電磁場(chǎng)及電磁波(矢量分析)2

1、2022-5-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民1/62通量代表了矢量穿過(guò)曲面的多少，是矢量的發(fā)散特性。通量代表了矢量穿過(guò)曲面的多少，是矢量的發(fā)散特性。對(duì)于矢量，除了發(fā)散形式的場(chǎng)外，還有漩渦形式的場(chǎng)。對(duì)于矢量，除了發(fā)散形式的場(chǎng)外，還有漩渦形式的場(chǎng)。1.4 1.4 矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度l dlAllllldlAdlaAl dA如果矢量代表力，則上式表如果矢量代表力，則上式表示力沿路徑示力沿路徑 l 做的功做的功2022-5-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民2/621.4 1.4 矢量場(chǎng)的環(huán)量

2、與旋度矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度一、矢量的環(huán)量一、矢量的環(huán)量定義：定義：矢量沿閉合路徑的線積分。矢量沿閉合路徑的線積分。閉合路徑的方向與其圍成的面積閉合路徑的方向與其圍成的面積的正法線方向成右手螺旋關(guān)系。的正法線方向成右手螺旋關(guān)系。環(huán)量反映了矢量沿路徑的總漩渦環(huán)量反映了矢量沿路徑的總漩渦特性。特性。ccdlAl dAcos 矢量的環(huán)量矢量的環(huán)量nASMdlc2022-5-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民3/621.4 1.4 矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度yxadyadxl d解：解：舉例：舉例：求矢量求矢量 沿沿z z0 0平面內(nèi)正方形路徑平面內(nèi)正

3、方形路徑 的的環(huán)量環(huán)量yxaxayARyxl d1l2l3l4l0 xy2004)()(4)(4)()()(1RdyyRdxxRxdyydxxdyydxadyadxaxayl dARRlllyxyxl改變路徑繞改變路徑繞向，結(jié)果為向，結(jié)果為負(fù)值負(fù)值環(huán)量與路徑形狀、大小及其繞向有關(guān)。環(huán)量與路徑形狀、大小及其繞向有關(guān)。2022-5-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民4/621.4 1.4 矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度環(huán)量體現(xiàn)的是總的大范圍內(nèi)的特性，而且圍繞一點(diǎn)的環(huán)環(huán)量體現(xiàn)的是總的大范圍內(nèi)的特性，而且圍繞一點(diǎn)的環(huán)量大小與回路的繞向有關(guān)量大小與回路的

4、繞向有關(guān)對(duì)于對(duì)于c c1 1回路，矢量回路，矢量 與回路方向一與回路方向一致，環(huán)量最大；而致，環(huán)量最大；而對(duì)于對(duì)于c2回路，環(huán)量回路，環(huán)量為為0。環(huán)量不能反映空間一點(diǎn)處的漩渦狀環(huán)量不能反映空間一點(diǎn)處的漩渦狀況，為此引入旋度的概念。況，為此引入旋度的概念。S S1 1與與S S2 2方向垂直方向垂直矢量矢量A A與回路與回路c c1 1方向方向一致一致nAMc c1 1c c2 2S S1 1S S2 2A2022-5-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民5/621.4 1.4 矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度二、矢量的旋度（二、矢量的旋度（rota

5、tionrotation）環(huán)量密度環(huán)量密度環(huán)量密度是單位面積的環(huán)量。環(huán)量密度是單位面積的環(huán)量。環(huán)量與回路圍成的面積的方向有關(guān)，所以環(huán)量密度隨著環(huán)量與回路圍成的面積的方向有關(guān)，所以環(huán)量密度隨著S S 的不同而不同，具有最大值。的不同而不同，具有最大值。sl dAcs0lim 矢量的旋度矢量的旋度nsl dAAcsmax0lim2022-5-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民6/621.4 1.4 矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度矢量的旋度仍是矢量。矢量的旋度仍是矢量。某方向的環(huán)量密度等于該點(diǎn)處旋度在該方向上的投影。某方向的環(huán)量密度等于該點(diǎn)處旋度在該

6、方向上的投影。若矢量的旋度處處為零，則該場(chǎng)為無(wú)旋場(chǎng)。若矢量的旋度處處為零，則該場(chǎng)為無(wú)旋場(chǎng)。scsaAsl dA)(lim0旋度的性質(zhì)：旋度的性質(zhì)：nMc cS SAS法線方向法線方向的環(huán)量密的環(huán)量密度度2022-5-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民7/621.4 1.4 矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度zxyyzxxyzzyxzyxayAxAaxAzAazAyAAAAzyxaaaA旋度的計(jì)算旋度的計(jì)算直角坐標(biāo)系中直角坐標(biāo)系中slsdAl dA重要定理重要定理 斯托克斯定理斯托克斯定理閉合線積分閉合線積分 面積分面積分2022-5-9信息與通信工

7、程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民8/621.4 1.4 矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度舉例：舉例： 已知矢量已知矢量 求點(diǎn)求點(diǎn)M(2,1,0)(2,1,0)的旋度以的旋度以及該點(diǎn)處沿及該點(diǎn)處沿 的環(huán)量密度。的環(huán)量密度。zyaalyxayaxAyx解：解：zzxyzyxayxyxayAxAyxyyxxzyxaaaA2)(02022-5-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民9/621.4 1.4 矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度zzaaA91121-22M）（M(1,0,0)(1,0,0)的旋度為：的旋度為： 2z

8、ylaalla沿沿l 的環(huán)量密度為：的環(huán)量密度為： 291)(2191zyzlaaaaAl 的單位矢量為：的單位矢量為： 2022-5-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民10/62解：解：RzyxzyxaRRaRzzaRyyaRxxazRayRaxRRzyxazzayyaxxrrR)()()(求距離矢量求距離矢量 的的RRRR、123211111RaRRaRzzaRyyaRxxRaRzaRyaRxRRzyxzyx1.4 1.4 矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度2022-5-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉

9、軍民11/621.4 1.4 矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度3111zRyRxRRzyx0yRxRaxRzRazRyRaRxyzzxyyzx03112RRRaRRaRRRRR顯然，在上面結(jié)果中將顯然，在上面結(jié)果中將 ，則，則2022-5-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民12/62矢量散度與旋度的小結(jié)：矢量散度與旋度的小結(jié)：矢量的散度為標(biāo)量，矢量的旋度仍是矢量。矢量的散度為標(biāo)量，矢量的旋度仍是矢量。矢量的散度反映場(chǎng)點(diǎn)場(chǎng)量與通量場(chǎng)源的關(guān)系。矢量的散度反映場(chǎng)點(diǎn)場(chǎng)量與通量場(chǎng)源的關(guān)系。 散度處處為零，該場(chǎng)為無(wú)散場(chǎng)（或管形場(chǎng)）散度處處為零，該場(chǎng)為無(wú)散場(chǎng)（

10、或管形場(chǎng)）矢量的旋度反映場(chǎng)點(diǎn)場(chǎng)量與環(huán)量場(chǎng)源的關(guān)系。矢量的旋度反映場(chǎng)點(diǎn)場(chǎng)量與環(huán)量場(chǎng)源的關(guān)系。 旋度處處為零，該場(chǎng)為無(wú)旋場(chǎng)（或保守場(chǎng)）旋度處處為零，該場(chǎng)為無(wú)旋場(chǎng)（或保守場(chǎng)）矢量的旋度反映場(chǎng)點(diǎn)場(chǎng)量與環(huán)量場(chǎng)源的關(guān)系。矢量的旋度反映場(chǎng)點(diǎn)場(chǎng)量與環(huán)量場(chǎng)源的關(guān)系。1.4 1.4 矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度2022-5-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民13/621.5 1.5 場(chǎng)的重要性質(zhì)與定理場(chǎng)的重要性質(zhì)與定理0）（一、重要性質(zhì)一、重要性質(zhì)（1 1）（2 2）0A如果矢量場(chǎng)如果矢量場(chǎng) 滿足滿足 ，即該矢量場(chǎng)是一個(gè)無(wú)旋場(chǎng)，即該矢量場(chǎng)是一個(gè)無(wú)旋場(chǎng)，可以用標(biāo)量

11、函數(shù)可以用標(biāo)量函數(shù) 的梯度來(lái)表示，即的梯度來(lái)表示，即 ，稱標(biāo)量函數(shù)，稱標(biāo)量函數(shù) 為勢(shì)函數(shù)，對(duì)應(yīng)的矢量場(chǎng)為有勢(shì)場(chǎng)或保守場(chǎng)。為勢(shì)函數(shù)，對(duì)應(yīng)的矢量場(chǎng)為有勢(shì)場(chǎng)或保守場(chǎng)。AA0)(A如果矢量場(chǎng)如果矢量場(chǎng) 滿足滿足 ，即該矢量場(chǎng)是一個(gè)無(wú)散場(chǎng)，即該矢量場(chǎng)是一個(gè)無(wú)散場(chǎng)，可以用另一矢量函數(shù)的旋度來(lái)表示，即可以用另一矢量函數(shù)的旋度來(lái)表示，即0ABAA2022-5-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民14/621.5 1.5 場(chǎng)的重要性質(zhì)與定理場(chǎng)的重要性質(zhì)與定理 格林定理表明，場(chǎng)量是一個(gè)體積分與一個(gè)面積分的和，格林定理表明，場(chǎng)量是一個(gè)體積分與一個(gè)面積分的和，面積分代表邊界上

12、的場(chǎng)，體積分代表所求區(qū)域內(nèi)的場(chǎng)。格面積分代表邊界上的場(chǎng)，體積分代表所求區(qū)域內(nèi)的場(chǎng)。格林定理給出了由邊界條件和區(qū)域內(nèi)場(chǎng)源求解場(chǎng)的方法。林定理給出了由邊界條件和區(qū)域內(nèi)場(chǎng)源求解場(chǎng)的方法。二、重要定理二、重要定理（1 1）標(biāo)量格林（）標(biāo)量格林（GreenGreen）定理）定理2022-5-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民15/621.5 1.5 場(chǎng)的重要性質(zhì)與定理場(chǎng)的重要性質(zhì)與定理vssdAdvAA代入散度定理：，設(shè)ssnvsdsndsasddvA)()()()(22 標(biāo)量格林第一定理標(biāo)量格林第一定理svdsndv)(2 標(biāo)量格林第二定理標(biāo)量格林第二定理s

13、vdsnndv)(22得并與第一定理相減，則，交換和將上面的設(shè)2022-5-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民16/621.5 1.5 場(chǎng)的重要性質(zhì)與定理場(chǎng)的重要性質(zhì)與定理（2 2）唯一性定理）唯一性定理矢量場(chǎng)被其散度、旋度和區(qū)域的邊界條件唯一確定。矢量場(chǎng)被其散度、旋度和區(qū)域的邊界條件唯一確定。這里的邊界條件包括：這里的邊界條件包括：在邊界上，在邊界上， 第一類邊界條件第一類邊界條件 （狄里克萊條件）（狄里克萊條件）在邊界上，在邊界上， 第二類邊界條件第二類邊界條件 （諾伊曼條件）（諾伊曼條件）邊界上，邊界上， 第三類邊界條件第三類邊界條件（混合條件

14、）（混合條件）是已知的s是已知的或sstn是已知的或221ssstn2022-5-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民17/621.5 1.5 場(chǎng)的重要性質(zhì)與定理場(chǎng)的重要性質(zhì)與定理唯一性定理證明：唯一性定理證明： 用反證法證明，假定滿足給定條件的矢量場(chǎng)有兩個(gè)用反證法證明，假定滿足給定條件的矢量場(chǎng)有兩個(gè) 和和 ，然后再論證這兩個(gè)矢量場(chǎng)是相同的，即，然后再論證這兩個(gè)矢量場(chǎng)是相同的，即1( )F r2( )F r12( )( )F rF r*12FFF令令S SV V在在V 內(nèi)，有內(nèi)，有 *120 FFF*120 FFF在邊界在邊界S上，則有上，則有12|0

15、nSnSnSFFF或或 12|0tStStSFFF2022-5-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民18/621.5 1.5 場(chǎng)的重要性質(zhì)與定理場(chǎng)的重要性質(zhì)與定理由由 可引入一個(gè)標(biāo)量函數(shù)可引入一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，使使 *0F在在V 內(nèi)有內(nèi)有0*2F利用格林第一定理，且令利用格林第一定理，且令 得得 *Fsvdsndv2在邊界面上有在邊界面上有0)()(2121*dsFFdsaFFdsaFdsadsnsnnsnsnsns2022-5-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民19/621.5 1.5 場(chǎng)的重要性質(zhì)與定理場(chǎng)的重

16、要性質(zhì)與定理在邊界面上有在邊界面上有02dvv00)(2121*taFFaFFaFttttt0*F結(jié)果唯一21FFttFF21vsvsnsdvdvsddsadsn02綜合以上有綜合以上有此式成立的條件為此式成立的條件為2022-5-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民20/62 亥姆霍茲定理的簡(jiǎn)單表達(dá)是：若矢量場(chǎng)亥姆霍茲定理的簡(jiǎn)單表達(dá)是：若矢量場(chǎng)F F在無(wú)限空間中在無(wú)限空間中處處單值，且其導(dǎo)數(shù)連續(xù)有界，而源分布在有限空間區(qū)域處處單值，且其導(dǎo)數(shù)連續(xù)有界，而源分布在有限空間區(qū)域中，則矢量場(chǎng)由其散度和旋度唯一確定，并且可以表示為中，則矢量場(chǎng)由其散度和旋度唯一

17、確定，并且可以表示為一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度和一個(gè)矢量函數(shù)的旋度之和，一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度和一個(gè)矢量函數(shù)的旋度之和， 即即 1.5 1.5 場(chǎng)的重要性質(zhì)與定理場(chǎng)的重要性質(zhì)與定理( )( )( )lsF rF rF r（3 3）亥姆霍茲定理）亥姆霍茲定理AFFFsss00lllFFF00無(wú)散場(chǎng)無(wú)散場(chǎng)無(wú)旋場(chǎng)無(wú)旋場(chǎng)2022-5-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民21/621.5 1.5 場(chǎng)的重要性質(zhì)與定理場(chǎng)的重要性質(zhì)與定理)(41)(41dsRarFdvRrFAsnv)(41)(41dsRarFdvRrFsnv可見：可見： 的通量源是體積內(nèi)的的通量源是體積內(nèi)的 和邊界面上的和邊界面上的 。 的漩渦源是體積內(nèi)的的漩渦源是體積內(nèi)的 和邊界面上的和邊界面上的 。narF)()(rFnarF)()(rF)(rF)(rF2022-5-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民22/621.5 1.5 場(chǎng)的重要性質(zhì)與定理場(chǎng)的重要性質(zhì)與定理已知已知矢量的通量源密度矢量的通量源密度矢量的旋度源密度矢量的旋度源密度場(chǎng)域邊界條件場(chǎng)域邊界條件在電磁場(chǎng)中在電磁場(chǎng)中電荷密度電荷密度 電流密度電流密度J J場(chǎng)域邊界條件場(chǎng)域邊界條件（矢量唯一地確定）（矢量唯一地確定）亥姆霍茲定理是亥姆霍茲定理是研究電磁場(chǎng)的一條主線。研究電磁場(chǎng)的一條主線。20