2020年河北省唐山市高考數(shù)學(xué)二模試卷(理科)含答案解析

1、2020 年河北省唐山市高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科）一、選擇題：共 12 小題，每小題5分，共 60 分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的一項(xiàng)。1數(shù) z 滿足（ 1+z）（1+2i） =i ，則復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z 的點(diǎn)位于（）A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限2已知 a，b 為實(shí)數(shù)，則 “a3b3”是 “2a 2b”的（）A 充分不必要條件B 必要不充分條件C充要條件 D 既不充分又不必要條件3已知甲在上班途中要經(jīng)過兩個(gè)路口，在第一個(gè)路口遇到紅燈的概率為0.5，兩個(gè)路口連續(xù)遇到紅燈的概率為0.4，則甲在第一個(gè)路口遇到紅燈的條件下，第二個(gè)路口遇到紅燈的概率為（

2、）A0.6B 0.7C 0.8 D 0.94執(zhí)行如圖的程序框圖，若輸入M 的值為 1，則輸出的 S=（）A 6B 12 C 14 D 205在 ?ABCD 中， AB=2AD=4 ， BAD=60 °， E 為 BC 的中點(diǎn)，則?=（）A 6B 12C 6D 122+=1（ 0 m 1）的兩焦點(diǎn)分別為 F ， F ，若在橢圓C 上存在點(diǎn) P 使得6設(shè)橢圓 C： y12PF1 PF2，則 m 的取值范圍是（）A ， 1）B（0， C，1） D（0， 7函數(shù) f（ x）=cos（ x+） +2sinsin（ x+）的最大值是（）A 1B sinC 2sinD8曲線 y= 和 x2+y2=

3、2 及 x 軸所圍成的封閉圖形的面積是（）A B CD 9 5 名大學(xué)生為唐山世界園藝博覽會(huì)的3 個(gè)場(chǎng)館提供翻譯服務(wù)，每個(gè)場(chǎng)館分配一名或兩名大學(xué)生，則不同的分配方法有（）第 1頁(yè)（共 22頁(yè)）A90 種B180 種C 270 種D 360 種10在四棱錐 PABCD 中， PA底面 ABCD ，底面 ABCD 為正方形， PA=AB ，該四棱錐被一平面截去一部分后， 剩余部分的三視圖如圖， 則截去部分體積與剩余部分體積的比值為（）A BCD11fx）=x在 01m，在（12已知函數(shù)（， ）上的最大值為， 上的最小值為nmn=（），則+A 2B 1 C1D 212在等邊 ABC 中， M 為 A

4、BC 內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)， BMC=120 °，則的最小值是（）A 1BCD二、填空題： （本題共4 小題，每題5 分，共 20 分）13設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)在x 軸上，兩條漸近線方程為y= ±x，則離心率e 為14x，y滿足，則z=3x+4y的最大值是若實(shí)數(shù)15已知 AB 是球 O 的直徑， C，D為球面上兩動(dòng)點(diǎn)， AB CD ，若四面體 ABCD 體積的最大值為 9，則球 O 的表面積為3ax24x 80恒成立，則a的取值范圍是16x1，+）時(shí)，不等式x+ 當(dāng) 三、簡(jiǎn)答題：本大題共70 分。（解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)n 的前 n 項(xiàng)和為 Sn， a1n2 n n2 n+

5、1，數(shù)列 bn 滿足 b1，17已知數(shù)列 a=2，2S=（ n+1） aa=1bnbn+1=（I ）求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；（ ）是否存在正實(shí)數(shù)，便得 bn 為等比數(shù)列？并說明理由18二手車經(jīng)銷商小王對(duì)其所經(jīng)營(yíng)的某一型號(hào)二手汽車的使用年數(shù)x（ 0 x10）與銷售價(jià)格 y（單位：萬(wàn)元 /輛）進(jìn)行整理，得到如表的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：使用年數(shù)246810第 2頁(yè)（共 22頁(yè)）售價(jià)16139.574.5（ ）試求 y 關(guān)于 x 的回歸直線方程； （參考公式：=，=）（ ）已知每輛該型號(hào)汽車的收購(gòu)價(jià)格為w=0.05x 2 1.75x+17.2 萬(wàn)元，根據(jù)（ ）中所求的回歸方程，預(yù)測(cè)x 為何值時(shí)，小王銷售一輛該型

6、號(hào)汽車所獲得的利潤(rùn)z 最大？19如圖，直角三角形ABC 中， BAC=60 °，點(diǎn) F 在斜邊 AB 上，且 AB=4AF D ，E 是平面 ABC 同一側(cè)的兩點(diǎn)， AD 平面 ABC ， BE 平面 ABC ，AD=3 ， AC=BE=4 （ ）求證：平面 CDF 平面 CEF；（ ）點(diǎn) M 在線段 BC 上，異面直線CF 與 EM 所成角的余弦值為，求 CM 的長(zhǎng)20已知點(diǎn)F 為拋物線C： x2=4y 的焦點(diǎn)， A ， B， D 為拋物線C 上三點(diǎn)，且點(diǎn)A 在第一象限，直線 AB 經(jīng)過點(diǎn) F， BD 與拋物線 C 在在點(diǎn) A 處的切線平行，點(diǎn)M為BD 的中點(diǎn)（ ）求證： AM 與

7、 y 軸平行；（ ）求 ABD 面積 S 的最小值21已知函數(shù) f （ x） =xlnx +a，直線 y=x 與曲線 y=f （ x）相切（ ）求 a 的值；（）證明：xex1fx）2 fx0（+（） 請(qǐng)考生在222324三題中任選一題作答， 如果多做， 則按所做的第一題計(jì)分 選修4-1：、 、幾何證明選講 22如圖，四邊形ABCD 內(nèi)接于圓 O，AC 與 BD 相交于點(diǎn) F， AE 與圓 O 相切于點(diǎn) A ，與CD 的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E， ADE= BDC （ ）證明： A 、E、 D、 F 四點(diǎn)共圓；（ ）證明： AB EF 選修 4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程第 3頁(yè)（共 22頁(yè)）23在直角坐標(biāo)

8、系xOy 中，曲線 C1：（ 為參數(shù)， 0 ），曲線 C2 與曲線 C1 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， 以 O 為極點(diǎn)， x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 C3 的極坐標(biāo)方程=2 0O的直線l分別與曲線C1，C2，C3 相交于點(diǎn)AB C為 （ ），過極點(diǎn)， ， （ ）求曲線 C1 的極坐標(biāo)方程；（ ）求 | AC | ?| BC| 的取值范圍 選修 4-5：不等式選講 24fx=x 1|+mx1已知函數(shù)（） |+| |（ ）當(dāng) m=2 時(shí)，求不等式f（ x）4 的解集；（ ）若 m 0， f（ x） 2m，求 m 的最小值第 4頁(yè)（共 22頁(yè)）2020 年河北省唐山市高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科）參考答案與試

9、題解析一、選擇題：共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的一項(xiàng)。1數(shù) z 滿足（ 1+z）（1+2i） =i ，則復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z 的點(diǎn)位于（）A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限【考點(diǎn)】 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算【分析】 由（ 1+z）（ 1+2i） =i ，得到，再利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，求出復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z 的點(diǎn)的坐標(biāo)，則答案可求【解答】 解：由（1 z12i）=i，+）（ +得=，則復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z 的點(diǎn)的坐標(biāo)為： （，），位于第二象限故選： B2已知 a，b 為實(shí)數(shù)，則 “a3b3”是 “2a 2

10、b”的（）A 充分不必要條件B 必要不充分條件C充要條件 D 既不充分又不必要條件【考點(diǎn)】 必要條件、充分條件與充要條件的判斷【分析】 利用函數(shù) y=x 3， y=2 x 在 R 上單調(diào)遞增即可得出【解答】 解：由于函數(shù)y=x 3， y=2x 在 R 上單調(diào)遞增，a3b3” ab “2a2b”? ?“a3 b3”是 “2a2b”的充要條件故選： C3已知甲在上班途中要經(jīng)過兩個(gè)路口， 在第一個(gè)路口遇到紅燈的概率為 0.5，兩個(gè)路口連續(xù)遇到紅燈的概率為 0.4，則甲在第一個(gè)路口遇到紅燈的條件下，第二個(gè)路口遇到紅燈的概率為（）A 0.6B 0.7C 0.8D 0.9【考點(diǎn)】 條件概率與獨(dú)立事件【分析

11、】 由題意可知P（ A） =0.5， P（ AB ） =0.4，利用條件概率公式可求得P（ B 丨 A ）的值【解答】 解：設(shè)第一個(gè)路口遇到紅燈概率為A ，第二個(gè)路口遇到紅燈的事件為B，則 P（ A） =0.5 ，P（ AB ）=0.4，則 P（ B 丨 A）=0.8，故答案選： C4執(zhí)行如圖的程序框圖，若輸入M 的值為 1，則輸出的S=（）第 5頁(yè)（共 22頁(yè)）A6B12C14D20【考點(diǎn)】 程序框圖【分析】 模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的M ， S， k 的值，當(dāng)k=4 時(shí)不滿足條件 k 3，退出循環(huán)，輸出S 的值為 12【解答】 解：模擬執(zhí)行程序，可得M=1 ， S=1，k=1

12、滿足條件k 3， M=3 ，S=4， k=2滿足條件k 3， M=2 ，S=6， k=3滿足條件k 3， M=6 ，S=12， k=4不滿足條件k 3，退出循環(huán)，輸出S 的值為 12故選： B5在 ?ABCD 中， AB=2AD=4 ， BAD=60 °， E 為 BC 的中點(diǎn)，則?=（）A6B12C 6D 12【考點(diǎn)】 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算【分析】 建立平面直角坐標(biāo)系，代入各點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算【解答】 解以 AB 所在直線為x 軸，以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則 A （0，0），B（ 4，0）， C（5，）， D（ 1，）E（，）=（，）， =（ 3， ）=12，故選： D6設(shè)橢

13、圓 C： y2+=1（ 0 m1）的兩焦點(diǎn)分別為F1， F2，若在橢圓C 上存在點(diǎn) P 使得PF1 PF2，則 m 的取值范圍是（）A 1B 0，C1 D0， ）（ ，）（， 【考點(diǎn)】 橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)第 6頁(yè)（共 22頁(yè)）【分析】 求得橢圓的a， b， c，在橢圓C 上存在點(diǎn)P 使得 PF1PF2，等價(jià)為以F1F2 為直徑的圓與橢圓有交點(diǎn)，即有c b，解不等式即可得到所求范圍【解答】 解：橢圓 C： y2+=1（ 0 m1）的 a=1，b=m， c=，在橢圓 C 上存在點(diǎn) P 使得 PF1 PF2，等價(jià)為以 F1F2 為直徑的圓與橢圓有交點(diǎn)，即有 c b，即 m，即為 2m2 1，解得 0 m

14、故選： B7fx）=cosx+2sinsin x+）的最大值是（）函數(shù)（） +（A 1B sinC 2sinD【考點(diǎn)】 三角函數(shù)的最值【分析】 由三角函數(shù)公式整體可得f（ x） =cosx，可得函數(shù)的最大值為1【解答】 解：由三角函數(shù)公式可得f（ x） =cos（ x+）+2sinsin（ x+）=cos （ x+） + 2sinsin（ x+）=cosx+）cossinx+）sin2sinsinx+）（ （+（=cosx+）cossinx+）sin（+（=cos （ x+） =cosx，函數(shù)的最大值為1故選： A8曲線 y=和 x2+y2=2 及 x 軸所圍成的封閉圖形的面積是（）A B C

15、D 【考點(diǎn)】 定積分在求面積中的應(yīng)用【分析】 首先求出曲線的交點(diǎn)，S 陰影=S扇形S 三角形OBA+S 曲多邊形OBA，分別求出其面積，0AC問題得以解決【解答】 解：曲線 y=和 x2+y2=2 及 x 軸所圍成的封閉圖形的面積如圖陰影部所示由，解得 x=1 ，y=1 ，即 A （ 1， 1）， B（ 1， 0），因?yàn)?S 曲多邊形 OBA=dx=|=，第 7頁(yè)（共 22頁(yè)）S 三角形 OBA=×1×1=，S 扇形 0AC=× 2=，S 陰影 =S 扇形 0AC S 三角形 OBA+S 曲多邊形 OBA =+=+，故選： C9 5 名大學(xué)生為唐山世界園藝博覽會(huì)的

16、3 個(gè)場(chǎng)館提供翻譯服務(wù)，每個(gè)場(chǎng)館分配一名或兩名大學(xué)生，則不同的分配方法有（）A90 種B180 種C270 種D 360 種【考點(diǎn)】 計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用【分析】 根據(jù)每個(gè)場(chǎng)館分配一名或兩名大學(xué)生，則 5 人將被分成 3 組，人數(shù)為 1，2，2，先將 5 人分成 3 組，然后按順序分配【解答】 解：由題意知將5 人將被分成3 組，人數(shù)為1，2， 2，則有=15 種，然后將分好的 3 組按一定的順序，分到三個(gè)場(chǎng)館，有A 33=6 種方法，所以不同的分配方案有種15×6=90 ，故選： A10在四棱錐 PABCD 中， PA底面 ABCD ，底面 ABCD 為正方形， PA=AB ，該四棱錐被

17、一平面截去一部分后， 剩余部分的三視圖如圖， 則截去部分體積與剩余部分體積的比值為（）第 8頁(yè)（共 22頁(yè)）ABCD【考點(diǎn)】 由三視圖求面積、體積【分析】根據(jù)幾何體的三視圖， 得出該幾何體是過 BD 且平行于 PA 的平面截四棱錐 P ABCD 所得的幾何體；畫出圖形結(jié)合圖形求出截取部分的體積與剩余部分的體積之比是多少即可【解答】 解：根據(jù)幾何體的三視圖，得；該幾何體是過BD 且平行于 PA的平面截四棱錐 PABCD 所得的幾何體；設(shè) AB=1 ，則截取的部分為三棱錐E BCD ，它的體積為V 三棱錐 E BCD=× × 1×1×=，剩余部分的體積為V剩

18、余部分=VP ABCDV 三棱錐E BCD= ×1= ；四棱錐 2× 1所以截取部分的體積與剩余部分的體積比為：=1：3故選： B11fx）=x在 01m，在（12已知函數(shù)（， ）上的最大值為， 上的最小值為n，則 m+n=（）A 2 B 1 C1D 2【考點(diǎn)】 函數(shù)的最值及其幾何意義fx =1+sinxx 0 1g x =【分析】 通過變形可知 （ ） + ，進(jìn)而可知當(dāng)， ）時(shí)，函數(shù) （ ）+sinx 滿足 g（ 2 x）=g（ x），由此可知在區(qū)間 0，1）（ 1，2 上，函數(shù) f（ x）關(guān)于點(diǎn)（1， 1）中心對(duì)稱，利用對(duì)稱性即得結(jié)論【解答】 解：fx）=x=1+sin

19、x，（+第 9頁(yè)（共 22頁(yè)）記 g（ x）=+sinx，則當(dāng) x 0， 1）時(shí)，g 2x）=sin2 x）=sin x（+（ ，即在區(qū)間 0112fx）關(guān)于點(diǎn)（1 1，） （， 上，函數(shù)（， ）中心對(duì)稱， m+n=2 ，故選： D12在等邊 ABC 中， M 為 ABC 內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)， BMC=120 °，則的最小值是（）A1BCD【考點(diǎn)】 正弦定理【分析】如圖所示，不妨設(shè)等邊ABC 的邊長(zhǎng)為2，M 為 ABC 內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)， BMC=120 °點(diǎn)M 在弦 BC 所對(duì)的弓形上， BQC=120 °由圖可知：當(dāng)點(diǎn)M 取與 y 軸的交點(diǎn)時(shí)，MBC=30 °，可得：

20、 Q， A， C（ 1， 0）， M （x， y）設(shè)參數(shù)方程為：，=t，化為：sin（ +） = 1，解出即可得出【解答】 解：如圖所示，不妨設(shè)等邊 ABC 的邊長(zhǎng)為2，M 為 ABC 內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，BMC=120 °，點(diǎn) M 在弦 BC 所對(duì)的弓形上， BQC=120 °由圖可知：當(dāng)點(diǎn)M 取與 y 軸的交點(diǎn)時(shí)，MBC=30 °，可得： Q，A， C（ 1， 0）， M （ x， y）點(diǎn) M 所在圓的方程為：=設(shè)參數(shù)方程為：，=t，第10頁(yè)（共 22頁(yè)）化為：sin =1，（ + ）解得 t，故選： C二、填空題： （本題共4 小題，每題5 分，共 20 分）13設(shè)雙

21、曲線的焦點(diǎn)在x 軸上，兩條漸近線方程為y= ±x，則離心率e 為【考點(diǎn)】 雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)【分析】 由題意，設(shè)雙曲線的方程為=1，從而得到=，從而求離心率【解答】 解：由題意，設(shè)雙曲線的方程為=1，則兩條漸近線方程為y= ±x，則 = ，則 e=故答案為：14若實(shí)數(shù)x， y 滿足，則 z=3x +4y 的最大值是14【考點(diǎn)】 簡(jiǎn)單線性規(guī)劃【分析】畫出滿足條件的平面區(qū)域，求出角點(diǎn)的坐標(biāo)， 結(jié)合函數(shù)的圖象求出z 的最大值即可第11頁(yè)（共 22頁(yè)）【解答】 解：畫出滿足條件的平面區(qū)域，如圖示：，由，解得 A （2， 2），由 z=3x +4y 得： y= x+，結(jié)合圖象得直線過A

22、 （ 2，2）時(shí)， z 最大，z 的最大值是14，故答案為： 1415已知 AB 是球 O 的直徑， C，D 為球面上兩動(dòng)點(diǎn)，AB CD ，若四面體 ABCD 體積的最大值為9，則球 O 的表面積為36 【考點(diǎn)】 球的體積和表面積【分析】 由題意， ABC 為等腰直角三角形，高為球O 的半徑時(shí)，四面體 ABCD 的體積最大，利用四面體ABCD 體積的最大值為9，求出 R，即可求出球O 的表面積【解答】 解：由題意， ABC 為等腰直角三角形，高為球O 的半徑時(shí)，四面體 ABCD 的體積最大，最大值為=9， R=3，球 O 的表面積為 4R2=36 故答案為： 363ax24x 80恒成立，則a

23、的取值范圍是（ ，16x 1，+）時(shí)，不等式x+當(dāng)2 【考點(diǎn)】 函數(shù)恒成立問題【分析】 分類討論，當(dāng) x 1，0）（0，+）時(shí)，化簡(jiǎn)不等式為a=x+ ，再令 f （x） =x + ，求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求函數(shù)的最值，從而解恒成立問題【解答】 解：當(dāng) x=0 時(shí)，不等式 x3 ax2 4x+8 0 成立，當(dāng) x 1， 0） （ 0， +）時(shí)，第12頁(yè)（共 22頁(yè)）3ax24x8 0可化為a=x +，x+ 令 f （x） =x +，則 f （ x） =1+=，故 x 1， 0）時(shí)， f （ x） 0， x（ 0， 2）時(shí)， f（x） 0；x（ 2， +）時(shí)， f （ x） 0；故 f （x）

24、在 1， 0）上是增函數(shù)，在（ 0，2）上是減函數(shù)，在 2， +）上是增函數(shù)，而 f （ 1） =1+4+8=11， f（ 2）=2 2+2=2，故 a 2；故答案為：（ ， 2 三、簡(jiǎn)答題：本大題共70 分。（解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn， a1=2，2Sn=n 12an n2an+1，數(shù)列 bn 滿足 b1=1，已知數(shù)列 （ + ）bnbn+1=（I ）求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；（ ）是否存在正實(shí)數(shù)，便得 bn 為等比數(shù)列？并說明理由【考點(diǎn)】 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；數(shù)列遞推式【分析】（ ）根據(jù)遞推公式，得到2an=an+1+an 1，繼而得到數(shù)列

25、an 為等差數(shù)列，求出公差 d，即可求出數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式，（ ）根據(jù)遞推公式， 得到 bn+2=4b n，求出 b2，b3，若 bn 為等比數(shù)列， 則滿足（b2）2=b3?b1，繼而求出正實(shí)數(shù) 【解答】 解：（ ）由 2Sn=（ n+1） 2an n2an+1，得到 2Sn1=n2an 1（ n 1） 2an， 2an=（ n+1） 2an n2an+1n2an 1+（ n1） 2an， 2an=an+1+an 1，數(shù)列 an 為等差數(shù)列， 2S1=（ 1+1） 2a1 a2， 4=8 a2，a2=4 ，d=a2 a1=42=2 ， an=2 +2（ n 1） =2n ，（ ） bn ，

26、bn bn+1=?41=1，b2b1=4 ，b2=4 ，bb=4n+1，n+1 n+2 ?=4，第13頁(yè)（共 22頁(yè)） bn+2=4b n， b3=4b 1=4，若 bn 為等比數(shù)列，則（ b2） 2=b3 ?b1，216=4× 1，=18二手車經(jīng)銷商小王對(duì)其所經(jīng)營(yíng)的某一型號(hào)二手汽車的使用年數(shù)x（ 0 x10）與銷售價(jià)格 y（單位：萬(wàn)元/輛）進(jìn)行整理，得到如表的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：使用年數(shù)246810售價(jià)16139.574.5（ ）試求 y 關(guān)于 x 的回歸直線方程； （參考公式：=，=）（ ）已知每輛該型號(hào)汽車的收購(gòu)價(jià)格為w=0.05x 2 1.75x+17.2萬(wàn)元，根據(jù)（ ）中所求的回歸方

27、程，預(yù)測(cè) x 為何值時(shí)，小王銷售一輛該型號(hào)汽車所獲得的利潤(rùn)z 最大？【考點(diǎn)】 線性回歸方程【分析】（ ）由表中數(shù)據(jù)計(jì)算、，求出、 ，即可寫出回歸直線方程；（ ）寫出利潤(rùn)函數(shù) z=y w，利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出x=3 時(shí) z 取得最大值【解答】 解：（ ）由表中數(shù)據(jù)得，=×（ 2+4+6+8+10） =6，= ×（ 16+13+9.5+7+4.5） =10 ，由最小二乘法求得= 1.45，=10 （1.45）× 6=18.7，所以y關(guān)于x的回歸直線方程為y=1.45x18.7；+（ ）根據(jù)題意，利潤(rùn)函數(shù)為21.75x+17.2 =0.05x2 0.3x+1.5

28、，z=yw=（1.45x 18.7）（0.05x）+所以，當(dāng) x=3 時(shí)，二次函數(shù)z 取得最大值；即預(yù)測(cè) x=3 時(shí)，小王銷售一輛該型號(hào)汽車所獲得的利潤(rùn)z 最大19如圖，直角三角形ABC 中， BAC=60 °，點(diǎn) F 在斜邊 AB 上，且 AB=4AF D ，E 是平面 ABC 同一側(cè)的兩點(diǎn)， AD 平面 ABC ， BE 平面 ABC ，AD=3 ， AC=BE=4 （ ）求證：平面 CDF 平面 CEF；第14頁(yè)（共 22頁(yè)）（ ）點(diǎn) M 在線段 BC 上，異面直線CF 與 EM 所成角的余弦值為，求 CM 的長(zhǎng)【考點(diǎn)】 異面直線及其所成的角；平面與平面垂直的判定【分析】（ ）

29、由余弦定理得CF=2且 CF AB ，AD CF ，從而 CF平面 DABE ， DFE為二面角 D CF E 的平面角推導(dǎo)出DFE=90 °，由此能證明平面CDF平面 CEF（ ）以 C 為坐標(biāo)原點(diǎn)， CA 為 x 軸， CB 為 y 軸，建立空間直角坐標(biāo)系C xyz，利用向量法能求出a 的值【解答】 證明：（ ）直角三角形ABC 中， BAC=60 °，AC=4 ，AB=8 ， AF=AB=2 ，由余弦定理得CF=2且 CF AB AD 平面 ABC ，CF ? 平面 ABC ， AD CF，又 AD AB=A ， CF平面 DABE ， CF DF， CF EF DF

30、E 為二面角 D CF E 的平面角又 AF=2 ， AD=3 ， BE=4 ， BF=6 ，故 Rt ADF Rt BFE ADF= BFE ， AFD + BFE= AFD + ADF=90 °， DFE=90 °， D CF E 為直二面角平面 CDF平面 CEF 解：（ ）以 C 為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C xyz ，則 C（ 0，0， 0），B （ 0，4，0）， E（ 0， 4， 4），F(xiàn)（ 3， 0）， M（ 0， a， 0），（ 0 a4） =（3， ， 0）， =（ 0，a 4 ， 4），異面直線CF 與 EM 所成角的余弦值為，| cos

31、?，| =，解得 a=，故 CM= 第15頁(yè)（共 22頁(yè)）20已知點(diǎn) F 為拋物線 C： x2=4y 的焦點(diǎn)， A ， B， D 為拋物線 C 上三點(diǎn)，且點(diǎn) A 在第一象限，直線 AB 經(jīng)過點(diǎn) F， BD 與拋物線 C 在在點(diǎn) A 處的切線平行，點(diǎn) M 為 BD 的中點(diǎn)（ ）求證： AM 與 y 軸平行；（ ）求 ABD 面積 S 的最小值【考點(diǎn)】 拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)【分析】（ I ）設(shè)出 A ，B，D 三點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)kBD =y |列方程根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出 M 的橫坐標(biāo)即可；（ II ）求出直線 BD 的方程， 求出 AM 和 B 到直線 AM 的距離， 則 S ABD =2SABM ，求

32、出 S 關(guān)于 xA 的函數(shù)，利用基本不等式求出函數(shù)的最小值【解答】 證明：（ ）設(shè) A（ x0，）， B （ x1，）， D（ x2，）（ x00）由 x2=4y 得 y=， y= ， kBD = ，又 kBD =，=， =x0，即 xM=x 0AM 與 y 軸平行解：（ ） F（ 0， 1），第16頁(yè)（共 22頁(yè)）kAF=， kBF=A ， B， F 三點(diǎn)共線， kAF=k BF，=，整理得（ x0x1+4）（x0 x1） =0， x0 x1 0， x0x1= 4，即 x1=直線 BD 的方程為y=（ x x1） +，yM =（ x0 x1）+=+2=+2由（ ）得 S=2SABM=|2|

33、× |x1x0|ABD+ =|+2| ×| x0+ | = （ x0+） 3 16，當(dāng)且僅當(dāng)x0=即 x0=2 時(shí)等號(hào)成立，S 的最小值為1621已知函數(shù)f （ x） =xlnx +a，直線 y=x 與曲線 y=f （ x）相切（ ）求 a 的值；（ ）證明： xex1 f （ x） 2+ f （ x） 0第17頁(yè)（共 22頁(yè)）【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程【分析】（ ）設(shè)切點(diǎn)為（m， n），求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，由切線的方程，可得 m=1，進(jìn)而得到切點(diǎn)，可得a=1；x1fx2fx=xex 1xlnx1xlnx 1=1 xex 1xlnx12（）由xe）

34、（） +）（+（+（ +） + ，gx=1xex1xlnx120令 （）（+）（ ）+ ，求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間、極小值且為最小值，即可得證【解答】 解：（ ）設(shè)切點(diǎn)為（ m， n），f （ x） =xlnx +a 的導(dǎo)數(shù)為 f （x） =lnx +1，可得切線的斜率為1 lnm，+由切線的方程y=x ，可得 1+lnm=1 ，即 m=1，切點(diǎn)為（ 1， 1），可得 a=1；（ ）證明： xex1 f （ x） 2+ f （ x） =xex 1（ xlnx 1） +xlnx +1 =（1+xex1）（ xlnx 1） +2，令 g（ x）=（ 1+xex1）（ xlnx 1） +2，g（ x）=（ 1+x）ex1（ xlnx 1）+（ 1+xex 1）（1+lnx ）當(dāng) x=1 時(shí)， g（x） =2?（ 1） +2?1=0，當(dāng) x 1 時(shí)，（ 1+x） ex12， xlnx 1 1，（1+x） ex 1（ xlnx 1） 2，（1+xex 1）（ 1+lnx ） 2?1=2，則 g（ x） 0， g（ x）遞增；當(dāng) 0 x 1 時(shí)，（ 1+x） ex1（ xlnx 1） 2，（1+xex 1）（ 1+lnx ） 2，則 g（ x） 0， g（ x）遞減即有 g（ x）在 x=1 處取得極小值，且為最小值0則有 xex 1 f（ x）