數(shù)控機(jī)床編程與操作7、數(shù)控加工圖形的數(shù)學(xué)處理

1、第7講 數(shù)控加工圖形的數(shù)學(xué)處理7.1 數(shù)控機(jī)床編程中的圖形數(shù)學(xué)處理內(nèi)容數(shù)控機(jī)床編程中的圖形數(shù)學(xué)處理內(nèi)容7.2 直線和圓弧輪廓基點(diǎn)計(jì)算方法直線和圓弧輪廓基點(diǎn)計(jì)算方法7.3 非圓曲線的節(jié)點(diǎn)計(jì)算非圓曲線的節(jié)點(diǎn)計(jì)算7.4 刀位點(diǎn)軌跡坐標(biāo)的計(jì)算刀位點(diǎn)軌跡坐標(biāo)的計(jì)算 第11講 數(shù)控機(jī)床編程中的圖形數(shù)學(xué)處理 對(duì)零件圖形進(jìn)行數(shù)學(xué)處理（又稱數(shù)值計(jì)算）是數(shù)控編程前的主要準(zhǔn)備工作，對(duì)手工編程還是自動(dòng)編程都是必不可少的。圖形的數(shù)學(xué)處理就是根據(jù)零件圖樣的要求，按照已確定的加工路線和允許的編程誤差，計(jì)算出數(shù)控系統(tǒng)所需輸入的數(shù)據(jù)。11.1 數(shù)控機(jī)床編程中的圖形數(shù)學(xué)處理內(nèi)容數(shù)控機(jī)床編程中的圖形數(shù)學(xué)處理內(nèi)容 對(duì)圖形的數(shù)學(xué)處理一

2、般包括兩個(gè)方面： 根據(jù)零件圖樣給出的形狀、尺寸和公差等直接通過(guò)數(shù)學(xué)方法（如三角、幾何與解析幾何法等）計(jì)算出編程時(shí)所需要的有關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)值、圓弧插補(bǔ)所需要的圓弧圓心、圓弧端點(diǎn)的坐標(biāo)數(shù)值，即計(jì)算零件輪廓的基點(diǎn)和節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，以便編制加工程序； 第11講 數(shù)控機(jī)床編程中的圖形數(shù)學(xué)處理 按照零件圖給出的條件還不能直接計(jì)算出編程時(shí)所需要的所有坐標(biāo)值，也不能按零件圖給出的條件直接進(jìn)行工件輪廓幾何要素的定義來(lái)進(jìn)行自動(dòng)編程時(shí)，那么就必須根據(jù)所采用的具體工藝方法、工藝裝備等加工條件，對(duì)零件原圖形及有關(guān)尺寸進(jìn)行必要的數(shù)學(xué)處理或改動(dòng)，才可以進(jìn)行各點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算和編程工作。 第11講 數(shù)控機(jī)床編程中的圖形數(shù)學(xué)處理1數(shù)值換算

3、數(shù)值換算（1）選擇原點(diǎn)、換算尺寸）選擇原點(diǎn)、換算尺寸 原點(diǎn)是指編制加工程序時(shí)所使用的編程原點(diǎn)。加工程序中的字大部分是尺寸字，這些尺寸字中的數(shù)據(jù)是程序的主要內(nèi)容。同一個(gè)零件同樣的加工，如果原點(diǎn)選擇不同，尺寸字中的數(shù)據(jù)就不一樣，所以編程之前首先要選定原點(diǎn)。從理論上講原點(diǎn)選在任何位置都是可以的。但實(shí)際上為了換算盡可能簡(jiǎn)便，以及尺寸較為直觀（至少讓部分點(diǎn)的指令值與零件圖上的尺寸值相同），應(yīng)盡可能把原點(diǎn)的位置選得合理些。 第11講 數(shù)控機(jī)床編程中的圖形數(shù)學(xué)處理 車削件的編程原點(diǎn)X向應(yīng)取在零件的回轉(zhuǎn)中心，即車床主軸的軸心線上，所以原點(diǎn)的位置只在Z向做選擇。原點(diǎn)Z向位置一般在工件的左端面或右端面兩者中做選擇

4、。如果是左右對(duì)稱的零件，Z向原點(diǎn)應(yīng)選在對(duì)稱平面內(nèi)，這樣同一個(gè)程序可用于調(diào)頭前后的兩道加工工序。對(duì)于輪廓中有橢圓之類非圓曲線的零件，Z向原點(diǎn)取在橢圓的對(duì)稱中心較好。（2）標(biāo)注尺寸換算）標(biāo)注尺寸換算 在很多情況下，因其圖樣上的尺寸基準(zhǔn)與編程所需要的尺寸基準(zhǔn)不一致，故應(yīng)首先將圖樣上的基準(zhǔn)尺寸換算為編程坐標(biāo)系中的尺寸，再進(jìn)行下一步數(shù)學(xué)處理工作。 1）直接換算。）直接換算。直接通過(guò)圖樣上的標(biāo)注尺寸，即可獲得編程尺寸的一種方法。進(jìn)行直接換算時(shí)，可對(duì)圖樣上給定的基本尺寸或極限尺寸的中值，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的加、減運(yùn)算后即可完成。 第11講 數(shù)控機(jī)床編程中的圖形數(shù)學(xué)處理例如，在圖圖1b 中，除尺寸37.32mm外，其余

5、均屬直接按圖圖1a 標(biāo)注尺寸經(jīng)換算后得到編程尺寸。其中，50.95mm、17mm及120.05mm 三個(gè)尺寸為分別取兩極限尺寸平均值后得到的編程尺寸。 在取極限尺寸中值時(shí)，如果遇到有第三位小數(shù)值（或更多位小數(shù)），基準(zhǔn)孔按照“四舍五入”的方法處理，基準(zhǔn)軸則將第三位進(jìn)上一位，例如： 當(dāng)孔尺寸為30 0 mm時(shí)，其中值尺寸值取30.04mm；+0.072 當(dāng)軸尺寸為26-0.05 mm時(shí)，其中值尺寸取25.9750.005為25.98mm；0當(dāng)孔尺寸為26 0 mm時(shí)，其中值尺寸取26.03mm。+0.05 第11講 數(shù)控機(jī)床編程中的圖形數(shù)學(xué)處理( b )( a )23 83 02 4 5 03 0

6、4 0+ 0 . 1 01 2 01 2 0 . 0 550-0.103 0 3 0 303050.95170.0217133 7 . 3 2圖圖1 標(biāo)注尺寸換算標(biāo)注尺寸換算(b)(a)238302 45 03040+0.10120120.0550-0.103030303050.95170.02171337.32 第11講 數(shù)控機(jī)床編程中的圖形數(shù)學(xué)處理2）間接換算）間接換算 指需要通過(guò)平面幾何、三角函數(shù)等計(jì)算方法進(jìn)行必要解算后，才能得到其編程尺寸的一種方法。 用間接換算方法所換算出來(lái)的尺寸，是直接編程時(shí)所需的基點(diǎn)坐標(biāo)尺寸，也可以是為計(jì)算某些基點(diǎn)坐標(biāo)值所需要的中間尺寸。圖1b 中所示的尺寸37.

7、32mm就是間接換算后得到的編程尺寸。2尺寸鏈計(jì)算尺寸鏈計(jì)算 如果僅僅為得到其編程尺寸，只須按上述方法即可。但在數(shù)控加工中，除了需要準(zhǔn)確地得到其編程尺寸外，還需要掌握控制某些重要尺寸的允許變動(dòng)量，這就需要通過(guò)尺寸鏈解算才能得到。 第11講 數(shù)控機(jī)床編程中的圖形數(shù)學(xué)處理 在數(shù)控加工中，除了要準(zhǔn)確地獲得編程尺寸外，還要掌握控制某些重要尺寸的允許變動(dòng)量，這就要通過(guò)尺寸鏈解算才能得到，故尺寸鏈解算是數(shù)學(xué)處理中的一個(gè)重要內(nèi)容。尺寸鏈的基本概念：尺寸鏈的基本概念： 在機(jī)器裝配或零件加工過(guò)程中，由相互連接的尺寸形成的封閉尺寸組，稱為尺寸鏈。尺寸鏈按其功能分為設(shè)計(jì)尺寸鏈和工藝尺寸鏈。（1）設(shè)計(jì)尺寸鏈）設(shè)計(jì)尺寸

8、鏈 組成尺寸全部為設(shè)計(jì)尺寸形成的尺寸鏈即為設(shè)計(jì)尺寸鏈，它又分為兩種：一種是裝配尺寸鏈。即全部組成尺寸為不同零件設(shè)計(jì)尺寸所形成的尺寸鏈。另一種是零件尺寸鏈。即全部組成尺寸為同一零件的設(shè)計(jì)尺寸所形成的尺寸鏈。 第11講 數(shù)控機(jī)床編程中的圖形數(shù)學(xué)處理（2）工藝尺寸鏈）工藝尺寸鏈 組成尺寸全部為同一零件的工藝尺寸所形成的尺寸鏈即為工藝尺寸鏈。所謂工藝尺寸，是加工要求而形成的尺寸，如工序尺寸、定位尺寸等。（3）尺寸鏈簡(jiǎn)圖）尺寸鏈簡(jiǎn)圖 如圖圖2 a 所示，設(shè)計(jì)圖樣上標(biāo)注的設(shè)計(jì)尺寸為A1、A0，鉆孔時(shí)若以左側(cè)面為定位基準(zhǔn)，則A2及A1為鉆孔時(shí)的工藝尺寸（或工序尺寸），A0則變?yōu)榧庸み^(guò)程中最后形成的尺寸。此時(shí)

9、，A1、A2、A0形成封閉外形，如圖圖2 b 所示。繪制工藝尺寸鏈簡(jiǎn)圖時(shí)，應(yīng)由加工中自然形成的尺寸畫起，然后依次給出與該處尺寸要求有關(guān)的尺寸。 第11講 數(shù)控機(jī)床編程中的圖形數(shù)學(xué)處理A1A0A1A0A2（ a ）（ b ）圖圖2 工藝尺寸鏈簡(jiǎn)圖工藝尺寸鏈簡(jiǎn)圖A1A0A1A0A2（ a）（ b） 第11講 數(shù)控機(jī)床編程中的圖形數(shù)學(xué)處理（4）尺寸鏈的環(huán)）尺寸鏈的環(huán) 列入尺寸鏈中的每一個(gè)尺寸都稱為尺寸鏈中的“環(huán)”。由長(zhǎng)度尺寸表示的環(huán)則稱為長(zhǎng)度環(huán)，并用大寫斜體字母A、B、C表示。每個(gè)尺寸鏈中至少應(yīng)有3個(gè)環(huán)。1）封閉環(huán)）封閉環(huán)2）組成環(huán)）組成環(huán) 在零件加工或機(jī)器裝配過(guò)程中，最后自然形成（間接獲得）的環(huán)稱

10、為封閉環(huán)。封閉環(huán)以加下標(biāo)“0”表示，如圖圖2 b 中的A0是封閉環(huán)。一個(gè)尺寸鏈中只能有一個(gè)封閉環(huán)。 尺寸鏈中除封閉環(huán)以外的其余各環(huán)均稱為組成環(huán)。同一尺寸鏈中的組成環(huán)用同一字母、不同的下標(biāo)表示，如圖圖2 b 中的A1、A2都是組成環(huán)。 第11講 數(shù)控機(jī)床編程中的圖形數(shù)學(xué)處理3）增環(huán)）增環(huán)4）減環(huán)）減環(huán) 在尺寸鏈簡(jiǎn)圖上，任意假設(shè)一個(gè)旋轉(zhuǎn)方向，即由尺寸鏈中任何一環(huán)的基準(zhǔn)出發(fā)，繞該鏈輪廓轉(zhuǎn)一周，并回到出發(fā)基準(zhǔn)。按該旋轉(zhuǎn)方向（順、逆時(shí)針）給每個(gè)環(huán)標(biāo)出箭頭，如圖圖2 b 所示。凡是其箭頭方向與封閉環(huán)相反的為增環(huán)，箭頭方向與封閉環(huán)相同的則為減環(huán)。 在其他組成環(huán)（尺寸）不變的條件下，當(dāng)某個(gè)組成環(huán)增大時(shí)，封閉環(huán)

11、亦隨之增大，則該組成環(huán)稱為增環(huán)。增環(huán)用字母上加符號(hào)“”表示。 在其他組成環(huán)不變的條件下，當(dāng)某個(gè)組成環(huán)增大時(shí)，封閉環(huán)卻隨之減小，則該組成環(huán)稱為減環(huán)。減環(huán)用字母上加“”符號(hào)表示。 第11講 數(shù)控機(jī)床編程中的圖形數(shù)學(xué)處理（5）解尺寸鏈）解尺寸鏈 在手工編程工作中，為了使圖樣上的給定尺寸符合工藝要求和編程的需要，常常要計(jì)算封閉環(huán)的各有關(guān)尺寸，或根據(jù)已知的封閉環(huán)去計(jì)算所需的某個(gè)組成環(huán)，這些解算工作稱為解封閉環(huán)。下面介紹采用完全互換法中的極值法求解封閉環(huán)的過(guò)程。1）封閉環(huán)的基本尺寸）封閉環(huán)的基本尺寸 封閉環(huán)的基本尺寸等于所有增環(huán)的基本尺寸之和減去所有減環(huán)的基本尺寸之和，其計(jì)算分式為：nnLLL0式中：L

12、0 封閉環(huán)的基本尺寸； L n n個(gè)環(huán)的基本尺寸。 第11講 數(shù)控機(jī)床編程中的圖形數(shù)學(xué)處理2）封閉環(huán)的最大極限尺寸）封閉環(huán)的最大極限尺寸 封閉環(huán)的最大極限尺寸等于所有增環(huán)的最大極限尺寸之和減去所有減環(huán)的最小極限尺寸之和，其計(jì)算公式為：min,max,max,0nnLLL式中：L0,max 封閉環(huán)的最大極限尺寸； L n, max n 個(gè)環(huán)的最大極限尺寸； L n, min n 個(gè)環(huán)的最小極限尺寸。 第11講 數(shù)控機(jī)床編程中的圖形數(shù)學(xué)處理max,min,min,0nnLLL式中：L0,min 封閉環(huán)的最小極限尺寸。 如因驗(yàn)算或工藝要求需要解算出封閉環(huán)的極限偏差或公差，則可按有關(guān)尺寸公差的知識(shí)解決

13、。3）封閉環(huán)的最小極限尺寸）封閉環(huán)的最小極限尺寸 封閉環(huán)的最小極限尺寸等于所有增環(huán)的最小極限尺寸之和減去所有減環(huán)的最大極限尺寸之和，其計(jì)算公式為： 第11講 數(shù)控機(jī)床編程中的圖形數(shù)學(xué)處理11.2 直線和圓弧輪廓基點(diǎn)計(jì)算方法直線和圓弧輪廓基點(diǎn)計(jì)算方法1.基點(diǎn)的含義基點(diǎn)的含義 一個(gè)零件的輪廓曲線可能由許多不同的幾何要素所組成，如直線、圓弧、二次曲線等。構(gòu)成零件輪廓的不同幾何要素的交點(diǎn)或切點(diǎn)稱為基點(diǎn)。如直線與直線的交點(diǎn)，直線與圓弧的交點(diǎn)或切點(diǎn)，圓弧與二次曲線的交點(diǎn)或切點(diǎn)等?；c(diǎn)坐標(biāo)是編程中需要的重要數(shù)據(jù)，可以直接作為其運(yùn)動(dòng)軌跡的起點(diǎn)或終點(diǎn)，如圖圖3 所示。2.基點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算基點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算 基點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算的

14、主要內(nèi)容有：每條運(yùn)動(dòng)軌跡（線段）的起點(diǎn)或終點(diǎn)在選定坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值和圓弧運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心坐標(biāo)值。 第11講 數(shù)控機(jī)床編程中的圖形數(shù)學(xué)處理 基點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算的方法比較簡(jiǎn)單，一般可根據(jù)零件圖紙所給已知條件用人工完成。即依據(jù)零件圖紙給定的尺寸，運(yùn)用代數(shù)、三角、幾何或解析幾何的有關(guān)知識(shí)，直接計(jì)算出數(shù)值。 例如圖圖4中，基點(diǎn)A、B、D、E的坐標(biāo)值，從圖中給出的尺寸可以很容易地得到，如A（0，0），B（0，12），D（110，26），E（110，0）。但基點(diǎn)C是過(guò)B點(diǎn)的直線與圓心為O2、半徑為30的圓弧的切點(diǎn)，這個(gè)尺寸，圖中并未直接給出，要用解聯(lián)立方程組的方法，才能求出切點(diǎn)C的坐標(biāo)。 第11講 數(shù)控機(jī)床編程中的

15、圖形數(shù)學(xué)處理ABCDEABCDEF(a)(b)圖圖3 3 零件輪廓上的基點(diǎn)和節(jié)點(diǎn)零件輪廓上的基點(diǎn)和節(jié)點(diǎn)圖圖4 4 基點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算基點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算 第11講 數(shù)控機(jī)床編程中的圖形數(shù)學(xué)處理 求C點(diǎn)的坐標(biāo)值有多種方法，這里采用直線方程與圓方程聯(lián)立求解的方法。先求出直線BC的方程，然后與圓心為O2、半徑為30的圓的方程聯(lián)立求解。為了計(jì)算方便，可先將坐標(biāo)原點(diǎn)選在B點(diǎn)上，構(gòu)成新的坐標(biāo)系。 由圖可知，在新的坐標(biāo)系中，圓心為O2 、半徑為30的圓方程是：222301480YX 過(guò)B點(diǎn)的直線方程為Y= k X。直線BC的方程當(dāng)然也如此。此時(shí)k= tan（）。為求k值，應(yīng)求出及值。由圖可知： 第11講 數(shù)控機(jī)床編程中的

16、圖形數(shù)學(xué)處理tan =（2612）80=0.17511029而B(niǎo)O O2= =81.215，CO O2=30，228014 Sin = CO O2BO O2 0.3694，于是：24.087 ； tan（）0.6153即k= 06153。將兩方程聯(lián)立：222301480YXY=0.6153X可求得以B為原點(diǎn)的C點(diǎn)坐標(biāo)是（64.278，39.550）。 第11講 數(shù)控機(jī)床編程中的圖形數(shù)學(xué)處理 換成編程用的以A點(diǎn)為原點(diǎn)的坐標(biāo)值，則得 C（64.278，51.550）。在計(jì)算時(shí)，要注意將小數(shù)點(diǎn)后邊的位數(shù)留夠，以保證足夠的精度。 求其他零件幾何元素的基點(diǎn)坐標(biāo)與上例類似。從原理上講，求基點(diǎn)坐標(biāo)是比較簡(jiǎn)單

17、的，但運(yùn)算過(guò)程可能十分繁雜。因此，為了提高編程效率，應(yīng)盡量使用自動(dòng)編程系統(tǒng)或用計(jì)算機(jī)輔助完成坐標(biāo)數(shù)據(jù)的計(jì)算。 第11講 數(shù)控機(jī)床編程中的圖形數(shù)學(xué)處理11.3 非圓曲線的節(jié)點(diǎn)計(jì)算非圓曲線的節(jié)點(diǎn)計(jì)算 當(dāng)被加工零件輪廓形狀與機(jī)床的插補(bǔ)功能不一致時(shí)，如在只有直線和圓弧插補(bǔ)功能的數(shù)控機(jī)床上加工橢圓、雙曲線、拋物線、阿基米德螺旋線或用一系列坐標(biāo)點(diǎn)表示的列表曲線時(shí)，就要用直線或圓弧去逼近被加工曲線。這時(shí)，逼近線段與被加工曲線的交點(diǎn)就稱為節(jié)點(diǎn)。如圖圖5所示的曲線當(dāng)用直線逼近時(shí)，其交點(diǎn)A、B、C、D、E、F等即為節(jié)點(diǎn)。 在編程時(shí)，要計(jì)算出節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)，并按節(jié)點(diǎn)劃分程序段。節(jié)點(diǎn)數(shù)目的多少，由被加工曲線的特性方程（形

18、狀）、逼近線段的形狀和允許的插補(bǔ)誤差來(lái)決定。 第11講 數(shù)控機(jī)床編程中的圖形數(shù)學(xué)處理 顯然，當(dāng)選用的數(shù)控機(jī)床系統(tǒng)具有相應(yīng)幾何曲線的插補(bǔ)功能時(shí)，編程中的數(shù)值計(jì)算是最簡(jiǎn)單的，只需求出基點(diǎn)坐標(biāo)，而后按基點(diǎn)劃分程序段就行了。但一般數(shù)控機(jī)床不具備二次曲線與列表曲線的插補(bǔ)功能，因此就要用逼近法加工，這就需要求出節(jié)點(diǎn)的數(shù)目及其坐標(biāo)值。為了編程方便，一般都采用直線段去逼近已知的曲線，這種方法稱為直線逼近，或稱線性插補(bǔ)。常用的逼近方法主要有等間距直線逼近法、等弦長(zhǎng)直線逼近法、等誤差直線逼近法和圓弧逼近法等。 第11講 數(shù)控機(jī)床編程中的圖形數(shù)學(xué)處理ABCDEF圖圖5 5 零件輪廓上的節(jié)點(diǎn)零件輪廓上的節(jié)點(diǎn) 第11講

19、 數(shù)控機(jī)床編程中的圖形數(shù)學(xué)處理1. 非圓曲線的節(jié)點(diǎn)計(jì)算非圓曲線的節(jié)點(diǎn)計(jì)算 用直線或圓弧逼近曲線y = f（x）時(shí)，節(jié)點(diǎn)的數(shù)目及其坐標(biāo)值主要取決于曲線的特性、逼近段的形狀及允許的逼近誤差。根據(jù)這三個(gè)條件，可以用數(shù)學(xué)方法求出各節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)，采用直線還是圓弧作為逼近線段，主要根據(jù)是在保證逼近精度的前提下，使節(jié)點(diǎn)數(shù)目盡量少，這樣程序段數(shù)目少，計(jì)算簡(jiǎn)單。對(duì)于曲率半徑大的曲線用直線逼近較為有利，若曲率半徑較小則用圓弧逼近較為合理。下面介紹常用的幾種節(jié)點(diǎn)計(jì)算方法。 第11講 數(shù)控機(jī)床編程中的圖形數(shù)學(xué)處理（1）等間距直線逼近法）等間距直線逼近法 這種方法是使每一個(gè)程序段中的某一個(gè)坐標(biāo)的增量相同。在直角坐標(biāo)系中，

20、可令X坐標(biāo)的增量相同。如圖圖6所示，已知方程Y= f（X），根據(jù)給定的X，可求出Xi，將Xi代人方程Y= f（X）中，即可求得一系列Yi，得到一系列點(diǎn)的坐標(biāo)（X0，Y0），（X1，Y1），( Xi，Yi)，這些點(diǎn)即為所求節(jié)點(diǎn)，也是每個(gè)逼近線段的終點(diǎn)。用這些點(diǎn)的坐標(biāo)可以編制直線加工程序段。X的大小取決于曲線的形狀和逼近誤差，一般先取X= 0.l mm試算。校驗(yàn)的方法如圖圖6所示。 第11講 數(shù)控機(jī)床編程中的圖形數(shù)學(xué)處理圖圖6 6 等間距節(jié)點(diǎn)計(jì)算等間距節(jié)點(diǎn)計(jì)算 第11講 數(shù)控機(jī)床編程中的圖形數(shù)學(xué)處理 設(shè)m n為某一逼近線段，作m n平行于m n并與曲線相切，切點(diǎn)至m n的距離為允允，設(shè)MN的方程為

21、：AXBYC = 0則m n的方程為：AXBYC 允允 =0 （11 - 1）22BA設(shè)m為（X1，Y1），n為（X2，Y2），則上式中A = Y1Y2B = X1X2C = Y1（X1X2）X1（Y1Y2） 第11講 數(shù)控機(jī)床編程中的圖形數(shù)學(xué)處理設(shè)m為（X1，Y1），n為（X2，Y2），則上式中：A = Y1-Y2B = X1-X2C = Y1（X1-X2）-X1（Y1-Y2）將（11 - 1）式與曲線方程聯(lián)立： Y = f（X） （11 - 2）AXBYC =022BA允允 其解有三種情況：無(wú)解、一個(gè)解或兩個(gè)解。無(wú)解即表示曲線Y= f（X）與m n無(wú)交點(diǎn)，即逼近誤差小于允允；如果有一個(gè)解，

22、說(shuō)明只有一個(gè)交點(diǎn)，即逼近誤差等于允允；如果有兩個(gè)解，說(shuō)明有兩個(gè)交點(diǎn)，即逼近誤差接近允允。顯然無(wú)解或有一個(gè)解的情況是滿足誤差要求的。 第11講 數(shù)控機(jī)床編程中的圖形數(shù)學(xué)處理 有兩個(gè)解時(shí)，說(shuō)明逼近誤差取得大了，應(yīng)縮小等間距坐標(biāo)的增量值，一般是使X減半，重新計(jì)算切點(diǎn)并驗(yàn)算逼近誤差，直至上述方程無(wú)解或有一個(gè)解時(shí)為止。（2）等弦長(zhǎng)直線逼近法）等弦長(zhǎng)直線逼近法 這種方法是選擇每個(gè)程序段的直線段長(zhǎng)度相等。由于零件輪廓曲線各處的曲率不同，因此各段的逼近誤差不相等，必須使最大誤差小于允允。一般來(lái)說(shuō)，零件輪廓曲線的曲率半徑最小的地方，逼近誤差最大。據(jù)此，先確定曲率半徑最小的地方，然后在該處按照逼近誤差小于或等于允

23、允的條件求出逼近線段的長(zhǎng)度，用此弦長(zhǎng)分割零件的輪廓曲線，即可求出各節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)。如圖圖7所示。 第11講 數(shù)控機(jī)床編程中的圖形數(shù)學(xué)處理圖圖7 等弦長(zhǎng)節(jié)點(diǎn)計(jì)算等弦長(zhǎng)節(jié)點(diǎn)計(jì)算 第11講 數(shù)控機(jī)床編程中的圖形數(shù)學(xué)處理 在圖圖7中，已知零件輪廓的曲線方程為Y=F（X），則曲線的率半徑為： （11- 3）2/3/)1 (2YYR該式對(duì)X求一階導(dǎo)數(shù)，并令其為零，得： （11 - 4）0)1 ()1 (32/322/ 122 YYYYY 利用（11 - 4）式可求出極值點(diǎn)的X值，將其代入（11 - 3）式中便得最小曲率半徑。對(duì)于半徑為 的圓弧，當(dāng)逼近誤差為允允時(shí)，其逼近的弦長(zhǎng)L為：minR L= 2 2 （1

24、1 - 5）2min2min(）允 RR允min2 R 第11講 數(shù)控機(jī)床編程中的圖形數(shù)學(xué)處理 以曲線的起點(diǎn)a（X a ，Y a）為圓心，L為半徑作圓，與Y = f（X）曲線交于b點(diǎn)，求解聯(lián)立方程：222LYYXXaaY = f（X） 可得b點(diǎn)的坐標(biāo)（X b，Y b）。順次以b，C ，為圓心，L為半徑作圓，重復(fù)上述步驟，即可求得c ，d，e 各節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)值。 該方法與等間距直線逼近法比較，計(jì)算復(fù)雜，但程序段少，適用于曲率變化不大的曲線的節(jié)點(diǎn)計(jì)算。 第11講 數(shù)控機(jī)床編程中的圖形數(shù)學(xué)處理（3）等誤差直線逼近法）等誤差直線逼近法 該方法是使每個(gè)直線段的逼近誤差相等，并小于或等于允允 。如圖8所示：

25、圖圖8 等誤差節(jié)點(diǎn)計(jì)算等誤差節(jié)點(diǎn)計(jì)算 第11講 數(shù)控機(jī)床編程中的圖形數(shù)學(xué)處理計(jì)算步驟如下： 確定允允的圓方程。即以本段起點(diǎn)a（X a ，Y a）為圓心，以允允為半徑作圓，其方程式為：222允aaYYXX 求圓與曲線公切線PT的斜率k：K =（YT- YP）（XT- XP） 求直線PT的方程。解如下聯(lián)立方程： 圓方程 圓切線方程 曲線方程 曲線切線方程可得XT ，XP ，YT ，YP，并得到直線PT的方程。ppXFY)()()(PPTPTXFXXYYTTXfY)()()(TPTPTXfXXYY 第11講 數(shù)控機(jī)床編程中的圖形數(shù)學(xué)處理 求弦a b的方程。因?yàn)閍 b與PT平行，所以弦a b的方程為：

26、Y Y a = k（X - X a） 求b點(diǎn)及其他各點(diǎn)坐標(biāo)。求解聯(lián)立方程：Y = f（X）Y Y a= k（X - X a） 可得b點(diǎn)的坐標(biāo)（X b ，Y b）。重復(fù)上述步驟，可依次求得c 、d、各節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)值。 此方法計(jì)算較繁瑣，但因求得的切點(diǎn)數(shù)目最少，故目前應(yīng)用最為普遍。 第11講 數(shù)控機(jī)床編程中的圖形數(shù)學(xué)處理（4）圓弧逼近法）圓弧逼近法 上面講述的三種方法都是直線段逼近曲線的方法，如果數(shù)控系統(tǒng)具有圓弧插補(bǔ)功能，也可以用圓弧段去逼近工件的輪廓曲線。這時(shí)，需求出每段圓弧的圓心、起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)，以及圓弧的半徑。計(jì)算節(jié)點(diǎn)的依據(jù)依然是要使圓弧段與工件輪廓曲線間的誤差小于或等于允許的逼近誤差允允。

27、 用圓弧逼近曲線，目前常用的算法有三點(diǎn)圓法、相切圓法和曲率圓法。三點(diǎn)圓法是通過(guò)已知的三個(gè)節(jié)點(diǎn)求圓，并作為一個(gè)圓弧插補(bǔ)程序段。相切圓法是通過(guò)已知的四個(gè)節(jié)點(diǎn)分別做出兩個(gè)相切的圓，編出兩個(gè)圓弧插補(bǔ)程序段。這兩種方法都是先用直線逼近方法求出各節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后再求出各圓，計(jì)算很繁瑣。圖圖9所示為一種等誤差逼近的曲率圓法。 第11講 數(shù)控機(jī)床編程中的圖形數(shù)學(xué)處理圖圖9 9 圓弧逼近節(jié)點(diǎn)計(jì)算圓弧逼近節(jié)點(diǎn)計(jì)算 第11講 數(shù)控機(jī)床編程中的圖形數(shù)學(xué)處理其計(jì)算步驟如下： 求曲線Y= f（X）在起始點(diǎn)（X n ，Y n）處的曲率半徑和圓心坐標(biāo)（R n ， n， n）：R n = nnYY2/32)1( n = X n

28、 -21nnnYYY n = Y n21nnYY以點(diǎn)（ n， n）為圓心，R n 允為半徑作圓，與曲線相交，求其交點(diǎn)（Xn+1，Yn+1）。解聯(lián)立方程： 第11講 數(shù)控機(jī)床編程中的圖形數(shù)學(xué)處理（X- n）（Y- n） =（R n允允）222Y = f（X） 求過(guò)點(diǎn)（X n，Y n）和（Xn+1，Yn+1）且半徑為R n的圓的圓心（ m， m）。即解聯(lián)立方程： 即可求得圓弧的圓心坐標(biāo)（ m， m）。該圓弧即為等誤差曲率圓法的逼近圓弧段，其起點(diǎn)為（X n ，Y n），終點(diǎn)為（Xn+1，Yn+1），圓心坐標(biāo)為（ m， m），半徑為R n 。（X n m） （Y n m） = R n（X n +1 m

29、） （Y n +1 m） = R n222222 第11講 數(shù)控機(jī)床編程中的圖形數(shù)學(xué)處理 重復(fù)上述步驟，可依次求得其他逼近圓弧段。 在上述四種逼近計(jì)算中，只是計(jì)算了曲線輪廓的逼近線段或圓弧線段。對(duì)于無(wú)刀具半徑自動(dòng)補(bǔ)償?shù)臄?shù)控系統(tǒng)，還應(yīng)用等距線或等距圓的數(shù)學(xué)方法計(jì)算刀具中心軌跡的各節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，作為編程的依據(jù)。2. 列表曲線的數(shù)學(xué)處理列表曲線的數(shù)學(xué)處理 被加工零件的輪廓形狀，除了可以用直線、圓弧或其他非圓曲線組成之外，還可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)或測(cè)量的方法得到。這些通過(guò)實(shí)驗(yàn)或測(cè)量得到的數(shù)據(jù)，在圖紙上以坐標(biāo)點(diǎn)的表格形式給出。 這種由列表點(diǎn)（又稱為型值點(diǎn)）給出的輪廓曲線稱為列表曲線。這類列表輪廓零件在以傳統(tǒng)的工藝方法

30、加工時(shí)，其加工質(zhì)量完全取決于鉗工的技術(shù)水平，且生產(chǎn)效率極低。 第11講 數(shù)控機(jī)床編程中的圖形數(shù)學(xué)處理 目前廣泛采用數(shù)控加工，但在加工程序的編制方面遇到了較大困難，這主要是由于數(shù)學(xué)方程的描述與數(shù)控加工對(duì)列表曲線輪廓逼近的一般要求之間，往往存在矛盾。也就是說(shuō)，要獲得比較理想的擬合效果，其數(shù)學(xué)處理過(guò)程相應(yīng)就會(huì)比較復(fù)雜。 若列表曲線給出的列表點(diǎn)密至足以滿足曲線的精度要求時(shí)，可直接在相鄰列表點(diǎn)間用直線段或圓弧編程。但往往給出的只是一部分點(diǎn)，只能描述曲線的大致走向，這時(shí)，就要增加新的節(jié)點(diǎn)，也稱插值。在數(shù)學(xué)處理方面，目前處理列表曲線的方法通常是采用二次擬合法。即在對(duì)列表曲線進(jìn)行擬合時(shí)，第一次先選擇直線方程或

31、圓方程之外的其他數(shù)學(xué)方程式來(lái)擬合列表曲線，稱為第一次擬合。 第11講 數(shù)控機(jī)床編程中的圖形數(shù)學(xué)處理 對(duì)列表曲線進(jìn)行數(shù)學(xué)處理，傳統(tǒng)的方法有牛頓插值法、三次樣條曲線擬合、圓弧樣條擬合與雙圓弧樣條擬合等。目前應(yīng)用更多的是計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)中的各種建模方法。如Bezier曲線、NURBS曲線等。這些模型在多種CADCAM系統(tǒng)中都能實(shí)現(xiàn)。 然后根據(jù)編程允差的要求，在已給定的各相鄰列表點(diǎn)之間，按照第一次擬合時(shí)的方程（稱為差值方程）進(jìn)行插點(diǎn)加密求得新的節(jié)點(diǎn)，也稱第二次曲線擬合，從而編制逼近線段的程序。插值加密后相鄰節(jié)點(diǎn)之間，采用直線段編程還是圓弧段編程，取決于第二次擬合時(shí)所選擇的方法。第二次擬合的數(shù)學(xué)處理過(guò)

32、程，與前面介紹的非圓曲線數(shù)學(xué)處理過(guò)程一致。 第11講 數(shù)控機(jī)床編程中的圖形數(shù)學(xué)處理3. 空間曲面的數(shù)學(xué)處理空間曲面的數(shù)學(xué)處理 有的空間曲面可以用方程 z = f（x ，y)來(lái)描述，如球面、錐面、鞍形面等。這類曲面數(shù)控機(jī)床上加工時(shí)，無(wú)論是行切法還是用多坐標(biāo)加工，都可以根據(jù)曲面方程來(lái)計(jì)算其加工軌跡。但是還有大量的空間曲面，如飛機(jī)機(jī)體、汽車車身、模具的型腔等，只有模型、實(shí)物或?qū)嶒?yàn)數(shù)據(jù)，沒(méi)有描述它們的解析方程。這類曲面要進(jìn)行數(shù)控加工時(shí)，首先就是建立曲面的數(shù)學(xué)模型。 為了建立曲面的數(shù)學(xué)模型，首先在零件模型或?qū)嵨锏谋砻嫔蟿澇鰴M向和縱向兩組參數(shù)線，這兩組線在零件表面上構(gòu)成網(wǎng)格，這些網(wǎng)格定義了許多小的曲面片，

33、每一塊曲面片都以四條光滑連續(xù)的曲線作為邊界，然后相對(duì)于某一基準(zhǔn)面測(cè)定這些網(wǎng)格頂點(diǎn)的坐標(biāo)值。 第11講 數(shù)控機(jī)床編程中的圖形數(shù)學(xué)處理 這樣，就可以根據(jù)這些頂點(diǎn)的坐標(biāo)，對(duì)兩組曲線和被曲線劃分的網(wǎng)格的每塊曲面片進(jìn)行數(shù)學(xué)描述，從而求出曲面的數(shù)學(xué)模型，這就是所謂的曲面擬合。下面介紹幾種常見(jiàn)的數(shù)學(xué)處理方法：（1）簡(jiǎn)單立體型面的數(shù)值計(jì)算）簡(jiǎn)單立體型面的數(shù)值計(jì)算 三坐標(biāo)數(shù)控機(jī)床加工立體型面零件，可由加工數(shù)個(gè)平面曲線疊加而成。因此，平面零件的數(shù)值計(jì)算方法，可以在三坐標(biāo)數(shù)控機(jī)床加工立體零件中應(yīng)用。簡(jiǎn)單立體型面零件是指以直線為母線沿導(dǎo)線運(yùn)動(dòng)所形成的立體型面。如圖圖10所示，母線是與Z軸夾角為的直線，導(dǎo)線是橢圓，母線

34、沿導(dǎo)線運(yùn)動(dòng)掃過(guò)的面為橢圓錐體，它是簡(jiǎn)單立體型面的例子。 第11講 數(shù)控機(jī)床編程中的圖形數(shù)學(xué)處理 這類零件，可在三坐標(biāo)數(shù)控銑床上用球頭刀或圓弧盤銑刀采用“行切法”加工，此時(shí)刀具沿X一Y平面運(yùn)動(dòng)一圈，在零件輪廓上加工出一個(gè)平面曲線，然后在Z方向移動(dòng)一個(gè)行距Z，再加工出一個(gè)新的平面曲線，直至整個(gè)表面加工完。 就加工每個(gè)平面曲線來(lái)說(shuō)，其數(shù)值計(jì)算方法與平面曲線零件的數(shù)值計(jì)算方法相同。對(duì)立體型面來(lái)說(shuō)，還需解決兩個(gè)問(wèn)題，即合理確定行距Z和計(jì)算球頭銑刀的有效半徑 r 。如圖圖11所示。 第11講 數(shù)控機(jī)床編程中的圖形數(shù)學(xué)處理圖圖10 10 簡(jiǎn)單立體型面的數(shù)控加工簡(jiǎn)單立體型面的數(shù)控加工 第11講 數(shù)控機(jī)床編程中

35、的圖形數(shù)學(xué)處理圖圖11 行距與切殘量的關(guān)系行距與切殘量的關(guān)系 第11講 數(shù)控機(jī)床編程中的圖形數(shù)學(xué)處理 當(dāng)球頭刀從O點(diǎn)移動(dòng)一個(gè)行距Z至O點(diǎn)時(shí)，在加工表面留下殘留面積，其高度為h。這樣就造成了加工表面的微觀不平度，行距越大，微觀不平度也越大。若表面粗糙度允許的表面不平度為h允，則 S = 2 222允允hRh允Rh2所以 Z= S sin = 2 sin 允Rh2 式中：為母線與X一Y平面的夾角，即= 90-。當(dāng)母線為曲線時(shí)，角決定于曲線在該點(diǎn)的斜率；當(dāng)母線為直線時(shí)，為常數(shù)。不變時(shí)，行距Z也不變。 第11講 數(shù)控機(jī)床編程中的圖形數(shù)學(xué)處理 對(duì)于簡(jiǎn)單立體型面，母線為直線，角不變，r亦不變；當(dāng)母線為曲線

36、時(shí)，線上各點(diǎn)的角不同，r也隨之變化。簡(jiǎn)單立體型面編程的計(jì)算方法與平面輪廓曲線相同。計(jì)算刀具中心軌跡時(shí)，應(yīng)取刀具的有效半徑r。 數(shù)控機(jī)床加工簡(jiǎn)單立體型面零件時(shí)，數(shù)控系統(tǒng)要有三個(gè)坐標(biāo)控制功能，但加工平面曲線只要有兩坐標(biāo)就可以。刀具作Z方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，不要求X，Y方向同時(shí)運(yùn)動(dòng)。這種三坐標(biāo)運(yùn)動(dòng)、兩坐標(biāo)聯(lián)動(dòng)的加工編程方法稱為兩軸半聯(lián)動(dòng)加工。 球頭刀加工時(shí)的實(shí)際有效半徑，與球頭刀和型面接觸的切點(diǎn)斜率有關(guān)。設(shè)球頭刀半徑為R，而刀具的有效半徑為r，則有r = R sin 。 第11講 數(shù)控機(jī)床編程中的圖形數(shù)學(xué)處理（2）自由曲面的數(shù)學(xué)處理）自由曲面的數(shù)學(xué)處理 對(duì)于自由曲面零件，如蝸輪葉片及各種其他葉片、機(jī)翼翼型、汽

37、車覆蓋件模具等，不管是通過(guò)計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)還是通過(guò)實(shí)驗(yàn)手段測(cè)定，型面都是用一組列表數(shù)據(jù)表達(dá)的。因此，對(duì)這類零件進(jìn)行數(shù)控加工編程時(shí)，常常都是以三維坐標(biāo)點(diǎn)（X i ，Y i ，Z i ）表示的。 自由曲面的擬合方法很多，有B樣條法、貝齊爾（Bezier）方法、高斯（Coons）方法等。B樣條法和高斯方法需用反求法實(shí)現(xiàn)插補(bǔ)，因而適于對(duì)精度要求高的曲面；在粗加工和半精加工中時(shí)常采用貝齊爾方法。 第11講 數(shù)控機(jī)床編程中的圖形數(shù)學(xué)處理（3）組合曲面的數(shù)學(xué)處理）組合曲面的數(shù)學(xué)處理 組合曲面是指由多種曲面，包括解析曲面及自由曲面相貫而成的復(fù)雜的曲面，這種曲面在飛機(jī)、艦船、汽車、模具及其他制造業(yè)中有著廣泛應(yīng)用。

38、 組合曲面的處理是CADCAM中的一個(gè)較難解決的問(wèn)題，可通過(guò)曲面求交等方法來(lái)處理，但都有一定的局限性。以下介紹處理組合曲面的“最高點(diǎn)法”。 最高點(diǎn)法首先是在XOY坐標(biāo)面上確定一個(gè)有限的矩形區(qū)域，將這個(gè)矩形區(qū)域按一定的步長(zhǎng)網(wǎng)絡(luò)化，然后在每一個(gè)節(jié)點(diǎn)上解曲面方程組，得出各個(gè)曲面元素上的Z坐標(biāo)值，取最大的Z坐標(biāo)值為組合曲面在該點(diǎn)的Z坐標(biāo)。“最高點(diǎn)法”是求取一組曲面在規(guī)定范圍的矢量組的方法。如果這些曲面是解析的，欲求最高點(diǎn)必須求出投影面上每個(gè)點(diǎn)（X，Y）對(duì)應(yīng)的Z坐標(biāo)。 第11講 數(shù)控機(jī)床編程中的圖形數(shù)學(xué)處理 例如，模具型腔是由設(shè)計(jì)圖或物理模型給出的，組成型腔的曲面元素兩兩交出一條空間曲線或折線，有時(shí)設(shè)計(jì)

39、者能設(shè)法求出這些交線方程。 最高點(diǎn)法可一次求出組合曲面的加工數(shù)據(jù)，而不需求相貫線，適用于解析曲面。自由曲面的組合和計(jì)算方法簡(jiǎn)單、直觀。下面對(duì)空間平面圓柱面、圓錐面、橢球面、橢圓拋物面、旋轉(zhuǎn)面及可用方程表示的二次曲面的組合曲面的處理加以說(shuō)明。 最高點(diǎn)法的主要任務(wù)就是求對(duì)應(yīng)于投影面上（X，Y）點(diǎn)的各曲面的Z坐標(biāo)： 第11講 數(shù)控機(jī)床編程中的圖形數(shù)學(xué)處理 平面上Z坐標(biāo)的計(jì)算 空間平面可以有多種定義形式：不共線的三點(diǎn)；平面上一點(diǎn)及其法向矢量；平面上一點(diǎn)及與之相切的圓錐或圓柱；平行平面及兩面的距離；平面方程 a X + b Y + c Z + d = 0 等。無(wú)論平面是如何定義的，最終都可轉(zhuǎn)化成 a X

40、 + b Y +c Z + d = 0的形式。這時(shí)，Z可表示為X、Y的函數(shù)Z=f（X，Y）。由此，對(duì)應(yīng)于每個(gè)點(diǎn)（X，Y）都可求出一個(gè)對(duì)應(yīng)的Z坐標(biāo)。 圓柱面、圓錐面、橢球面、橢圓拋物面、橢圓柱面及旋轉(zhuǎn)面上Z坐標(biāo)的計(jì)算 先給出各曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程式：圓柱面：X Y = Z （設(shè)Z軸為中心軸）；222圓錐面：X Y =（Z tan ） （設(shè)Z軸為中心軸）；222 第11講 數(shù)控機(jī)床編程中的圖形數(shù)學(xué)處理橢球面： =1； 222222cZbYaX橢圓拋物面： ；cZbYaX22222橢圓柱面： （設(shè)z軸為中心軸）；12222bYaX旋轉(zhuǎn)面：母線方程為a X b Y c Z d = 0（a不為0，b、c 不同

41、時(shí)為0），設(shè)旋轉(zhuǎn)軸為Z軸，則旋轉(zhuǎn)面方程為a（X Y ）十b Z c Zd=0222222綜合以上幾種曲面形式，用通式表示為：a X b y c Z d Ze =0222 第11講 數(shù)控機(jī)床編程中的圖形數(shù)學(xué)處理 但因曲面標(biāo)準(zhǔn)方程只在局部坐標(biāo)系中才成立，由多個(gè)曲面組合而成的物體具有整體坐標(biāo)系，由于局部坐標(biāo)系與整體坐標(biāo)系的位置是任意的，因此曲面在整體坐標(biāo)系中不具有標(biāo)準(zhǔn)方程。如果X、Y已知，要求出曲面上對(duì)應(yīng)的Z值，可采用下面的方法： 取兩點(diǎn)（X，Y，0）、（X，Y，m ），其中m 為不等于零的任意值。過(guò)兩點(diǎn)有一條直線L，經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)、平移等坐標(biāo)變換，得出它們?cè)诰植孔鴺?biāo)系中的坐標(biāo)值P1（X1，Y1，Z1），

42、P2（X2，Y2，Z 2），則直線L在局部坐標(biāo)系中的參數(shù)方程為：X = X1 （X2X1）tY = Y1 （Y2Y1）tZ = Z1 （Z2Z 1）t 第11講 數(shù)控機(jī)床編程中的圖形數(shù)學(xué)處理式中：t為參數(shù)，將其代人曲面方程：a X b Y c Z d Z e = 0222得到：aX1（X2X1）t bY1（Y2Y1）t cZ1（Z2Z1）t dZ1（Z2Z1）te = 0222 求出兩個(gè)解t1和t2，即可求出直線與曲面的兩個(gè)交點(diǎn)在局部坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。再通過(guò)旋轉(zhuǎn)、平移變換，便可求出這兩個(gè)點(diǎn)在整體坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。 二次曲面上Z坐標(biāo)的計(jì)算二次曲面上Z坐標(biāo)的計(jì)算，實(shí)際上是已知二次曲面方程：A1X A2

43、Y A3Z A4XYA5YZA6XZA7XA8YA9ZA10=0222求對(duì)應(yīng)于（X，Y）點(diǎn)的Z坐標(biāo)值。 第11講 數(shù)控機(jī)床編程中的圖形數(shù)學(xué)處理二次曲面的普通方程可以化成以Z為未知數(shù)的二次方程：a Z b Zc = 02式中： a = A 3b = A5 YA6 X A 9c = A1X A2Y A4XYA7XA8YA1022解該方程，即得到對(duì)應(yīng)于（X，Y）的Z值：Z = aacbb242 第11講 數(shù)控機(jī)床編程中的圖形數(shù)學(xué)處理11.4 刀位點(diǎn)軌跡坐標(biāo)的計(jì)算刀位點(diǎn)軌跡坐標(biāo)的計(jì)算1. 刀位點(diǎn)的選擇及對(duì)刀刀位點(diǎn)的選擇及對(duì)刀 刀位點(diǎn)是刀具上代表刀具在工件坐標(biāo)系中所在位置的一個(gè)點(diǎn)。編程時(shí)用該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)來(lái)描

44、述刀具的運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)所形成的軌跡稱為編程軌跡。刀位點(diǎn)是僅就刀具作平動(dòng)的數(shù)控加工而言的。對(duì)于包含刀具軸線擺動(dòng)的四坐標(biāo)或五坐標(biāo)數(shù)控加工，應(yīng)使用刀位矢量的概念。 在不使用刀具補(bǔ)償功能編寫程序時(shí)，編程軌跡就是刀具上刀位點(diǎn)的實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡。采用刀具補(bǔ)償功能之后，情況就發(fā)生了變化。刀具半徑補(bǔ)償功能將使實(shí)際的刀位點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡偏移一個(gè)刀具半徑；刀具長(zhǎng)度補(bǔ)償功能則可將刀具長(zhǎng)度的變化疊加到刀具軸向移動(dòng)坐標(biāo)中。 第11講 數(shù)控機(jī)床編程中的圖形數(shù)學(xué)處理 對(duì)于旋轉(zhuǎn)型的刀具，如各種立銑刀、鉆頭等，刀位點(diǎn)的選擇比較簡(jiǎn)單，應(yīng)使刀位點(diǎn)位于刀具軸心線某一確定位置上。對(duì)平底銑刀，選擇刀具底面中心為刀位點(diǎn)。對(duì)于球頭立銑刀可以用球心作為刀位

45、點(diǎn)，也可以用刀端點(diǎn)。用刀端點(diǎn)作為刀位點(diǎn)時(shí)，可以直接測(cè)量其位置，而用球心作為刀位點(diǎn)時(shí)，仍應(yīng)測(cè)量刀端點(diǎn)，然后再換算為球心點(diǎn)坐標(biāo)。 鉆頭類刀具常用鉆頭鉆尖作為刀位點(diǎn)。但編程時(shí)，應(yīng)根據(jù)圖樣上對(duì)加工孔的尺寸標(biāo)注，適當(dāng)增加鉆尖的長(zhǎng)度。數(shù)控車床使用的刀具，由于刀具的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，刀位點(diǎn)選擇有時(shí)比較復(fù)雜。目前數(shù)控車床用機(jī)夾可轉(zhuǎn)位刀片，刀尖處均含有半徑不大的圓弧，數(shù)控編程時(shí)，通常應(yīng)考慮刀尖圓弧半徑對(duì)零件加工尺寸的影響。還有一些刀具，如切槽刀實(shí)際上存在兩個(gè)刀尖位置，選擇哪個(gè)位置作為刀位點(diǎn)主要考慮便于對(duì)刀和測(cè)量，并做出統(tǒng)一規(guī)定。 第11講 數(shù)控機(jī)床編程中的圖形數(shù)學(xué)處理 對(duì)刀是指操作者在啟動(dòng)程序之前，通過(guò)一定的測(cè)量手段，確定刀位點(diǎn)與對(duì)刀點(diǎn)的關(guān)系。實(shí)際中可以用對(duì)刀儀對(duì)刀，其操作比較簡(jiǎn)單，測(cè)量數(shù)據(jù)也比較準(zhǔn)確。也可以在數(shù)控機(jī)床上定位好夾具或安裝好工件之后，使用量塊、塞尺、千分表和各種對(duì)刀附件等，利用機(jī)床上的坐標(biāo)顯示對(duì)刀。2. 刀心軌跡的數(shù)值計(jì)算刀心軌跡的數(shù)值計(jì)