：7兩部分.（1）求橢圓及拋物線的方程；（2）若直線：與橢圓相交于兩點，且的重心恰好在圓上，求的取值范圍.21已知橢圓離心率為，點在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為坐標原點，是橢圓上不同的三點，且為的重心，探究面積是否為定值，若是求出這個定值；若不是，說明理由22設(shè)是以為焦點的拋物線，是以直線與的漸近線，以為一個焦點的雙曲線.（1）求雙曲線的標準方程；（2）若與在第一象限有兩個公共點，求的取值范圍，并求的最大

7、值；（3）是否存在正數(shù)，使得此時的重心恰好在雙曲線的漸近線上？如果存在，求出的值；如果不存在，說明理由.專題16 圓錐曲線與重心問題一、單選題1已知點是橢圓上的三點，坐標原點是的重心，若點，直線的斜率恒為，則橢圓的離心率為（ ）ABCD【解析】設(shè)，又由原點是的重心，得，即，又是橢圓上的點，作差可得：，即，即，故選：D2已知橢圓的右焦點和上頂點分別為點和點，直線交橢圓于兩點，若恰好為的重心，則橢圓的離心率為（ ）ABCD【解析】由題設(shè)，則線段的中點為，由三角形重心的性質(zhì)知，即，解得：即代入直線，得.又B為線段的中點，則，又為橢圓上兩點，以上兩式相減得，所以，化簡得由及，解得：，即離心率. 故選：

8、C.3設(shè)點為橢圓上一點，、分別是橢圓的左、右焦點，且的重心為點，如果，那么的面積為（ ）ABCD【解析】由于點P為橢圓上一點，又 ，故為等腰三角形，以為底的高為： ，故 ， ，故選：C4已知A是雙曲線的左頂點，分別為左、右焦點，P為雙曲線上一點，G是的重心，若，則為（ ）ABCD與的取值有關(guān)【解析】因為G是的重心，所以，又因，所以，又，故選：B5設(shè)，是雙曲線的左、右焦點，點是雙曲線右支上一點，若的內(nèi)切圓的半徑為，且的重心滿足，則雙曲線的離心率為（ ）ABC2D【解析】如圖所示：因為，所以，所以，所以，又，解得，設(shè)，所以.所以，解得，所以，代入雙曲線方程得：，解得，所以.故選：C6已知的三個頂點

9、都在拋物線：，且，拋物線的焦點為的重心，則（ ）A40B38C36D34【解析】由題意知，解得，所以設(shè)，則由三角形的重心坐標公式得，化簡得，根據(jù)拋物線的定義，得，故選：B7已知、是拋物線上三個不同的點，且拋物線的焦點是的重心，若直線、的斜率存在且分別為、，則（ ）A3BC1D0【解析】設(shè)，則，兩式相減，得，則，設(shè)，同理可得，因為焦點是的重心，所以，則，故選：D.8已知拋物線：的焦點為，過點的直線交于，兩點，的重心為點，則點到直線的距離的最小值為（ ）A2BCD【解析】由題意，拋物線為，可令直線為，若，聯(lián)立直線與拋物線得且，則，又的重心為點，即，則到直線的距離，當時，.故選：C.二、多選題9橢圓

10、的左、右焦點分別是，是橢圓第一象限上的一點（不包括軸上的點），的重心是，的角平分線交x軸于點（m，0），下列說法正確的有（ ）AG的軌跡是橢圓的一部分B的長度范圍是C取值范圍是D【解析】設(shè)重心，又， ，即，又是橢圓上一點，即，故A正確；G的軌跡是橢圓的一部分，長半軸長為，短半軸長為，故B錯誤；根據(jù)內(nèi)角平分線定理可知，又，故C正確；同樣利用內(nèi)角平分線定理與焦半徑公式，由可知，故D正確.故選：ACD.10若雙曲線， 分別為左、右焦點，設(shè)點在雙曲線上且在第一象限的動點，點為的內(nèi)心，點為的重心，則下列說法正確的是（ ）A雙曲線的離心率為B點的運動軌跡為雙曲線的一部分C若，則.D存在點，使得【解析】由題

11、意，雙曲線，可得，則離心率為，所以A正確；設(shè)，的內(nèi)切圓與邊切于點，與邊切于點，與邊切于點，可得，由雙曲線的定義可得，即，又由，解得，則的橫坐標為，由與的橫坐標相同，可得的橫坐標為，可得在定直線上運動，所以B不正確；由且，解得，則，可得，所以，同理可得，設(shè)直線，直線，聯(lián)立方程組，求得，設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，則，解得，即有，可得，由，可得，解得，可得，所以C正確；設(shè)，則，設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，則，于是，可得，若，可得，即，又由，聯(lián)立可得，因此，解得，即存在點，使得，所以D正確.故選：ACD.11瑞士著名數(shù)學家歐拉在1765年證明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是

12、重心到垂心距離的一半”，后人稱這條直線為“歐拉線”.直線與軸及雙曲線的兩條漸近線的三個不同交點構(gòu)成集合，且恰為某三角形的外心，重心，垂心所成集合.若的斜率為1，則該雙曲線的離心率可以是（ ）ABCD【解析】設(shè)，由，得，得，由，得，得，由，得，得，若為重心、為外心、為垂心，則，所以，化簡得，此時雙曲線的離心率，若為重心、為垂心、為外心，則，所以，化簡得不成立；若為重心、為垂心、為外心，則，所以，化簡得，此時雙曲線的離心率，若為重心，為垂心、為外心，則，化簡得，此時雙曲線的離心率；若為重心、為垂心、為外心，則，所以，化簡得或，此時雙曲線的離心率或，若為重心，為垂心、為外心，則，所以，化簡得或都不成

13、立.綜上所述：或或或.故選：ABD12瑞士著名數(shù)學家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”在平面直角坐標系中作，點，點，且其“歐拉線”與圓相切，則下列結(jié)論正確的是（ ）A圓上點到直線的最大距離為B圓上點到直線的最小距離為C若點在圓上，則的最小值是D圓與圓有公共點，則的取值范圍是【解析】因為，由題意可得三角形的歐拉線為的中垂線，由，點可得的中點為，且，所以線段的中垂線方程為：，即，因為三角形的“歐拉線”與圓相切，所以圓心到直線的距離，所以圓的方程為：，因為圓心到直線的距離，A中，圓上點到直線的距離的最大值為，故A不正確：B中，圓上點到

14、直線的距離的最小值為，故B正確；C中：令，所以，代入圓的方程，可得，整理可得，由于在圓上，所以有根，則，整理可得：，解得：，所以的最小值為1，即的最小值為1，所以C錯誤；D中：圓心坐標，半徑為；圓的的圓心坐標為，半徑為，要使圓與圓有公共點，則圓心距，所以，即解得：，解得，所以D正確；故選：BD三、填空題13已知，分別是雙曲線：（，）的左、右焦點，過的直線與雙曲線的右支交于第一象限內(nèi)的一點，若為的重心，則該雙曲線的離心率為_.【解析】設(shè)，則由重心坐標公式可得解得點的坐標為.點在曲線上，.（），解得或（舍），.14已知橢圓C：的左、右焦點分別為F1(c，0)，F(xiàn)2(c，0)，斜率為的直線l與橢圓C

15、交于A，B兩點若ABF1的重心為G，則橢圓C的離心率為_【解析】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則兩式相減得0.(*)因為ABF1的重心為G，所以故代入(*)式得，所以，即a23b2，所以橢圓C的離心率e.15已知，是拋物線上三個不同的點，且拋物線的焦點是的重心，若直線，的斜率存在且分別為，則_【解析】設(shè)，則，兩式相減，得，所以，設(shè)，同理可得，由于焦點是的重心，所以，故16已知拋物線E：y24x，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）為拋物線上的三個動點，其中x1x2x3且y20，若ABC的重心恰為拋物線E的焦點，且AB、AC、BC三邊中點到拋物線E的準線的距離成等差數(shù)列，

16、則直線AC的斜率為_.【解析】如圖所示，設(shè)是拋物線的焦點，由題得，所以，即，同理因為是ABC的重心，所以因為AB、AC、BC三邊中點到拋物線E的準線的距離成等差數(shù)列，所以，所以.由題得.所以因為，所以直線AC的斜率為2.四、解答題17在雙曲線C：中，分別為雙曲線C的左右兩個焦點，P為雙曲線上且在第一象限內(nèi)的點，的重心為G，內(nèi)心為I.（1）求內(nèi)心I的橫坐標；（2）已知A為雙曲線C的左頂點，直線l過右焦點與雙曲線C交于M、N兩點，若、的斜率、滿足，求直線l的方程；（3）若，求點P的坐標.【解析】(1)依題意，雙曲線C的焦點，作出的內(nèi)切圓，I為圓心，切點分別為S，K，T，如圖：設(shè)點I的橫坐標為t，顯

17、然x軸，由雙曲線定義知，解得，所以內(nèi)心I的橫坐標為2；(2)點，顯然直線l不垂直于x軸，否則由雙曲線對稱性得，設(shè)直線l的斜率為k，則直線l：，由消去y得：，顯然，設(shè)，則，解得，即直線l：，所以直線l的方程為；(3)設(shè)點，則的重心，因，則，而，又，聯(lián)立解得，從而有，解得 ，即點，所以點P的坐標為.18已知橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合.（1）求橢圓的方程；（2）已知橢圓的右焦點與點關(guān)于直線對稱，問：是否存在過右焦點的直線與橢圓交于兩點，使的重心恰好在直線上？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.【解析】（1）由題可得拋物線的交點為，則，所以橢圓的方程為；（2）可得，則直線的方程為，假設(shè)存

18、在符合題意的直線，當直線的斜率不存在時，直線的方程為，易得的重心坐標為，不滿足在直線上，舍去；當直線的斜率存在時，設(shè)為，顯然，則的方程為，設(shè)，聯(lián)立方程得，則，要使的重心恰好在直線上，則，即，即，方程無解.綜上，不存在滿足條件的直線.19若橢圓：的右焦點為，過且斜率為的直線與交于，兩點，設(shè)為坐標原點，點滿足，設(shè)直線的斜率為，且.（1）求橢圓的方程；（2）若為橢圓上一點，且點為的重心，證明：.【解析】（1）設(shè)，則，又，在橢圓上，兩式作差，整理得：，又，故橢圓的方程為；（2）設(shè)直線的方程為，與橢圓聯(lián)立并整理得：，則，又恰為的重心，故坐標為，即因為在橢圓上，即，解得，而，故；.20已知為橢圓與拋物線的交點，設(shè)橢圓的左右焦點為，拋物線的焦點為，直線將的面積分為9：7兩部分.（1）求橢圓及拋物線的方程；（2）若直線：與橢圓相交于兩點，且的重心恰好在圓上，求的取值范圍.【解析】