信號檢測與估計(jì)理論 第六章 波形估計(jì)

1、估計(jì)理論與信號檢測估計(jì)理論與信號檢測第六章第六章 信號波形的估計(jì)信號波形的估計(jì)內(nèi)容提要內(nèi)容提要6.1 引言引言6.2 連續(xù)過程的維納濾波連續(xù)過程的維納濾波6.3 離散過程的維納濾波離散過程的維納濾波6.4 正交投影原理正交投影原理6.5 離散卡爾曼濾波的信號模型離散卡爾曼濾波的信號模型6.6 離散卡爾曼濾波離散卡爾曼濾波6.7 狀態(tài)為標(biāo)量時(shí)的離散卡爾曼濾波狀態(tài)為標(biāo)量時(shí)的離散卡爾曼濾波6.1 引言引言l研究內(nèi)容：研究內(nèi)容：l信號的波形估計(jì)信號的波形估計(jì)( (狀態(tài)估計(jì)狀態(tài)估計(jì)) ) 若被估計(jì)的量是隨機(jī)過程或未知的非隨機(jī)過程，則稱這種若被估計(jì)的量是隨機(jī)過程或未知的非隨機(jī)過程，則稱這種估計(jì)為信號的波形

2、估計(jì)或狀態(tài)估計(jì)。估計(jì)為信號的波形估計(jì)或狀態(tài)估計(jì)。l理論基礎(chǔ)：理論基礎(chǔ)：l隨機(jī)過程及其統(tǒng)計(jì)描述隨機(jī)過程及其統(tǒng)計(jì)描述( (2.3, P.30) )l線性系統(tǒng)對隨機(jī)過程的響應(yīng)線性系統(tǒng)對隨機(jī)過程的響應(yīng)( (2.5, P.44) )l隨機(jī)噪聲理論隨機(jī)噪聲理論( (2.6, P.46) )l正交投影原理正交投影原理( (6.4, P.400) )2、離散信號情況（只考慮加性噪聲）、離散信號情況（只考慮加性噪聲）信號信號狀態(tài)估計(jì)理論狀態(tài)估計(jì)理論又稱為信號又稱為信號狀態(tài)濾波理論狀態(tài)濾波理論(抑噪聲，提信號抑噪聲，提信號)。 狀態(tài)濾波，狀態(tài)濾波， 狀態(tài)預(yù)測，狀態(tài)預(yù)測， 狀態(tài)平滑，狀態(tài)平滑，1、連續(xù)信號情況（只考

3、慮加性噪聲）、連續(xù)信號情況（只考慮加性噪聲）信號信號波形估計(jì)理論波形估計(jì)理論又稱為信號又稱為信號波形濾波理論波形濾波理論(抑噪聲，提信號抑噪聲，提信號)。 波形濾波，波形濾波， 波形預(yù)測，波形預(yù)測， 波形平滑，波形平滑，6.1.1 信號波形估計(jì)的基本概念信號波形估計(jì)的基本概念( )( )( )x ts tn t( )(),0 x ts t( )x t( )H( )( )x ts t( )s t( )(),0 x ts t1()|,0k mkkk l klxxxs1,k mkkkxxxs1()|,0k mkkk l klxxxs,1,2,kkkkkxH sn6.1.1 信號波形估計(jì)的基本概念信號

4、波形估計(jì)的基本概念From Steven page 3236.1.2 信號波形估計(jì)的準(zhǔn)則和方法信號波形估計(jì)的準(zhǔn)則和方法信號波形（狀態(tài)）估計(jì)準(zhǔn)則：線性最小均方誤差準(zhǔn)則。信號波形（狀態(tài)）估計(jì)準(zhǔn)則：線性最小均方誤差準(zhǔn)則。維納濾波和卡爾曼濾波是實(shí)現(xiàn)從噪聲中提取信號，完維納濾波和卡爾曼濾波是實(shí)現(xiàn)從噪聲中提取信號，完成信號波形（狀態(tài)）估計(jì)的兩種成信號波形（狀態(tài)）估計(jì)的兩種線性線性最佳估計(jì)方法。最佳估計(jì)方法。l維納濾波維納濾波l要求知道隨機(jī)信號的統(tǒng)計(jì)特性，即相關(guān)函數(shù)或功率普密度，要求知道隨機(jī)信號的統(tǒng)計(jì)特性，即相關(guān)函數(shù)或功率普密度，得到的結(jié)果是封閉解（解析式）；得到的結(jié)果是封閉解（解析式）；l由于采用頻域設(shè)計(jì)

5、方法，僅適用于由于采用頻域設(shè)計(jì)方法，僅適用于一維平穩(wěn)隨機(jī)信號一維平穩(wěn)隨機(jī)信號。l卡爾曼濾波（卡爾曼濾波（龐特里亞金極大值原理、貝爾曼動(dòng)態(tài)規(guī)劃龐特里亞金極大值原理、貝爾曼動(dòng)態(tài)規(guī)劃）l采用狀態(tài)方程和觀測方程描述系統(tǒng)的信號模型采用狀態(tài)方程和觀測方程描述系統(tǒng)的信號模型；l可解決可解決多輸入多輸出非平穩(wěn)隨機(jī)信號多輸入多輸出非平穩(wěn)隨機(jī)信號的估計(jì)問題；的估計(jì)問題；l采用遞推算法非常適合于計(jì)算機(jī)處理，計(jì)算效率高。采用遞推算法非常適合于計(jì)算機(jī)處理，計(jì)算效率高。6.1.2 信號波形估計(jì)的準(zhǔn)則和方法信號波形估計(jì)的準(zhǔn)則和方法例例6.1.1 平穩(wěn)隨機(jī)信號的線性最小均方誤差估計(jì)（預(yù)測）平穩(wěn)隨機(jī)信號的線性最小均方誤差估計(jì)（

6、預(yù)測）線性最小均方誤差估計(jì)的線性最小均方誤差估計(jì)的正交性原理正交性原理2()( )minimize E( ()() as tas ts ts t( )E( ()( ) ( )0(0)ssrs tas t s tar( )()( )(0)ssrs ts tr22E( ()() E( ()( )E) ()E () ()( ) ()( )(0)( )(0)( ()(0)( )( )0ssssss tas t as ts ts ts tas t s ts ts tas t s trrarrr6.1.2 信號波形估計(jì)的準(zhǔn)則和方法信號波形估計(jì)的準(zhǔn)則和方法例例6.1.2 平穩(wěn)隨機(jī)信號的線性最小均方誤差估計(jì)（

7、預(yù)測）平穩(wěn)隨機(jī)信號的線性最小均方誤差估計(jì)（預(yù)測）線性最小均方誤差估計(jì)的正交性原理線性最小均方誤差估計(jì)的正交性原理2,()( )( )minimize E( ()() a bs tas tbs ts ts t0E( ()( )( ) ( )0E( ()( )( ) ( )0( )( ),( )( ),( )0ssssssss tas tbs t s ts tas tbs t s trrrrr ( )( ),(0)(0)ssssrrabrr22200E( ()() E( ()( )( ) ()( )( )(0)( )( )(0)(0)(0)sssssssss ts ts tas tbs t s t

8、rrrarbrrrr( )( )()( )( )(0)(0)ssssrrs ts ts trr見習(xí)題見習(xí)題6.16.1.2 信號波形估計(jì)的準(zhǔn)則和方法信號波形估計(jì)的準(zhǔn)則和方法例例6.1.2 （續(xù)）例題相關(guān)結(jié)論的證明（續(xù)）例題相關(guān)結(jié)論的證明000()( )()( )()( )( )lim,( )lim,( )limttts tts ts tts ts tts ts ts ts tttt 00()( )()( )( )E ( ) ()E lim()lim( )ssssstts tts trtrrs t s ts trtt 22d ( )d( )( ),( )ddssssrrrr( )()ssrr12

9、2112120012212100012122022()( )()()( )E ( ) ()E limlim()()()( )= limlimlim()( )limssttsssstttssts tts ts tts trs t s tttrttrtrtrttttrtrtt 2202()( )lim( )ssstrtrrt 為偶函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)為偶函數(shù)，其導(dǎo)數(shù) 為奇函數(shù)，故有為奇函數(shù)，故有( )sr0( )(0)0ssrr00()()()( )( )E ( ) ()E lim ( )lim( )ssssstts tts trtrrs t s ts trtt 6.1.2 信號波形估計(jì)的準(zhǔn)則和方法信號波

10、形估計(jì)的準(zhǔn)則和方法例例6.1.3 平穩(wěn)隨機(jī)信號的線性最小均方誤差估計(jì)（平滑）平穩(wěn)隨機(jī)信號的線性最小均方誤差估計(jì)（平滑）線性最小均方誤差估計(jì)的正交性原理線性最小均方誤差估計(jì)的正交性原理2,( )(0)( )minimize E( ( )( ) a bs tasbs Ts ts t2E( ( )( ) E( ( )(0)( ) ( )0(0)( )()ssss ts ts tasbs Ts trar tbr TtE( ( )(0)( ) (0)0( )(0)( )0E( ( )(0)( ) ( )0()( )(0)0sssssss tasbs Tsr tarbr Ts tasbs Ts Tr Tt

11、ar Tbr2222(0) ( )( ) ()(0) ()( ) ( ),(0)( )(0)( )ssssssssssssrr tr T r Ttrr Ttr t r Tabrr Trr T從噪聲中提取信號從噪聲中提取信號現(xiàn)這種功能的有效方法之一是設(shè)計(jì)一種具現(xiàn)這種功能的有效方法之一是設(shè)計(jì)一種具有最佳過濾特性的濾波器，當(dāng)疊加有噪聲的信號通過這種濾波器有最佳過濾特性的濾波器，當(dāng)疊加有噪聲的信號通過這種濾波器時(shí)，它可以將信號盡可能完整地重現(xiàn)或?qū)π盘栕鞒霰M可能精確的時(shí)，它可以將信號盡可能完整地重現(xiàn)或?qū)π盘栕鞒霰M可能精確的估計(jì)，從而對所伴隨的噪聲進(jìn)行最大限度地抑制。估計(jì)，從而對所伴隨的噪聲進(jìn)行最大限度地

12、抑制。維納濾波器就是具有這種特性的一種典型濾波器。維納濾波器就是具有這種特性的一種典型濾波器。信號波形的維納濾波分為：信號波形的維納濾波分為：l連續(xù)過程的維納濾波連續(xù)過程的維納濾波l離散過程的維納濾波離散過程的維納濾波6.2 連續(xù)過程的維納濾波連續(xù)過程的維納濾波維納維納(1894-1964)是控制論的創(chuàng)始人、信息論是控制論的創(chuàng)始人、信息論的創(chuàng)始人之一，于的創(chuàng)始人之一，于1948年發(fā)表年發(fā)表控制論控制論(Cybernetics)。線性時(shí)變?yōu)V波器線性時(shí)變?yōu)V波器6.2.1 最佳線性濾波最佳線性濾波線性加權(quán)和線性加權(quán)和正交性原理正交性原理0g(t)表示表示待估計(jì)波形待估計(jì)波形( ) ( ), (),

13、(), ( )g ts t s ts ts t線性時(shí)不變?yōu)V波器線性時(shí)不變?yōu)V波器 假設(shè)假設(shè) 和和 都是零均值的都是零均值的平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程，而且二者是聯(lián)，而且二者是聯(lián)合平穩(wěn)的。合平穩(wěn)的。6.2.2 維納維納-霍夫方程霍夫方程維納維納-霍夫方程霍夫方程維納濾波器維納濾波器( ) ( ), (), (), ( )g ts t s ts ts t( )x t( )g t,ttu維納濾波器非因果解維納濾波器非因果解6.2.3 維納濾波器的非因果解維納濾波器的非因果解線性卷積式線性卷積式( )( )E ( ) ( )0g ts ts t n t( )0( )( )( )( )( )snxssxsn

14、PPPPPP兩邊進(jìn)行傅里葉變換兩邊進(jìn)行傅里葉變換s(t)與加性噪聲與加性噪聲n(t)相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立維納濾波器非因果解維納濾波器非因果解6.2.3 維納濾波器的非因果解維納濾波器的非因果解（1）功率普密度）功率普密度 和和 互不重疊互不重疊（2）功率普密度）功率普密度 和和 有部分重疊有部分重疊( )sP( )nP|( )0,( )1|( )0,( )0ssPHPH|( )0 and( )0,( )1|( )0 and( )0,( )10|( )0,( )0snsnsPPHPPHPH ( )sP( )nP若若 是是 函數(shù)，即濾波器輸入是一個(gè)白色過程，積分方程函數(shù)，即濾波器輸入是一個(gè)白色

15、過程，積分方程就可以直接求解。就可以直接求解。6.2.4 維納濾波器的因果解維納濾波器的因果解()xr有理功率普密度有理功率普密度()()wr *( )( )( )( )( )xxxxxP sPs PsPs Ps白化濾波器白化濾波器求取求取6.2.4 維納濾波器的因果解維納濾波器的因果解( )wgPs當(dāng)當(dāng) 時(shí)，維納濾波器波形估計(jì)的均方誤差（自學(xué)）時(shí)，維納濾波器波形估計(jì)的均方誤差（自學(xué)）6.2.4 維納濾波器的因果解維納濾波器的因果解( )()g ts t20( )( ), Var (t)= (0)( )dsg ts tsrtt例例6.2.2 求解隨機(jī)信號求解隨機(jī)信號 的波形估計(jì)問題，即設(shè)計(jì)的波

16、形估計(jì)問題，即設(shè)計(jì)維納濾波器使信號波形估計(jì)的均方誤差最小。維納濾波器使信號波形估計(jì)的均方誤差最小。6.2 連續(xù)過程的維納濾波連續(xù)過程的維納濾波 例題例題( )( )( )x ts tn t1( )e,( )( )2snrr 011122202( )( )edeede ede ed11112 111ssssssP srsss( )( )ed1snP s 211( )( )( )( )( )1(1)(1)xgxssnssPsPsP sPsP ssss2221222( )( )( )11111xsnsssP sP sP sssss 例例6.2.2（續(xù)）維納濾波器的非因果解（續(xù)）維納濾波器的非因果解6

17、.2 連續(xù)過程的維納濾波連續(xù)過程的維納濾波 例題例題2222( )( )1 (1)( )( )( )( )(2) (1)11122 2(2)2 2(2)xgsxsnPsP ssH sP sP sP ssssss2121,02 2( )L ( )1,02 2tteth tH set0220Var ( )Var ( )(0)( ) ( )d11111dd2222 22 2111110.35424 2124 212ssg ts trhreeee例例6.2.2（續(xù)）維納濾波器的因果解（續(xù)）維納濾波器的因果解6.2 連續(xù)過程的維納濾波連續(xù)過程的維納濾波 例題例題2( )111 (1)( )( )( )(

18、2) (2) (1)11 (12)1 (12)1 (12)1(2)22xgxxPsssH sPsPsssssssss121( )L ( ),012th tH set0202Var ( )Var ( )(0)( ) ( )d111ee d2212110.41422(12)ssg ts trhr例例6.2.36.2 連續(xù)過程的維納濾波連續(xù)過程的維納濾波 例題例題例例6.2.3（續(xù)）（續(xù)）6.2 連續(xù)過程的維納濾波連續(xù)過程的維納濾波 例題例題類似于連續(xù)過程的維納濾波，設(shè)計(jì)離散過程的維納濾類似于連續(xù)過程的維納濾波，設(shè)計(jì)離散過程的維納濾波器，就是尋求在波器，就是尋求在線性最小均方誤差準(zhǔn)則線性最小均方誤差

19、準(zhǔn)則下線性濾波下線性濾波器的系統(tǒng)函數(shù)器的系統(tǒng)函數(shù) （Z域解）或單位脈沖響應(yīng)域解）或單位脈沖響應(yīng) （時(shí)（時(shí)域解）。（數(shù)字濾波）域解）。（數(shù)字濾波）拉氏變換（傅立葉變換）拉氏變換（傅立葉變換） Z變換變換左半平面左半平面 單位圓內(nèi)單位圓內(nèi)右半平面右半平面 單位圓外單位圓外6.3 離散過程的維納濾波離散過程的維納濾波( )H z( )h k根據(jù)觀測信號序列根據(jù)觀測信號序列 對信號對信號 作出線作出線性最小均方誤差估計(jì)，即求性最小均方誤差估計(jì)，即求 。6.3.1 離散的維納離散的維納-霍夫方程霍夫方程( ),0kxx kkNkgkg離散形式的維納離散形式的維納-霍夫方程霍夫方程,kim kjl 6.3

20、.2 離散維納濾波器的離散維納濾波器的Z域解域解非因果解非因果解當(dāng)當(dāng) ，且信號序列，且信號序列 與噪聲序列與噪聲序列 互不相關(guān)時(shí)互不相關(guān)時(shí) knkkgsks( )( )( )( )ssnP zH zP zP z6.3.2 離散維納濾波器的離散維納濾波器的Z域解域解因果解因果解（1）觀測信號）觀測信號 是白色序列是白色序列（2）觀測信號）觀測信號 是非白序列，且其功率普密度是是非白序列，且其功率普密度是有理函數(shù)有理函數(shù)kxkx1,0,mlmlml無限長因果序列的離散維納濾波器不具有實(shí)時(shí)性而使其應(yīng)用受到無限長因果序列的離散維納濾波器不具有實(shí)時(shí)性而使其應(yīng)用受到限制。通常用有限長序列限制。通常用有限長

21、序列 來逼近離散維納濾波來逼近離散維納濾波器的解器的解 。6.3.3 離散維納濾波器的時(shí)域解離散維納濾波器的時(shí)域解( ) (01)h kkN( ) (0)h kk N 階階FIR濾波器濾波器6.3.3 離散維納濾波器的時(shí)域解離散維納濾波器的時(shí)域解(0)(0)(0)(1)(1)(1)(1)(1)(0)(2),(1)(1)(1)(2)(0)xgxxxxgxxxxxgxgxxxrhrrr Nrhrrr NrNh Nr Nr NrhRrN階階FIR濾波器濾波器(Finite Impulse Response，有限長度脈沖響應(yīng)，有限長度脈沖響應(yīng)) ；IIR 濾波器濾波器(Infinite Impulse

22、 Response，無限長度脈沖響應(yīng)，無限長度脈沖響應(yīng))，即，即維納濾波器。維納濾波器。例例6.3.1 離散信號序列離散信號序列 的維納濾波器的維納濾波器Z域解域解（1）非因果解）非因果解（2）因果解）因果解6.3 離散過程的維納濾波離散過程的維納濾波 例題例題kkkxsn10.36( ),( )1,( )0(1 0.8)(1 0.8 )snnsP zP zPzzz1110.36( )( )0.225(1 0.8)(1 0.8 )( )0.36( )( )( )(1 0.5)(1 0.5 )1(1 0.8)(1 0.8 )xssxsnPzP zzzH zP zP zP zzzzz11( )1(

23、 )3/8( )( )( )( )( )1 0.5xssxxxxPzP zH zPzPzPzPzz1110.36(1 0.5)(1 0.5 )( )( )( )11.6(1 0.8)(1 0.8 )(1 0.8)(1 0.8 )xsnzzP zP zP zzzzz 111 0.51 0.5( )1.6,( )1 0.81 0.8xxzzPzPzzz1111( )0.361 0.83/53/5( )(1 0.8)(1 0.8 )1 0.513/51 0.821 0.8sxzP zzPzzzzzz例例6.3.2 設(shè)計(jì)二階設(shè)計(jì)二階FIR濾波器逼近維納濾波器（三階、四階濾波器逼近維納濾波器（三階、四階

24、）6.3 離散過程的維納濾波離散過程的維納濾波 例題例題1 2,01,0Input:,Output:1 2,10,1,2,kkkkxskk111001111(0),(1)2428xkkxkkkkrx xrx x 11100111(0),(1)0242xskkxskkkkrx srx s1114(0)(1)(0)4843112(0)(1)0(1)843hhhhhh10( )( )( ) ()2/3,01/3,11/3,2Nkish kx kh i x kikkk 22222220112111E() ()100333339kkkkkskssss動(dòng)態(tài)信號模型動(dòng)態(tài)信號模型Steven M. Kay p

25、age 338347DC電平測量：電平測量：實(shí)際上真實(shí)的電壓值隨時(shí)間緩慢變化（溫度的影響、器件的老化）：實(shí)際上真實(shí)的電壓值隨時(shí)間緩慢變化（溫度的影響、器件的老化）：假定假定 是一個(gè)未知的確定性參數(shù)序列，則是一個(gè)未知的確定性參數(shù)序列，則 的的MVU估計(jì)量為：估計(jì)量為： 真實(shí)電壓和真實(shí)電壓和MVU估計(jì)量估計(jì)量圖中真實(shí)電壓圖中真實(shí)電壓 的連續(xù)樣本的差別的連續(xù)樣本的差別不是很大，表現(xiàn)了高度的不是很大，表現(xiàn)了高度的“相關(guān)性相關(guān)性”?？梢哉J(rèn)為可以認(rèn)為 是隨機(jī)過程的一個(gè)現(xiàn)實(shí)，是隨機(jī)過程的一個(gè)現(xiàn)實(shí)，均值為均值為10，樣本之間存在一定的相關(guān)性樣本之間存在一定的相關(guān)性。相關(guān)約束的強(qiáng)制要求避免相關(guān)約束的強(qiáng)制要求避免

26、 的估計(jì)的估計(jì)隨時(shí)間起伏太大。隨時(shí)間起伏太大。線性最小均方誤差準(zhǔn)則線性最小均方誤差準(zhǔn)則第五章第五章5.7.3小節(jié)曾提到過正交性原理（小節(jié)曾提到過正交性原理（P311）本章前本章前3節(jié)也曾多次提到過正交性原理節(jié)也曾多次提到過正交性原理本章本章6.6節(jié)討論的卡爾曼濾波也采用線性最小均方誤差節(jié)討論的卡爾曼濾波也采用線性最小均方誤差準(zhǔn)則，其遞推公式的推導(dǎo)也是基于正交投影的概念和準(zhǔn)則，其遞推公式的推導(dǎo)也是基于正交投影的概念和原理進(jìn)行的。原理進(jìn)行的。正交投影的三個(gè)引理：正交投影的三個(gè)引理：（1）引理）引理I，唯一性，唯一性（2）引理）引理II，線性可轉(zhuǎn)換性和可疊加性線性可轉(zhuǎn)換性和可疊加性（3）引理）引理I

27、II，可遞推性可遞推性6.4 正交投影原理正交投影原理設(shè)設(shè)s和和x分別是具有前二階矩的分別是具有前二階矩的M維和維和N維隨機(jī)矢量。如果存在一維隨機(jī)矢量。如果存在一個(gè)與個(gè)與s同維的隨機(jī)矢量同維的隨機(jī)矢量 ，并且具有如下三個(gè)性質(zhì)：，并且具有如下三個(gè)性質(zhì)：（1）可以用）可以用x線性表示線性表示，即存在非隨機(jī)的，即存在非隨機(jī)的M維矢量維矢量a和和MN矩陣矩陣B，滿足，滿足（2）滿足）滿足無偏性無偏性要求，即要求，即（3）誤差）誤差 與與x正交正交，即，即則稱則稱 是是s在在x上的上的正交投影正交投影，簡稱投影，并記為，簡稱投影，并記為6.4.1 正交投影的概念正交投影的概念*saBx*E()E( )s

28、ss s*TE() 0ssx*ss*OP |ss x*s6.4.2 正交投影的引理正交投影的引理引理引理 正交投影的正交投影的唯一性唯一性若若s和和x分別是具有前二階矩的分別是具有前二階矩的M維和維和N維隨機(jī)矢量，則維隨機(jī)矢量，則s在在x上的正上的正交投影唯一地等于基于交投影唯一地等于基于x的的s之之線性最小均方誤差估計(jì)矢量線性最小均方誤差估計(jì)矢量，即，即證明：證明： 線性性質(zhì)線性性質(zhì) 無偏性無偏性 故有故有 正交性正交性 這樣有這樣有*saBx*E()E( )E( )()ssxsxsaBxsaBsB x *1OP |()ssxxxss xC Cx *TTT1E()E()E()() 0sxsx

29、xsxxsxxssxsB xxsB xxCBCBC C *1()ssxxxsC Cx6.4.2 正交投影的引理正交投影的引理引理引理 正交投影的正交投影的線性可轉(zhuǎn)換性和可疊加性線性可轉(zhuǎn)換性和可疊加性設(shè)設(shè)s1和和s2分別是兩個(gè)具有前二階矩的分別是兩個(gè)具有前二階矩的M維隨機(jī)矢量，維隨機(jī)矢量，x是具有前二是具有前二階矩的階矩的N維隨機(jī)矢量，維隨機(jī)矢量，A1和和A2均為非隨機(jī)矩陣，其列數(shù)等于均為非隨機(jī)矩陣，其列數(shù)等于M，行數(shù)相同，則行數(shù)相同，則證明：令證明：令 則則 式中式中 這樣有這樣有1 122AsA s 11 122OP()|OP|()xxxAsA sxxCCx 1 1221122OP()|OP

30、|OP|AsA sxAsxAsx121 12212=E( )E()ssAsA sAA 121211221 122112121111221122OP()|()()()()OP|OP|sss xs xxxss xxxss xxxAsA sxAAACA CCxAACCxAA CCxAsxAsx1212TT112212E()() E()()() xxssxs xs xCxA sA sxACA C 6.4.2 正交投影的引理正交投影的引理引理引理 正交投影的正交投影的可遞推性可遞推性設(shè)設(shè)s，x(k-1)和和xk是三個(gè)具有前二階矩的隨機(jī)矢量，它們的維數(shù)不必是三個(gè)具有前二階矩的隨機(jī)矢量，它們的維數(shù)不必相同，

31、又令相同，又令則則式中式中引理引理的的證明見附錄證明見附錄6A。(1)( )kkkxxxOP |(1),OP|(1)kkkkksss xxxxxTT1OP |(1)OP |(1)OP |( )OP |E()E()kkkkkkkk s xs xss xx xxsxx6.4.2 正交投影的引理正交投影的引理引理引理 正交投影的可遞推性（續(xù)）正交投影的可遞推性（續(xù)）雖然維納濾波和卡爾曼濾波都是解決以雖然維納濾波和卡爾曼濾波都是解決以線性最小均方誤差線性最小均方誤差為準(zhǔn)則的為準(zhǔn)則的最佳線性濾波問題，二者之間的差別：最佳線性濾波問題，二者之間的差別： 維納濾波只適用于平穩(wěn)隨機(jī)過程（信號）；維納濾波只適用

32、于平穩(wěn)隨機(jī)過程（信號）； 卡爾曼濾波則可用于非平穩(wěn)隨機(jī)過程（信號）?？柭鼮V波則可用于非平穩(wěn)隨機(jī)過程（信號）。 維納濾波根據(jù)維納濾波根據(jù)全部過去的和當(dāng)前的觀測信號全部過去的和當(dāng)前的觀測信號 來估計(jì)信號的波形；來估計(jì)信號的波形； 卡爾曼濾波根據(jù)卡爾曼濾波根據(jù)前一次的估計(jì)值和前一次的估計(jì)值和 當(dāng)前的觀測值當(dāng)前的觀測值來估計(jì)信號波形（遞推算法）。來估計(jì)信號波形（遞推算法）。 維納濾波的解以線性濾波器的系統(tǒng)函數(shù)或脈沖響應(yīng)的形式給出；維納濾波的解以線性濾波器的系統(tǒng)函數(shù)或脈沖響應(yīng)的形式給出； 卡爾曼濾波的解則以估計(jì)值的形式給出。卡爾曼濾波的解則以估計(jì)值的形式給出。 維納濾波維納濾波的信號模型是信號和噪聲的

33、的信號模型是信號和噪聲的相關(guān)函數(shù)或功率普密度函數(shù)相關(guān)函數(shù)或功率普密度函數(shù)； 卡爾曼濾波卡爾曼濾波的信號模型是信號的的信號模型是信號的狀態(tài)方程和觀測方程狀態(tài)方程和觀測方程。6.5 離散卡爾曼濾波的信號模型離散卡爾曼濾波的信號模型線性系統(tǒng)離散狀態(tài)方程線性系統(tǒng)離散狀態(tài)方程6.5.1 離散狀態(tài)方程和觀測方程離散狀態(tài)方程和觀測方程狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)分步轉(zhuǎn)移性分步轉(zhuǎn)移性互逆性互逆性同時(shí)刻不變性同時(shí)刻不變性6.5.1 離散狀態(tài)方程和觀測方程離散狀態(tài)方程和觀測方程1,1kkI線性系統(tǒng)離散狀態(tài)方程和觀測方程線性系統(tǒng)離散狀態(tài)方程和觀測方程狀態(tài)方程狀態(tài)方程觀測方程觀測方

34、程系統(tǒng)控制矩陣系統(tǒng)控制矩陣擾動(dòng)噪聲矢量擾動(dòng)噪聲矢量觀測噪聲矢量觀測噪聲矢量一步狀態(tài)一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣轉(zhuǎn)移矩陣?yán)?.5.1 建立系統(tǒng)的離散狀態(tài)方程和觀測方程建立系統(tǒng)的離散狀態(tài)方程和觀測方程（1）狀態(tài)方程）狀態(tài)方程（2）觀測方程）觀測方程6.5.1 離散狀態(tài)方程和觀測方程離散狀態(tài)方程和觀測方程221111211111111200100011TkkkkkkkkkkkkkkkkkrrTvarTTrvvTavTvwaawaa 2,11120,01,00011kkkk kkkrTTvTa s,1111kk kkkkssw 100kkkkxrnHkkkkxnH s6.5.2 離散信號模型的統(tǒng)計(jì)特性離散信號模

35、型的統(tǒng)計(jì)特性基本離散卡爾曼濾波問題的信號模型的統(tǒng)計(jì)特性基本離散卡爾曼濾波問題的信號模型的統(tǒng)計(jì)特性1）2）3）4）基本的離散卡爾曼濾波問題基本的離散卡爾曼濾波問題擴(kuò)展的離散卡爾曼濾波問題擴(kuò)展的離散卡爾曼濾波問題擾動(dòng)噪聲矢量擾動(dòng)噪聲矢量為白噪聲序列為白噪聲序列觀測噪聲矢量觀測噪聲矢量為白噪聲序列為白噪聲序列兩者互不相關(guān)兩者互不相關(guān)初始狀態(tài)和兩種初始狀態(tài)和兩種噪聲互不相關(guān)噪聲互不相關(guān)離散卡爾曼濾波解決離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)矢量的離散卡爾曼濾波解決離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)矢量的遞推估計(jì)遞推估計(jì)問題。離問題。離散的散的狀態(tài)方程狀態(tài)方程和和觀測方程觀測方程分別為分別為離散時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)，就是根據(jù)觀測矢量離散時(shí)間系統(tǒng)

36、的狀態(tài)估計(jì)，就是根據(jù)觀測矢量 求得狀態(tài)矢求得狀態(tài)矢量量 的一個(gè)估計(jì)的一個(gè)估計(jì) 的問題。按照的問題。按照j和和k的關(guān)系可分為三種情況：的關(guān)系可分為三種情況：（1） 時(shí)，稱為狀態(tài)濾波；時(shí)，稱為狀態(tài)濾波；（2） 時(shí)，稱為狀態(tài)預(yù)測（外推）；狀態(tài)一步預(yù)測時(shí)，稱為狀態(tài)預(yù)測（外推）；狀態(tài)一步預(yù)測（3） 時(shí)，稱為狀態(tài)平滑（內(nèi)插）。時(shí)，稱為狀態(tài)平滑（內(nèi)插）。6.6 離散卡爾曼濾波離散卡爾曼濾波( )kxjs長列矢量長列矢量jkjkjk|j ks(1)|kks因?yàn)殡x散卡爾曼濾波采用因?yàn)殡x散卡爾曼濾波采用線性最小均方誤差準(zhǔn)則線性最小均方誤差準(zhǔn)則，所以可以使用，所以可以使用正交投影的概念和原理來推導(dǎo)離散卡爾曼濾波的遞

37、推公式。正交投影的概念和原理來推導(dǎo)離散卡爾曼濾波的遞推公式。引理引理I引理引理III6.6.1 離散卡爾曼濾波的遞推公式離散卡爾曼濾波的遞推公式1、 項(xiàng)的計(jì)算項(xiàng)的計(jì)算引理引理II6.6.1 離散卡爾曼濾波的遞推公式離散卡爾曼濾波的遞推公式OP|(1)kk sx狀態(tài)一步預(yù)測值狀態(tài)一步預(yù)測值觀測長列矢量觀測長列矢量 僅由僅由表示，所以表示，所以 與與 不相關(guān)。不相關(guān)。(1)k x1kw121012011,;,;,kkkn nnw wws ss(1)k x10kw2、 和和 的計(jì)算的計(jì)算6.6.1 離散卡爾曼濾波的遞推公式離散卡爾曼濾波的遞推公式|(1)k k s|(1)k k x3、 項(xiàng)的計(jì)算項(xiàng)的

38、計(jì)算6.6.1 離散卡爾曼濾波的遞推公式離散卡爾曼濾波的遞推公式T|(1)|(1)E()k kk ksx4、狀態(tài)一步預(yù)測均方誤差陣、狀態(tài)一步預(yù)測均方誤差陣 的計(jì)算的計(jì)算|(1)k kM|(1)k kM狀態(tài)濾波的狀態(tài)濾波的均方誤差陣均方誤差陣狀態(tài)一步預(yù)測狀態(tài)一步預(yù)測的均方誤差陣的均方誤差陣5、 項(xiàng)的計(jì)算項(xiàng)的計(jì)算6.6.1 離散卡爾曼濾波的遞推公式離散卡爾曼濾波的遞推公式T|(1)|(1)E()k kk kxx6、狀態(tài)濾波值、狀態(tài)濾波值 的計(jì)算的計(jì)算ks7、狀態(tài)濾波均方誤差陣、狀態(tài)濾波均方誤差陣 的計(jì)算的計(jì)算6.6.1 離散卡爾曼濾波的遞推公式離散卡爾曼濾波的遞推公式kM 離散卡爾曼濾波是系統(tǒng)狀態(tài)

39、矢量的一種遞推估計(jì)。為了能啟離散卡爾曼濾波是系統(tǒng)狀態(tài)矢量的一種遞推估計(jì)。為了能啟動(dòng)遞推計(jì)算，需要確定初始狀態(tài)濾波值動(dòng)遞推計(jì)算，需要確定初始狀態(tài)濾波值 和初始狀態(tài)濾波的均方和初始狀態(tài)濾波的均方誤差陣誤差陣 。6.6.2 離散卡爾曼濾波的遞推算法離散卡爾曼濾波的遞推算法0 s0M最小化最小化002E()0 ss離散卡爾曼濾波遞推公式表離散卡爾曼濾波遞推公式表6.6.2 離散卡爾曼濾波的遞推算法離散卡爾曼濾波的遞推算法00,1111TTE(),E()E(),E(),0,1,2,kkkkjkkkkk kkkkkkkkkjkjkkjkjkj k00000wwnnw ns ws nsswxH snww w

40、Cnn nCCCC 1T|(1),11,111TT1|(1)|(1)|(1),11,11(1)|1,(I)()(II)()(III)()(IV)(V)kkk kk kkk kkkkk kkkk kkkkkk kkk kkkkkk kkkkkkkwnMMCKMHH MHCMIK HMssKxHsss 0000,sssMC 狀態(tài)方程狀態(tài)方程觀測方程觀測方程統(tǒng)計(jì)特性統(tǒng)計(jì)特性一步預(yù)測均方誤差陣一步預(yù)測均方誤差陣濾波增益矩陣濾波增益矩陣濾波均方誤差陣濾波均方誤差陣狀態(tài)濾波狀態(tài)濾波狀態(tài)一步預(yù)測狀態(tài)一步預(yù)測濾波初始狀態(tài)濾波初始狀態(tài)離散卡爾曼濾波遞推公式可以分成兩部分：第一部分是前三個(gè)公離散卡爾曼濾波遞推公式

41、可以分成兩部分：第一部分是前三個(gè)公式，它們是狀態(tài)濾波增益矩陣的遞推公式；第二部分是后兩個(gè)公式，它們是狀態(tài)濾波增益矩陣的遞推公式；第二部分是后兩個(gè)公式，它們是離散狀態(tài)濾波和狀態(tài)一步預(yù)測的遞推公式。式，它們是離散狀態(tài)濾波和狀態(tài)一步預(yù)測的遞推公式。6.6.2 離散卡爾曼濾波的遞推算法離散卡爾曼濾波的遞推算法6.6.3 離散卡爾曼濾波的特點(diǎn)與性質(zhì)離散卡爾曼濾波的特點(diǎn)與性質(zhì)1、離散卡爾曼濾波的主要特點(diǎn)、離散卡爾曼濾波的主要特點(diǎn)（1）離散卡爾曼濾波的參數(shù)矩陣可以是）離散卡爾曼濾波的參數(shù)矩陣可以是時(shí)變的時(shí)變的，因此離散卡爾，因此離散卡爾曼濾波適用于矢量的曼濾波適用于矢量的非平穩(wěn)隨機(jī)過程非平穩(wěn)隨機(jī)過程的狀態(tài)估

42、計(jì)。的狀態(tài)估計(jì)。（2）離散卡爾曼濾波的狀態(tài)估計(jì)采用）離散卡爾曼濾波的狀態(tài)估計(jì)采用遞推估計(jì)算法遞推估計(jì)算法，數(shù)據(jù)存儲(chǔ)，數(shù)據(jù)存儲(chǔ)量少，運(yùn)算量少，特別是避免了高階矩陣求逆問題，提高了運(yùn)算量少，運(yùn)算量少，特別是避免了高階矩陣求逆問題，提高了運(yùn)算效率。效率。（3）由于離散卡爾曼濾波的增益矩陣）由于離散卡爾曼濾波的增益矩陣 與觀測數(shù)據(jù)無關(guān)，所以與觀測數(shù)據(jù)無關(guān)，所以有可能有可能離線算出離線算出，從而減少實(shí)時(shí)在線計(jì)算量，提高實(shí)時(shí)處理能力。，從而減少實(shí)時(shí)在線計(jì)算量，提高實(shí)時(shí)處理能力。（4）離散卡爾曼濾波不僅能夠同時(shí)得到狀態(tài)濾波值和狀態(tài)一步）離散卡爾曼濾波不僅能夠同時(shí)得到狀態(tài)濾波值和狀態(tài)一步預(yù)測值，而且同時(shí)得到狀

43、態(tài)濾波的均方誤差陣和狀態(tài)一步預(yù)測的預(yù)測值，而且同時(shí)得到狀態(tài)濾波的均方誤差陣和狀態(tài)一步預(yù)測的均方誤差陣，它們是狀態(tài)濾波和狀態(tài)一步預(yù)測的精度指標(biāo)。均方誤差陣，它們是狀態(tài)濾波和狀態(tài)一步預(yù)測的精度指標(biāo)。kK6.6.3 離散卡爾曼濾波的特點(diǎn)與性質(zhì)離散卡爾曼濾波的特點(diǎn)與性質(zhì)2、離散卡爾曼濾波的主要性質(zhì)、離散卡爾曼濾波的主要性質(zhì)（1）狀態(tài)濾波值是系統(tǒng)狀態(tài)的線性最小均方誤差估計(jì)量，因?yàn)椋顟B(tài)濾波值是系統(tǒng)狀態(tài)的線性最小均方誤差估計(jì)量，因?yàn)樗菬o偏估計(jì)量，所以狀態(tài)濾波的均方誤差陣就是所有線性估計(jì)它是無偏估計(jì)量，所以狀態(tài)濾波的均方誤差陣就是所有線性估計(jì)中的最小誤差方差陣。中的最小誤差方差陣。（2）狀態(tài)估計(jì)的誤差矢量

44、與狀態(tài)估計(jì)量正交，即）狀態(tài)估計(jì)的誤差矢量與狀態(tài)估計(jì)量正交，即（3）狀態(tài)濾波的增益矩陣與初始狀態(tài)均方誤差陣、擾動(dòng)噪聲矢）狀態(tài)濾波的增益矩陣與初始狀態(tài)均方誤差陣、擾動(dòng)噪聲矢量的協(xié)方差矩陣和觀測噪聲矢量的協(xié)方差矩陣有關(guān)。量的協(xié)方差矩陣和觀測噪聲矢量的協(xié)方差矩陣有關(guān)。（4）狀態(tài)濾波的均方誤差陣的上限值為狀態(tài)一步預(yù)測的均方誤）狀態(tài)濾波的均方誤差陣的上限值為狀態(tài)一步預(yù)測的均方誤差陣。差陣。參見參見( (5.7.32) )式和式和( (5.8.38) )式式矩陣求逆引理矩陣求逆引理P314例例6.6.1 離散卡爾曼濾波增益矩陣離散卡爾曼濾波增益矩陣 的的離線離線遞推計(jì)算遞推計(jì)算6.6 離散卡爾曼濾波離散卡爾

45、曼濾波 例題例題101100,1,2,1000101010102( 1) ,1,2,kkkkk wsnCCHC kK例例6.6.1 離散卡爾曼濾波增益矩陣離散卡爾曼濾波增益矩陣 的離線遞推計(jì)算（續(xù)）的離線遞推計(jì)算（續(xù)）6.6 離散卡爾曼濾波離散卡爾曼濾波 例題例題kK例例6.6.1 離散卡爾曼濾波增益矩陣離散卡爾曼濾波增益矩陣 的離線遞推計(jì)算（續(xù)）的離線遞推計(jì)算（續(xù)）6.6 離散卡爾曼濾波離散卡爾曼濾波 例題例題kK例例6.6.2 若飛機(jī)相對于雷達(dá)作徑向勻加速直線運(yùn)動(dòng)，現(xiàn)通過對飛若飛機(jī)相對于雷達(dá)作徑向勻加速直線運(yùn)動(dòng)，現(xiàn)通過對飛機(jī)的距離測量來估計(jì)飛機(jī)的距離、速度和加速度。設(shè)機(jī)的距離測量來估計(jì)飛機(jī)的距離、速度和加速度。設(shè)（1）從）從 開始測量，測量時(shí)間間隔為開始測量，測量時(shí)間間隔為2s；（2）飛機(jī)相對雷達(dá)的距離、速度和加速度為）飛機(jī)相對雷達(dá)的距離、速度和加速度為 。現(xiàn)?，F(xiàn)已知已知（3）忽略擾動(dòng)噪聲）忽略擾動(dòng)噪聲 對飛機(jī)的擾動(dòng)；對飛機(jī)的擾動(dòng)；（4）觀測噪聲）觀測噪聲 是零均值的白噪聲隨機(jī)序列，已知是零均值的白噪聲隨機(jī)序列，已知