中考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)梳理+試題分類(lèi)匯編(21)圓的基本概念性質(zhì)

1、中考數(shù)學(xué)試題分類(lèi)匯編（21）圓的基本概念性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)：一、圓1、圓的有關(guān)性質(zhì)在一個(gè)平面內(nèi)，線(xiàn)段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫圓，固定的端點(diǎn)O叫圓心，線(xiàn)段OA叫半徑。由圓的意義可知：圓上各點(diǎn)到定點(diǎn)（圓心0）的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)都在圓上。就是說(shuō)：圓是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合，圓的內(nèi)部可以看作是到圓。心的距離小于半徑的點(diǎn)的集合。圓的外部可以看作是到圓心的距離大于半徑的點(diǎn)的集合。連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線(xiàn)段叫做弦，經(jīng)過(guò)圓心的弦叫直徑。圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫圓弧，簡(jiǎn)稱(chēng)弧。圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧都叫半圓，大于半圓的弧叫優(yōu)??；小于半圓的弧叫劣弧。由

2、弦及其所對(duì)的弧組成的圓形叫弓形。圓心相同，半徑不相等的兩個(gè)圓叫同心圓。能夠重合的兩個(gè)圓叫等圓。同圓或等圓的半徑相等。在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫等弧。二、過(guò)三點(diǎn)的圓I、過(guò)三點(diǎn)的圓過(guò)三點(diǎn)的圓的作法：利用中垂線(xiàn)找圓心定理不在同一直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。經(jīng)過(guò)三角形各頂點(diǎn)的圓叫三角形的外接圓，外接圓的圓心叫外心，這個(gè)三角形叫圓的內(nèi)接三角形。2、反證法反證法的三個(gè)步驟： 假設(shè)命題的結(jié)論不成立； 從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)推理論證，得出矛盾； 由矛盾得出假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確。例如：求證三角形中最多只有一個(gè)角是鈍角。證明：設(shè)有兩個(gè)以上是鈍角則兩個(gè)鈍角之和180°與三角形內(nèi)角和等于1

3、80°矛盾。不可能有二個(gè)以上是鈍角。即最多只能有一個(gè)是鈍角。三、垂直于弦的直徑圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，經(jīng)過(guò)圓心的每一條直線(xiàn)都是它的對(duì)稱(chēng)軸。垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。推理1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)兩條弧。弦的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一個(gè)條弧。推理2:圓兩條平行弦所夾的弧相等。四、圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系圓是以圓心為對(duì)稱(chēng)中心的中心對(duì)稱(chēng)圖形。實(shí)際上，圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度，都能夠與原來(lái)的圖形重合。頂點(diǎn)是圓心的角叫圓心角，從圓心到弦的距離叫弦心距。定理：在

4、同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦心距相等。推理：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中，有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等。五、圓周角頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫圓周角。推理1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等。推理2:半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角；90。的圓周角所對(duì)的弦是直徑。推理3:如果三角形一邊上的中線(xiàn)等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。由于以上的定理、推理，所添加輔助線(xiàn)往往是添加能構(gòu)成直徑上的圓周角的輔助線(xiàn)。六、圓的內(nèi)接四邊形多邊形的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這

5、個(gè)多邊形叫圓內(nèi)接多邊形，這個(gè)圓叫這個(gè)多邊形的外接圓定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角。例如圖61，連EF后，可得:/DEF=ZB/DEF+ZA=180°/A+/B=18ry圖&一1BC/DA七、直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系1、直線(xiàn)和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線(xiàn)和圓相交，這時(shí)直線(xiàn)叫圓的割線(xiàn)直線(xiàn)和圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線(xiàn)和圓相切，這時(shí)直線(xiàn)叫圓的切線(xiàn)，唯一的公共點(diǎn)叫切點(diǎn)。直線(xiàn)和圓沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，叫直線(xiàn)和圓相離。2、若圓的半徑為r，圓心到直線(xiàn)的距離為d,則：直線(xiàn)和圓相交=dvr；直線(xiàn)和圓相切二d=r;直線(xiàn)和圓相離=d>r;直線(xiàn)和圓相交二dvr圖6-2圖6-3例

6、如：圖62中，直線(xiàn)與圓0相割，有：,圖63中，直線(xiàn)與圓0相切，r=d圖64中，直線(xiàn)與圓0相離，rvd八、切線(xiàn)的判定和性質(zhì)切線(xiàn)的判定：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)。切線(xiàn)的性質(zhì)：圓的切線(xiàn)垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑推理1：經(jīng)過(guò)圓心且垂直干切線(xiàn)的直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)。推理2：經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)圓心。例如圖65中，0為圓心，AC是切線(xiàn)，D為切點(diǎn)。/B=90°則有BC是切線(xiàn)OD是半徑OD丄AC九、三角形的內(nèi)切圓要求會(huì)作圖，使它和己知三角形的各邊都相切分角線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等。兩條分角線(xiàn)的交點(diǎn)就是圓心。這樣作出的圓是三角形的內(nèi)切圓，其圓心叫內(nèi)心，三角形叫圓的外切三角形。

7、和多邊形各邊都相切的圓叫多邊形的內(nèi)切圓，多邊形叫圓的外切多邊形。十、切線(xiàn)長(zhǎng)定理經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)可作圓的兩條切線(xiàn)。在經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線(xiàn)上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線(xiàn)段的長(zhǎng)，叫這點(diǎn)到圓的切線(xiàn)長(zhǎng)。切線(xiàn)長(zhǎng)定理從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線(xiàn)，它們的切線(xiàn)長(zhǎng)相等。圓心和這一點(diǎn)的連線(xiàn)平分I)圖兩條切線(xiàn)的夾角，如圖6-6B、C為切點(diǎn)，0為圓心。AB=AC，/1=72十一、弦切角頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫弦切角。弦切角定理弦切角等于它所央的弧對(duì)的圓周角。推理如果兩個(gè)弦切角所央的弧相等，那么這兩個(gè)弦切角也相等。例如圖67,AB為切線(xiàn)，則有：7C=7BAE,7BAE=7D十二、和圓有關(guān)的比例線(xiàn)段相交弦定理：圓內(nèi)

8、的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的積相等。推理：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線(xiàn)段的比例中項(xiàng)。切割線(xiàn)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線(xiàn)和割線(xiàn)，切線(xiàn)長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線(xiàn)與圓交點(diǎn)的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。推理：從圓外一點(diǎn)引兩條割線(xiàn)，這一點(diǎn)到每條割線(xiàn)與圓的交點(diǎn)的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的積相等,如圖68,若F為切點(diǎn)22則有：AF=AH-AC,AG-AB=AFEM-MD=BM-MGCN-NH=DN-NE相離（2010哈爾濱）1.如圖,是（）.BAB是OO的弦，半徑OA=2，/AOB=120°,(A)22(B)23(C)5(D)3.一5（2010珠海）2.如圖，OO的半徑等于1,弦AB和半徑OC

9、互相平分于點(diǎn)則弦AB的長(zhǎng)（第9題圖）M.求扇形OACB勺面積（結(jié)果保留n）解：弦AB和半徑OC互相平分OCLAB11OM=MCOCOA22在RtOAM中,sinA=-OA2/A=30°又OA=OBB=ZA=30°AOB=120120譏1兀S扇形=3603P是優(yōu)弧BAC（2010珠海）3.如圖，ABC內(nèi)接于OO,AB=6,AC=4,D是AB邊上一點(diǎn),的中點(diǎn)，連結(jié)PA、PBPCPD.（1）當(dāng)BD的長(zhǎng)度為多少時(shí)，PAD是以AD為底邊的等腰三角形？并證明；<5(2)若cos/PCB=，求PA的長(zhǎng).5解：(1)當(dāng)BD=AC=4時(shí)，PAD是以AD為底邊的等腰三角形/P是優(yōu)弧BAC

10、的中點(diǎn)弧卩吐弧PC PB=PCBD=AC=4/PBD=/PCAPBDAPCA PA=PD即厶PAD是以AD為底邊的等腰三角形(2)由(1)可知，當(dāng)BD=4時(shí)，PD=PAAD=AB-BD=6-4=21過(guò)點(diǎn)P作PE丄AD于E,貝UAE=AD=12/PCB=zPADcos/PAD=cos/PCB=aEPAPA.5（2010紅河自治州）如圖2,已知AOD=60°,則/DBCA.30°B.40°C.50°D.60°1.BD是OO的直徑，OO的弦AC丄BD的(CD于點(diǎn)E,若/A）（2010年鎮(zhèn)江市）11.如圖，AB是oO的直徑，弦CD丄AB，垂足為E，若A

11、B=10,CD=8，則線(xiàn)段OE的長(zhǎng)為3.第11凰田）2（2010年鎮(zhèn)江市）26推理證明（本小題滿(mǎn)分7分）如圖，已知ABC中，AB=BC，以AB為直徑的OO交AC于點(diǎn)D，過(guò)D作DE丄BC，垂足為E，連結(jié)OE，CD=-.3，/ACB=30°.（1）求證：DE是OO的切線(xiàn)；（2）分別求AB，OE的長(zhǎng)；（3）填空：如果以點(diǎn)E為圓心，r為半徑的圓上總存在不同的兩點(diǎn)到點(diǎn)O的距離為1，則r的取值范圍為.（1）TAB是直徑，/ADB=90°（1分）又AB二BC,AD二CD.又AO二BO,OD/BC.（2分）DE_BC,OD丄DE，DE是OO的切線(xiàn).（3分）（2）在RtCBD中,CD二3,A

12、CB=30，CD_3cos303=2,AB=2.（4分）¥（6分）在RtCDE中,CD二、3,ACB=30,DE冷CD冷3弓.（5分）在Rt.QDE中,OE=OD2OE2二12（：）2（3）丄-1丄1.（7分）22（2010遵義市）如圖,ABC內(nèi)接于OO,ZC=40,則/ABO=答案：50、（2010臺(tái)州市）如圖，OO的直徑CD丄AB,ZAOC=50°，則/CDB大小為（）B.30°C.40°D.50°答案：A（玉溪市2010）11.如圖6，在半徑為10的OO中，OC垂直弦AB于點(diǎn)D,AB=16,則CD的長(zhǎng)是4（2010年蘭州）4.有下列四個(gè)命

13、題：直徑是弦；經(jīng)過(guò)三個(gè)點(diǎn)一定可以作圓；的外心到三角形各頂點(diǎn)的距離都相等；半徑相等的兩個(gè)半圓是等弧.其中正確的有A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D答案B2010年蘭州）7.將量角器按如圖所示的方式放置在三角形紙板上，B的讀數(shù)分別為86°、30°A.15B.28個(gè)1C三角形D使點(diǎn)C在半圓J圖6點(diǎn)A第7題圖c答案B（2010年無(wú)錫）15.如圖，AB，則/ACB的大小為C.29°.34是O的直徑，點(diǎn)D在O上/AOD=130,BC/OD交O于C,則/A=C（2010年蘭州）22.（本題滿(mǎn)分6分）小明家的房前有一塊矩形的空地，空地上有三棵樹(shù)AB、C，小明想建一個(gè)圓形花壇，使三棵樹(shù)都在

14、花壇的邊上.A（1）（本小題滿(mǎn)分4分）請(qǐng)你幫小明把花壇的位置畫(huà)出來(lái)（尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）.（2（本小題滿(mǎn)分2分）若厶ABC中AB=8米，AC=6米，/BAC=90，試求小明家圓形（第15題）花壇的面積.22題圖答案（本題滿(mǎn)分6分（1）（本小題滿(mǎn)分4分）用尺規(guī)作出兩邊的垂直平分線(xiàn)作出圓OO即為所求做的花園的位置（圖略）（2）（本小題滿(mǎn)分2分解：/BAC=90,AB=8米,AC=6米,ABC外接圓的半徑為5米小明家圓形花壇的面積為25二平方米2分3分4分BC=10米5分.6分（2010年連云港）16.如圖，點(diǎn)A、B、C在OO上,AB/CD，/B=22°，則/A=答案44BA

15、（2010寧波市）24.如圖，AB是OO的直徑，弦DE垂直平分半徑OA,與半徑OB相交于點(diǎn)P,連結(jié)EF、EO,若DE=23，/DPA=45°（1）求0O的半徑；（2）求圖中陰影部分的面積.I第八岱）24、解；（1）丁直徑ABIDES2TDE平分AO11:.CO-AO-OE22又'/Z（X*£=90°/-ZC£0=30°在Rt&OE中，OE-CE_cos30°73二OO的半徑為2。卍（2）連結(jié)OF在RtADCP中，=4滬d-ZD=90o-45o=45°AZ£<?F=2ZD=9090、丁召便仙f二

16、麺*押冥2十6.（2010年金華）如圖，AABC內(nèi)接于OO,/A=40°則/BOC的度數(shù)為（）DA.20°B.40°C.60°C（第6題圖）1）求證：CF=BF;1.（2010年金華）（本題8分）,AB是OO的直徑，C是的中點(diǎn)，CE丄AB于E,BD交CE于點(diǎn)F.（2）若CD=6,AC=8，則OO的半徑為,CE的長(zhǎng)是厶C2BE（第21題圖）解：（1）證明：TAB是OO的直徑，/ACB=90°又CE丄AB,/CEB=90°/2=90°-/A=/1又C是弧BD的中點(diǎn)，/1=/A/1=/2,CF=BFOO的半徑為5,CE的長(zhǎng)是空-5

17、4分（各2分）AC二BCC.6分則下列結(jié)論中不成立的是&（2010年長(zhǎng)沙）如圖，在OO中，OA=AB,OC丄AB，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是D弦AB的長(zhǎng)等于圓內(nèi)接正六邊形的邊長(zhǎng)弦AC的長(zhǎng)等于圓內(nèi)接正十二邊形的邊長(zhǎng)又AB丄BC四邊形FBED為矩形二DE丄BC/BD為RtAABC斜邊上的中線(xiàn)BD=DCBE=EC=DE/C=45°sin/C二2（2010年湖南郴州市）7.如圖，AB是LO的直徑，CD為弦，CD丄AB于E,B.CE=DEC.ACB=90答案DD.CE二BD（2010湖北省荊門(mén)市）16.在OO中直徑為4，弦AB=23，點(diǎn)C是圓上不同于A、B的點(diǎn),那么/ACB度數(shù)為_(kāi)答案60&#

18、176;或120°（2010年畢節(jié)）20.如圖，AB為OO的弦，OO的半徑為5,OC丄AB于點(diǎn)D，交OO于點(diǎn)C,且CD=I，則弦AB的長(zhǎng)是.20.64.（10重慶潼南縣）如圖，已知AB為OO的直徑，點(diǎn)C在OO上，/C=15°則/BOC的度數(shù)為（）BA為切點(diǎn),D.60°OB交OO于點(diǎn)C,點(diǎn)D（2010陜西?。?.如圖，點(diǎn)A、B、P在OO上,ABP為等腰三角形,則所有符合條件的點(diǎn)P有(D)（2010陜西?。?4、如圖是一條水鋪設(shè)的直徑為的通水管道橫截面，其水面寬1.6米，則這條管道中此時(shí)最深為0.4米(2010年天津市)(7)如圖，OO中，弦AB、則.B等于(C)(A

19、) 30(B) 35(C) 40(D) 50CD相交于點(diǎn)P,若.A=30,APD=70,B第(7)題)DA.17°B.34°C.56°D.681.（2010寧德）如圖，在OO中，/ACB=34°，則/AOB的度數(shù)是（2.（2010黃岡）如圖，OO中，MAN的度數(shù)為320°，則圓周角/MAN=.20°1.（2010山東濟(jì)南）如圖所示，ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-1,3）、B（-2,-2）、C（4,2）,則ABC外接圓半徑的長(zhǎng)度為.（2010年常州）16.如圖,/ADC=50°，則/ABD=AB是OO的直徑，弦，/CEB=

20、DC與AB相交于點(diǎn)E,若/ACD=60.16.60°,100°（2010株洲市）21.（本題滿(mǎn)分8分）如圖，AB是eO的直徑,ABC=30,eO過(guò)點(diǎn)B的切線(xiàn)與CO的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)D.求證：（1）CAB=/BOD;（2）ABC也ODB.C為圓周上一點(diǎn),21.（1）AB是LO的直徑，ACB=90，由ABC=30,CAB=60又OB=OC，二OCB二/OBC=30BOD=60，二CAB"BOD4分11(2)在RtABC中，/ABC=30，得ACAB，又OBAB,AC=OB22由BD切LO于點(diǎn)B，得OBD=90在ABC和ODB中,CAB"BOD*NACB=/OBD

21、也ABC也也ODB8分AC=OBA7BCpQRM'（2010河北?。?.過(guò)A,B,C三點(diǎn)，A.點(diǎn)P點(diǎn)M如圖3，在5X5正方形網(wǎng)格中，一條圓弧經(jīng)那么這條圓弧所在圓的圓心是C.點(diǎn)R圖3B.點(diǎn)Q（2010年安徽）13.如圖，ABC/ACB=50°，點(diǎn)D是BAC上一點(diǎn)，內(nèi)接于OO,AC是OO的直徑,則/D=40°1、（2010山東煙臺(tái)）如圖，ABC內(nèi)接于OO,D為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，延長(zhǎng)OD交OO于衛(wèi)£=丄4.EE點(diǎn)E,連接AE,BE，則下列五個(gè)結(jié)論AB丄DE,AE=BEOD=DEg）/AEONC,'正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是A、2B、3C、4D、5答案：B2.（2010山東青島市）如圖，點(diǎn)ABC在OO上，若/BAC=則/BOC=°.答案：48（2010浙江溫州）20.（本題8分）如圖，在正方形ABCD中,0為對(duì)角線(xiàn)BD的中點(diǎn)，分別以O(shè)BOD為直徑作OO,O02.求001的