心理與教育統(tǒng)計學第9章方差

1、 第九章第九章 方差分析方差分析章節(jié)內容章節(jié)內容第一節(jié)第一節(jié) 方差分析的基本原理及步驟方差分析的基本原理及步驟第二節(jié)第二節(jié) 完全隨機設計的方差分析完全隨機設計的方差分析第三節(jié)第三節(jié) 隨機區(qū)組設計的方差分析隨機區(qū)組設計的方差分析第四節(jié)第四節(jié) 事后檢驗事后檢驗n目的：目的：推斷多個總體均數(shù)是否有差別。推斷多個總體均數(shù)是否有差別。 也可用于兩個也可用于兩個n方法：方法：方差分析，即多個樣本均數(shù)比較的方差分析，即多個樣本均數(shù)比較的F F檢驗。檢驗。n基本思想：基本思想：根據資料設計的類型及研究目的，可將根據資料設計的類型及研究目的，可將總總變異變異分解為分解為兩個或多個部分兩個或多個部分，每個部分的，

2、每個部分的變異變異可由可由某因某因素素的作用來的作用來解釋解釋。通過比較可能由某因素所致的變異與。通過比較可能由某因素所致的變異與隨機誤差，即可了解該因素對測定結果有無影響。隨機誤差，即可了解該因素對測定結果有無影響。何為方差？何為方差？組間變異組間變異總變異總變異組內變異組內變異一、原理：方差（變異）的可加性原則一、原理：方差（變異）的可加性原則第一節(jié)第一節(jié) 方差分析的基本原理及步驟方差分析的基本原理及步驟表表9-1 不同強度噪音下解數(shù)學題犯錯誤的頻數(shù)不同強度噪音下解數(shù)學題犯錯誤的頻數(shù)jXX=6.671.總變異:全部測量值大小不同，這種變異稱為總變異。總變異的大小可以用離均差平方和(sum

3、of squares of deviations from mean，SS)表示，即各測量值Xij與總均數(shù)差值的平方和，記為SST。總變異SST反映了所有測量值之間總的變異程度計算公式為：計算公式為：n2組間變異： 各處理組由于接受處理的水平不同，各組的樣本均數(shù) (i1，2，g)也大小不等，這種變異稱為組間變異。n其大小可用各組均數(shù)與總均數(shù)的離均差平方和表示，記為SSB 。21211()()inijjggiiiiiXSSn XXCn組間1g組間計算公式為：計算公式為：n3組內變異：在同一處理組中，雖然每個受試對象接受的處理相同，但測量值仍各不相同，這種變異稱為組內變異（誤差）。n組內變異可用組

4、內各測量值Xij與其所在組的均數(shù)的差值的平方和表示，記為SSW, 表示隨機誤差的影響。 Ng組 內三種變異的關系三種變異的關系： 均方差，均方均方差，均方(mean square(mean square，MS)MS)檢驗統(tǒng)計量檢驗統(tǒng)計量 F FF= MSF= MSB B/MS/MSW W B B= =組數(shù)組數(shù)1 1 W W=N=N組數(shù)組數(shù)若各樣本所代表的未知總體相同，即處理因素不起作用，那么MSB/MSW將明顯小于1組間變異和組內變異均由隨機誤差所致，則MSB/MSW1若處理因素起作用，則組間變異應較大，那么MSB/MSW將明顯大于1。當F= MSB/MSW大于一定的界值時，可以下結論認為處理

5、因素起作用。當當FF (1, 2)，則，則P ，沒有理由拒絕，沒有理由拒絕H0 ，還，還不能認為各組總體均數(shù)的差別有統(tǒng)計學意義。不能認為各組總體均數(shù)的差別有統(tǒng)計學意義。當當FF (1, 2)，則，則P ,拒絕拒絕H0，接受，接受H1，認為總，認為總體均數(shù)間有差別。體均數(shù)間有差別。完全隨機設計的方差分析完全隨機設計的方差分析注意：注意：當當g=2時，完全隨機設計方差分析與成組設計資時，完全隨機設計方差分析與成組設計資料的料的t 檢驗等價，有檢驗等價，有 。tF方差分析的結果拒絕方差分析的結果拒絕H0，接受，接受H1，不能說明各組，不能說明各組總體均數(shù)間兩兩都有差別。如果要分析哪些兩組總體均數(shù)間兩

6、兩都有差別。如果要分析哪些兩組間有差別，可進行多個均數(shù)間的多重比較。間有差別，可進行多個均數(shù)間的多重比較。二、方差分析的基本過程與步驟二、方差分析的基本過程與步驟1.建立假設，確定檢驗標準H0：三個總體均數(shù)全相等，即1=2=3H1：三個總體均數(shù)不全相等。 =0.052.計算檢驗統(tǒng)計量：計算總平方和、組間平方和、組內平方和及相應的自由度；計算均方；計算檢驗統(tǒng)計量F3.查方差分析用查方差分析用F界值表，確定界值表，確定p值，做出結論值，做出結論當當FF (1, 2) ，P,拒絕拒絕H0，接受，接受H1，認為總體，認為總體均數(shù)間有差別。均數(shù)間有差別。 FF (1, 2）, P，沒有理由拒絕，還不能認

7、為，沒有理由拒絕，還不能認為各組總體均數(shù)的差別有統(tǒng)計學意義。各組總體均數(shù)的差別有統(tǒng)計學意義。注意：方差分析是單側檢驗。注意：方差分析是單側檢驗。4. 列方差分析表：列方差分析表：方差分析表（例方差分析表（例9-19-1）n基本思想：基本思想：根據資料設計的類型及研究目的，可將根據資料設計的類型及研究目的，可將總總變異變異分解為分解為兩個或多個部分兩個或多個部分，每個部分的，每個部分的變異變異可由可由某某因素因素的作用來的作用來解釋解釋。通過比較可能由某因素所至的變。通過比較可能由某因素所至的變異與隨機誤差，即可了解該因素對測定結果有無影響。異與隨機誤差，即可了解該因素對測定結果有無影響。三、三

8、、 方差分析的前提條件方差分析的前提條件獨獨立立性性正正態(tài)態(tài)分分布布方方差差齊齊性性四、方差分析中的方差齊性檢驗四、方差分析中的方差齊性檢驗最大最大F F比率法比率法2min2maxmaxSSF查附表查附表5，P467五、方差分析常涉及的實驗設計五、方差分析常涉及的實驗設計1.完全隨機設計2.隨機區(qū)組設計只有1個研究因素，但該因素至少有2個以上的水平。根據隨機化原則將受試對象隨機分配到一個研究因素的多個水平中去，然后觀察效應，比較各水平組的效應是否不同。1.完全隨機設計完全隨機設計完全隨機設計資料的方差分析的基本思想完全隨機設計資料的方差分析的基本思想 合計合計 N S :第i個處理組第j個觀

9、察結果XijXijXn某醫(yī)生為了研究一種降血脂新藥的臨床療效，按統(tǒng)一納入標準選擇120名患者，采用完全隨機設計方法將患者等分為4組進行雙盲試驗。問如何進行分組？例題：例題：（1 1）完全隨機分組方法：）完全隨機分組方法： n1. 編號：120名高血脂患者從1開始到120，見表4-2第1行（P72）；n2. 取隨機數(shù)字：從附表15中的任一行任一列開始，如第5行第7列開始，依次讀取三位數(shù)作為一個隨機數(shù)錄于編號下，見表4-2第2行；3. 編序號：將全部隨機數(shù)字從小到大 (數(shù)據相同則按先后順序）編序號，見表4-2第3行。4. 事先規(guī)定：序號1-30為甲組，序號31-60為乙組，序號61-90為丙組，序

10、號91-120為丁組，見表4-2第四行。第二節(jié)第二節(jié) 完全隨機設計的方差分析完全隨機設計的方差分析特點：特點：只有一個實驗因素只有一個實驗因素格式：格式：例例9-2：15名被試隨機分為名被試隨機分為3組，分別為組，分別為積極反饋積極反饋組組、消極反饋組消極反饋組及及控制組控制組，進行相同的知識測驗，進行相同的知識測驗，試推斷不同組別間被試的自尊均數(shù)有無顯著性差異？試推斷不同組別間被試的自尊均數(shù)有無顯著性差異？一、資料為原始數(shù)據類型的方差分析一、資料為原始數(shù)據類型的方差分析1.建立假設建立假設，確定檢驗水準，確定檢驗水準H0：三個總體均數(shù)全相等，即：三個總體均數(shù)全相等，即1=2=3H1：三個總體

11、均數(shù)：三個總體均數(shù)不全不全相等。相等。=0.052.計算檢驗統(tǒng)計量：計算檢驗統(tǒng)計量：67.4811585,33.731585555)()(22222CNxxXxSST解題步驟：解題步驟：12315211411513033.4333.7333.4367.481520525540)(2222kNdfkdfNdfSSSSSSCnXSSWBTBTWjjB05. 0,88. 367. 81230233.43)12, 2(05. 0)12, 2(05. 0PFFFdfSSdfSSMSMSFWWBBWB3.確定確定p值，得出結論：值，得出結論：p0.05，按，按水準拒絕水準拒絕H0，接受接受H1，認為不同反

12、饋類型的被試自尊水平總的來說，認為不同反饋類型的被試自尊水平總的來說差異具有統(tǒng)計學意義。差異具有統(tǒng)計學意義。4.列出方差分析表列出方差分析表完全隨機設計的方差分析，各處理組樣本含量完全隨機設計的方差分析，各處理組樣本含量n是否相等，計算方式無質的差別。是否相等，計算方式無質的差別。二、資料為樣本統(tǒng)計量類型的方差分析已知各組已知各組2iiiSXn方差分析的步驟如下：方差分析的步驟如下：WBWkiikniWBkjBBkkkMSMSFFkNdfSnXxSSkdfXXnSSSSnnnXnXnXnXX:. 4,)(. 31,)(. 2. 11211221212211計算檢驗統(tǒng)計量求：求求總平均數(shù)：例例9

13、-5576. 1,20. 1,04. 1,99. 12 . 7, 8, 4 . 5, 54321242322214321nnnnSSSSXXXX第三節(jié)第三節(jié) 隨機區(qū)組設計的方差分析隨機區(qū)組設計的方差分析1.特點：一個處理因素，一個區(qū)組因素，同一個區(qū)組內的受試對象隨機接受不同的處理。2.2.格式格式 例例 如何按隨機區(qū)組設計，分配如何按隨機區(qū)組設計，分配5 5個區(qū)組的個區(qū)組的1515只小白鼠接受甲、乙、丙三種抗癌藥物？只小白鼠接受甲、乙、丙三種抗癌藥物？n分組方法：先將小白鼠按體重編號，體重相近的3只小白鼠配成一個區(qū)組，見表4-6。在隨機數(shù)字表中任選一行一列開始的2位數(shù)作為1個隨機數(shù)，如從第8行

14、第3列開始紀錄，見表4-6；在每個區(qū)組內將隨機數(shù)按大小排序；各區(qū)組中內序號為1的接受甲藥、序號為2的接受乙藥、序號為3的接受丙藥，分配結果見表4-6。隨機區(qū)組分組方法：隨機區(qū)組分組方法： 3.3.區(qū)組設計的基本思想區(qū)組設計的基本思想1、全部受試對象按某種或某些特性分為若干個區(qū)組；2、每個區(qū)組內的觀察對象的特征盡可能相近；3、每個區(qū)組內觀察對象數(shù)=研究因素水平數(shù)，觀察對象隨機接受研究因素某一水平處理。比完全隨機設計更容易檢驗出處理因素間的差別，提高了研究效率。 是配對資料的擴充。優(yōu)點優(yōu)點SS總總 總總SS誤差誤差 誤差誤差MS誤差誤差SS組間組間 組間組間MS組間組間SS區(qū)組區(qū)組 區(qū)區(qū)組組MS區(qū)

15、區(qū)組組變異間的關系變異間的關系SS總總=SS處理處理+SS誤差誤差+SS區(qū)組區(qū)組也可表示為也可表示為：SST=SSB+SSE+SSRdf總總= df處理處理+df誤差誤差+ df區(qū)組區(qū)組1df)(T22NNXXSST?總變異總變異11df)()(B22kSSMSkCnXXXnSSBjjjjB?組間變異組間變異11)()(22nSSMSndfCkXXXkSSRRRiiR區(qū)組變異區(qū)組變異)1)(1()1)(1(1)1()1(1dfdfdfBTnkSSMSnknkNnkNdfSSSSSSSSEERERBTE?誤差項誤差項統(tǒng)計量統(tǒng)計量F F的計算的計算F1=MS處理處理/MS誤差誤差F2=MS區(qū)組區(qū)組

16、/MS誤差誤差例例9-6：測查不同刺激時間的記憶情況有無不同測查不同刺激時間的記憶情況有無不同隨機區(qū)組設計資料方差分析的基本步驟隨機區(qū)組設計資料方差分析的基本步驟（處理組間處理組間）建立假設：建立假設： H H0 0 ：4 4個不同刺激時長記憶水平個不同刺激時長記憶水平相等相等 1 1 = = 2 2 = = 3 3 H H1 1 ： 4 4個不同刺激時長記憶水平個不同刺激時長記憶水平不全相等不全相等確定顯著性水平，用 表示。區(qū)分大小概率事件的標準，常取0.05。計算統(tǒng)計量F： F處理=MS處理/MS誤差確定概率值P：查F界值表，確定P做出推論：統(tǒng)計學結論和專業(yè)結論。隨機區(qū)組設計資料方差分析的

17、基本步驟隨機區(qū)組設計資料方差分析的基本步驟（區(qū)組間區(qū)組間）建立假設：建立假設： H H0 0 ：7 7個人的記憶水平相等個人的記憶水平相等 1 1 = = 2 2 = = 3 3 H H1 1 ： 7 7個人的記憶水平不全相等個人的記憶水平不全相等確定顯著性水平，用 表示。區(qū)分大小概率事件的標準，常取0.05。計算統(tǒng)計量F： F2=MS區(qū)組/MS誤差確定概率值P：P的含義。做出推論：統(tǒng)計學結論和專業(yè)結論。2712889102281911405)(2222TTdfCNXXSS?3141,82. 389.1302751749747744)(22222kdfCnXSSBjj

18、B86.8189.1302434421433417436428422)(2222222CkXSSiR18) 17)(14(34.1686.8182. 311.102ERBTEdfSSSSSSSS913. 01843.1664.13686.8127. 1382. 3EEERRRBBBdfSSMSdfSSMSdfSSMS)(94.14916. 064.13)(39. 1916. 027. 121不同區(qū)組不同刺激時間長度EREBMSMSFMSMSF方差分析表方差分析表例例9-7第四節(jié)第四節(jié) 事后檢驗事后檢驗在方差分析認為多組均數(shù)間差異有統(tǒng)計學意在方差分析認為多組均數(shù)間差異有統(tǒng)計學意義的基礎上，若需了

19、解究竟哪些組均數(shù)之間義的基礎上，若需了解究竟哪些組均數(shù)之間有差別，還是各組間均有差別，可用多個樣有差別，還是各組間均有差別，可用多個樣本均數(shù)的兩兩比較本均數(shù)的兩兩比較( (又稱多重比較又稱多重比較 multiple multiple comparisoncomparison) )。 多個樣本均數(shù)的兩兩比較多個樣本均數(shù)的兩兩比較不宜用不宜用t t檢驗檢驗如用如用 t 檢驗，則第一類錯誤率將增大，此時檢驗，則第一類錯誤率將增大，此時易將無差別的兩均數(shù)錯判為有差別易將無差別的兩均數(shù)錯判為有差別PN=1-(1-=1-(1- ) )N N ( N=Ck2=k(k-1)/2)如：三個組的比較如：三個組的比較 1-(1-1-(1-0.05) )3 3=0.14=0.14，錯誤的概率大大提高錯誤的概率大大提高。SNK檢驗（檢驗（q檢驗）檢驗）Student-Newman-Keuls法，即法，即SNK法法,又稱又稱q檢驗檢驗,統(tǒng)計量為統(tǒng)計量為q： 適用與多個樣本均數(shù)間的兩兩比較適用與多個樣本均數(shù)間的兩兩比較BABAnnMSXXq112誤差P0.05P0.05P0.05NoYes多個樣本均數(shù)比較多個樣本均數(shù)比較兩樣本均數(shù)比較兩樣本均數(shù)比較方差齊否？方差齊否？正態(tài)否正態(tài)否？F檢驗、檢驗、t檢驗檢驗秩和檢驗秩和檢驗變量變換變量變換不拒絕不拒絕 Ho兩兩比較兩兩比較定量資料假設檢驗方法的