數(shù)字信號(hào)處理IIR—DF設(shè)計(jì)方法

1、第第6 6章章 無(wú)限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)（無(wú)限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)（IIRIIR） 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法 6.1 基本概念基本概念 6.2 IIR濾波器設(shè)計(jì)的特點(diǎn)濾波器設(shè)計(jì)的特點(diǎn) 6.3 用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器 6.4 用雙線性變換法設(shè)計(jì)用雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器 6.5 設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)IIR濾波器的頻率變換法濾波器的頻率變換法6.6 先利用模擬域頻帶變換法，再利用數(shù)字化法設(shè)計(jì)數(shù)字各型濾波器先利用模擬域頻帶變換法，再利用數(shù)字化法設(shè)計(jì)數(shù)字各型濾波器6.1 基本概念基本概念 一、一、 濾波器的分類濾波器的分類 數(shù)字濾波器是數(shù)字信號(hào)處理

2、的重要基礎(chǔ)。在對(duì)信號(hào)的過(guò)濾、數(shù)字濾波器是數(shù)字信號(hào)處理的重要基礎(chǔ)。在對(duì)信號(hào)的過(guò)濾、檢測(cè)與參數(shù)的估計(jì)等處理中檢測(cè)與參數(shù)的估計(jì)等處理中, 數(shù)字濾波器是使用最廣泛的線性系數(shù)字濾波器是使用最廣泛的線性系統(tǒng)。統(tǒng)。 數(shù)字濾波器是對(duì)數(shù)字信號(hào)實(shí)現(xiàn)濾波的線性時(shí)不變系統(tǒng)。它數(shù)字濾波器是對(duì)數(shù)字信號(hào)實(shí)現(xiàn)濾波的線性時(shí)不變系統(tǒng)。它將輸入的數(shù)字序列通過(guò)特定運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)檩敵龅臄?shù)字序列。因此，將輸入的數(shù)字序列通過(guò)特定運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)檩敵龅臄?shù)字序列。因此， 數(shù)字濾波器本質(zhì)上是一臺(tái)完成特定運(yùn)算的數(shù)字計(jì)算機(jī)。數(shù)字濾波器本質(zhì)上是一臺(tái)完成特定運(yùn)算的數(shù)字計(jì)算機(jī)。 由第1章已經(jīng)知道，一個(gè)輸入序列x(n)，通過(guò)一個(gè)單位脈沖響應(yīng)為h(n)的線性時(shí)不變系統(tǒng)

3、后，其輸出響應(yīng)y(n)為 nmnxmhnhnxny)()()()()(將上式兩邊經(jīng)過(guò)傅里葉變換，可得 )()()(jjjeHeXeY式中，Y(ej)、X(ej)分別為輸出序列和輸入序列的頻譜函數(shù)， H(ej)是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)。 b=1;a=1,-0.9; %y(n)-0.9y(n-1)=x(n)， 即即H(Z)=1/(1-0.9z)x=ones(1,10),zeros(1,40);y=filter (b, a, x);N=64;X=fft(x,N);Y=fft(y,N); 可以看出，輸入序列的頻譜可以看出，輸入序列的頻譜X(ej )經(jīng)過(guò)濾波后，變?yōu)榻?jīng)過(guò)濾波后，變?yōu)閄(ej)H(ej)。如果

4、。如果|H(ej)|的值在某些頻率上是比較小的，則輸入的值在某些頻率上是比較小的，則輸入信號(hào)中的這些頻率分量在輸出信號(hào)中將被抑制掉。因此，只要按信號(hào)中的這些頻率分量在輸出信號(hào)中將被抑制掉。因此，只要按照輸入信號(hào)頻譜的特點(diǎn)和處理信號(hào)的目的，適當(dāng)選擇照輸入信號(hào)頻譜的特點(diǎn)和處理信號(hào)的目的，適當(dāng)選擇H(ej)，使，使得濾波后的得濾波后的X(ej)H(ej)符合人們的要求，這就是數(shù)字濾波器的濾符合人們的要求，這就是數(shù)字濾波器的濾波原理。和模擬濾波器一樣，線性數(shù)字濾波器按照頻率響應(yīng)的通波原理。和模擬濾波器一樣，線性數(shù)字濾波器按照頻率響應(yīng)的通帶特性可劃分為低通、高通、帶通和帶阻幾種形式。它們的理想帶特性可劃

5、分為低通、高通、帶通和帶阻幾種形式。它們的理想模式如圖模式如圖6-1所示。（系統(tǒng)的頻率響應(yīng)所示。（系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(ej)是以是以2為周期的。為周期的。) 圖 6-1 數(shù)字濾波器的理想幅頻特性 )(ejHo22)(ejHo22)(ejHo22)(ejHo22(a)(b)(c)(d )低通高通帶通帶阻 滿足奈奎斯特采樣定理時(shí)，信號(hào)的頻率特性只能限帶于滿足奈奎斯特采樣定理時(shí)，信號(hào)的頻率特性只能限帶于|的范圍。由圖的范圍。由圖6-1可知，理想低通濾波器選擇出輸入信號(hào)中可知，理想低通濾波器選擇出輸入信號(hào)中的低頻分量，而把輸入信號(hào)頻率在的低頻分量，而把輸入信號(hào)頻率在c范圍內(nèi)所有分量全部范圍內(nèi)所有分量全部

6、濾掉。相反地，理想高通濾波器使輸入信號(hào)中頻率在濾掉。相反地，理想高通濾波器使輸入信號(hào)中頻率在c范范圍內(nèi)的所有分量不失真地通過(guò)，而濾掉低于圍內(nèi)的所有分量不失真地通過(guò)，而濾掉低于c的低頻分量。帶的低頻分量。帶通濾波器只保留介于低頻和高頻之間的頻率分量。通濾波器只保留介于低頻和高頻之間的頻率分量。 二、二、 濾波器的技術(shù)指標(biāo)濾波器的技術(shù)指標(biāo) 理想濾波器是不能實(shí)現(xiàn)的，理想濾波器是不能實(shí)現(xiàn)的， 但在概念上極為重要。但在概念上極為重要。 一般來(lái)說(shuō)，濾波器的性能要求往往以一般來(lái)說(shuō)，濾波器的性能要求往往以頻率響應(yīng)的幅度特性的頻率響應(yīng)的幅度特性的允許誤差來(lái)表征允許誤差來(lái)表征。以低通濾波器為例，如圖。以低通濾波器

7、為例，如圖6-2（稱誤差容限圖）（稱誤差容限圖）所示，所示， 頻率響應(yīng)有通帶、頻率響應(yīng)有通帶、 過(guò)渡帶及阻帶三個(gè)范圍（而不是理想過(guò)渡帶及阻帶三個(gè)范圍（而不是理想的陡截止的通帶、阻帶兩個(gè)范圍）。圖中的陡截止的通帶、阻帶兩個(gè)范圍）。圖中1為通帶的容限，為通帶的容限，2為為阻帶的容限。阻帶的容限。 圖圖 6-2 低通濾波器頻率響應(yīng)幅度特性的誤差容限圖低通濾波器頻率響應(yīng)幅度特性的誤差容限圖 1在通帶內(nèi)，幅度響應(yīng)以誤差在通帶內(nèi)，幅度響應(yīng)以誤差1逼近于逼近于1，即，即 11|()| 1jH e在阻帶內(nèi)，幅度響應(yīng)以誤差小于在阻帶內(nèi)，幅度響應(yīng)以誤差小于2而逼近于零，即而逼近于零，即 2| )(|jeHst|c

8、 式中，式中，c, st分別為通帶截止頻率和阻帶截止頻率，它們都是分別為通帶截止頻率和阻帶截止頻率，它們都是數(shù)字域頻率。幅度響應(yīng)在過(guò)渡帶（數(shù)字域頻率。幅度響應(yīng)在過(guò)渡帶（st-c）中從通帶平滑地下）中從通帶平滑地下降到阻帶，過(guò)渡帶的頻率響應(yīng)不作規(guī)定。降到阻帶，過(guò)渡帶的頻率響應(yīng)不作規(guī)定。 雖然給出了通帶的容限雖然給出了通帶的容限1及阻帶的容限及阻帶的容限2，但是，在具體技，但是，在具體技術(shù)指標(biāo)中往往使用術(shù)指標(biāo)中往往使用通帶允許的最大衰減通帶允許的最大衰減（波紋）（波紋）Ac和和阻帶應(yīng)達(dá)阻帶應(yīng)達(dá)到的最小衰減到的最小衰減As描述，描述，Ac及及As的定義分別為：的定義分別為： 0102|()|20lg

9、20lg|()|20lg(1)|()|()|20lg20lg|()|20lg|()|ccststjjcjjjsjH eAH eH eH eAH eH e （6-3a） （6-3b） 式中，假定式中，假定|H(ej0)|=1(已被歸一化已被歸一化)。例如。例如|H(ej)|在在c處滿足處滿足|H(ejc)|=0.707，則，則Ac=3 dB；在；在st處滿足處滿足|H(ejst)|=0.001，則，則As=60 dB（參考圖（參考圖6-2）。）。(注：注：lg是是log10的規(guī)范符號(hào)表示。的規(guī)范符號(hào)表示。) 三、三、 FIR型濾波器和型濾波器和IIR型濾波器型濾波器 數(shù)字濾波器按單位脈沖響應(yīng)數(shù)字

10、濾波器按單位脈沖響應(yīng)h(n)的時(shí)域特性可分為無(wú)限長(zhǎng)脈的時(shí)域特性可分為無(wú)限長(zhǎng)脈沖響應(yīng)沖響應(yīng)IIR（Infinite Impulse Response）濾波器和有限長(zhǎng)脈沖響）濾波器和有限長(zhǎng)脈沖響應(yīng)應(yīng)FIR（Finite Impulse Response）濾波器。）濾波器。 IIR濾波器一般采用遞歸型的實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)。其濾波器一般采用遞歸型的實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)。其N階遞歸型數(shù)字濾階遞歸型數(shù)字濾波器的差分方程為波器的差分方程為 MkNkkkknyaknxbny01)()()(（6-4） 式（6-4）中的系數(shù)ak至少有一項(xiàng)不為零。 ak0 說(shuō)明必須將延時(shí)的輸出序列反饋回來(lái)，也即遞歸系統(tǒng)必須有反饋環(huán)路。相應(yīng)的IIR濾波器

11、的系統(tǒng)函數(shù)為 NkkkMkkkzazbzH101)(（6-5） IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)在在Z平面上不僅有零點(diǎn)，而且有極點(diǎn)。平面上不僅有零點(diǎn)，而且有極點(diǎn)。 FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)是有限長(zhǎng)的，即0nN-1， 該系統(tǒng)一般采用非遞歸型的實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)，但如果系統(tǒng)函數(shù)中出現(xiàn)零、 極點(diǎn)相消時(shí), 也可以有遞歸型的結(jié)構(gòu)(如頻率采樣結(jié)構(gòu))。FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 10)()(NnnznhzH（6-6） 由式（6-6）可知，H(z)的極點(diǎn)只能在Z平面的原點(diǎn)。 四、四、 濾波器的設(shè)計(jì)步驟濾波器的設(shè)計(jì)步驟 按照實(shí)際任務(wù)要求，按照實(shí)際任務(wù)要求， 確定濾波器的性能指標(biāo)。確定濾波器的性能指標(biāo)

12、。 用一個(gè)因果穩(wěn)定的離散線性時(shí)不變系統(tǒng)的用一個(gè)因果穩(wěn)定的離散線性時(shí)不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)H(z)去逼近這一性能要求。去逼近這一性能要求。根據(jù)不同要求可以用根據(jù)不同要求可以用IIR系統(tǒng)函數(shù)，也可系統(tǒng)函數(shù)，也可以用以用FIR系統(tǒng)函數(shù)去逼近。系統(tǒng)函數(shù)去逼近。 實(shí)現(xiàn)所設(shè)計(jì)的實(shí)現(xiàn)所設(shè)計(jì)的H(z)。包括選擇運(yùn)算結(jié)構(gòu)（如第包括選擇運(yùn)算結(jié)構(gòu)（如第5章中的各章中的各種基本結(jié)構(gòu)），選擇合適的字長(zhǎng)（包括系數(shù)量化及輸入變量、種基本結(jié)構(gòu)），選擇合適的字長(zhǎng)（包括系數(shù)量化及輸入變量、中間變量和輸出變量的量化）以及有效數(shù)字的處理方法（舍入、中間變量和輸出變量的量化）以及有效數(shù)字的處理方法（舍入、截尾）等。截尾）等。 6.

13、2 IIR濾波器設(shè)計(jì)的特點(diǎn)濾波器設(shè)計(jì)的特點(diǎn) IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)又可以用極、零點(diǎn)表示如下：濾波器的系統(tǒng)函數(shù)又可以用極、零點(diǎn)表示如下： NkkMkkNkkkMkkkzdzcAzazbzH111110)1 ()1 (1)( 一般滿足一般滿足MN，這類系統(tǒng)稱為，這類系統(tǒng)稱為N階系統(tǒng)。階系統(tǒng)。 IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的設(shè)計(jì)就是確定各系數(shù)濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的設(shè)計(jì)就是確定各系數(shù)ak, bk或零極點(diǎn)或零極點(diǎn)ck，dk和和A，以使濾波器滿足給定的性能要求。通常有以下兩種，以使濾波器滿足給定的性能要求。通常有以下兩種方法：方法： 1）利用模擬濾波器的理論來(lái)設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器）利用模擬濾波器的理論來(lái)設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器 首

14、先，設(shè)計(jì)一個(gè)合適的模擬濾波器；然后，變換成滿足預(yù)首先，設(shè)計(jì)一個(gè)合適的模擬濾波器；然后，變換成滿足預(yù)定指標(biāo)的數(shù)字濾波器。這種方法很方便，因?yàn)槟M濾波器已經(jīng)定指標(biāo)的數(shù)字濾波器。這種方法很方便，因?yàn)槟M濾波器已經(jīng)具有很多簡(jiǎn)單而又現(xiàn)成的設(shè)計(jì)公式，并且設(shè)計(jì)參數(shù)已經(jīng)表格化具有很多簡(jiǎn)單而又現(xiàn)成的設(shè)計(jì)公式，并且設(shè)計(jì)參數(shù)已經(jīng)表格化了，設(shè)計(jì)起來(lái)既方便又準(zhǔn)確。了，設(shè)計(jì)起來(lái)既方便又準(zhǔn)確。 2） 最優(yōu)化設(shè)計(jì)法最優(yōu)化設(shè)計(jì)法 最優(yōu)化設(shè)計(jì)法一般分兩步來(lái)進(jìn)行最優(yōu)化設(shè)計(jì)法一般分兩步來(lái)進(jìn)行: 第一步要選擇一種最優(yōu)準(zhǔn)則。例如，選擇最小均方誤差準(zhǔn)第一步要選擇一種最優(yōu)準(zhǔn)則。例如，選擇最小均方誤差準(zhǔn)則。它是指在一組離散的頻率則。它是指在一

15、組離散的頻率i(i=1, 2, , M)上，所設(shè)計(jì)出上，所設(shè)計(jì)出的實(shí)際頻率響應(yīng)幅度的實(shí)際頻率響應(yīng)幅度|H(ej)|與所要求的理想頻率響應(yīng)幅度與所要求的理想頻率響應(yīng)幅度|Hd(ej)|的均方誤差的均方誤差最小。最小。 MijdjiieHeH12|)(| )(|此外還可以有其他許多種誤差最小的準(zhǔn)則，如最大誤差最小準(zhǔn)則等。此外還可以有其他許多種誤差最小的準(zhǔn)則，如最大誤差最小準(zhǔn)則等。 第二步，求在此最佳準(zhǔn)則下濾波器系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)第二步，求在此最佳準(zhǔn)則下濾波器系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)ak, bk。一般是通過(guò)不斷改變?yōu)V波器系數(shù)一般是通過(guò)不斷改變?yōu)V波器系數(shù)ak、bk，分別計(jì)算，分別計(jì)算; 最后，找最后，找到使到使為最

16、小時(shí)的一組系數(shù)為最小時(shí)的一組系數(shù)ak, bk，從而完成設(shè)計(jì)。這種設(shè)計(jì)需，從而完成設(shè)計(jì)。這種設(shè)計(jì)需要進(jìn)行大量的迭代運(yùn)算，故離不開(kāi)計(jì)算機(jī)。所以最優(yōu)化方法又要進(jìn)行大量的迭代運(yùn)算，故離不開(kāi)計(jì)算機(jī)。所以最優(yōu)化方法又稱為計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)法。稱為計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)法。 本章著重討論第一種方法。利用模擬濾波器來(lái)設(shè)計(jì)數(shù)字濾本章著重討論第一種方法。利用模擬濾波器來(lái)設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，就是波器，就是從已知的模擬濾波器傳遞函數(shù)從已知的模擬濾波器傳遞函數(shù)Ha(s)設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。因此，它歸根結(jié)底是一個(gè)因此，它歸根結(jié)底是一個(gè)由由S平面映射到平面映射到Z平平面的變換面的變換，這個(gè)變換通常是復(fù)

17、變函數(shù)的映射變換，這個(gè)映射變，這個(gè)變換通常是復(fù)變函數(shù)的映射變換，這個(gè)映射變換必須滿足以下兩條基本要求：換必須滿足以下兩條基本要求： （1）H(z)的頻率響應(yīng)要能模仿的頻率響應(yīng)要能模仿Ha(s)的頻率響應(yīng)，也即的頻率響應(yīng)，也即S平面虛平面虛軸軸j必須映射到必須映射到Z平面的單位圓平面的單位圓z=ej上。上。 （2） 因果穩(wěn)定的因果穩(wěn)定的Ha(s)應(yīng)能映射成因果穩(wěn)定的應(yīng)能映射成因果穩(wěn)定的H(z)，也即，也即S平面平面的左半平面的左半平面Res0必須映射到必須映射到Z平面單位圓的內(nèi)部平面單位圓的內(nèi)部|z|1。 下面分別討論由模擬濾波器設(shè)計(jì)下面分別討論由模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的兩種常用數(shù)字濾波

18、器的兩種常用的變換方法：沖擊響應(yīng)不變法和雙線性變換法。的變換方法：沖擊響應(yīng)不變法和雙線性變換法。FIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法與的設(shè)計(jì)方法與IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法明顯不同，這將在下一章數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法明顯不同，這將在下一章中介紹。中介紹。 6.3 用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器一、一、 變換原理變換原理 利用模擬濾波器來(lái)設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，也就是使數(shù)字濾波器能模仿模擬濾波器的特性，這種模仿可以從不同的角度出發(fā)。 沖激響應(yīng)不變法是從濾波器的沖激響應(yīng)出發(fā)，使數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng)序列h(n)模仿模擬濾波器的沖激響應(yīng)ha(t)，即將ha(t)進(jìn)行等間隔采樣

19、，使h(n)正好等于ha(t)的采樣值，滿足 h(n)=ha(nT) 式中, T是采樣周期。 如果令Ha(s)是ha(t)的拉普拉斯變換，H(z)為h(n)的Z變換，利用第1章采樣序列的Z變換與模擬信號(hào)的拉普拉斯變換的關(guān)系，得 112( )()sTasaz ekkH zHsjkHsjkTTT則可看出，沖激響應(yīng)不變法將模擬濾波器的S平面變換成數(shù)字濾波器的Z平面，這個(gè)從s到z的變換z=esT正是第1章中從S平面變換到Z平面的標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系式。 圖6-3 沖激響應(yīng)不變法的映射關(guān)系 j3/ T/ T3/ T/ Too11jImzRezZ平面S平面二、二、 混疊失真混疊失真數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)和模擬濾波器

20、的頻率響應(yīng)間的關(guān)系為 TkjHTeHkaj21)(這就是說(shuō)，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓。正如第1章采樣定理所討論的，只有當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)是限帶的，且?guī)抻谡郫B頻率以內(nèi)時(shí)，即 0)(jHa2|sT 才能使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器的頻率響應(yīng)，而不產(chǎn)生混疊失真，即 TjHTeHaj1)(|但是，任何一個(gè)實(shí)際的模擬濾波器頻率響應(yīng)都不是嚴(yán)格限帶的， 變換后就會(huì)產(chǎn)生周期延拓分量的頻譜交疊，即產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真，如圖6-4所示。這時(shí)數(shù)字濾波器的頻響就不同于原模擬濾波器的頻響，而帶有一定的失真。當(dāng)模擬濾波器的頻率響當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以上處

21、衰減越大、越快時(shí)，變換后頻率響應(yīng)混疊應(yīng)在折疊頻率以上處衰減越大、越快時(shí)，變換后頻率響應(yīng)混疊失真就越小。失真就越小。這時(shí)，采用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器才能得到良好的效果。 圖6-4 沖激響應(yīng)不變法中的頻響混疊現(xiàn)象 32)j(aHoo23 T)(ejHT2TTT2 對(duì)某一模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)ha(t)進(jìn)行采樣，采樣頻率為fs，若使fs增加，即令采樣時(shí)間間隔（T=1/fs）減小，則系統(tǒng)頻率響應(yīng)各周期延拓分量之間相距更遠(yuǎn)，因而可減小頻率響應(yīng)的混疊效應(yīng)。 三、三、 模擬濾波器的數(shù)字化方法模擬濾波器的數(shù)字化方法 由于沖激響應(yīng)不變法要由模擬系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)求拉普拉斯反變換得到模擬的沖激響應(yīng)ha(

22、t)，然后采樣后得到h(n)=ha(nT)，再取Z變換得H(z)，過(guò)程較復(fù)雜。下面我們討論如何由沖激響應(yīng)不變法如何由沖激響應(yīng)不變法的變換原理將的變換原理將Ha(s)直接轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器直接轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器H(z)。 設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)只有單階極點(diǎn)，且假定分母的階次大于分子的階次（一般都滿足這一要求，因?yàn)橹挥羞@樣才相當(dāng)于一個(gè)因果穩(wěn)定的模擬系統(tǒng)），因此可將 NkkkassAsH1)(其相應(yīng)的沖激響應(yīng)ha(t)是Ha(s)的拉普拉斯反變換，即 NktskaatueAsHLthk11)()()(式中, u(t)是單位階躍函數(shù)。 在沖激響應(yīng)不變法中，要求數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)等于對(duì)ha(

23、t)的采樣，即 NknTskNknTskanueAnueAnThnhkk11)()()()()(11011011( )( )()()1kkkNNs Ts TnnnkknnkknNks TkH zh n zA ezAezAez 對(duì)h(n)求Z變換，即得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) 將Ha(s)和H(z)加以比較，可以看出： （1）S平面的每一個(gè)單極點(diǎn)s=sk變換到Z平面上z=eskT處的單極點(diǎn)。 （2） Ha(s)與H(z)的部分分式的系數(shù)是相同的，都是Ak。 NkkkassAsH1)( （3）如果模擬濾波器是因果穩(wěn)定的，則所有極點(diǎn)sk位于S平面的左半平面，即Resk0， 則變換后的數(shù)字濾波器的全部極點(diǎn)

24、在單位圓內(nèi)，即|eskT|=eReskT1， 因此數(shù)字濾波器也是因果穩(wěn)定的。 （4）雖然沖激響應(yīng)不變法能保證S平面極點(diǎn)與Z平面極點(diǎn)有這種代數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系，但是并不等于整個(gè)S平面與Z平面有這種代數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系，特別是數(shù)字濾波器的零點(diǎn)位置就與模擬濾波器零點(diǎn)位置沒(méi)有這種代數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系，而是隨Ha(s)的極點(diǎn)sk以及系數(shù)Ak兩者而變化。 數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)幅度還與采樣間隔T成反比： TjHTeHaj1)(| 如果采樣頻率很高，即T很小，數(shù)字濾波器可能具有太高的增益，這是不希望的。為了使數(shù)字濾波器增益不隨采樣頻率而變化，可以作以下簡(jiǎn)單的修正，令 h(n)=Tha(nT) 則有: NkTskzeTAzHk111)(

25、TjHkTjTjHeHakaj2)(11( )1kNks TkAH zezTjHTeHaj1)(例例6-1 設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 3111342)(2sssssHa試?yán)脹_激響應(yīng)不變法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。 解解 ： 數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 TTTTTTTezeezeeTzezTezTzH423131311)(1)(11)(設(shè)T=1，則有 21101831. 04177. 013181. 0)(zzzzH 模擬濾波器的頻率響應(yīng)Ha(j)以及數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)H(ej)分別為: 2201831. 04177. 013181. 0)(432)(jjjjaeee

26、eHjjH）（把|Ha(j)|和|H(ej)|畫(huà)在圖上。由該圖可看出，由于Ha(j)不是充分限帶的，所以H(ej)產(chǎn)生了嚴(yán)重的頻譜混疊失真。 圖6-5 例題中的幅頻特性 / T2/ T2)j (aH)(ejHoo四、 優(yōu)缺點(diǎn) 從以上討論可以看出，沖激響應(yīng)不變法使得數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)，也就是時(shí)域逼近良好，而且模擬頻率和數(shù)字頻率之間呈線性關(guān)系=T。 因而，一個(gè)線性相位的模擬濾波器通過(guò)沖激響應(yīng)不變法得到的仍然是一個(gè)線性相位的數(shù)字濾波器。 沖激響應(yīng)不變法的最大缺點(diǎn)是有頻率響應(yīng)的混疊效應(yīng)。所以， 沖激響應(yīng)不變法只適用于限帶的模擬濾波器沖激響應(yīng)不變法只適用于限帶的模擬

27、濾波器(例如，衰減特性很好的低通或帶通濾波器低通或帶通濾波器)，而且高頻衰減越快，混疊效應(yīng)越小。如果要對(duì)高通和帶阻濾波器采用沖激響應(yīng)不變法， 就必須先對(duì)高通高通和帶阻濾波器和帶阻濾波器加一保護(hù)濾波器，濾掉高于折疊頻率以上的頻率，然后再使用沖激響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。當(dāng)然這樣會(huì)進(jìn)一步增加設(shè)計(jì)復(fù)雜性和濾波器的階數(shù)。 6.4 用雙線性變換法設(shè)計(jì)用雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器 一、一、 變換原理變換原理 沖激響應(yīng)不變法的主要缺點(diǎn)是產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真。這是因?yàn)閺腟平面到平面是多值的映射關(guān)系所造成的。為了克服這一缺點(diǎn)，可以采用非線性頻率壓縮方法，將整個(gè)頻率軸上的頻率范圍壓縮到-/T/

28、T之間，再用z=esT轉(zhuǎn)換到Z平面上。也就是說(shuō)，第一步先將整個(gè)S平面壓縮映射到S1平面的-/T/T一條橫帶里；第二步再通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系z(mì)=es1T將此橫帶變換到整個(gè)Z平面上去。這樣就使S平面與Z平面建立了一一對(duì)應(yīng)的單值關(guān)系， 消除了多值變換性，也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象，映射關(guān)系如圖6-6所示。 圖圖6-6 雙線性變換的映射關(guān)系雙線性變換的映射關(guān)系 o 11Z平 面jImzRez/ Tj11/ TS1平 面S平 面joo第一次變換：頻率壓縮第二次變換：數(shù)字化Tsez1)2tan(1T111111111111111222222222,tan2,00tan211jTjTsTsTsTjTjTsTsTsT

29、TTTTTTsjjeeeeeeeeee 寬度為，從采用如下變換關(guān)系：這樣滿足：，又11111111111,11111tan()2211,1s Ts Ts Ts TzeszszzsszzsTsTecsc thcezcszesczzcs 此時(shí)，則可得到 平面平面的單值映射關(guān)系：或?qū)嶋H中，為了使模擬濾波器的某一頻率與數(shù)字化濾波器的任一頻率有對(duì)應(yīng)的關(guān)系，要引入常數(shù)c） 代入可得：這時(shí)這時(shí)S 平面與平面與Z平面之間為單值映射關(guān)系，這種變換就稱為雙線性變換。平面之間為單值映射關(guān)系，這種變換就稱為雙線性變換。1111111tan()22tan()222TTTTcccT 當(dāng)較小時(shí)有由于11)tan()tan(

30、)22()2ccccccccbDFTAFTcccctgAFDF （利用的某一特定頻率（例截止頻率與的某一特定頻率嚴(yán)格相對(duì)應(yīng)。即：看出：此方法優(yōu)點(diǎn)：是在特定和特定處，頻率響應(yīng)是嚴(yán)格相等的，它可以較準(zhǔn)確地控制截止頻率的位置。三、三、 逼近的情況逼近的情況 雙線性變換符合上節(jié)中提出的映射變換應(yīng)滿足的兩點(diǎn)要求。 （1）首先, 把z=ej代入式 ，可得 1tan12jjescjcje 即S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓。 1111zscz（2） 其次，將s=+j代入式 ，得 cjzcj 因此 2222|czccszcs 由此看出，當(dāng)0時(shí)， |z|0時(shí)，|z|1。也就是說(shuō)， S平面的左半平面映射到Z平面的

31、單位圓內(nèi)，S平面的右半平面映射到Z平面的單位圓外，S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓上。 因此，穩(wěn)定的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后所得的數(shù)字濾波器也一定是穩(wěn)定的。 四、四、 優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)缺點(diǎn) 雙線性變換法與沖激響應(yīng)不變法相比，其主要的優(yōu)點(diǎn)是避免了頻率響應(yīng)的混疊現(xiàn)象。這是因?yàn)镾平面與Z平面是單值的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。S平面整個(gè)j軸單值地對(duì)應(yīng)于Z平面單位圓一周， 即頻率軸是單值變換關(guān)系。這個(gè)關(guān)系下式所示，重寫(xiě)如下： tan2c 上式表明，S平面上與Z平面的成非線性的正切關(guān)系，如圖6-7所示。 圖6-7 雙線性變換法的頻率變換關(guān)系 o2tan2T 由圖6-7看出，在零頻率附近，模擬角頻率與數(shù)字頻率之間的變換關(guān)系接近

32、于線性關(guān)系；但當(dāng)進(jìn)一步增加時(shí)，增長(zhǎng)得越來(lái)越慢，最后當(dāng)時(shí)，終止在折疊頻率=處，因而雙線性變換就不會(huì)出現(xiàn)由于高頻部分超過(guò)折疊頻率而混淆到低頻部分去的現(xiàn)象， 從而消除了頻率混疊現(xiàn)象。 但是雙線性變換的這個(gè)特點(diǎn)是靠頻率的嚴(yán)重非線性關(guān)系嚴(yán)重非線性關(guān)系而得到的。由于這種頻率之間的非線性變換關(guān)系，就產(chǎn)生了新的問(wèn)題。首先，一個(gè)線性相位的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后得到一個(gè)線性相位的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后得到非線性相位的數(shù)字濾波器，不再保持原有的線性相位了非線性相位的數(shù)字濾波器，不再保持原有的線性相位了；其次，這種非線性關(guān)系要求模擬濾波器的幅頻響應(yīng)必須是分段常數(shù)型分段常數(shù)型的，即某一頻率段的幅頻響應(yīng)近似等于某一常

33、數(shù)（這正是一般典型的低通、高通、帶通、帶阻型濾波器的響應(yīng)特性），不然變換所產(chǎn)生的數(shù)字濾波器幅頻響應(yīng)相對(duì)于原模擬濾波器的幅頻響應(yīng)會(huì)有畸變，如圖 6-8 所示。 圖 6-8 雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射ooo)j (aH)(ejHooo)(eargjH)j(argaH 對(duì)于分段常數(shù)的濾波器，雙線性變換后，仍得到幅頻特性為分段常數(shù)的濾波器，但是各個(gè)分段邊緣的臨界頻率點(diǎn)產(chǎn)生了畸變， 這種頻率的畸變，可以通過(guò)頻率的預(yù)畸來(lái)加以校正。也就是將臨界模擬頻率事先加以畸變， 然后經(jīng)變換后正好映射到所需要的數(shù)字頻率上。 圖 6-9 雙線性變換時(shí)頻率的預(yù)畸變 )j(aH)(ejHooo43211234 （1

34、） 如果給出的是待設(shè)計(jì)的帶通濾波器的數(shù)字域轉(zhuǎn)折頻率（通、 阻帶截止頻率）1、2、3、4及采樣頻率(1/T)，則直接利用式 tan2c 計(jì)算出相應(yīng)的模擬濾波器的轉(zhuǎn)折頻率1、2、3和4。這樣得到的模擬濾波器Ha(s)的轉(zhuǎn)折頻率1、2、3和4，經(jīng)雙線性變換后就映射到數(shù)字濾波器H(z)的原轉(zhuǎn)折頻率1、2、3和4。 如果給出的是待設(shè)計(jì)的帶通濾波器的模擬域轉(zhuǎn)折頻率（通、 阻帶截止頻率）f1、f2、f3、f4和采樣頻率(1/T)，則需要進(jìn)行頻率預(yù)畸變。 首先，利用下式計(jì)算數(shù)字濾波器的轉(zhuǎn)折頻率（通、阻帶截止頻率）、2、3 和4。 再利用式 tan2c 2fT對(duì)頻率預(yù)畸變，得到預(yù)畸變后的模擬濾波器的轉(zhuǎn)折頻率1、

35、 3和4。這樣得到的模擬濾波器Ha(s)的轉(zhuǎn)折頻率、2、3和4, 經(jīng)雙線性變換后映射到數(shù)字濾波器H(z)的轉(zhuǎn)折頻率1、2、 3、4，并且能保證數(shù)字域頻率1、2、3、4與給定的模擬域轉(zhuǎn)折頻率f1、f、f、f4成線性關(guān)系。（2） 按1、2、3和4等指標(biāo)設(shè)計(jì)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。 （3）將 代入Ha(s)，得H(z)為 1111zscz1111111( )( )|1aazs czzH zHsHcz其頻率響應(yīng)為 tan2()()|tan2jaacH eHjHjc上述這些步驟比用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)濾波器要簡(jiǎn)便得多。 需要特別強(qiáng)調(diào)的是，若模擬濾波器Ha(s)為低通濾波器，應(yīng)用變換得到的數(shù)字濾波器

36、H(z)也是低通濾波器； 若Ha(s)為高通濾波器，應(yīng)用 變換得到的數(shù)字濾波器H(z)也是高通濾波器; 若為帶通、帶阻濾波器也是如此。 在IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)中，當(dāng)強(qiáng)調(diào)模仿濾波器的瞬態(tài)響應(yīng)時(shí)，采用沖激響應(yīng)不變法較好; 而在其余情況下，大多采用雙線性變換法。 1111zscz1111zscz五、模擬濾波器的數(shù)字化方法五、模擬濾波器的數(shù)字化方法 雙線性變換法比起沖激響應(yīng)不變法來(lái)，在設(shè)計(jì)和運(yùn)算上也比較直接和簡(jiǎn)單。由于雙線性變換法中，s到z之間的變換是簡(jiǎn)單的代數(shù)關(guān)系，所以可以直接將式 代入到模擬系統(tǒng)傳遞函數(shù)， 得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)， 即 1111111( )( )1zas czzH zHsH c

37、z頻率響應(yīng)也可用直接代換的方法得到 tan2()()tan2jacH eHjHjc1111zscz 若階數(shù)較高，這時(shí)將H(z)整理成需要的形式，就不是一件簡(jiǎn)單的工作。為簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)，一方面， 可以先將模擬系統(tǒng)函數(shù)分解成并聯(lián)的子系統(tǒng)函數(shù)并聯(lián)的子系統(tǒng)函數(shù)（子系統(tǒng)函數(shù)相加）或級(jí)聯(lián)的子系統(tǒng)函數(shù)級(jí)聯(lián)的子系統(tǒng)函數(shù)（子系統(tǒng)函數(shù)相乘），使每個(gè)子系統(tǒng)函數(shù)都變成低階的（例如一、 二階的），然后再對(duì)每個(gè)子系統(tǒng)函數(shù)分別采用雙線性變換再對(duì)每個(gè)子系統(tǒng)函數(shù)分別采用雙線性變換。也就是說(shuō)，分解為低階的方法是在模擬系統(tǒng)函數(shù)上進(jìn)行的，而模擬系統(tǒng)函數(shù)的分解已有大量的圖表可以利用，分解起來(lái)比較方便。另一方面，可用表格的方法來(lái)完成雙線性變換

38、設(shè)計(jì)可用表格的方法來(lái)完成雙線性變換設(shè)計(jì)，即預(yù)先求出雙線性變換法中離散系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)與模擬系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)之間的關(guān)系式，并列成表格，便可利用表格進(jìn)行設(shè)計(jì)了。 1111zzCS 例例 6-2 設(shè)計(jì)一個(gè)一階數(shù)字低通濾波器，3 dB截止頻率為c=0.25，將雙線性變換應(yīng)用于模擬巴特沃思濾波器。 )/(11)(cassH 解解 數(shù)字低通濾波器的截止頻率為c=0.25，相應(yīng)的巴特沃思模擬濾波器的 3 dB截止頻率是c，就有 TTTcc828. 0225. 0tan22tan2模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 )828. 0/(11)/(11)(sTssHca將雙線性變換應(yīng)用于模擬濾波器，有 11111124159.

39、0112920. 0)1/()1)(828. 0/2(11)()(11zzzzsHzHzzTsa由上題可知，T不參與設(shè)計(jì)，即雙線性變換法中用 設(shè)計(jì)與用 設(shè)計(jì)得到的結(jié)果一致。 ,1111zzs2tan2tan2,11211TzzTs 例例6-3 用雙線性變換法設(shè)計(jì)一個(gè)三階巴特沃思數(shù)字低通濾波器，采樣頻率為fs=4 kHz（即采樣周期為T=250 s），其3dB截止頻率為fc=1 kHz。 三階模擬巴特沃思濾波器為 32)/()/(2)/(211)(cccassssH 解解: 首先，確定數(shù)字域截止頻率c=2fcT=0.5。 第二步，根據(jù)頻率的非線性關(guān)系式，確定預(yù)畸變的模擬濾波器的截止頻率 TTTc

40、c225 . 0tan22tan2第三步，將c代入三階模擬巴特沃思濾波器Ha(s)，得 32)2/()2/(2)2/(211)(sTsTsTsHa最后，將雙線性變換關(guān)系代入就得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) 2321311211111123331211111211211)()(11zzzzzzzzzzsHzHzzTsa 應(yīng)該注意，這里所采用的模擬濾波器Ha(s)并不是數(shù)字濾波器所要模仿的截止頻率fc=1 kHz的實(shí)際濾波器，它只是一個(gè)“樣本”函數(shù)，是由低通模擬濾波器到數(shù)字濾波器的變換中的一個(gè)中間變換階段。 圖6-10給出了采用雙線性變換法得到的三階巴特沃思數(shù)字低通濾波器的幅頻特性。由圖可看出，由于頻率

41、的非線性變換， 使截止區(qū)的衰減越來(lái)越快。圖圖 6-10 用雙線性變換法設(shè)計(jì)得到的三階巴特沃思數(shù)字低通濾波器的頻響用雙線性變換法設(shè)計(jì)得到的三階巴特沃思數(shù)字低通濾波器的頻響 1.00.500.5)(ejH01.02.0f / kHz設(shè)模擬系統(tǒng)函數(shù)的表達(dá)式為 2001220120( )NkNkkNaNNkNkkA sAAsA sA sHsBB sB sB sB s1111( )( )|azs CzH zHs得 NNNNNkkkNkkkzbzbzbzazazaazbzazH221122110001)(表表 6-1 雙線性變換法中雙線性變換法中a(s)的系數(shù)與的系數(shù)與H(z)的系數(shù)之間的關(guān)系的系數(shù)之間的

42、關(guān)系 6.5 設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)IIR濾波器的頻率變換法濾波器的頻率變換法 圖 6-11模擬頻率變換兩種等效的設(shè)計(jì)方法(a) 先模擬頻率變換， 再數(shù)字化; (b) 將(a)的兩步合成一步設(shè)計(jì) 模 擬 原 型模 擬 低 通 、 高 通帶 通 、 帶 阻數(shù) 字 低 通 、 高 通帶 通 、 帶 阻模 擬 域頻 率 變 換數(shù) 字 化(a)模 擬 原 型數(shù) 字 低 通 、 高 通帶 通 、 帶 阻頻 率 變 換(b) 對(duì)于第一種方案，重點(diǎn)是模擬域頻率變換，即如何由模擬低通原型濾波器轉(zhuǎn)換為截止頻率不同的模擬低通、高通、帶通、帶阻濾波器，這里我們不作詳細(xì)推導(dǎo)，僅在表6-2列出一些模擬到模擬的頻率轉(zhuǎn)換關(guān)系。一般直接用

43、歸一化原型轉(zhuǎn)換，取c=1, 可使設(shè)計(jì)過(guò)程簡(jiǎn)化。 然后再通過(guò)沖激響應(yīng)不變法或雙線性變換法數(shù)字化為所需類型的數(shù)字濾波器。表表6-2 截止頻率為截止頻率為c的模擬低通濾波器到其它頻率選擇性模擬濾波器的轉(zhuǎn)換公式的模擬低通濾波器到其它頻率選擇性模擬濾波器的轉(zhuǎn)換公式 第二種方法實(shí)際上是把第一種方法中的兩步合成一步來(lái)實(shí)現(xiàn)，即把模擬低通原型變換到模擬低通、高通、帶通、帶阻等模擬低通原型變換到模擬低通、高通、帶通、帶阻等濾波器的公式濾波器的公式與用雙線性變換得到相應(yīng)數(shù)字濾波器的公式用雙線性變換得到相應(yīng)數(shù)字濾波器的公式合并，就可直接從模擬低通原型直接從模擬低通原型通過(guò)一定的頻率變換關(guān)系， 一步完成一步完成各種類型

44、數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)各種類型數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)，因而簡(jiǎn)捷便利，得到普遍采用。 此外，對(duì)于高通、帶阻濾波器，由于沖激響應(yīng)不變法不能直接對(duì)于高通、帶阻濾波器，由于沖激響應(yīng)不變法不能直接采用采用，或者只能在加了保護(hù)濾波器以后使用，因此，沖激響應(yīng)不變法使用直接頻率變換要有許多特殊考慮，我們?cè)谙旅嬷豢荚谙旅嬷豢紤]雙線性變換，實(shí)際使用中多數(shù)情況也正是這樣慮雙線性變換，實(shí)際使用中多數(shù)情況也正是這樣。 圖圖 6-12 模擬歸一化模擬歸一化低通原型低通原型模擬低通、高通、模擬低通、高通、帶通、帶阻帶通、帶阻數(shù)字低通、高通、數(shù)字低通、高通、帶通、帶阻帶通、帶阻頻帶變換數(shù)字化先模擬頻率變換，再數(shù)字化雙線性變換法或沖激不變

45、法一、一、 模擬低通濾波器變換成數(shù)字低通濾波器模擬低通濾波器變換成數(shù)字低通濾波器 首先，把數(shù)字濾波器的性能要求轉(zhuǎn)換為與之相應(yīng)的作為“樣本”的模擬濾波器的性能要求，根據(jù)此性能要求設(shè)計(jì)模擬濾波器， 這可以用查表的辦法， 也可以用解析的方法。然后，通過(guò)雙線性變換法，將此“樣本”模擬低通濾波器數(shù)字化為所需的數(shù)字濾波器H(z)。二、二、 模擬低通濾波器變換成數(shù)字高通濾波器模擬低通濾波器變換成數(shù)字高通濾波器 sscc式中，c為模擬低通濾波器的截止頻率，c為實(shí)際高通濾波器的截止頻率。 2、模擬高通到數(shù)字高通的變換、模擬高通到數(shù)字高通的變換根據(jù)雙線性變換原理，模擬高通與數(shù)字高通之間的S平面與Z平面的關(guān)系仍為

46、1111zscz1、由模擬低通原型到模擬高通的變換、由模擬低通原型到模擬高通的變換由表6-2可知，由低通模擬原型到模擬高通的變換關(guān)系為 把上兩個(gè)變換式結(jié)合起來(lái)，可得到直接從模擬低通原型變換成數(shù)字高通濾波器的表達(dá)式，也就是直接聯(lián)系s與z之間的變換公式 1111111111111cccczzsCzczzcz 式中， 。由此得到數(shù)字高通系統(tǒng)函數(shù)為 1/ccCc 11111( )( )|azs CzH zHs式中，Ha(s)為模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)。 可以看出，數(shù)字高通濾波器和模擬低通濾波器的極點(diǎn)數(shù)目（或階次）是相同的。 根據(jù)雙線性變換，模擬高通頻率與數(shù)字高通頻率之間的關(guān)系仍為 tan2c tan2c

47、cc 則 1/ ,ccCc 1tan2ccC 又因：則：圖6-13 從模擬低通變換到數(shù)字高通時(shí)頻率間關(guān)系的曲線 應(yīng)當(dāng)明確一點(diǎn)，所謂高通數(shù)字濾波器，并不是高到都通過(guò)， 由于數(shù)字域存在折疊頻率=，對(duì)于實(shí)數(shù)響應(yīng)的數(shù)字濾波器， 由到2的部分只是由到0的鏡像部分。因此，有效數(shù)字域僅只是從=0 到=，高通也僅指這一端的高端，即到=為止的部分。 o1cot2C 圖 6-14 模擬低通變換到數(shù)字高通 ooo)j(aH)(ejH2112 例例 設(shè)計(jì)一個(gè)巴特沃思高通數(shù)字濾波器，其通帶截止頻率（-3dB點(diǎn)處）為fc=3kHz，阻帶上限截止頻率fst=2kHz，通帶衰減不大于3 dB， 阻帶衰減不小于 14dB，采樣

48、頻率fs=10kHz。 解解 （1） 求對(duì)應(yīng)的各數(shù)字域頻率:4 . 010101032226 . 010101032223333sstststscccffTfffTf （2）求常數(shù)C。采用歸一化（c=1）原型低通濾波器作為變換的低通原型，則低通到高通的變換中所需的C為92381376. 126 . 0tan12tanccC （3）求低通原型st。設(shè)st為滿足數(shù)字高通濾波器的歸一化原型模擬低通濾波器的阻帶上限截止頻率，可按=Ccot(/2)的預(yù)畸變換關(guān)系來(lái)求，得 2427894. 19381376. 192381376. 12cotststC （4）求階次N。按阻帶衰減求原型歸一化模擬低通濾波器

49、的階次N，由巴特沃思低通濾波器頻率響應(yīng)的公式|Ha(jst)|取對(duì)數(shù)， 即 141lg10)(lg202NcststajH式中c=1。解得 4931490. 28955554. 09356382. 1)2427894. 1lg(2) 110lg(4 . 1N取N=3。 （5） 求歸一化巴特沃思低通原型的Ha(s)。取N=3，查表(課本P266，表64)可得Ha(s)為 1221)(23ssssHa32323223231232332123312111212313313121112123133111122122122322312332231)331 (1221)1 ()1)(1 (2)1 ()1 (2)1 ()1 ()1 ()1)(1 (2)1 ()1 (2)1 ()1 ()()(11zCCCCCCzCCCCCCzCCCCCCzzzCCCzzzCzzCzCzzzzCzzCz